Intelligente Netzwerke - Von skalenfreien Netzen und Small Worlds

INHALTSVERZEICHNIS

1. Einleitung

2. Small Worlds
2.1. Das Milgram Experiment
2.2. Erdös
2.3 Granovetter
2.4. Baran und seine intelligenten Netzwerke
2.4. Watts und Strogatz

3. Skalenfreie Netze
3.1 Das Internet
3.2. Das World Wide Web
3.3. Weitere skalenfreie Netze
3.4. Entstehung von skalenfreien Netzen
3.5. Verhalten skalenfreier Netze bei Störungen und Angriffen

Literatur

1. Einleitung

Theoretisch sind komplexe Netze und Systeme von verschiedenster Art denkbar und unterscheidbar. So zum Beispiel Nervensysteme, Ökosysteme, soziale Systeme, die Gesellschaft, Stromnetze, Transportsysteme, das Internet, das World Wide Web, die Sprache etc.

Um untersuchen zu können, ob diese auf den ersten Blick grundverschiedenen und vielfältigen Konzepte von Netzen und Systemen trotzdem gemeinsame Organisationsprinzipien aufweisen und oder bestimmten Gesetzmäßigkeiten gehorchen, sind Netze als Graphen zu unterscheiden und zu operationalisieren. Graphen der Graphentheorie stellen die jeweiligen Elemente als Knoten abstrahiert in einem gedachten Netz und die Beziehungen zwischen ihnen als Fäden oder auch Kanten dar. Das Grundprinzip ist dabei also, dass einzelne Objekte, z. B. Personen oder Zellen als Knoten repräsentiert sind, zwischen denen eine Kante besteht, wenn zwischen ihnen eine bestimmte, dann näher spezifizierbare Beziehung besteht.

Durch dieses Vorgehen werden die verschiedenen Netze vergleichbar. Für die Untersuchung irrelevante Unterschiede werden eliminiert und interessierende potentielle Gemeinsamkeiten werden vergleichbar.

Auf diese Weise wird deutlich, dass viele Netze ganz bestimmte Eigenschaften aufweisen. Die mathematisierte Netzwerkforschung konnte eine Pluralität von Strukturmustern feststellen, manche Prinzipien liegen vielen komplexen Systemen zugrunde. Besonders interessant sind dabei aber die skalenfreien Netze. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass sie durch eine relativ geringe Zahl von sehr großen Knoten beherrscht werden, die mit sehr vielen andern verbunden sind. Als Größe wird dabei also die Anzahl der Verbindungen, die von einem Knoten ausgehen, bezeichnet. Sehr große Knoten werden als Superknoten, Naben oder Hubs bezeichnet.^[1]

Skalenfreie Netze sind weiter zu unterscheiden als maßstabslose Netze, in denen es keine Knotengröße gibt, die als normal, als für das Netz typisch zu identifizieren wäre und damit einen Maßstab stellen könnte. Den skalenfreien Netzen fehlt also ein innerer Maßstab, denn keine Knotengröße tritt bevorzugt auf. Allerdings treten Knoten umso zahlreicher auf, je kleiner sie sind, das heißt, je weniger Verbindungen sie ausweisen. Durch diese Konstruktionen der Netze sind sie enorm unempfindlich gegenüber zufälligen Störungen, aber auch sehr anfällig bei gezielten Angriffen. Um zu diesen besonderen Netzen zu kommen, schlagen wir den Weg von Small World Konzepten über die Annahme von vollkommen zufälligen Netzen zu vollkommen geordneten Netzen zu solchen, die zwischen Chaos und Ordnung liegen, um schließlich zu skalenfreien Netzen zu gelangen.

2. Small Worlds

2.1. Das Milgram Experiment

Der US-amerikanische Sozialpsychologe Stanley Milgram stellte in den 60er Jahren experimentell fest, dass beliebige Menschen durch und über eine Kette von durchschnittlich 6 Personen („six degrees of separation") mit beliebigen anderen Personen verbunden sind.^[2] Er konstatierte ein Netz von Beziehungen, das Individuen zu einer Gesellschaft verbindet und zwar immer in durchschnittlich 6 Zwischenschritten zwischen zwei beliebigen Menschen.

Er gab um seine Hypothesen zu testen zufällig ausgewählten Versuchspersonen einen Brief, den sie an eine ihnen völlig unbekannte Zielperson schicken sollten, indem sie ihn einer ihr bekannten Person geben sollten, von der sie glaubten, dass sie der Zielperson näher stehen würde als sie selbst. Diese sollte dann ebenso verfahren bis der Brief schließlich sein Ziel erreicht hat.

Kritisch anzumerken ist dabei allerdings, dass nur ein Bruchteil der von Milgram verteilten Briefe auch den Adressaten erreichte, nämlich nur 0,5 % in der Erststudie und 21 % in einer Zweitstudie, in der allerdings mit nicht zufällig ausgewählten Personen verfahren und getestet wurde. Es ist also eine geringe Rücklaufquote und die Möglichkeit, dass dieses Ergebnis ein Methodenartefakt darstellt zu berücksichtigen. Es lässt sich aber zumindest sagen, dass dieses Ergebnis erste Hinweise auf eine Small World Struktur zulässt.^[3]

Weiter zu beachten ist, dass es sehr wahrscheinlich ist, dass in sozialen Netzen zwei Knoten, die jeweils eine Kante zu einem dritten Knoten haben, auch untereinander verbunden sind, dass also beispielsweise die Freunde einer Person sich auch untereinander kennen, weil sie sich z. B. über den gemeinsamen Freund kennen gelernt haben. Dies würde eine hohe Clusterdichte zur Folge haben. Wobei Cluster als viele starke gegenseitige Verbindungen und Beziehungen im unmittelbaren Umfeld zu definieren wäre, als in sich mehr oder weniger geschlossene Gruppen.

Der Durchmesser dieser Small Worlds, also der Wert um von einem beliebigen A zu einem beliebigen B zu gelangen, ist dabei relativ klein. Das bedeutet, dass eine Nachricht, die jeweils von einem Knoten über eine Kante zu allen seinen Nachbarknoten weitergereicht wird, in kürzester Zeit alle Knoten in dem Netzwerk erreicht hat. Von besonderer Bedeutung sind somit bestimmte Verbindungen zu einzelnen weit entfernten Knoten. Doch zunächst noch einmal zu den sechs Zwischenschritten.

2.2. Erdös

Der Mathematiker Paul Erdös konnte zeigen, dass wenn die Beziehungen von Menschen zufällig über die Welt verteilt wären, diese sechs Zwischenschritte völlig ausreichen und normal wären, um beliebige Menschen miteinander zu verbinden, wenn man annimmt, dass jeder Mensch mit 50 anderen Menschen verbunden ist.^[4] Im ersten Schritt kennt man 50 andere Menschen, im zweiten Schritt 2500, beim dritten Schritt schon 50*2500=125000 und so weiter. Beim sechsten Schritt liegt die Zahl von 15625000000 über der Zahl der Erdbewohner.

[...]

^[1] Hub = Nabe, Nabel, Mittelpunkt, auch Superknoten in Netzwerken halten das Netz zusammen, in Anlehnung an die Speichen, die von einer Fahrradnabe abgehen, siehe dazu Barabási & Bonabeau (2004) S. 62

^[2] Milgram (1967)

^[3] Duncan Watts versuchte die Hypothesen Milgrams für den Emailverkehr zu testen und bekam ähnlich geringe Zahlen für eine erfolgreiche Vermittlung (1,5 %).

^[4] aus Buchanan (2002)