Entscheidungen unter Risiko

Inhaltsverzeichnis

Symbolverzeichnis

1. Einleitung

2. Theoretische Analyse
2.1 Präferenzordnung, Nutzen und Entscheidungen unter Sicherheit
2 2.2 Entscheidungen unter Risiko
2.2.1 Unsicherheit i.e.S. – Entscheidungen unter Ungewissheit
2.2.2 Erwartungsnutzentheorie
2.2.2.1 Bernoulli-Prinzip
2.2.2.2 von Neumann/Morgenstern/Savage-Axiome
2.2.2.3 Risikopräferenzen
2.2.2.4 Risikomaße

3. Deskriptive Aspekte

4. Schlussbetrachtung

Literaturverzeichnis

Internetquellenverzeichnis

Symbolverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1. Einleitung

Die Bedeutung von Entscheidungen unter Risiko ist in den Sozial- und insbesondere Wirtschaftswissenschaften von essentiellem Ausmaß. So beziehen Wirtschaftssubjekte Faktoreinkommen um damit zu konsumieren – heute oder in zukünftigen Perioden. Gäbe es für einen Haushalt eine Welt in der alle Umweltzustände mit einer Wahrscheinlichkeit von Eins einträten, könnte dieser sein Güterbündel bzw. seine Handlungsalternativen unter Berücksichtigung seines Einkommens und der Marktpreise mit Sicherheit optimieren, indem er die sicheren Ergebnisse gemäß seiner individuellen Wertschätzung ordnet und das Bündel mit der höchsten Bewertung wählt.

In der Realität müssen alle rational agierenden Individuen ihre Güterbündel und Handlungsalter-nativen jedoch in Abhängigkeit des unsicheren Eintretens von Umweltzuständen alloziieren – ja gar die Alternativen selbst und die Gesamtheit der verfügbaren Bündel sind ihnen oftmals unbekannt. Dennoch werden sie nicht beliebige Bündel gleich bewerten, sondern Präferenzen äußern können, wie etwa bei der Auswahl einer Anlage zur individuellen Altersvorsorge zwischen sicheren Sparbucheinlagen oder riskanten Unternehmensanleihen. Es muss also auch Richtlinien in ihrem Handeln geben, die ihnen Entscheidungen unter Risiko gezielt erlauben.

In dieser Arbeit soll ein kurzer Abriss der klassischen Theorie geboten werden, die zu erklären versucht, wie derhomo oeconomicusauf die Risikoproblematik reagiert. Zunächst erfolgt im zweitem Kapitel die rekapitulierende Darstellung der Grundlagen der normativen Entscheidungstheorie: die Basisannahmen theoretisch rationaler Präferenzordnungen und Nutzenfunktionen werden korrespondierend mit der Betrachtung von Entscheidungen unter Sicherheit beschrieben.

Auf diesen Grundlagen aufbauend zeigt der Hauptteil der Arbeit in Abschnitt 2.2 die normative Basis der Entscheidungen unter Risiko. Hierzu wird die Erwartungsnutzentheorie fußend auf dem Bernoulli-Prinzip und den von Neumann/Morgenstern/Savage-Axiomen vorgestellt. Der Darstellung individueller Risikopräferenzen dient die Charakterisierung idealisierter Risikonutzenfunktionen sowie die Beschreibung möglicher Risikomaße.

Im dritten Kapitel wird kurz auf Versuche deskriptiver Analysen, die Erwartungs-nutzentheorie zu falsifizieren, und auf daraus resultierende Weiterentwicklungen des Theoriengebäudes eingegangen. Zudem wird ein Ausblick gegeben auf weiterführende, empirische Arbeiten, die sich der Ermittlung von Bestimmungsfaktoren der individuellen Risikoeinstellungen widmen, die die Entscheidungen eines Akteurs unter Risiko determinieren.

Die Schlussbetrachtung des letzten Kapitels dient der kritischen Würdigung des Dargestellten.

2.Theoretische Analyse

2.1 Präferenzordnung, Nutzen und Entscheidungen unter Sicherheit

Demhomo oeconomicuswird rationales Handeln unterstellt, dass heißt zur optimalen Erlangung seines Zieles wählt er die Alternative, die ihm diese Erreichung am effizientesten gestattet (Quitzau 2004, 3; Dascher 2006, 51).

Es wird im Allgemeinen von einem den Nutzen maximierenden Verhalten gemäß einer individuellen Nutzenfunktion gesprochen. Dabei modifiziert eine Nutzenfunktion u(x) alle zufälligen Güterbündelxin eine vom Individuum akzeptierte Größenordnung (Richter 2006, 62). Ein Konsument sucht unter Beachtung seiner Budgetrestriktionen also sein optimales Güterbündelx, indem er von allen n bekannten Gütern i mit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (wie Bananen, Freizeit, Aktien, Mitleid…) eine optimale Menge Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten nachfragt, die seinen Nutzen maximiert (Varian 1994, 95ff).

Wird der dem Nutzen zugrunde liegende Güterbegriff derart weit interpretiert¹, dann sind alle Ent-scheidungen unter Sicherheit erklärbar und ihre optimale Wahl möglich, wenn der Akteur Präferen-zen bezüglich der Wertigkeit einzelner Güterbündel gemäß bestimmter Anforderungen bilden kann. Ein Entscheider muss feststellen können, ob er ein bestimmtes Bündelxmindestens genauso schätzt wie ein anderes Bündel Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Diese schwache Präferenzaussagex≿Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenerlaubt folgende Relationen auf-zustellen, wobei (1a) die Indifferenz zwischen zwei Bündeln beschreibt, während bei (1b) eine star-ke Präferenz fürxgegeben ist (vgl. zum Folgenden insb. Rady 2004, 4ff; Varian 2001, 31ff):

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In einem zweiachsigen Schaubild (verg-leiche Abbildung 1) lassen sich zuein-ander indifferente Mengen zweier exemplarischer Güter auf einer Indiffe-renzkurve darstellen – in Abb. 1 die Punkte A und B auf I1. Ein strikter präferiertes Bündel der Mengenkombi-nation C liegt hingegen weiter außerhalb auf der höheren Indifferenzkurve I2 zu-sammen mit ebenso höher bewerteten Alternativen.²

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Die Relationsaussagen sind genau dann hinreichend für eine Optimierung, wenn sie für jedes Paar möglicher Alternativen bestimmt werden können³:

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Für die Konsistenz der Alternativenwahl wird als Rationalitätsaxiom die Transitivität der Entscheidungen gefordert. Sie bewirkt mithin, dass die Indifferenzkurven Ii einander nicht schneiden.⁴

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Als weitere Annahme wird zudem eine strenge Monotonie der Indifferenzkurven unterstellt, die technisch dazu führt, dass die Kurven die Winkelhalbierende schneiden. Sie spiegelt jedoch mithin die Unersättlichkeit im Inneren der Budgetmenge wider. Wenn also eine Bündelxvon einem Gut i strikt mehr und von allen anderen Gütern nicht weniger enthält als das Bündel Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, dann wird der Akteurxgegenüber Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten strikt vorziehen – salopp: er bekommt mehr für sein Geld:

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Mit der Annahme der Stetigkeit werden schließlich abgeschlossene Mengen unterstellt. Indifferenzkurven weisen daher keine Sprünge auf, da eine Einheit weniger xi durch etwas mehr xj ausgeglichen werden kann, um Indifferenz zu bewahren.⁵

Erfüllt die Präferenzordnung eines Entscheiders diese Axiome, dann existiert eine stetige Nutzenfunktion u(x), die diese schwache Ordnung repräsentiert (Rady 2004, 8), i.e. es gilt:

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Bei Postulierung dieser Axiome reicht zur Optimierung die Kenntnis der Nutzenfunktion aus, da diese adäquat zu den Präferenzrelationen ist⁶. Aufgrund von Monotonie und Stetigkeit lässt sich immer ein Schnittpunkt von Indifferenzkurve und Winkelhalbierender bestimmen und somit der Nutzenwert etwa als Abstand zum Koordinatenursprung ableiten (blau dargestellt). Hierbei handelt es sich mithin um ein ordinales Konzept – es könnte auch eine andere Linie zur Abstandsmessung genutzt werden. Daher können verschiedene Güterbündel nur dahingehend verglichen werden, welches ein höheres Nutzenniveau besitzt. Aussagen über die Differenz der Niveaus sind nicht möglich.

Unter Sicherheit ist das Entscheidungsproblem nun bei Kenntnis – oder intuitivem Handeln nach – der individuellen Nutzenfunktion simpel. Unter Restriktion der Budgetbeschränkung (BR) wählt der Akteur jene Gütermengenkombination, die seinen Nutzen maximiert, weil er sie am stärksten präferiert. Graphisch ist dies im Tangentialpunkt der BR mit der höchst erreichbaren Indifferenzkurve der Fall (Varian 2001, 68ff).

2.2 Entscheidungen unter Risiko

Für eine sichere Umwelt ist das vorgestellte Konzept der Nutzenmaximierung angemessen. Im Alltag sind jedoch weder alle entscheidungsrelevanten Alternativen bekannt – hiervon wird im Folgenden jedoch abstrahiert – noch sind die Wunschmengen der Wunschgüter risikolos zu erhalten. Vielmehr ist jeglicher Konsum eines Gutes nur mit bestimmter Wahrscheinlichkeit möglich. Als augenscheinliches Beispiel sei der oft erstrebte nutzen-schaffende Lottogewinn genannt. Unklar ist auch, ob der Lebenspartner die eigene Freizeit am Abend wie geplant bereichern wird, oder ob beim Einkauf das Geschäft die erstrebten Bananen heute in adäquater Qualität führt.

Dieses Kapitel geht nachfolgend der Frage nach, wie ein Akteur in diesem Kontext sein Güterbündel schnüren sollte, unter bestmöglicher Beachtung seiner Risikoeinstellung.

2.2.1 Unsicherheit i.e.S. – Entscheidungen unter Ungewissheit

Eine allgemeine Differenzierung kann dahingehend getroffen werden, ob dem Akteur die Eintrittswahrscheinlichkeiten unbekannt sind – es wird von Entscheidungen unter Unsicher-heit i.e.S. bzw. Ungewissheit gesprochen (Dörsam 1998, 11) – oder ob er eine Probabilität p aus dem Intervall [0;1] mit Null für „ist ausgeschlossen“ bis Eins für „tritt definitiv ein“ konkretisieren kann.

Unter Ungewissheit muss ein Entscheider zwischen Alternativen bzw. Bündeln wählen, deren Auszahlungen bzw. Ergebnisse[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten](als Nutzen transformiert) ihm für verschiedene Umweltzustände [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] bekannt sind. Er kennt und ahnt jedoch nicht welcher Zustand eintreten wird. Es existieren in der klassischen Theorie Lösungsalgorithmen zur Entscheidungs-findung, die die Risikoeinstellung des Akteurs implizit berücksichtigen. Sie werden mithilfe nachfolgenden Exempels rekapituliert, wonach der Akteur eine von drei Alternativen[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]bei Wissen um das mögliche Eintreten von vier Zuständen zj gemäß Tabelle 1 wählen muss:

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Methode I zeigt die MaxiMin-Regel. Da der Entscheider die Alternativen ob ihrer Minima ma-ximiert, charakterisiert dieser Algorithmus einen höchst risikoscheuen Akteur, der das Eintreten des schlimmsten Zustandes befürchtet. Ein derart pessimistischer Wähler schätzt somit die Alternative mit dem größten Minimum am meisten und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Methode II ist die Umkehrung dieses Typus. Ein nach der MaxiMax-Regel optimierender Akteur ist höchst optimistisch und erwartet das Eintreten des besten Zustandes j bei Wahl einer Alternative, sodass er Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Die Hurwicz-Regel III versucht diese Extrempositionen durch die Berücksichtigung von Mini-mum und Maximum zu mildern. Mittels des OptimismusparametersAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenbestimmt der Entscheider, ob er eher risikoscheu den Worst-Case betont oder aber optimistisch und risikoaffin das Bestergebnis erwartet. Ist er etwas risikoavers mitAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten=0,45 ergibt seine Präferenzordnung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].

Methode IV wird zuweilen als „Prinzip des mangelnden Grundes“ (Dörsam 1998, 35) benannt und zeigt die Optimierung gemäß der Laplace-Regel. Hier ordnet der Akteur durch die Maximierung des Erwartungswertes aller Auszahlungen einer Alternative. Er schätzt das Eintreten jeden Zustandes als gleichwahrscheinlich, da er keinen Anlass hat etwas an-deres zu vermuten. Fürchtet oder überbewertet er die Extrema nicht, verhält er sich risiko-neutral und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].

Die unterschiedlichen Präferenzordnungen dieser klassischen Algorithmen mögen zu-nächst wenig befriedigend erscheinen. Insbesondere durch die ausschließliche Berücksich-tigung von Extrema der Methoden I bis III und der Abhängigkeit des Ergebnisses von irrelevanten Alternativen bei der Laplace-Regel sind zahlreiche Beispiele konstruierbar, die die Algorithmen wegen ihrer Präferenz rational schlechterer Alternativen ad absurdum führen.⁷

Durch die implizite – wenngleich sehr grobe – Berücksichtigung der Risikoeinstellung des Akteurs, erlauben sie diesem jedoch zumindest eine bessere Einsicht in die Alternativen, sodass dieser seine Wahl im Nachhinein weniger bedauern wird, als hätte er eine beliebige Entscheidung zufällig ausgewürfelt.⁸

[...]

¹Hier wird also zunächst Bentham (1823, 2) gefolgt, wonach: „By utility is meant that property in any object, whereby it tends to produce benefit, advantage, pleasure, good, or happiness (all this in the present case comes to the same thing) or (what comes again to the same thing) to prevent the napping of mischief, pain, evil, or unhappiness to the party whose interest is considered” (zitiert nach Broome 1991, 1).

²Ähnlich den Isobaren einer Wetterkarte sind die Indifferenzkurven somit als Kontur- bzw. Höhenlinien des Nutzengebirges interpretierbar, dessen Gipfel nordöstlich der Abbildung liegt (vgl. Dascher 2006, 43f).

³Das Axiom impliziert, dass sich jedem Güterbündelxalle übrigen Bündel einer Besser-/ Schlechter- oder Indifferenzmenge zuordnen lassen – sie somit ober-/ unterhalb oder auf der betrachteten Indifferenzkurve liegen (Rady 2004, 5).

⁴In Abb. 1 wird dies durch die schraffierte Kurve Ifalsch verdeutlicht, auf welcher die Punkte A und D liegen. Der Entscheider ist zwischen diesen also indifferent. Gilt für ihn auch I1, so ist er auch zwischen A und B indifferent. Daher sollte rational gelten: A~DA~BD~B. B wird D jedoch vorgezogen, weshalb nicht beide Kurven Ifalsch und I1 gleichzeitig widerspruchsfrei gültig sein können. Dies widerspräche auch graphisch dem Konzept der Höhenlinien.

⁵Vergleiche Konzept der Granzrate der Substitution etwa in Varian 2001, 45f oder Varian 1994, 98.

⁶Broome (1991, 10f) plädiert in seiner Analyse der Entwicklung des Nutzenbegriffs konkludent, dass Nutzen daher ausschließlich als „that which represents preferences“ (ebd. 10) definiert werden solle.

⁷Vgl. insbesondere Beispiele in Dörsam (1998) S. 29ff.

⁸Hiermit ist nicht die Savage-Niehans- bzw. Minimum-Regret-Regel gemeint, bei welcher das maximal mögliche Bedauern des Entscheiders ähnlich dem MaxiMin-Prinzip in einer Bedauernsmatrix minimiert wird. Auch hier würde der Akteur extrem pessimistisch handeln (vgl. Dörsam 1998, 32ff).