Chaos - A Geometry of Nature

Inhaltsverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

1 Einleitung

2 Grundlagen der Geometrie
2.1 Geschichte
2.2 Die Euklidische Geometrie
2.3 Grenzen der Euklidischen Geometrie

3 Die Fraktale Geometrie
3.1 Beschreibung einer fraktalen Dimension
3.2 Die Koch Kurve
3.3 Selbstähnlichkeit
3.4 Anwendung auf die Küstenlinie Britanniens

4 Anwendungsbereiche von Fraktalen und deren Zusammenhang zur Chaostheorie

5 Schlussfolgerung

Abbildungsanhang

Literaturverzeichnis

Eidesstattliche Erklärung

Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1 Einleitung

Es liegt in der Natur des Menschen, komplizierte Sachverhalte zu hinterfragen und zu verstehen. So beschäftigen sich Wissenschaftler seit Jahrhunderten damit, ihre Umwelt und vor allem dort auftauchende, scheinbar chaotische Systeme in eine geordnete und verständliche Struktur zu bringen. Ein Beispiel hierfür ist die über zweitausend Jahre gültige Euklidische Geometrie, die als Standardgeometrie ein Bestandteil der klassischen Mathematik ist und unter anderem unsere Umwelt in ein ganzzahlig dimensionales System einordnet. Sie ermöglicht z. B. Daten mittels grafischer Instrumente aufzuarbeiten, zu veranschaulichen und daraus folgend besser analysieren bzw. verstehen zu können.

Der Wissenschaftler Benoit Mandelbrot hat seit den sechziger Jahren mit seinen wissenschaftlichen Forschungen und seiner Gabe, Muster und Formen intuitiv zu erfassen, ein neues Gebiet der Geometrie erschlossen, das sich auf Grenzen der euklidischen Dimension bezieht. Ausgangspunkt hierfür waren Überlegungen über eine bis dahin vollkommen neue Ansicht der geometrischen Welt. Diese zeigt sich in Gebilden mathematischer Monster wie der Koch Kurve, deren Dimensionen nach Mandelbrot den „fraktalen Dimensionen“ zugeordnet werden. Inwiefern Mandelbrots Erkenntnisse die bis dahin gültige Wissenschaft revolutionierte und der Wissenschaft bis zum heutigen Zeitpunkt neue, leistungsfähige Methoden bereitstellt, wird in den folgenden Kapiteln betrachtet.

Zunächst wird in Kapitel 2 auf die Geschichte, die Euklidische Geometrie und ihre Grenzen eingegangen. In Kapitel 3 wird die fraktale Geometrie bzw. die gebrochenzahlige Dimension sowie die Koch Kurve dargestellt, wobei insbesondere das Wesen einer Küstenlinie näher analysiert wird. Zudem wird auf den Begriff der Selbstähnlichkeit eingegangen. Kapitel 4 erläutert abschließend die Zusammenhänge zwischen Fraktalen und der Chaostheorie und zeigt Anwendungsbereiche der fraktalen Mathematik auf.

2 Grundlagen der Geometrie

2.1 Geschichte

Die Geometrie ist ein Teilgebiet der Mathematik, welches in weitere Bereiche (z. B. Differentialgeometrie, Analytische Geometrie usw.) unterteilt werden kann. Der Wortursprung der Geometrie findet sich im Griechischen wieder, wobei die wörtliche Übersetzung ,Landmessung’ bedeutet. Die Anfänge geometrischer Berechnungen beschritten zunächst die Chaldäer und Ägypter, etwa bei dem Bau der Pyramiden. Nachfolgend begründete Thales (639–548 v. Chr.) in Milet^[1] die so genannte Ionische Schule, aus der die ersten ernstzunehmenden, wissenschaftlichen Arbeiten über dieses Teilgebiet der Mathematik entstammen. [Vgl. Chasles, 1968, S. 1]

Von den griechischen Naturphilosophen der Antike entwickelte Formeln, Gesetze und Regeln auf dem Gebiet der Geometrie wurden bis in unsere heutige Zeit überliefert und sind größtenteils noch grundlegend für die Mathematik der Neuzeit. Zu den bekanntesten Naturphilosophen der damaligen Zeit gehören u. a. Thales, Pythagoras, Euklid und Platon. Thales erforschte insbesondere die Beschaffenheit und Zusammenhänge von Dreiecken. Pythagoras bekanntester Satz besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Quadrate über den Katheten gleich dem Quadrat über der Hypotenuse ist ( ). Platon entwickelte Gesetze und Formeln für die Betrachtung und Beschreibung von Körpern und Euklid verfasste mit seinem Werk „Die Elemente“ eine Zusammenfassung der damaligen Mathematik. Entscheidend dabei ist, dass in den Überlegungen der Griechen, im Gegensatz zu den Ägyptern und Babyloniern, erstmals mathematische Beweise formuliert wurden. Die Griechen leiteten dabei nicht nur eigene Formeln aus Gesetzen her, sondern bewiesen auch die Sätze und Formeln der Babylonier und Ägypter. [Vgl. Kaiser; Nöbauer, 1984, S. 10-11]

2.2 Die Euklidische Geometrie

Eine Menge enthält eine Zusammenfassung von mathematischen Elementen z. B. Zahlen. Eine Menge kann leer sein, niemals aber mehrere Exemplare eines Elements enthalten; diese würden als ein einziges betrachtet. [Vgl. Stein, 1999, S. 62] Ein Raum bezeichnet dagegen eine mit einer Struktur versehenden Menge. [Vgl. Scheid, 2001, S. 13]

Die Euklidische Geometrie behandelt schließlich Mengen, die Punkte in einem Raum enthalten. Eine Aneinanderreihung von Punkten bildet zum Beispiel eine eindimensionale Gerade oder Kurve. Erst die Unterscheidung in Dimensionen, im weiteren Verlauf zunächst in der Betrachtung der drei ganzzahligen, euklidischen Dimensionen, führt zu den bekannten Strukturen etwa einer Fläche oder eines Körpers. Algebraisch lässt sich ein euklidischer Raum in beliebigen Dimensionen n (n > 0) durch das n-fache kartesische Produkt^[2] der reellen Zahlenmenge R beschreiben. [Vgl. Böhm; Börner; Hertel, u.A., 1975, S. 32] Im Folgenden wird nun in jene ganzzahligen Dimensionen nach Euklid unterschieden:

- Ein Punkt hat keine Dimension (bzw. ist nulldimensional).
- Eine Kurve mit unendlich vielen Punkten besitzt lokal eine eindimensionale Struktur.
- Eine Fläche beschreibt eine zweidimensionale Struktur.
- Ein Körper besitzt eine dreidimensionale Struktur.

Euklid begründete mit seiner Arbeit die so genannte Axiomatik. Axiome^[3] sind Aussagen, die grundlegend sind und deshalb nicht innerhalb ihres Systems begründet werden können bzw. müssen. Dies bedeutet, dass Euklid Definitionen, Postulate und Axiome an den Anfang einer jeden Überlegung stellte, aus denen die abgeleiteten Sätze deduziert werden. [Vgl. Kropp, S. 31-32] Beispielsweise ist ein Axiom von Euklid, dass alle rechten Winkel in einem dreidimensionalen Raum kongruent sind.

In „Die Elemente“ wird schließlich die uns vertraute Geometrie der Ebenen und des anschaulichen dreidimensionalen Raumes beschrieben. Entscheidend dabei ist, dass Euklid nur ganzzahlige Dimensionen berücksichtigte d. h. gebrochenzahlige Dimensionen liegen in der Euklidischen Geometrie nicht vor. [Vgl. Becker; Hoffmann, S. 69]

2.3 Grenzen der Euklidischen Geometrie

Die Grenzen der euklidischen Geometrie wurden erstmals durch Überlegungen von Mathematikern aus dem 19. Jahrhundert, darunter Bolyai und Lobatschewski, aufgezeigt. Diese verließen den ganzzahligen, dimensionalen Raum und fügten dem klassischen, euklidischen Raum zwischenzahlige Dimensionen mathematisch hinzu. Es entstanden erste Modelle der nichteuklidischen Geometrie. [Vgl. Scriba; Schreiber, 2002, S. 400 ff.]

Mandelbrot selbst nahm für seine Überlegungen die Ideen dieser Mathematiker auf und trennte sich von der Euklidische Geometrie, die ihre Grenzen im ganzzahligen Dimensionsbereich hat. Die Ursache liegt darin, dass einige Phänomene in der Natur nicht mit den ganzzahligen Dimensionen von Euklid zu erklären sind. Mandelbrot definierte folglich eine neue Geometrie, die dem gegebenem Schönheitsideal widersprach, da sie nun gezackt und widerborstig ist und nicht mehr abgerundet und glatt. Als Beispiele formulierte er: „Wolken sind keine Kugeln, Berge keine Kegel, Küstenlinien keine Kreise. Die Rinde ist nicht glatt - und auch der Blitz bahnt sich seinen Weg nicht gerade.“ [Vgl. Mandelbrot, B.: Die fraktale Geometrie der Natur, S.14-16]

Besonders deutlich werden die Grenzen der Euklidischen Geometrie bei der Betrachtung eines Wollknäuels, wobei jeweils unterschiedliche Maßstäbe zu verschiedenen Dimensionen führen. Wird ein Wollknäuel aus einer weiten Entfernung betrachtet, so erscheint es wie ein nulldimensionaler Punkt. Aus der Nähe ist es ein dreidimensionales Gebilde. Bei weiterem Reduzieren der Entfernung erscheint es wie ein Gewirr aus eindimensionalen Fäden. Danach erscheint der Faden wieder als ein dreidimensionales Gebilde. Diese Vorgänge wiederholen sich bei jedem weiteren Annähern unendlich. Die Übergänge zwischen den Dimensionen lassen sich folglich nicht mehr mit den ganzzahligen Dimensionen von Euklid beschreiben.

[...]

^[1] Eine Stadt in Ägypten

^[2] In der Mathematik wird als kartesisches Produkt zweier Mengen A und die Menge B die Menge aller

geordneten Paare (a, b) bezeichnet, wobei a aus A und b aus B ist. A ´ B:={(a, b) }

^[3] griech.: tà tôn progónon axiómata = als wahr angenommener Grundsatz