Chaos und Klimamodelle

Inhaltsverzeichnis:

1. Eine Einführung in die Chaostheorie
1.1 Die Entdeckung des Chaos
1.2 Die Geschichte des Chaos
1.3 Der Determinismus bei Laplace
1.4 Wie verhält sich das Chaos
1.5 Attraktoren oder die Beschreibung eines chaotischen
nichtlinearen Systems
a) Die Attraktoren nichtchaotischer Systeme
b) Die seltsamen Attraktoren
1.6 Eigenschaften dynamischer Systeme
1.7 Lokalisierung im Phasenraum
1.8 Eigenschaften chaotischer Attraktoren
1.9 Turbulente Strömungen
1.10 Das Feigenbaumdiagramm

2. Die fraktale Geometrie

3. Klimamodelle
3.1 Grundlagen zum Erstellen von Klimamodellen
3.2 Die Sensibilität des Klimas
3.3 Die Paläoklimate

4. Quellen

5.Abbildungsverzeichnis

1. Eine Einführung in die Chaostheorie

1.1 Die Entdeckung des Chaos

Eine der bekanntesten Erscheinungen in der Chaosforschung ist der sogenannte Schmetterlingsschlag. Diese Theorie wurde 1963 durch den Meteorologen Edward Lorenz geprägt. Er versuchte mit der Hilfe eines Computers eine erste einfache Wettervorhersage zu machen. Weil Computer damals noch sehr unzuverlässig arbeiteten, startete Lorenz ihn nicht mit den Endwerten vom Vortag sondern mit den Zwischenergebnissen. Der Computer berechnete die Werte für einen bestimmten Zeitraum doppelt aus, wichen für diese Zeitspanne die Szenarien von einander ab, dann waren die Berechnungen falsch. Einmal passierte es das Lorenz eine dreistellige Zahl eingab statt einer Sechsstelligen. Zuerst stimmten die beiden Kurven mit einander überein, bald jedoch veränderten sie sich sehr unterschiedlich. Der Unterschied von einem Hundertstel Prozent, quasi ein Windhauch oder Schmetterlingsschlag, veränderte die Wettervorhersage. Wenn dieses Phänomen sich auf eine reale Atmosphäre übertragen lässt, ist eine längerfristige Wettervorhersage nicht möglich.

Die Chaostheorie hat die Naturwissenschaften mit einer überraschenden Tatsache konfrontiert, nämlich dass viel Phänomene trotz einer Modellierung nicht langfristig vorhersagbar sind.

Börsenkurse, Populationswachstum oder das Tropfen eines Wasserhahns sind weitere Beispiele für Systeme die von ihren Ausgangsbedingungen abhängen. Um dem unregelmäßigen und unvorhersagbaren Verhalten dieser Systeme Ausdruck zu verleihen, bezeichnete man sie als chaotisch.

1.2 Die Geschichte des Chaos

Vor der Entdeckung des Chaos waren viele Wissenschaftler der Meinung, dass sich ein System auf die wichtigsten Aspekte verringern lässt. So wurde zum Beispiel bei der Flugbahnberechnung eines Körpers, seine Masse in einen Punkt konzentriert und die Schwerkraft von Sonne und Sterne vernachlässigt. Aber auch Newton wusste, dass eine Punktmasse und ein Körper sich nicht identisch verhalten sondern nur ähnlich.

Man dachte das sich die Welt regelmäßig und vorhersagbar verhielt, z.B. das sich Himmelskörper periodisch im All bewegen. Laplace postulierte, dass ein Mensch der zu einem bestimmten Zeitpunkt alle Bedingungen der Gegenwart kennt auch die Bedingungen in der Vergangenheit und Zukunft vorhersagen kann. Nur war die Natur zu kompliziert um sie vollständig zu berechnen.

Der französische Mathematiker Henri Poincare war ein Gegner dieser Theorie. Er bewies, dass sich die Bewegung von drei sich umkreisenden Körpern nicht exakt berechnen lässt und deshalb instabil ist. Er erkannte wie wichtig die Startbedingungen sind, schon eine geringe Abweichung von den Anfangsbedingungen und es werden unterschiedliche Szenarien beschrieben.

1.3 Der Determinismus bei Laplace

Pierre Simon de Laplace glaubte das die Naturgesetze alle strikt Deterministisch sind.

Unter dem Begriff Determinismus versteht man eine gesetzmäßige, vorherbestimmte Verknüpfung von Ursache und Wirkung. Oder anders ausgedrückt ähnliche Ursachen führen auch zu ähnlichen Wirkungen. Die Entwicklung kann durch mathematische Gleichungen beschrieben werden. Unter dieser Voraussetzung kann man aufbauend auf das Gravitationsgesetz die Eklipsen für viele Jahre vorhersagen.

Das Vorhandensein von Chaos in deterministischen Systemen bedeutet das schon kleine Unterschiede in den Ursachen, z.B. Messfehler, zu großen Unterschieden in den Ergebnissen führen kann. Solche chaotischen deterministischen Systeme sind in der Natur die Regel und keine Ausnahme. Das Vorhandensein von Chaos in Systemen schränkt die Vorhersagbarkeit ein, es zeigt aber auch Zusammenhänge, die man vorher nicht vermutet hat.

Die Wettervorhersage ist nur eine Wahrscheinlichkeitsvorhersage. Der Fall eines Würfels und die Strömung eines Flusses sind weitere Beispiele für Systeme mit nichtvorhersagbaren Elementen. Man kann die Ursache und die Wirkung nicht eindeutig zuordnen, deshalb sind solche Phänomene zufällig.

Einfache deterministische Systeme können zufälliges Verhalten erzeugen. Dieses Zufallsverhalten ist grundsätzlich vorhanden, es verschwindet nicht wenn man mehr Informationen über das System hat. Auf diese Art entstandenes Zufallverhalten bezeichnet man auch als deterministisches Chaos und wird nach bestimmten Regeln ohne zufällige Elemente erzeugt.

1.4 Wie verhält sich das Chaos

In einem linearen System, z.B. die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers, lässt sich das Verhalten berechnen, bis auf geringe Abweichungen, welche aber proportional und berechenbar sind.

Die Formel für die Bewegung lautet:

F = m * a

Wenn die Kräfte F, die auf eine Masse m (Körper) wirken, bekannt sind, ist auch die Beschleunigung a berechenbar. Den Ort und die Geschwindigkeit des Körpers kann man immer berechnen, falls man sie zu einem gegebenen Zeitpunkt messen kann.

Es gibt aber auch Systeme bei denen kleine Änderungen oder auch Störungen große Wirkungen haben. Das Beispiel mit dem idealen Billardspiel soll zeigen wie empfindlich Systeme auf äußere Störungen reagieren. Bei dem idealen Billardspiel rollen und stoßen die Kugeln ohne Energieverluste zusammen. Nun muss man den Weg der Kugel über die Banden und die Zusammenstöße berechnen und vorhersagen. Dabei kann es passieren das man beim Anstoß der Kugel eine kleine Abweichung von z.B. einigen Grad zur der berechneten Bahn vorliegt und schon pflanzt sich der Fehler bei jedem weiteren Zusammenstoß fort bis die natürliche Bahn nicht mehr mit der idealen Bahn übereinstimmt. Der Fehler wächst, weil die kleinen Abweichungen von der Idealbahn bei jedem weiteren Kugelzusammenstoß vergrößert werden.

Dieses Phänomen bezeichnet man als positive Rückkopplung. Die Abweichung von der Idealbahn wächst exponentiell an. Bei jedem Zusammenstoß der Kugeln werden neue Fehler zu den alten addiert. Dieses Merkmal ist typisch für chaotische Systeme. Dem exponentiellen Fehlerwachstum wird aber durch die Natur Grenzen gesetzt. Bei diesem Beispiel sind die natürlichen Grenzen die Banden.

Zu positiver Rückkopplung kommt es auch, wenn ein Lautsprecher zu nah an einen Verstärker gestellt wird. Rückgekoppelte nichtlineare Systeme sind in unserer Welt eher der Normalfall als eine Ausnahme.

Chaotische Systeme kann man nicht berechnen, aber man kann sehr wohl eine kurzfristige Voraussage machen. Der Zeitraum der Voraussage ist um so größer, je genauer man die Anfangsbedingungen kennt. Ungenaue oder nicht ausreichend bestimmte Größen führen zu kleinen Fehlern, die sich verstärken und langfristig das Verhalten des Systems nicht vorhersagbar machen.

Eine Voraussage ist nur deshalb möglich, weil die Ereignisse aneinander gekoppelt sind. Das gegenwärtige Ereignis kann sich ein bisschen ändern, ist aber immer an das vergangene Ereignis gebunden. Zum Beispiel kann sich die Temperatur in wenigen Minuten kaum ändern.

1.5 Attraktoren oder die Beschreibung eines chaotischen nichtlinearen Systems

Das Verhalten eines chaotischen nichtlinearen Systems lässt sich für einen kurzen Zeitraum abschätzen und dann auch nur wenn man ein Modell des Systems besitzt.

Chaotische Systeme zeigen auch eine Form von Ordnung, die man im Phasenraum darstellen kann. Der Phasenraum ist ein nützliches Modell zur Darstellung des Verhaltens dynamischer Systeme.

Der Phasenraum ist ein abstrakter Raum, dessen Koordinaten die Freiheitsgrade des Systems sind. Man kann z.B. auf der x-, y-, z- Achse den Ort eines Teilchens, seine Geschwindigkeit oder den Impuls auftragen. Die Bedeutung des Phasenraums liegt darin, dass es die Möglichkeit gibt das Verhalten geometrisch darzustellen.

Attraktoren sind geometrische Figuren, die das längerfristige Verhalten im Phasenraum beschreiben. Ein System bewegt sich auf einen Attraktor zu oder wird von ihm angezogen.

a) Die Attraktoren nichtchaotischer Systeme:

1) Punktattraktoren sind Systeme die von einem Punkt angezogen werden, z.B. eine Murmel die in einer Schüssel fallen gelassen wird. Die Murmel rollt hinunter und auf der anderen Seite wieder hinauf, dabei verliert sie durch die Reibung Energie bis sie in der Schüssel liegen bleibt.

Im Phasenraum endet die Linie in einem Fixpunkt, genau dort wo die Geschwindigkeit gleich

Null ist. Alle Systeme mit Reibung und ohne Energiezufuhr sind Punktattraktoren.

2) Grenzzyklen beschreiben stabile Schwingungen, z.B. die Bewegung eines Uhrenpendels (ohne die Reibung zu berücksichtigen) oder den Herzschlag. Im Gegensatz zum Punktattraktor hat er keinen Punkt in dem die Geschwindigkeit gleich Null ist. Das Pendel schwingt durch den Nullpunkt hindurch und auf die andere Seite wieder hinauf und wieder zurück. Das Pendel verliert zwar durch die Reibung Energie, erhält sie aber bei jedem Durchgang wieder. Im Phasenraum dargestellt erreicht das Pendel nach einer bestimmten Zeit immer wieder den gleichen Zustand. Die Pendelbewegung ist vollständig durch den Anfangsort und die Anfangsgeschwindigkeit bestimmt. Die Koordinaten sind Ort und Geschwindigkeit. Für das reibungsfreie Pendel ist der Attraktor eine geschlossene Kurve. Wird die Reibung beim Pendel berücksichtigt ist der Attraktor eine Spirale, die von einem Punkt angezogen wird.

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