Die heutige Finanzwelt wird täglich von einer Vielfalt von Risikofaktoren bestimmt.
Eine wichtige Maßnahme zur nachhaltigen Sicherung von Vermögenswerten stellt
daher die Messung der einwirkenden Risiken dar. Entscheidend ist hierbei die Frage,
welche Merkmale in einem Verfahren zur quantitativ und qualitativ sinnvollen Messung
von Risiken vorhanden sein sollten. Es bietet sich ein breites Spektrum an Risikomaßen
an, die alle, auf unterschiedliche Arten, „Risiko“ messen. In dieser Arbeit
soll dargelegt werden, was man unter dem Begriff Risiko zu verstehen hat und welche
alternativen Maße zur Erfassung und Bewertung dieses Risikos zur Verfügung
stehen. Weiterhin soll geklärt werden, ob alle Risikomaße dieselbe Aussagekraft besitzen
und sich für den Einsatz in der Praxis eignen. Zur Klärung, ob man Risikomaße
in einheitliche Qualitätskategorien einteilen kann, werden die vorgestellten Risikomaße
anhand eines Axiomensystems auf bestimmte Eigenschaften geprüft.
Inhaltsübersicht
1 Einleitung
2 Risikomaße
2.1 Definition Risiko
2.2 Varianz und Standardabweichung
2.3 Value at Risk
2.4 Conditional Value at Risk
2.5 Expected Shortfall
2.6 Tail Mean
2.7 Tail Conditional Expectation
2.8 Worst Conditional Expectation
2.9 Lower Partial Moments
3 Kohärenz
3.1 Definition
3.2 Axiome
3.3 Weitere Eigenschaften
3.4 Kohärente Risikomaße
4 Abschließende Betrachtungen
4.1 Warum Kohärenz ?
4.2 Vergleich der Risikomaße
5 Zusammenfassung
I Abkürzungsverzeichnis
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
1 Einleitung
Die heutige Finanzwelt wird täglich von einer Vielfalt von Risikofaktoren bestimmt. Eine wichtige Maßnahme zur nachhaltigen Sicherung von Vermögenswerten stellt daher die Messung der einwirkenden Risiken dar. Entscheidend ist hierbei die Frage, welche Merkmale in einem Verfahren zur quantitativ und qualitativ sinnvollen Messung von Risiken vorhanden sein sollten. Es bietet sich ein breites Spektrum an Risikomaßen an, die alle, auf unterschiedliche Arten, „Risiko“ messen. In dieser Arbeit soll dargelegt werden, was man unter dem Begriff Risiko zu verstehen hat und welche alternativen Maße zur Erfassung und Bewertung dieses Risikos zur Verfügung stehen. Weiterhin soll geklärt werden, ob alle Risikomaße dieselbe Aussagekraft besitzen und sich für den Einsatz in der Praxis eignen. Zur Klärung, ob man Risikomaße in einheitliche Qualitätskategorien einteilen kann, werden die vorgestellten Risikomaße anhand eines Axiomensystems auf bestimmte Eigenschaften geprüft.
Aus Gründen der Vereinfachung und des Umfangs dieser Arbeit wird, falls nicht ausdrücklich anders benannt, bei verteilungsbasierten Risikomaßen von einer stetigen Verteilung ausgegangen, da die Betrachtungen diskreter Verteilungen den Rahmen der Arbeit sprengen würde.
2 Risikomaße
2.1 Definition Risiko
Um eine Aussage über Risiko treffen zu können, muss der Begriff Risiko erst einmal definiert werden. Hierfür wird ein Modell benötigt, das eine quantitative und qualitative Messung des Risikos möglich macht. Ein möglicher Umweltzustand sei durch die Variable beschrieben. Die begrenzte Menge aller möglichen Umweltzustände nennen wir Es besteht zudem eine Zufallsvariabledie für jeden möglichen Zustand einen Wertannimmt.sei die Menge aller Funktionen auffür deren Zufallsvariablengilt, dassEbenso wieseieine endliche Menge, deren nicht-negative Elemente durchsowie alle negativen Elemente durchbeschrieben werden. Das Risikomaßstellt in diesem Fall die Abbildung vonnachdar. Interpretieren lässt sich der Wertfür den Fall, dass dieser positiv ist, als zusätzliches Risikokapital, das einer riskanten Anlage bzw. einem Portfolio hinzugefügt werden müsste, um mit großer Wahrscheinlichkeit einen Verlust zu vermeiden. Im Falle eines negativen Wertes könnte eine Finanzposition um den Betragvermindert werden, ohne dass ein Verlust droht[1].
2.2 Varianz und Standardabweichung
Die Varianz wird statistisch als ein „Streumaß für die Verteilung einer Zufallsvariablen X “[2] definiert und stellt damit die mittlere quadratische Abweichung einer Zufallsvariablen X vom Erwartungswertdar.
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Wesentlicher Vorteil der Varianz als Risikomaß stellt ihre einfache Handhabung dar. So lässt sich beispielsweise die Portfoliovarianz leicht als Summe der Einzelvarianzen (und Kovarianzen) berechnen. Dennoch gibt es einen entscheidenden Kritikpunkt an der Varianz und damit auch an der Standardabweichung. Sowohl Varianz als auch Standardabweichung erfassen jede Abweichung vom Erwartungswert, was bedeutet, dass nicht nur eine Unter- sondern auch eine Überschreitung die Varianz (bzw. die Standardabweichung) erhöhen. Dies hat bei der Messung des Risikos zur Folge, dass auch ein positives Risiko berücksichtigt wird. Ein weiterer Kritikpunkt bezieht sich auf die mangelnde Abbildung von Asymmetrien zugrunde liegender Verteilungsfunktionen[6]. Zusätzlich stellt sich die Frage der Anwendbarkeit der beiden Maße. Wie oben beschrieben misst die Varianz die quadratische Abweichung vom Erwartungswert. Will man nun die Varianz für die Messung monetärer Größen verwenden, entsteht die Problematik der Interpretierbarkeit von Geldeinheiten zum Quadrat als Einheit[7].
2.3 Value at Risk
Bei der Betrachtung quantilbasierter Risikomaße zählt der „Value at Risk“(VaR) zu den meist genutzten Risikomaßen in der Praxis. Beim VaR handelt es sich um ein Downside-Risikomaß, was bedeutet, dass lediglich das Verlustrisiko, nicht jedoch das Chancenrisiko betrachtet wird[8]. Um den VaR zu bestimmen, wird zunächst das Konfidenzniveauund der Betrachtungszeitraum festgelegt. Fürlässt sich derfolgendermaßen ausdrücken:
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Nach Formel (4) entspricht der Value at Risk dem größten Wertbei dem die Zufallsvariabledie der Verlusthöhe entspricht, mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestensden Wertgerade nicht übersteigt. Man kann den VaR auch als maximalen Verlust zum gegebenen Konfidenzniveaubezeichnen, welcher mit einer Wahrscheinlichkeit vonnicht überschritten wird. Ein entscheidender Punkt zur Messung des VaR ist die Wahl der Wahrscheinlichkeitsverteilung. Gleichzeitig ist dieser Aspekt auch einer der häufigsten Kritikpunkte. So ist nicht eindeutig, ob eine auf realen Werten basierte Schätzung einer subjektiv sorgfältig ausgewählten Wahrscheinlichkeitsverteilung vorzuziehen ist.[10] In den meisten Fällen wird diesbezüglich davon ausgegangen, dass die Zufallsvariablenormalverteilt ist[11]. Derzum Konfidenzniveauentspricht in diesem Fall gerade demder Verteilung potentieller Verluste[12]. Ein Vorteil der Nutzung des VaR als Risikomaß ist die flexible Anwendbarkeit auf unterschiedliche Bereiche. So können beispielsweise VaR´s unterschiedlich gestalteter Portfolios, aufgrund der einheitlichen Risikoquantifizierung, leichter verglichen werden. Dies kann zur Erstellung von Ratingtabellen herangezogen werden, indem man das Konfidenzniveau in direkten Zusammenhnag mit einer Ratingnote setzt[13]. Unflexibel ist der VaR jedoch bei der Berechnung des Portfoliorisikos. Aufgrund der Nicht-Additivität lassen sich komplexe Portfolios nur im Gesamten berechnen, da der Portfolio- VaR nicht der Summe der VaRs ´ der einzelnen Bestandteile entspricht[14]. Einen Zusammenhang zu anderen Risikomaßen stellt Rau-Bredow (2002) her. Geht man von einer Normalverteilung aus, so entspricht dereinem Vielfachen der Standardabweichung. Rau-Bredow stellt hierbei das Beispiel deszu einem gegebenem Konfidenzniveau von 99% heraus, bei dem derder Standardabweichung von 2,33 entspricht. Besonders betont Rau-Bredow die Tatsache, dass dieser Zusammenhang nicht nur für die Normalverteilung sondern im Allgemeinen für alle elliptischen Verteilungen gültig ist[15].
2.4 Conditional Value at Risk
Mit Hilfe des VaR kann unter bestimmten Annahmen das Verlustrisiko zu einem bestimmten Niveaueingegrenzt werden. Mit welchem Verlust jedoch zu rechnen ist, wenn der VaR überschritten wird, kann das Risikomaß des VaR nicht sagen. Um diesen Faktor in die Risikomessung mit einzubeziehen, wird das Modell auf den „Conditional Value at Risk“ (CVaR) erweitert. Der CVaR berücksichtigt die mittlere Höhe aller VaRs, die sich bei einem höheren Konfidenzniveau alsergeben.
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Folgt man der Interpretation von Albrecht/Koryciorz so lässt sich folgender Zusammenhang zwischen den Maßen VaR und CVaR herstellen:
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Interpretieren kann man diesen Zusammenhang folgendermaßen: Dersetzt sich aus dem begrenzten Maximalverlustzu gegebenem Niveauund dem Erwartungswert aus der Differenz des Verlustes und des bereits berücksichtigten Teilverlustesfür alle Zufallsvariablen X, die mindestens so groß sind wiezusammen. Einen entscheidenden Vorteil des CVaR stellt die Möglichkeit der Vereinfachung dar. So kann der CVaR in einfacher Form als Minimierungsfunktion dargestellt und leicht für Optimierungsprobleme herangezogen werden, ohne dass wesentliche Merkmale wie beispielsweise das Merkmal der Konvexität verloren gehen[18].
2.5 Expected Shortfall
Als „Expected Shortfall“ (ES) wird der Erwartungswert des Verlustes bei Unterschreiten einer bestimmten Zielgröße bezeichnet. Gehen wir von einer stetigen Verlustfunktion aus, so ergibt sich der Expected Shortfall bei Überschreiten der vorher durch das Konfidenzniveau bestimmten Verlusthöheals Mittelwert der möglichen Verluste.
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Im Gegensatz zu Risikomaßen wie dem VaR, TCE oder auch WCE bietet der ES den Vorteil, besonders bei der Annahme einer diskreten Verteilung, auf geringfügige Änderungen des Konfidenzniveausnicht mit starken Schwankungen zu reagieren, was man auch als Stetigkeit hinsichtlichbezeichnen kann. Der ES deckt sich mit dem CVaR im Falle, dass die zugrunde liegende Verteilungsfunktion eine Dichte besitzt[20].
2.6 Tail Mean
Der „Tail Mean“ (TM) stellt für ein gegebenes Konfidenzniveauden erwarteten Verlust innerhalb des dar[21]. Diese Definition lässt die Aussage zu, einen Zusammenhang zwischen ES und TM in der Form herzustellen, dass Tail Mean dem negativen Wert des ES entspricht[22].
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2.7 Tail Conditional Expectation
Als „Tail Conditional Expectation“ (TCE) bezeichnet für eine stetigen Verteilungsfunktion den Erwartungswert des Verlustes, falls ein vorgegebenes Zielunter- bzw. überschritten wird. Allgemein gilt:
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Als Spezialfall ergibt sich aus Formel 10 der CVaR, sofern angenommen wird, dassist[24]. Für eine stetige Funktion entspricht die TCE sowohl dem CVaR als auch dem ES[25].
2.8 Worst Conditional Expectation
Der „Worst Conditional Expectation“ (WCE) kann als eine Form des TCE betrachtet werden. Der Unterschied besteht jedoch darin, dass der betrachtete Bereich der Zufallsvariablenfür bestimmte Betrachtungen vordefiniert ist. Diese Betrachtungen können sich auf Worst-Case-Szenarien beziehen, die den Erwarteten Verlust in Abhängigkeit des angenommen Ereignisses und des Konfidenzniveauswiedergeben[26]. Mathematisch gesehen bedeutet dies, dass die ZufallsvariableElement der Mengeist und die Wahrscheinlichkeit für das eintreten des Ereignisses, das durch die Mengebeschrieben wird, größer dem Konfidenzniveauist.
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Wird eine stetige Verteilung angenommen, so weist Acerbi nach, dass sich unter bestimmten Voraussetzungen der Zusammenhangnachweisen lässt[28]. Die sinnvolle Verwendung dieses Risikomaßes beschränkt sich jedoch hauptsächlich auf die theoretische Anwendung, da zur Benutzung der WCE alle zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeiten bekannt sein müssen.
2.9 Lower Partial Moments
Die Lower Partial Moments (LPM) stellen eine Klasse von Risikomaßen dar, die sich alle auf ein Basiskonstrukt zurückführen lassen. Formal lässt sich die Klasse der LPM der Ordnungfolgendermaßen beschreiben:
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Zur Bestimmung eines Risikomaßes der Klasse derist das Festlegen einer Schrankeals Referenzwert notwendig. Im Allgemeinen messen alle LPM vom Graddie Unterschreitung der Referenzgröße. Betrachtet werden aus Gründen der guten Interpretierbarkeit für gewöhnlich die entstehenden Risikomaße für
Fürergibt sich alsdie sogenannte Shortfallwahrscheinlichkeit (SW):
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Hierbei wird die Wahrscheinlich gemessen, den Referenwertzu unterschreiten. Dies könnte z.B. für bedeuten, dass ein Verlust größer Null realisiert wird. Die Shortfallwahrscheinlichkeit stellt das Gegenstück zum VaR dar. Wird bei der SW berechnet, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Referenzwert nicht überschritten wird, so wird beim VaR aus der vorgegebenen Wahrscheinlichkeit der entsprechende Wert berechnet, der nicht überschritten wird. Über diesen Zusammenhang lässt sich der VaR fürleicht zutransformieren.
Fürergibt sich alsder Shortfallerwartungswert (SE):
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Der SE misst die mittlere negative Abweichung vom Referenzwert, was nun sowohl die Überschreitungswahrscheinlichkeit als auch die durchschnittliche Höhe der Abweichung vonberücksichtigt.
Fürergibt sich alsdie Shortfallvarianz (SV):
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Dieses Risikomaß misst die mittlere quadratische negative Abweichung vom ReferenzwertWählt man als Referenzwert bei der Betrachtung den Erwartungswert der zugrunde liegenden Verteilung, so entspricht derder Semivarianz[33].
3 Kohärenz
3.1 Definition
Der Begriff der Kohärenz von Risikomaßen beschreibt nach Artzner et al. die Tatsache, dass ein Risikomaß bestimmte Eigenschaften aufweist. Im Folgenden werden die vier Axiome näher erläutert, die als notwendige Eigenschaften eines aussagekräftigen Risikomaßes angesehen werden.
3.2 Axiome
In der einschlägigen Literatur finden sich unterschiedliche Axiomensysteme verschiedener Autoren. Diese unterscheiden sich meist nur geringfügig, was jedoch schnell zu verschiedenen Ergebnissen bezüglich der Erfüllung dieser Axiome durch die betrachteten Risikomaße führen kann. Für eine vergleichende Betrachtung der Axiomensysteme von Pedersen/Satchell, Rockafellar/Uryasev/Zabarakin, Artzner/Delbaen/Eber/Heath und Wang/Young/Panjer sei auf das Arbeitspapier Nr. 143 aus der Reihe Mannheimer Manuskripte zu Risikotheorie, Portfolio Management und Versicherungswirtschaft von Peter Albrecht verwiesen[34]. In dieser Arbeit wird lediglich das Axiomensystem von Artzner et al. als Grundlage der Betrachtungen verwendet.
3.2.1 Translationsinvarianz
Fügt man zu einer riskanten Anlage in einem Portfolio einen risikolosen Werthinzu, so verringert sich das Portfoliorisiko um diesen Wert.
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3.2.2 Subadditivität
Die Eigenschaft der Subadditivität verlangt, dass ein Portfoliorisiko immer höchstens so groß ist, wie die Summe der Einzelrisiken seiner Bestandteile. Für
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Durch das Zusammenführen mehrerer Positionen in einem Portfolio ist es möglich, das Gesamtrisiko durch Diversifikation zu verringern. Das Risiko kann jedoch niemals größer sein als die Summer der Risiken der einzelnen Positionen.
3.2.3 Positive Homogenität
Erfüllt ein Risikomaß das Axiom der positiven Homogenität, so führt ein vervielfachen der Zufallsvariablenauch zu einer entsprechenden Erhöhung von Allgemein kann man sagen, dass eine größere riskante Postion auch zu einem höheren Risiko führt[38].
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Führt die Größe einer Position zu Schwierigkeiten bei der Veräußerung, so bedeutet dies einen Mangel an Liquidität, der in die Betrachtung des potentiellen Risikos mit aufgenommen werden muss. Daher scheint es auch sinnvoll, diesen Effekt zu berücksichtigen und die Anfoderungen an ein Risikomaß entsprechend zu ergänzen[40].
3.2.4 Monotonie
Erfüllt ein Risikomaß die Eigenschaften der Monotonie so gilt für alle
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Es ist somit gegeben, dass das Risikokapital der Zufallsvariablenstets höher ist, falls das Risikopotential vonauch höher ist (für alle). Hierbei spricht man davon, dass das entsprechende Risikomaß dem Prinzip der stochastischen Dominanz ersten Grades genügt. Ausgeschlossen wird durch die Monotonie beispielsweise das Risikomaßwobeiunddie Standardabweichung zu gegebener Wahrscheinlichkeitsverteilung P darstellt. Ökonomisch gesehen sagt die Eigenschaft der Monotonie aus, dass es nicht möglich sein soll, für ein höhreres Risiko weniger Risikokapital bereitstellen zu müssen.
3.3 Weitere Eigenschaften
3.3.1 Komonotone Additivität
Die Eigenschaft der komonotonen Additivität bezieht sich auf den Fall komonotoner Risiken. Zwei Risikenwerden als komonoton bezeichnet, wenn sie in gleichen Weise von einem bestimmten Risikofaktor abhängen. Dabei reagieren beide Risiken in gleicher Weise auf die Veränderung des relevanten Faktors, was jedoch noch keine Aussage über die Höhe dieser Reaktion trifft, da diese bei den beiden Risiken sehr unterschiedlich ausfallen kann. Die Komonotonie beschreibt eine Abhängigkeit von Risiken, die über das Maß der Korrelation noch hinaus geht. Ein wesentlicher Vorteil der Komonotonie stellt beispielsweise die Anwendbarkeit im nicht-linearen Fall dar[42]. Die Theorie der komonotonen Risiken basiert auf einem gemeinsamen Risikofaktorund zwei steigende Funktionenund die für jeden Zustanddie Risikenals Ergebnisse generieren.
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Für komonotone Risikomaße lässt sich bezüglich ihrer Additivität die Eigenschaft feststellen, dass das Risikomaßder Summe beider Risiken gleich der Summe der einzelnenentspricht.
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Hierbei spricht man von komonotoner Additivität.
3.3.2 Verteilungsinvarianz
Zur Schätzung des Risikomaßessoll es genügen, die zugrunde liegende Verteilungsfunktion zu verwenden. Dies bedeutet, dass für unterschiedliche Zufallsvariablenwelche dieselbe Verteilung besitzen,gelten muss. Ein zusätzliches Hinzuziehen von beispielsweise Expertenmeinungen zur Schätzung des Risikomaßes würde die Forderung der Verteilungsinvarianz verletzen[45].
3.3.3 Konvexität
Werden von einem stetig verteilten Risikomaß Axiome der Subadditivität und der positiven Homogenität erfüllt, so ist gleichzeitig auch die Konvexität des Risikomaßes gegeben[46]. Formal sagt die Definition der Konvexität allgemein aus, dassfalls g konvex ist[47]. Die Konvexitätsanforderung stellt bei Optimierungsfragen häufig eine grundlegende Voraussetzung dar. Ein Risikomaß, das den Bedingungen der Konvexität entspricht lässt sich bei Optimierungsproblemen als Zielgröße verwenden. Dies ist beispielsweise für die Portfoliooptimierung von Relevanz[48].
3.4 Kohärente Risikomaße
Risikomaße, welche die unter 3.1 genannten Axiome Translationsinvarianz, Subadditivität, positive Homogenität und Monotonie erfüllen, werden als kohärent bezeichnet. Im Folgenden werden die im zweiten Kapitel beschriebenen Risikomaße auf die Erfüllung der Kohärenzeigenschaften überprüft.
3.4.1 Varianz und Standardabweichung
Die Berücksichtigung von Abweichungen sowohl nach unten als auch nach oben stellt bei beiden Risikomaßen eine Verletzung der Monotonie dar. Auch die Subadditivität ist für beide Maße nicht gewährleistet, da diese lediglich unter der Voraussetzung der
[...]
[1] Vgl. Artzner et al. (1998), Seite 4 f
[2] Bamberg/Bauer (2002), Seite 122
[3] Quelle: Bamberg/Bauer (2002), Seite 122
[4] Quelle: Bamberg/Bauer (2002), Seite 122
[5] Quelle: Bamberg/Bauer (2002), Seite 122
[6] Vgl. Albrecht/Maurer (2002), Seite 108
[7] Vgl. Albrecht/Maurer (2002), Seite 92
[8] Vgl. Dalrup (2005), Seite 15
[9] Quelle: Balbás et al. (2002), Seite 2
[10] Siehe z.B. Artzner et al. (1998), Seite 13 oder Acerbi et al. (2001), Seite 3
[11] Anderer Meinung: Rockafellar/Uryasev (2002), Seite 1444
[12] Vgl. Albrecht/Maurer (2002), Seite 115
[13] Vgl. Acerbi/Tasche (2001), Seite 1
[14] Vgl. Acerbi et al. (2001), Seite 2 ff
[15] Vgl. Rau-Bredow (2002), Seite 2
[16] Quelle: Tasche (2002a), Seite 21 Kapitel 2-9
[17] Quelle: Albrecht/Koryciorz (2003), Seite 2
[18] Vgl. Rockafellar/Uryasev (2002), Seite 1444
[19] Vgl. Frey/McNeil (2002), Seite 1320
[20] Vgl. Acerbi/Tasche (2002), Seite 10
[21] Vgl. Acerbi et al. (2001), Seite 8
[22] Vgl. Acerbi/Tasche (2002), Seite 2
[23] Quelle: Acerbi/Tasche (2002), Seite 12
[24] Vgl. Albrecht/Koryciorz (2003), Seite 2
[25] Vgl. Balbás et al. (2002), Seite 20
[26] Vgl. Albrecht/Maurer (2002), Seite 117
[27] Vgl. Acerbi/Tasche (2002), Seite 4
[28] Vgl. Acerbi/Tasche (2002), Seite 13
[29] Quelle: Albrecht (2003), Seite 22
[30] Vgl. Albrecht (2001), Seite 2
[31] Vgl. Albrecht (2001), Seite 2
[32] Vgl. Albrecht (2001), Seite 2
[33] Dalrup (2005), Seite 14
[34] Albrecht (2003), Seiten 11-18
[35] Quelle: Artzner et al. (1998), Seite 6
[36] Vgl. Artzner et al. (1998), Seite 6
[37] Vgl. Artzner et al. (1998), Seite 6
[38] Vgl. Dalrup (2005), Seite 10
[39] Quelle: Artzner et al. (1998), Seite 7
[40] Vgl. Artzner et al. (1998), Seite 7
[41] Quelle: Artzner et al. (1998), Seite 7
[42] Vgl. Embrechts et al. (1999), Seite 28 ff
[43] Quelle: Tasche (2002a), Seite 12 Kapitel 1-10
[44] Quelle: Delbaen (2000), Seite 28
[45] Vgl. Tasche (2002b), Seite 3 und Tasche (2002a), Seite 10 Kapitel 1-8
[46] Vgl. Artzner et al. (1998), Seite 8
[47] Vgl. Bamberg/Bauer (2002)
[48] Vgl. Dalrup (2005), Seite 13
- Arbeit zitieren
- Jan Ajster (Autor:in), 2006, Risikomaße und Kohärenzeigenschaften, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/55853
