Wenn wir uns die Aufgabe stellen, ein Bogenstück durch ein Geradenstück so anzunähern, dass der unterschied zwischen beiden Linien möglichst klein wird, so werden wir die Gerade immer so zu legen versuchen, dass sowohl rechts als auch links von ihr die maximale Abweichung gleich wird. Beispielsweise käme niemand auf die Edee, den Halbkreis durch eine Linie anzunähern, die genau dem Durchmesser entlangläuft. Vielmehr wird man hier die Gerade in die Mitte zu legen versuchen. Genau diese Idee verwendet Euler, um eine möglichst genaue Karte des russischen Reiches zu zeichnen: Er nähert die Erdkugel so durch eine Ebene an, dass der Fehler am nördlichsten Punkt, am südlichsten Punkt und "irgendwo in der Mitte" gleich ist. Nun könnte man vermuten, dass sie beste Näherung hier von der Lage dieses Punktes abhängt, jedoch nach dem Alternantensatz hängt vielmehr der Punkt von der Größe des minimale maximalen Fehlers ab, bzw. beide Werte korrespondieren miteinander.
Der Satz, von dem in dieser Arbeit die Rede sein wird, verallgemeinert dieses im Falle von Gerade und Bogen noch sehr anschauliche Problem auf reelwertige stetige Funktionen, die durch Polynome, bzw. im noch allgemerineren Fall, auf Funktionen, die der Haar'schen Bedingung genügen, angenähert werden.
Inhaltsverzeichnis
1 Der Alternantensatz
1.1 Vereinbarungen
1.2 Die Alternantenbedingung als hinreichende Bedingung
1.3 Der direkte Beweis
1.4 „Null in der konvexen Hülle“
1.4.1 Diskussion
1.5 Maximale lineare Funktionale
1.5.1 Approximation auf einer Punktmenge
1.5.2 Beweis des Alternantensatzes
1.5.3 Diskussion. Eine konstruktive Anwendung des Satzes von Kolmogorov
1.6 Eine Anwendung des Lemmas von Zorn
1.6.1 Eine minimale Menge, die die Bestapproximation bestimmt minimale Menge
1.6.2 β enthält nur Abweichungspunkte von f − p0
1.6.3 Beweisschluß Alternation
2 Vorläufer des Alternantensatzes
2.1 Eulers Analyse des Delisle’schen Kartennetzentwurfs
2.1.1 Die Delisle’sche Kartenprojektion
2.1.2 Die Methode
2.1.3 Lagebestimmung der Punkte P und Q
2.1.4 Minimierung des Projektionsfehlers
2.1.5 Diskussion
2.2 Ein bestes Planetenmodell von Laplace
2.2.1 Eine Näherungsformel zur Berechnung eines Ellipsenbogenstücks
2.2.1.1 Die Bogenlänge eines Ellipsenstücks
2.2.2 Das charakteristische Gleichungssystem
2.2.3 Die Alternantenbedingung als hinreichende Bedingung
2.2.4 Die Alternantenbedingung als notwendige Bedingung
2.2.5 Bestimmung der Maximalfehler
2.2.5.1 Bestimmung des größten Fehlers
2.2.5.2 Bestimmung des kleinsten Fehlers
2.2.5.3 Bestimmung der besten Ellipse
2.2.6 Anwendung auf Erdvermessungen
2.2.7 Diskussion. Ein diskretes Approximationsproblem
3 Die Petersburger Mathematische Schule
3.1 Die Anstöße zur Theorieentwicklung
3.1.1 Čebyševs Auslandsreise
3.1.2 Die Poncelet’schen Näherungsformeln
3.1.3 Der Watt’sche Mechanismus
3.2 Erste Theorieansätze bei Čebyšev
3.2.1 Charakteristische Gleichungen
3.2.2 Ansätze für reell-analytische Funktionen
3.2.3 Das am wenigsten von Null abweichende Polynom (n + 1)-ten Grades mit vorgegebenem ersten Koeffizienten
3.2.3.1 Der Fall m = 0
3.2.4 Bemerkung. Alternanten
3.3 Erste theoretische Ausarbeitungen
3.3.1 Problemstellung
3.3.2 Ein allgemeines notwendiges Kriterium
3.3.3 Die Anzahl der Abweichungspunkte. Fallunterscheidungen
3.3.3.1 Polynomapproximation
3.3.4 Bewertung der „Fragen über Minima [...]“
3.4 Zum weiteren Werk Pafnutij L’vovič Čebyševs
3.4.1 Kein Beweis des Alternantensatzes
3.5 Einige Spezialfälle bei Čebyševs Schülern
3.5.1 Egor Ivanovič Zolotarev
3.5.2 Das frühe Werk von Andrej Andreevič Markov
3.5.2.1 Über eine Frage von D. I. Mendeleev. Ein Alternantensatz
3.5.3 Vladimir Andreevič Markov
3.5.3.1 Die Aufgabenstellung. Ein Hilfssatz
3.5.3.2 Ein Alternantensatz von V. A. Markov
4 Die ersten Beweise des Alternantensatzes
4.1 Blichfeldts Bemerkung
4.2 Kirchbergers Dissertation. Ein erster Beweis
4.2.1 Rückgriff auf Čebyšev
4.2.2 Der Beweis des Alternantensatzes
4.2.3 Fast im Ziel
4.3 E. Borels Vorlesungen
4.3.1 Der Alternantensatz als Hilfssatz für den Eindeutigkeitssatz
4.3.2 Bemerkung zu Borels Quellen
4.4 A. A. Markovs Vorlesungen
4.5 Young füllt die letzte Lücke
A Einige Briefe von P. L. Čebyšev
A.1 Beantragung einer Reise zur Londoner Maschinenausstellung
A.2 Der Aufenthalt in Frankreich
A.2.1 Beschränkung des Forschungsprogramms
A.2.2 Rechenschaftsbericht über die Dienstreise nach Frankreich
A.3 Der Aufenthalt in England
B Der Beweis von A. A. Markov (1906)
Zielsetzung & Themen
Die vorliegende Arbeit verfolgt das Ziel, die historische Entwicklung und die verschiedenen modernen Beweise des Alternantensatzes in der Besten Čebyšev-Approximation zu analysieren, kritisch zu vergleichen und die Rolle der Petersburger Mathematischen Schule in diesem Kontext zu würdigen.
- Analyse und Vergleich der modernen Beweise des Alternantensatzes.
- Aufarbeitung historischer Problemstellungen aus dem 18. Jahrhundert, die das Alternationsprinzip nutzten.
- Dokumentation des Weges zur einheitlichen Theorie der Besten Approximation durch P. L. Čebyšev und seine Schüler.
- Kritische Würdigung der Beiträge verschiedener Mathematiker zur Etablierung des Alternantensatzes als zentrales Hilfsmittel.
Auszug aus dem Buch
1.2 Die Alternantenbedingung als hinreichende Bedingung
Direkt aus der Polynome n-ten Grades charakterisierenden Eigenschaft, nur höchstens n Nullstellen zu besitzen, folgt, da die Aussage des Alternantensatzes hinreichend für die Minimallösung des besten Čebyšev-Approximationsproblems ist.
Beweis:
Wir setzen die Alternantenbedingung für n + 2 Abweichungspunkte x1 < x2 < ... < xn+2 von p0 - f voraus. Setzen wir nun A := max_{x \in [a,b]} |p0(x) - f(x)|, so gilt laut Definition der Best-Approximation En(f) : A >= En(f).
Es bleibt zu zeigen, da A und En(f) denselben Wert haben. Hierzu sei q0 die Minimallösung an f. Die Gleichung p0(xi) - q0(xi) = {p0(xi) - f(xi)} - {q0(xi) - f(xi)} i = 1, ..., n + 2 in den Abweichungspunkten zeigt, da die Vorzeichen der Differenzen p0(xi) - q0(xi) mit denen der Differenzen p0(xi) - f(xi) bezüglich aller Abweichungspunkte übereinstimmen. Da die Abweichungspunkte eine Alternante von n + 2 Elementen bilden, ändert sich das Vorzeichen der Differenz p0 - q0 also mindestens n + 1-mal, damit hat das Polynom n-ten Grades p0 - q0 mindestens n + 1 Nullstellen, also verschwindet es identisch, d.h. p0 ≡ q0, und p0 ist eine Minimallösung an f.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Der Alternantensatz: Einführung in die Grundlagen der besten Čebyšev-Approximation, Definition der Minimallösung und Formulierung des zentralen Alternantensatzes sowie erste Beweisansätze.
2 Vorläufer des Alternantensatzes: Historische Analyse von Anwendungen der Approximationstheorie bei Euler und Laplace, insbesondere in der Kartografie und Mechanik.
3 Die Petersburger Mathematische Schule: Untersuchung der theoretischen Beiträge von P. L. Čebyšev und seinen Schülern wie Zolotarev und Markov zur allgemeinen Approximationstheorie.
4 Die ersten Beweise des Alternantensatzes: Analyse der Beiträge von Blichfeldt, Kirchberger, Borel und Young zur formalen Beweisführung des Alternantensatzes und Schließung von Beweislücken.
Schlüsselwörter
Alternantensatz, Čebyšev-Approximation, Minimallösung, Abweichungspunkte, Approximationstheorie, Petersburger Mathematische Schule, Polynomapproximation, Haarsche Bedingung, Lineare Funktionale, Kolmogorov-Kriterium, Lineare Gleichungssysteme, Mechanismentheorie, Kartografie, Fehlerfunktion.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit befasst sich mit der mathematikhistorischen Entwicklung der Besten Čebyšev-Approximation, insbesondere mit der Entstehung und den verschiedenen Beweisen des Alternantensatzes.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die Schwerpunkte liegen auf der Entwicklung der Approximationstheorie durch die Petersburger Mathematische Schule, der Analyse früherer Ansätze bei Euler und Laplace sowie der vergleichenden Untersuchung verschiedener moderner Beweise für den Alternantensatz.
Was ist das primäre Ziel der Arbeit?
Das Ziel ist die Analyse und der Vergleich moderner Beweise, die Dokumentation der historischen Entwicklung hin zu einer einheitlichen Theorie durch Čebyšev und seine Schüler sowie die kritische Einordnung dieser Errungenschaften.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Die Arbeit kombiniert mathematische Beweisanalysen mit wissenschaftshistorischen Untersuchungen, um die Entwicklung der Theorie anhand der Originalquellen nachzuvollziehen.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in die formale Herleitung des Alternantensatzes, die historischen Vorläufer bei Euler und Laplace, die theoretischen Ausarbeitungen der Petersburger Schule und die Untersuchung der ersten Beweisversuche durch Mathematiker wie Borel, Kirchberger und Young.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Zu den zentralen Begriffen gehören der Alternantensatz, die Bestapproximation, Abweichungspunkte, die Petersburger Schule, Fehlerfunktionen und verschiedene Approximationstechniken.
Warum ist die Unterscheidung zwischen hinreichender und notwendiger Bedingung im Alternantensatz so wichtig?
Sie ermöglicht eine präzise Charakterisierung der Minimallösung. Während die hinreichende Bedingung die Optimalität einer Funktion garantiert, erlaubt die notwendige Bedingung die Identifikation solcher Lösungen, was für die theoretische Fundierung und konstruktive Berechnung entscheidend ist.
Inwieweit haben die Arbeiten von Eulers zur Kartografie das Verständnis der Approximationstheorie beeinflusst?
Euler wandte bei der Konstruktion von Karten des russischen Reiches bereits ein intuitives Alternationsprinzip an, um Fehler zu minimieren. Dies dient im Buch als anschauliches Beispiel für die vor-theoretische Anwendung von Optimierungskriterien, die Čebyšev später formalisierte.
- Citar trabajo
- Karl-Georg Steffens (Autor), 1994, Über Alternationskriterien in der Geschichte der Besten Chebyshev-Approximation, Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/6006
