Die Box-Jenkins-Methode wurde von G.E.P. Box und G.M. Jenkins 1970 in dem Buch „Time Series Analysis – forecasting and control“ veröffentlicht. Die Entwickler gingen davon aus, dass sich jede Zeitreihe als endliche Realisation einer korrelierten Zufallsvariablen ...Y-2, Y-1, Y0, Y1, Y2,... auffassen lässt. Dies wird auch als stochastischer Prozess (Yt) bezeichnet.
Von einer stationären Zeitreihe wird gesprochen, wenn sie keine systematischen Veränderungen im Gesamtbild aufweist. Bestimmte Kennziffern, die auf Teilbereiche der Zeitreihe berechnet werden, dürfen nicht zu stark voneinander abweichen. Zu diesen Kennziffern gehört das arithmetische Mittel x , die Varianz s2, die Standardabweichung s, die empirische Kovarianz c und der Korrelationskoeffizient von Bravais-Pearson r.
Ein stochastischer Prozess kann auf folgende Arten stationär sein:
mittelwertstationär, wenn der Erwartungswert µt konstant ist, also EYt = µY für alle t
varianzstationär, wenn die Varianz von Yt = sY 2 für alle t
kovarianzstationär, wenn die Kovarianzfunktion .(s,t) nur von der Zeitdifferenz s-t abhängt
schwach stationär, wenn der Prozess sowohl mittelwert-, als auch kovarianz- und somit auch varianzstationär ist.1
In den folgenden Abschnitten 1.1-1.4 werden Zeitreihenmodelle betrachtet, bei denen ein schwach stationärer Prozess durch sich selbst und/oder durch einen Prozess (et) erklärt wird. Der Ausdruck et stellt ein weißes Rauschen dar. Realisationen von weißem Rauschen haben einen Erwartungswert von 0 (Eet = 0), eine konstante Varianz se 2 und die Zufallsvariablen et sind unkorreliert. In dieser Arbeit werden zur Vereinfachung nur bereits mittelwertbereinigte Prozesse (Yt) betrachtet, d.h. EYt=0. Wenn der Erwartungswert EYt=µ ist, so wird der Prozess(Yt - µ) als mittelwertbereinigter Prozess bezeichnet. Dieser ist Prozess (Yt) ist invertierbar, falls sich der Prozess (et) durch den Prozess (Yt) abbilden lässt.2 In Kapitel 2 wird zunächst auf die allgemeine Vorgehensweise und dann im speziellen auf die Modellidentifikation und Parameterschätzung des Box-Jenkins-Verfahrens eingegangen.
Diese Arbeit schließt in Kapitel 3 mit einer Darstellung der Arbeitsergebnisse für die Aufgabe der Umsetzung der Modellidentifikation und Parameterschätzung von ARMA(p,q)-Prozesse mit MS Excel anhand der Zeitreihe der Auftragseingänge im verarbeitenden Gewerbe Westdeutschlands.
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Inhaltsverzeichnis
1 Einführung und Grundlagen
1.1 Autoregressive Prozesse (AR-Prozesse)
1.2 Moving Average Prozesse (MA-Prozesse)
1.3 Autoregressive Moving Average Prozesse (ARMA-Prozesse)
1.4 Behandlung von instationären Prozessen, ARIMA- und SARIMA-Prozesse
2 Vorgehensweise bei der Box-Jenkins-Methode
2.1 Modellidentifikation
2.2 Schätzung der Parameter
3 Darstellung der Arbeitsergebnisse
Zielsetzung und Themen
Das Hauptziel dieser Arbeit besteht in der praktischen Anwendung der Box-Jenkins-Methode zur Modellidentifikation und Parameterschätzung für Zeitreihen. Dabei wird untersucht, wie stochastische Prozesse modelliert werden können, um eine präzise Prognosegüte zu erreichen, wobei die Umsetzung exemplarisch anhand von Auftragseingangsdaten mittels MS Excel erfolgt.
- Grundlagen stochastischer Prozesse (AR, MA, ARMA)
- Methoden der Modellidentifikation und Kriterien zur Modellwahl
- Verfahren zur Parameterschätzung mittels kleinster Quadrate
- Umgang mit instationären Daten durch Differenzenbildung
- Praktische Implementierung und Validierung in Excel
Auszug aus dem Buch
2.1 Modellidentifikation
In den Abschnitten 1.1-1.3 wurde bereits angesprochen, dass sich gemischte ARMA(p,q)-Prozesse durch AR(∞)- bzw. durch MA(∞)-Prozesse abbilden lassen. Es stellt sich somit die Frage, ob es nicht sinnvoll ist nur reine AR(p)- bzw. MA(q)-Prozesse zu betrachten. Aufgrund des Sparsamkeitsprinzips raten Box und Jenkins jedoch zur Anpassung von ARMA(p,q)-Prozessen, da dann weniger Parameter notwendig sind um die Zeitreihe y1,...,yn zu erklären. Bei ungefähr gleicher Anpassungsgüte der Modelle AR(p`), MA(q`) und ARMA(p,q) gilt immer p + q ≤ p` und p + q ≤ q`
Des weiteren gilt: Umso weniger Parameter zur Erklärung einer Zeitreihe y1,...,yn notwendig sind, desto besser ist die Prognosegüte zukünftiger Werte.14
Zur Bestimmung der Ordnungen p und q gibt es verschiedene Methoden. Beim klassischen Box-Jenkins-Ansatz wird vom Benutzer verlangt, Muster in der Autokorrelations- und der partiellen Autokorrelationsfunktion zu erkennen. Dies ist insbesondere bei gemischten Prozessen recht schwierig und bedarf entsprechender Erfahrung.15
Aufgrund der Aufgabenstellung und der vergleichsweise einfacheren Umsetzung in Excel, habe ich mich deshalb für die Anwendung der automatischen Selektionsverfahren entschieden. Bei diesen Methoden werden p0 und q0 aus einer Parameterpaarmenge von p und q so gewählt, dass ein bestimmtes Informationskriterium minimiert wird. Im Beispiel werden das Bayesianische- (BIC), das Hannan/Quinn- (φ(p,q)) und das Akaike-Informationskriterium (AIC) berechnet.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einführung und Grundlagen: Dieses Kapitel definiert die theoretischen Grundlagen stochastischer Prozesse sowie deren Stationarität und führt die verschiedenen AR-, MA-, ARMA- und ARIMA-Modelltypen ein.
2 Vorgehensweise bei der Box-Jenkins-Methode: Hier wird der allgemeine Ablauf des Box-Jenkins-Ansatzes beschrieben, mit Fokus auf die Kriterien zur Modellidentifikation und die mathematischen Verfahren zur Parameterschätzung.
3 Darstellung der Arbeitsergebnisse: Dieses Kapitel wendet die zuvor beschriebenen Methoden praktisch auf eine Zeitreihe der Auftragseingänge an und dokumentiert die Ergebnisse sowie die Umsetzung in Excel.
Schlüsselwörter
Box-Jenkins-Methode, Zeitreihenanalyse, Modellidentifikation, Parameterschätzung, Autoregressive Prozesse, Moving Average, ARMA-Modell, ARIMA-Prozess, Sparsamkeitsprinzip, Informationskriterien, BIC, AIC, Stationarität, Prognoseverfahren, MS Excel.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in der Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit beschäftigt sich mit der theoretischen Herleitung und praktischen Anwendung der Box-Jenkins-Methode zur Analyse und Prognose von Zeitreihen.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die zentralen Themen sind die Modellidentifikation, die Schätzung von Modellparametern für ARMA-Prozesse sowie der Umgang mit instationären Daten.
Was ist das primäre Ziel der Untersuchung?
Das Ziel ist die Umsetzung der Modellidentifikation und Parameterschätzung von ARMA-Prozessen unter Verwendung von MS Excel anhand einer realen Zeitreihe.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es werden verschiedene statistische Informationskriterien (BIC, AIC, Hannan/Quinn) zur Modellwahl und das Verfahren der kleinsten Quadrate zur Schätzung verwendet.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil erläutert zunächst die theoretischen Grundlagen der Prozessarten und der Box-Jenkins-Vorgehensweise, gefolgt von einer praktischen Analyse von Auftragseingangsdaten.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Die Arbeit lässt sich durch Begriffe wie Box-Jenkins, Zeitreihenanalyse, ARMA-Modelle, Modellidentifikation und Parameterschätzung charakterisieren.
Warum ist das Sparsamkeitsprinzip bei der Modellwahl wichtig?
Das Sparsamkeitsprinzip stellt sicher, dass Modelle nicht unnötig komplex werden, was die Prognosegüte verbessert und Overfitting verhindert.
Wie wird in dieser Arbeit mit instationären Zeitreihen umgegangen?
Instationäre Daten werden durch Differenzenbildung (Integration) transformiert, um eine schwache Stationarität zu erreichen, die für die Anwendung der ARMA-Modelle erforderlich ist.
- Quote paper
- Heiner Bremer (Author), 2002, Methode von Box und Jenkins: Modellidentifikation und Parameterschätzung, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/5871
