Leseprobe
Inhaltsverzeichnis
1. Einführung
2. Bewertungsmodelle für Manageroptionen
2.1. Standardoptionspreismodelle
2.1.1. Black & Scholes-Optionspreismodell
2.1.2. Das Modell von Cox/Ross/Rubinstein
2.2. Bilanzierungsvorschriften für Manageroptionen
2.3. Bewertungsunterschiede von Manageroptionen
2.3.1. Das FASB-Modell
2.3.2. Das Modell von Huddart
2.3.3. Das Modell von Carpenter
2.3.4. Das Modell von Ammann und Seiz
2.4. Vergleich der Manageroptionspreismodelle
3. Unternehmensbewertung mit Manageroptionen
3.1. Problemstellung in der Unternehmensbewertung
3.2. Das RIV Modell
3.3. Dividendenstromanalyse im RIV-Modell
3.3.1. RIV im Bilanzierungsumfeld von APB 25
3.3.2. RIV im Bilanzierungsumfeld von SFAS 123
3.4. Das Bulow-Shoven Modell
3.4.1. Funktionsweise für ausübungsfähige Optionen
3.4.2. Formale Erläuterung der Optionskosten
3.4.3. Funktionsweise während der Haltepflichtperiode
3.5. Berücksichtigung von „Verwässerung“ bei Gewinn pro Aktie
3.5.1. „Treasury Stock“ Methode
3.5.2. Ökonomische Verwässerung nach Core, Guay und Kothari
3.6. Das RIV-Modell mit Manageroptionen
3.6.1. Steuervorteile durch Manageroptionen
3.6.2. Bewertungsbeispiel…
3.6.2.1. Unternehmenswert ohne Manageroptionskosten
3.6.2.2. Kosten zukünftiger Manageroptionsprogramme
3.6.2.3. Bewertung aktueller Optionsprogramme und das Zirkularitätsproblem
4. Schlussbemerkung
Abbildungs- und Tabellenverzeichnis
Abbildung 1(a)-(c): Darstellung des Ausübungsverhaltens anhand von Risikoaversion und Aktienkursentwicklung
Abbildung 2: Manageroptionspreis in Abhängigkeit von M*
Abbildung 3: Vergleich zwischen Standard- und Manageroptionspreiswerten
Abbildung 4: Zeitstrahl mit anzusetzenden Optionskosten pro Periode
Tabelle 1: Manageroptionswerte unter verschiedenen Modellvarianten
Tabelle 2: Bewertungsmodelle im Vergleich unter verschiedenen Parametrisierungen
Tabelle 3: Signifikanztest für die ermittelte Laufzeit bis zur Ausübung
Tabelle 4: Signifikanztest für die normalisierte Höhe des Aktienkurses bei Ausübung
Tabelle 5: Einfluss einer reduzierten Wechselwahrscheinlichkeit auf den Optionswert
Tabelle 6: Vergleich von Optionskosten unter SFAS 123 und Bulow-Showen
Tabelle 7: Vergleich von EPS-Zahlen unter SFAS 123 und im Bulow-Shoven System
Tabelle 8: Auswirkungen von Steuervorteilen durch Manageroptionen auf den zu versteuernden Gewinn eines Unternehmens
Tabelle 9: Unternehmensbewertung im RIV-Modell ohne Manageroptionskosten
Tabelle 10: Ermittlung von zukünftigen Manageroptionspreiskosten
Tabelle 11: Unternehmensbewertung mit Manageroptionen in Mio. €
Tabelle 12: Berechnung des Barwerts ausstehender Manageroptionen
Tabelle 13: Ergebnis der Berechnung des fairen Werts pro Aktie
Abkürzungsverzeichnis
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
1. Einführung
Die Debatteüber hohe Gehälter von Vorstandsmitgliedern weltweit operierender Unternehmen, ausgelöst durch so genannte Optionsprogramme, sorgte in den Medien und unter Fachleuten immer wieder für Aufsehen. Es wird von Schädigung der Aktionäre, Verheimlichung der „wahren“ Ertragslage und von gefährlichen Fehlanreizen dieser Optionsprogramme gesprochen.[1] Welche Auswirkungen Optionsprogramme auf den Wert eines Unternehmens ausüben können und von welchen Faktoren die Wertermittlung solcher Wertpapiere abhängt, versucht diese Arbeit zu klären. Während der 80er-Jahre wuchs die Anzahl der Manageroptionsprogramme von Unternehmen dramatisch an. Ein Grund aus Unternehmenssicht war die bilanzielle Behandlung solcher Entlohnungssysteme, die unter bestimmten Voraussetzungen nicht einmal die Personalkosten erhöhten.[2] Ist dies der Fall und haben die Unternehmen einen hohen Anteil ausstehender Optionsprogramme, sind die ausgewiesenen Gewinne nach oben hin verzerrt.[3] Die Rolle von Manageroptionen, zum einen als Entlohnungs- und zum anderen als Anreizinstrument zu fungieren, löste eine lebhafte Diskussion unter Bilanzierungsexperten in der Finanzwelt aus.[4] Aus Aktionärssicht, die Eigentumsrechte an dem Unternehmen besitzen, können solche Programme aus zwei Perspektiven betrachtet werden. Zum einen stellen sie zwar Kosten für die Eigentümer dar, da bei Ausübung ein Werttransfer von Aktionären auf Optionsbesitzer geschieht, aber zum anderen können möglicherweise Interessenskonflikte zwischen Managern und Eigentümern des Unternehmens gesenkt werden, indem sich der Manager als potenziell zukünftiger Eigentümer verhält und versucht, die Ertragslage zu verbessern.[5]
Die vorliegende Arbeit ist in zwei Hauptkapitel unterteilt. Im ersten Teil steht die Bewertung von Manageroptionen im Vordergrund. Ziel soll es sein, zum einen eine Abgrenzung zu Standardoptionspreismodellen zu finden und zum anderen die wesentlichen Faktoren zu identifizieren, die im besonderen Fokus einer adäquaten Bewertung dieser Wertpapiere liegen. Im zweiten Teil werden die Implikationen von Manageroptionen in ihrer Auswirkung auf den Unternehmenswert untersucht. Dies geschieht einerseits auf der Bilanzierungsebene, andererseits ob eine prospektive Unternehmensbewertung durch Finanzanalysten mithilfe der vorliegenden Datenlage aus dem Unternehmensabschlussüberhaupt möglich ist.
2. Bewertungsmodelle für Manageroptionen
2.1 Standardoptionspreismodelle
Eine Kaufoption beinhaltet das Recht, jedoch nicht die Pflicht, ein Underlying[6] zu einem vorher festgelegten Basispreis (X) während der Laufzeit oder am Ende der Laufzeit zu kaufen. Als „europäische“ Optionsvariante wird die Option bezeichnet, die man nur am Ende der Laufzeit ausüben[7] darf, wohingegen bei der „amerikanischen“ Option die Ausübung jederzeit erlaubt ist. Bei Verkaufsoptionen handelt es sich demgegenüber um das Recht, eine Aktie zu dem Basispreis zu verkaufen. Es wird zum einen zwischen dem Käufer oder Inhaber einer Option, der die Optionsprämie bezahlt, und dem Optionsverkäufer oder Stillhalter der Option, der die Optionsprämie erhält, unterschieden. Der Stillhalter muss dem Wunsch des Inhabers auf Ausübung Folge leisten, wobei der Inhaber frei entscheidet, wann er zur Ausübung bereit ist. Daraus ergibt sich eine asymmetrische Verteilung der Rechte und Pflichten zwischen Käufer und Verkäufer einer Option, die maßgeblich ist für so genannte bedingte Termingeschäfte.[8] Im weiteren Kontext wird der Inhaber von Optionen der Manager der Firma sein. Demgegenüber steht sein Arbeitgeber als Stillhalter der Option, der es ihm somit ermöglicht, Aktien des Unternehmens in Zukunft zum Basispreis zu erhalten. Wir betrachten im Folgenden nur Kaufoptionen, da Manager eines Unternehmens nur mit solchen ausgestattet werden, um einen Anreiz zu haben, den Unternehmenswert zu steigern.[9] Die Ausübung der Kaufoption lohnt sich nur, wenn der aktuelle Aktienkurs höher liegt als der Basispreis der Option. In diesem Fall bezeichnet man die Option auch als „im-Geld“, denn es ist nun günstiger, die Aktie zum vorher spezifizierten Basispreis X zu kaufen, als gegenwärtig auf dem Kassamarkt. Die Option wird als „am-Geld“ bezeichnet, wenn der Basispreis dem aktuellen Aktienkurs entspricht, oder als „aus-dem-Geld“, wenn der Aktienkurs unter dem Basispreis notiert.[10] Es bestehen zwei wesentliche Möglichkeiten, Optionen, die entweder an Börsen oder im Over-the-Counter (OTC) Markt[11] gehandelt werden, zu bewerten. Die eine Methode ist nach dem Black & Scholes (B&S) Modell und die zweite Methode nach dem Binomialmodell von Cox, Ross und Rubinstein (CRR),[12] die bei identischen Spezifikationen zu den selben Optionspreisen führen.
2.1.1 Black & Scholes-Optionspreismodell
Das B&S-M (1973) ist ein Optionspreisbewertungsmodell speziell für europäische Optionen. Es wird heute noch vielfach als Basismodell in der Optionsbewertung benutzt. Seine Vorteile liegen in der einfachen Handhabung, nicht zuletzt auf Grund seiner geschlossenen Lösung und der zügigen Berechnung von Optionen. Die Annahmen des Modells unter idealen Voraussetzungen für den Aktien- und Optionsmarkt sind:
1. Der kurzfristige sichere Zins (r) ist bekannt undüber die Zeit konstant.
2. Der Aktienkursprozess folgt einem zeitstetigen „random walk“, sodass die Aktienkursentwicklung lognormalverteilt ist. Die Volatilität[13] der Akties (σ) ist konstant.
3. Die Aktie zahlt keine Dividende oder vergleichbare Ausschüttungen.
4. Die Bewertung beschränkt sich auf „europäische“ Optionen.
5. Es gibt keine Transaktionskosten.
6. Man kann Bruchteile von Wertpapieren zum kurzfristigen Zins anlegen oder leihen.
7. Man kann jederzeit Leerverkäufe tätigen.[14]
Häufig wird die Annahme der konstanten Volatilität als Hauptkritikpunkt an diesem Modell bemängelt. Denn nachweislich ist die Volatilität ein sensitives Maß, welches unter anderem von der Laufzeit und dem Basispreis der Option abhängt.[15] Beobachtet man z.B. verschiedene Optionen derselben Aktie mit unterschiedlichen Laufzeiten und löst die Formel nach der Volatilität auf, dann erkennt man, dass diese implizite Volatilität[16] sich mit der Laufzeit ändert. Etwas komplexer ist die Tatsache, dass die impliziten Volatilitäten sich an verschiedenen Basispreisen für eine gegeben Laufzeit unterscheiden.[17]
Zu den bereits erwähnten Inputparametern sicherer Zins (r) und Volatilität (σ) werden für die Bewertung der Kaufoption, auch als Call (C) bezeichnet, die Faktoren Restlaufzeit (T), Basispreis (X) und Wert der Aktie (S) zum Gegenwartszeitpunkt t wie folgt verwendet:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten [18]
Um das Verhalten von Optionspreisänderungen verstehen zu können, leitet man das B&S-Modell nach den jeweiligen Inputparametern partiell ab. Die Ergebnisse hieraus, auch als „Greeks“ bezeichnet, sei hier für Calls kurz erläutert.[19]
Steigt die Volatilität der Aktie, dann steigt auch der Wert der Option. Denn mit höherer Volatilität steigt auch die Wahrscheinlichkeit, dass die Option im-Geld endet. Der Preis einer europäischen Kaufoption steigt mit höherer Laufzeit. Intuitiv kann die Erklärung, wie vorangehend erläutert, gelten, indem der Optionspreis mehr Zeit hat, um im-Geld zu enden. Der Wert der Kaufoption fällt mit höherem risikolosem Zins. Dies erklärt sich dadurch, dass man die Auszahlung einer Option mit der Aktie und einem Zerobond duplizieren kann.[20] Da Zerobondpreise mit steigendem Zins sinken,[21] impliziert dies für das Duplikationsportfolio einen ebenfalls fallenden Wert. Der Wert einer Kaufoption fällt mit höherem Basispreis, da es mit immer höherem Basispreis zunehmend unwahrscheinlich wird, dass die Option im-Geld endet.[22]
2.1.2 Das Modell von Cox/Ross/Rubinstein
Ein weiteres Basismodell, entwickelt von Cox, Ross und Rubinstein im Jahr 1979, basiert auf der Annahme einer binomial verteilten Aktienrendite in einem zeitdiskreten Modell. Dies ist dadurch gekennzeichnet, dass der Aktienkursprozess mit einer risikoneutralen Wahrscheinlichkeit qu eine Up-Bewegung vollzieht und mit einer risikoneutralen Wahrscheinlichkeit qd eine Down-Bewegung, wobei gilt: qu+qd=1. Die beiden Aktienkurse der Folgeperiode, ergeben sich jeweils durch Multiplikation des Ausgangskurses mit der Variablen u für Up-Zustand und d für Down-Zustand, wobei als Arbitragebedingung gelten muss: u >1+r > d . Durch die Anwendung dieser Methode in die Zukunft, ergibt sich der Aktienkurs in einem so genannten Binomialbaum. Die Zeitabstände zwischen jedem Knoten können nach Belieben frei gewählt werden.
Die dann folgende Optionspreisbewertung erfolgt in Abhängigkeit der ermittelten Aktienkurse im letzten Bewertungszeitpunkt T. Der Optionspreis in jedem Knotenpunkt j und Zeitpunkt T ergibt sich aus folgender Maximierungsbedingung:
(4) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die ermittelten Optionswerte werden dann durch rekursive Bewertung im Binomialbaum, Schritt für Schritt bis zum Anfangszeitpunkt t, mit dem risikolosen Zins abgezinst. Folgende Gleichung erläutert das Vorgehen in einem einperiodigen Binomialbaum:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Bewertung in einem mehrperiodigen Binomialbaum erfolgt analog mit Angabe der Länge der Zeitperioden zwischen zwei Knotenpunkten. Je kürzer diese Zeitschritte T-t =∆t und häufiger die Zeitschritte n gewählt werden, desto schneller konvergiert die Binomialverteilung gegen eine Log-Normalverteilung. Dies geht aus der Annahme des zentralen Grenzwertsatzes hervor, wenn die Zufallsvariablen identisch und unabhängig verteilt sind.[23] Um den Baum nicht unübersichtlich groß werden zu lassen, nimmt man einen rekombinierenden Verlauf des Baums an. Das impliziert, dass die Kursänderungsfaktoren u und d nicht zeitpunkt- und zustandsabhängig sind. Darüber hinaus sind die risikoneutralen Wahrscheinlichkeiten qu=q bzw. qd=(1-q) der Kursänderung in allen Zeitpunkten gleich. Dadurch ergeben sich bei n Zeitschritten n+1 mögliche Aktienkursausprägungen. Diese Vereinfachungsannahmen ermöglichen dann den folgenden Ausdruck für den Wert der Kaufoption.
(6) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten [24]
Der erste Ausdruck in Klammern sagt aus, auf wie viel verschiedenen Pfaden man im Binomialbaum auf den jeweiligen Aktienkurs am Ende der Laufzeit gelangt. Dabei gibt k die Anzahl der Up-Bewegungen an. Die Anzahl wird dann mit den risikoneutralen Wahrscheinlichkeiten qk und (1-q)n-k multipliziert, um die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten der verschiedenen Aktienkursausprägungen zu bekommen. Da u,d und q konstant sind, kann für jeden Endknoten und mittels des aktuellen Aktienkurses St der jeweils zukünftige Aktienkurs definiert werden. Diese Werte werden jeweils mit dem Basispreis X subtrahiert und ergeben den Wert der Option am Laufzeitende (=Innerer-Wert der Option). Diese Optionspreise am Laufzeitende werden mit den vorher bestimmten risikoneutralen Wahrscheinlichkeiten multipliziert und auf den Anfangszeitpunkt t abgezinst. Diese Vorgehensweise gilt für Optionen, deren Aktie keine Dividenden zahlen.
Die Bewertung mittels des Binomialmodells ist sehr vielseitig und kann ohne Probleme mit Dividenden oder Ähnlichem modelliert werden.[25]
2.2 Bilanzierungsvorschriften für Manageroptionen
Schon 1973 hat das „Accounting Principles Board“ (APB) den Grundsatz „Opinion No.25, Accounting for Stock Issued to Employees“ (APB 25) herausgegeben, der die Bewertung von Manageroptionen unter anderen bis heute regelt. Er sieht vor, dass Manageroptionen mit dem jeweils inneren-Wert (Intrinsic-Value-Methode) am Tag der Bewilligung (Grand Date) als Kostenbestandteil in der Gewinn- und Verlustrechnung angesetzt wird.[26] Das führt dazu, dass viele Unternehmen ihre Optionen am-Geld gewähren und somit die anzusetzenden Optionskosten gleich Null sind.[27] Zudem erschweren dürftige transparente Lösungen im Jahresabschluss, das Ausmaß ausgegebener Optionen zu schätzen. Das APB 25 verweist dabei auf die ARB No. 43, Kapitel 13B Regelungen[28], die lediglich die Gesamtzahl der bewilligten und ausübungsfähigen Optionen, die damit verbundenen Optionspreise, sowie die Anzahl und Wert während der Periode ausgeübter Optionen verlangt.[29]
Erst 1995 verfasste das „Financial Accounting Standards Board“ (FASB) den Grundsatz „SFAS No.123: Accounting for Stock-Based Compensation” (SFAS 123). Dieses Papier sollte als freiwilliger Alternativvorschlag zur bisherigen Regelung verstanden werden. Dieses Papier sieht die Bewertung von Manageroptionen nach der „Fair-Value Methode“ vor. Zwar werden die Unternehmen nicht direkt verpflichtet, die Kosten für ihre Manageroptionsprogramme nach diesem „Fair-Value“-Ansatz in der GuV oder in der Bilanz erfolgswirksam anzusetzen. Jedoch wird verlangt, dass man wenigstens so genannte „Pro forma Gewinne“ und „Pro forma Gewinne pro Aktie“ im Anhang ausweist, welche den Wert der Gewinne oder den Gewinn pro Aktie angibt, als hätte man den „Fair-Value“-Ansatz angewendet.[30] Dies soll zu einer erhöhten Vergleichbarkeit zwischen Unternehmen führen, die trotzdem nach APB 25 bilanzieren.[31]
Zusätzlich müssen die Unternehmen folgende Inhalte in ihren Abschlüssenüber Manageroptionen bereithalten.
1. Anzahl und wertgewichtete Durchschnittsbasispreise für folgende Gruppen von ausstehenden Optionen:
a. am Anfang und am Ende des Jahres,
b. welche am Ende des Jahres ausgeübt werden können,
c. neu bewilligte Optionen,
d. ausgeübte Optionen,
e. verfallene Optionen und
f. abgelaufene Optionen.
2. Wertgewichtete Durchschnitts „Fair-Value“-Preise von während des Jahres neu ausgegebenen Optionen, aufgeteilt in die Gruppen von Basispreisen, die am Bewilligungstag (a) gleich dem Aktienkurs, (b)über dem Aktienkurs und (c) unter dem Aktienkurs ausgegeben worden sind.
3. Eine Anleitungüber die Bestimmung des „Fair Value“ und die verwendeten Inputdaten, wie den risikolosen Zins (r), erwartete Laufzeit (τ), erwartete Volatilität (σ) und erwartete Dividenden (d).
4. Berücksichtigte Gesamtkosten im Jahresabschluss.[32]
Darüber hinaus sollen die Optionen in verschiedene hinreichend kleine Spannen von Basispreisen aufgeteilt werden und folgende Informationen zeigen:
1. Die Anzahl, wertgewichtete Durchschnittsbasispreise und wertgewichtete Durchschnitts-Restlaufzeiten von ausstehenden Optionen sowie
2. Die Anzahl und wertgewichtete Durchschnittsbasispreise von ausübungsfähigen Optionen.[33]
2.3 Bewertungsunterschiede von Manageroptionen
Obwohl mit den Vorschlägen nach APB 25 oder SFAS 123 der zuständigen staatlichen Entscheidungsträger oder den zahlreichen Vorschlägen aus der Wissenschaft viele verschiedene Modelle diskutiert und erörtert werden, ist es ausgesprochen schwer mit bekannten Standardoptionspreismodellen Manageroptionen zu bewerten.[34] Um die Problematik besser verstehen zu können, sollen die wesentlichen Unterschiede von Manageroptionen zu den Standardoptionen genannt werden, diese sind:
1. Haltepflichtperiode (Vesting Periode),
2. Wechselwahrscheinlichkeit des Managers (Exit Rate),
3. Nicht-Handelbarkeit der Option,
4. Verwässerungseffekt (Dilution),
5. Leistungsabhängige Zuteilung.
Die Haltepflichtperiode variiert von Unternehmen zu Unternehmen und bewirkt, dass Manageroptionen erst nach einer bestimmten Periodendauer, z.B. von 4 Jahren, ausgeübt werden dürfen. Man versucht zum einen den Manager langfristig an das Unternehmen zu binden, um eine langfristige Unternehmenspolitik verfolgen können.[35] Zum anderen können wohlmöglich Agency-Kosten zwischen Manager und Eigentümer gesenkt werden, indem der Manager zu einem potenziellen Miteigentümer gemacht wird und er die Interessen der Eigentümer mehr in sein Entscheidungskalkül mit einbezieht.[36]
Manager, die das Unternehmen verlassen, können die erhaltenen Optionen nicht weiter behalten. Dies führt dazu, dass bisher gewährte Optionen, die die Haltepflichtdauer noch nichtüberschritten haben oder aus-dem-Geld“ notieren, wertlos verfallen. Optionen die im-Geld notieren, müssen sofort ausgeübt werden. Da dieser Zeitpunkt der Ausübung nur in den seltensten Fällen dem optimalen Ausübungszeitpunkt nach den Standardoptionspreismodellen entspricht, unterscheiden sich die Optionspreise.[37] Die frühzeitige Ausübung von Manageroptionen beruht auf der subjektiven Einstellung des Managers, die im Gegensatz zu einer präferenzfreien Optionspreisbewertung nach den Standardmodellen steht. Präferenzfrei bedeutet, dass der ermittelte Optionspreis nur von der Aktienkursbewegung allein abhängt[38] und nicht etwa von subjektiven Einstellungen des Optionshalters.
Im Gegensatz zu Standardoptionen werden Manageroptionen nicht an Börsen gehandelt. Sie können lediglich vom Manager ausgeübt werden, oder sie verfallen wertlos. Diese Handelseinschränkung kann dazu führen, dass der Manager die Option früher ausübt, als es die Standardoptionspreismodelle vorsehen. Diese frühzeitige Ausübung würde den Optionspreis gegenüber Standardoptionen verringern.[39]
In der Regel werden bei Ausübung von Manageroptionen durch das Unternehmen neue Aktien am Kapitalmarkt platziert, um der Lieferverpflichtung durch Optionsausübung nachzukommen. Im Gegenzug zahlt der Manager den Basispreis an die Firma. Der Differenzbetrag, aus dem Aktienkurs bei Ausübung und dem Basispreis, kommt dann dem Manager als zusätzliche Entlohnung zugute. Durch die Emission von neuen Aktien vermehrt sich der Bestand an ausgegebenen Aktien insgesamt. Dadurch verteilt sich der unveränderte Wert des Eigenkapitals auf eine größere Anzahl von Aktien. Konsequenz hieraus ist ein geringerer Kurs pro Aktie, was man auch den Verwässerungseffekt (Dilution) nennt.[40]
Manageroptionen können entweder als fixe Anzahl gewährt oder mit Auflagen an den Manager versehen werden. Z.B. kann eine Mindestrendite vom Manager gefordert werden, wonach sich dann je nach Grad der Zielerreichung eine bestimmte Anzahl von zu gewährenden Optionen ergibt. Welchen Einfluss diese zusätzliche Verkomplizierung auf den Wert der Manageroption hat, sei im Folgenden exemplarisch beschrieben.[41]
Angenommen das Unternehmen garantiert heute eine vom Aktienkurs abhängige Anzahl von Manageroptionen. Die Anzahl m ergibt sich aus folgender Powerfunktion: m(St) = (St/S’)w. Die Variablen S’ und w können vom Unternehmen frei gewählt werden und stellen jeweils den Basisaktienkurs und einem beliebigen Quotienten der Powerfunktion dar. Weiterhin wird angenommen, dass man dem Manager nach der Haltepflichtperiode zum Zeitpunkt tv eine durch die Powerfunktion beschriebene Anzahl europäischer Kaufoptionen liefert. Die Bewertung findet in einer risikoneutralen Welt statt und die Aktie zahlt keine Dividenden. Damit lässt sich festhalten, dass sowohl die Anzahl der Optionen als auch die Option selbst vom Aktienkurs abhängen. Vernachlässigt man diese wechselseitige Abhängigkeit, dann erhält man folgenden Wert für die Performance-Option.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Um nun die Abhängigkeit in die Bewertung einfließen zu lassen, integriert man die Powerfunktion in die B&S-Formel. Dies führt dann zur folgenden Bewertungsformel für die Performanceoption.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Um die Bedeutung dieser Korrelationsannahme zu verdeutlichen, soll eine Manageroption mit 10-jähriger Laufzeit (T), die am-Geld gewährt wird, 3-jähriger Haltepflicht (tv=3), $ 100 Basispreis (X), risikolosem Zinssatzüber 5% (r) und einer Volatilitätüber 30% (σ) angenommen werden. Um die beiden Methoden vergleichbar zu machen, wird S’ so gewählt, dass die Anzahl der zu gewährenden Optionen zum Zeitpunkt tv identisch ist.
Wenn die zu erwartende Anzahl zum Zeitpunkt tv eins beträgt, dann ergibt sich aus Gleichung (6), ohne Berücksichtigung der Korrelation, ein Wert von $ 52,57 der äquivalent zum B&S-Wert ist. Dagegen ergibt sich aus Gleichung (7), mit Berücksichtigung der Korrelation und der Werte für w=1 und w=0,5 jeweils ein Optionswert von $ 65,03 und $ 79,65. Da die Werte sich erheblich voneinander unterscheiden, empfiehlt es sich für Performance-Optionen, bei ähnlicher Ausgestaltung wie der oben ausgeführten auf eine Berücksichtigung der wechselseitigen Abhängigkeit der beiden Terme im Bewertungskalkül zu achten.[42]
2.3.1 Das FASB-Modell
Die Bewertung in diesem Modell stützt sich auf das bekannte und bereits vorgestellte B&S-Modell bzw. CRR-Modell mit einigen Adjustierungen für Manageroptionen.[43] Um die Besonderheiten von Manageroptionen, wie in Kapitel 2.3 angegeben, mit einzubeziehen, wird zum einen die Laufzeit (T) auf eine „erwartete“ Laufzeit (L) reduziert. Diese kann aus empirischen Erhebungen gewonnen oder nach der objektiven Einschätzung des Unternehmens ermittelt werden.[44] Die Volatilität als ein weiterer Inputfaktor in den Standardoptionspreismodellen, soll mithilfe von historischen Werten geschätzt werden und im Idealfall den Zeithorizont umfassen, welcher der erwarteten Laufzeit gleicht.[45] Die erwarteten Dividenden (D) sollen auf Grund objektiver und aktueller Erwartungen geschätzt werden.[46] Da das Standard B&S-Modell nur für europäische Optionen ohne Dividendenrendite konstruiert ist, kann hier das CRR-Modell problemlos zur Bewertung mit stetigen Dividenden verwendet werden.[47] Der risikolose Zinssatz, z.B. für amerikanische Unternehmen, soll sich nach der laufzeitentsprechenden U.S. Zerobondrendite richten.[48] Um die „Wechselwahrscheinlichkeit“ (w) des Managers zu berücksichtigen, wird der ermittelte Optionswert nach dem CRR-Modell mit der angenommenen annualisierten Wechselwahrscheinlichkeit (wa.c.), für die Länge der Haltepflichtperiode, multipliziert. Denn nur in dieser Zeitspanne, führt ein Jobwechsel zu einem wertlosen Verfall der Option.[49] Mittels der genannten Variablen wird der „Fair-Value“ der Manageroptionen am Bewilligungstag festgelegt und darf während der gesamten Laufzeit nicht mehr angepasst werden. Nur die Wechselwahrscheinlichkeit ist die einzige Variable, die nach der Ermittlung des „Fair-Value“ während der Haltepflichtperiode verändert werden darf.[50] Daraus ergibt sich folgender Wert für den „Fair-Value“ der Manageroptionen zum Bewilligungszeitpunkt.
(9) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten [51]
Die Länge der Haltepflicht in Jahren wird hier mit tv bezeichnet. Die Flexibilität des CRR-Modells erlaubt es problemlos, die Ausübungssperre während der Haltepflichtperiode in die Bewertungsgleichung einfließen zu lassen. Da jedoch die Unternehmen ein Wahlrecht auf das zu verwendende Standardoptionspreismodell besitzen[52], können die „Fair-Value“-Werte zwischen Unternehmen variieren. Die Wechselwahrscheinlichkeit des Managers wird hier explizit für die Haltepflichtperiode berücksichtigt, jedoch nicht für die Zeit danach. Die Nichthandelbarkeit der Option schlägt sich in der reduzierten Laufzeit, der „erwarteten Laufzeit“ nieder. Der Verwässerungseffekt wird nicht berücksichtigt.
2.3.2 Das Modell von Huddart
Huddart geht bei der Bewertung von Manageroptionen davon aus, dass Manager sich risikoavers hinsichtlich ihrer Ausübungspolitik verhalten. In der Vergangenheit konnte beobachtet werden, dass Manageroptionen weit früher ausgeübt wurden, als es der eigentlichen Laufzeit entsprach.[53] Dieser Zeitpunkt liegt noch vor dem eigentlichen „optimalen“ Ausübungszeitpunkt, den es im Fall angenommener Risikoneutralität geben würde.[54]
Huddart nimmt bei seiner Modellierung an, dass der Ertrag aus der Ausübung entweder in die Aktie oder in das risikolose Instrument investiert werden kann, und weist darauf hin, dass bei Ausweitung der Möglichkeiten für Alternativanlagen eine frühzeitigere Ausübungspolitik des Managers begünstigt wird. Eine weitere Annahme besteht darin, dass Manager keinen Einfluss auf den Aktienkursprozess ausüben können. Diese Annahme erscheint wenig plausibel, da es nahe liegend ist, dass Manager auf höchster Ebene direkten Einfluss auf die Unternehmenspolitik ausüben können und somit den Aktienkurs direkt beeinflussen.[55]
Weitere Annahmen des Modells sind, dass es keine Transaktionskosten und Dividenden gibt und ein konstanter Steuersatz vorliegt. Als Grundlage für seine Bewertungsmethodik verwendet er das CRR-Modell. Der Manager maximiert seinen Nutzen entsprechend der formalisierten Nutzenfunktion nach Neumann-Morgenstern mit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten für γ ε (0,1). W steht für das Vermögen und γ stellt den Risikoaversionsparameter des Managers dar. Dabei wird angenommen, dass die relative Risikoaversionüber die Zeit und Zustand der Aktie konstant bleibt. Eine Reduktion von γ kommt einer höheren relativen Risikoneigung gleich. Der Manager vergleicht bei diesem Modell stets seinen Erwartungsnutzen (mit E(U[.]) bezeichnet) für den Zeitraum der Optionslaufzeit aus folgenden drei Alternativen: 1. Sofortige Ausübung der Option und Anlage der Erträge in das risikolose Instrument, 2. Sofortige Ausübung der Option und Anlage der Erträge in die Aktie und 3. der Erwartungsnutzen aus dem Weiterhalten der Option. Die Vorgehensweise ist, wie auch beim CRR-Modell, rekursiv ausgehend vom Endzeitpunkt in T bis zum aktuellen Zeitpunkt in t. Die Entscheidung vorzeitig auszuüben, kann in einem einfachen Ein-Perioden-Beispiel formalisiert werden.
(10) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Der linke Term bildet den Nutzen des Managers bei sofortiger Ausübung ab. Dieserübt nur aus, wenn der Nutzen aus der Ausübung, angelegt bis zum Laufzeitende der Option, einen höheren Gewinn aufweist, als eine weitere Periode zu warten. Der rechte Term bildet somit den Erwartungsnutzen des Weiterhaltens der Option ab, die die mit risikoneutralen Wahrscheinlichkeiten gewichteten Ausübungsgewinne der nächsten Periode addiert und dann mit dem Nutzen der sofortigen Ausübung vergleicht. Die Ausübungsentscheidungen sind, anders als beim CRR-Modell, von der relativen Risikoaversion γ abhängig und können somit mit verschiedenen Managertypen variieren.[56]
Huddart verdeutlicht im Folgenden tabellarisch die optimale Ausübungspolitik des Managers, entsprechend den subjektiven Risikoeinstellungen und der Länge der Haltepflichtperiode.
Abbildung 1(a)-(c): Darstellung des Ausübungsverhaltens anhand von Risikoaversion und Aktienkursentwicklung [57]
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die X-Achse stellt den Zeitverlauf der Option dar, und auf der Y-Achse steht die positive Differenz aus Up-Bewegungen gegenüber Down-Bewegungen der Aktie. Anders gesagt sind nur Zustände abgebildet, wo die Option im-Geld liegt. Ein + beschreibt den Zustand, in dem der Manager das Weiterhalten gegenüber der Aktie und der risikolosen Anlage präferiert. Ab den Zuständen mit einem b präferiert der Manager die vorzeitige Ausübung der Option und Anlage der Erträge in die risikolose Anlage. Ein s beschreibt den Zustand, in dem der Manager die Option vorzeitig ausübt, um die Erträge in die Aktie des Unternehmens zu investieren. Die Haltepflichtperiode wird mit u’s bezeichnet und wird nur in Tabelle (c) modelliert. In Tabelle (a) beträgt der Risikoaversionsparameter γ = 0,5, wohingegen in (b) und (c) eine höhere Risikoaversion mit γ = 0,25 modelliert wird. Dabei gilt für hohe Werte für γ eine niedrige Risikoaversion und vice versa. Der Aktienkursprozess wird in einem rekombinierenden Binomialbaum mit 40 Zeitintervallen (n) modelliert. Folgende Parameter wurden noch verwendet: qu = 0,558926 ; qd = 1-qu ; u = 1,1119 ; d = 1/u ; μ = 10% und σ = 30% .
Um die Intuition der frühzeitigen Ausübungsregionen zu verstehen, nehmen wir zuerst an, dass der Manager nur in die Option oder in die Aktie investieren kann. Wenn der Aktienkurs sehr niedrig ist, aber die Option trotzdem noch im-Geld notiert und ausgeübt würde, dann verkauft er nur so viel Aktien wieder, dass er den Basispreis bezahlen kann. Somit entspricht der noch unsichere Gewinn am Ende der Anlageperiode T dem Wert der restlichen Aktien. Kommt der Aktienkurs dem Basispreis von oben immer näher, dann strebt das Verhältnis zwischen dem Wert des Weiterhaltens der Option und der sofortigen Ausübung nahe am Basispreis gegen unendlich. D.h.: Vorzeitige Ausübung macht in dem Fall erst ab einer bestimmten oberen Kursschwelle Sinn.
In einer risikoneutralen Welt macht es hingegen keinen Sinn vorzeitig auszuüben, da der erwartete Gewinn des Weiterhaltens immer größer ist als der bei vorzeitiger Ausübung, falls die Aktie keine Dividende zahlt. Der Unterschied zur Modellierung mittels Erwartungsnutzenfunktionen liegt in der subjektiven Wahrnehmung der Gewinnverteilung. Denn falls die Wahrscheinlichkeit ziemlich hoch erscheint, dass die Option „aus-dem-Geld“ endet und ein Nullgewinn zum Laufzeitende in Betracht kommt, kann eine vorzeitige Ausübung aus Managersicht durchaus Sinn machen. Einmal angenommen, der Aktienkurs sei sehr hoch und somit das Schwankungsrisiko der Option (Δ≈1) vergleichbar mit der Aktienkursschwankung[58] und die Wahrscheinlichkeit, dass die Option „aus-dem-Geld“, endet sehr gering. Dann besteht der einzige Unterschied bei vorzeitiger Ausübung und Investition in eigene Aktien darin, den Basispreis früher bezahlen zu müssen und somit den Zeitwert des Geldes zu verlieren. In dem Fall sollte man das Weiterhalten gegenüber der vorzeitigen Ausübung präferieren. Zusammenfassend betrachtet, profitiert der Manager also am meisten von Optionen, die zwar „im-Geld“ liegen, jedoch weniger von weit „im-Geld“ oder nahe „am-Geld“ liegenden Optionen, wenn nur die Aktie die einzige Alternativanlage darstellt. Somit existieren die oberen Regionen, die die vorzeitige Ausübung des Managers kennzeichnet, nur bei Ausweitung der Alternativanlage auf ein risikoloses Instrument. Wenn der Manager die Aktie gegenüber der Option präferiert, dann heißt das nicht immer zwangsläufig, dass er die risikolose Anlage gegenüber der Option präferiert. Denn für die Fälle, dass die Option noch eine sehr lange Restlaufzeit hat oder nahe „am-Geld“ notiert, ist das Aufwärtspotenzial für die Option um ein Vielfaches höher als bei vorzeitiger Ausübung und bei Anlage ins risikolose Instrument. Wenn allerdings der Aktienkurs sehr hoch ist und die Option weit „im-Geld“ liegt, ist eine vorzeitige Ausübung und die Anlage in die risikolose Anlage durch den Manager durchaus in Betracht zu ziehen. Man könnte also konstatieren, dass das Halten der Option unter einer bestimmten Aktienkursschwelle gegenüber der Anlage in die risikolose Anlage vorzuziehen ist.[59]
Huddart bewertet den Vorschlag für das FASB-Modell, eine „erwartete Laufzeit“ der Option zu schätzen, um die Nichthandelbarkeit zu modellieren, als wenig plausibel. Dieses Vorgehen berücksichtigt nämlich in keiner Weise den Aktienkursprozess und das daraus resultierende Verhalten des Managers. In Tabelle 1 werden Optionswerte aus drei Modellvarianten miteinander verglichen. Hierbei handelt es sich um das hier erörterte Modell nach Huddart, dem FASB-Modell und dem B&S-Modell. Die erwartete Laufzeit der Option wird mittels des Huddart-Modells berechnet. Es werden Manageroptionen mit einer Laufzeitüber 5 und 10 Jahren und mit verschiedenen Ausprägungen von Risikoaversionsparametern berücksichtigt.
Die Werte für das B&S-Modell sind jeweils für die beiden erwarteten Laufzeiten gleich, da das B&S-Modell europäische Optionen unterstellt, die nicht vorzeitig ausgeübt werden dürfen, und da zudem Risikoneutralität unterstellt wird. Das FASB-Modell berücksichtigt zwar eine erwartete Laufzeit, aber nicht die Risikoaversion des Managers. Erst unter dem Modell nach Huddart (UM-Modell) können alle Inputparameter genauer modelliert werden. Es stellt sich heraus, dass das FASB-Modell die Kosten für Manageroptionen gegenüber dem UM-Modellüberschätzt. Dieser Effekt kommt dann besonders zum Vorschein, wenn die Risikoaversion besonders hoch ist und eine Haltepflichtperiode entfällt.[60]
Die Haltepflichtperiode wird bei diesem Modell auf Grund der leicht in das CRR-Modell integrierbaren Annahme der Nicht-Ausübungüber eine bestimmte Frist voll berücksichtigt. Die Wechselwahrscheinlichkeit des Managers während der gesamten Optionslaufzeit findet jedoch in diesem Modell keine Beachtung. Vielmehr wird Wert auf die Nichthandelbarkeit der Option gelegt, indem man die frühzeitige Ausübung der Option mittels einer angenommenen Risikoaversion des Managers modelliert. Der Verwässerungseffekt wird nicht explizit berücksichtigt.
Tabelle 1: Manageroptionswerte unter verschiedenen Modellvarianten[61]
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
2.3.3 Das Modell von Carpenter
Das Manageroptionsbewertungsmodell nach Carpenter (Carp-Modell) baut ebenfalls auf dem CRR-Modell auf und kommt mit nur einer zusätzlichen Variablen aus, um den Preis einer Manageroption zu bestimmen. Es handelt sich um die Wahrscheinlichkeit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, dass der Manager einen bestimmten „Stopp-Punkt“ (stopping state) erreicht. Dieser „Stopp-Punkt“ ist unabhängig vom Aktienkursprozess und hat bei Erreichen die Konsequenz, dass der Halter der Option automatisch ausübt. Dies impliziert, dass die Stoppwahrscheinlichkeit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten vollkommen von der subjektiven Ausübungspolitik des Managers abhängt. Es wird dieselbe rekursive Bewertungstechnik verwendet wie im CRR-Modell. Falls der „Stopp-Punkt“ hingegen nicht erreicht wird, ist das Ausübungsverhalten identisch mit dem von Standardoptionen. Das Modell wird in einem zeitstetigen Modellrahmen nach Jennergren und Naslund (1993) verwendet. Die wesentlichen Annahmen zur Berechnung von Up (u) und Down (d) Bewegungen des Aktienkurses, sowie die risikoneutralen Wahrscheinlichkeit im Zustand j (qj) werden in den nachfolgenden Gleichungen beschrieben. Es sei darauf hingewiesen, dass sich anders als im CRR-Modell vier anstatt zwei Zustände nach jedem Zeitpunkt ergeben. Somit ergibt sich zum einen ein möglicher „Stopp-Punkt“ oder nicht, sowie jeweils eine Up- oder Downbewegung der Aktie. Die Berechnung der Manageroption zum Zeitpunkt t, wird dann in Gleichung (15) allgemein dargestellt.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten [62]
Die Parameter Bezeichnungen bleiben wie bisher erwähnt bestehen, wobei der Parameter Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten=log(1+μ) also die logarithmierte erwartete Aktienrendite darstellt und der Parameter δ die erwartete Dividendenrendite. Somit hängt der Preis der Option im Wesentlichen vom zukünftigen Aktienkursprozess, von der objektiven Stoppwahrscheinlichkeit des Managers, die seine Ausübungspolitik determiniert, und – wie im CRR-Modell – von der risikoneutralen Wahrscheinlichkeit ab. Intuitiv wird das Erreichen des Stopppunktes damit erklärt, dass der Manager nach einem diversifizierteren Gesamtvermögen strebt, einen Liquiditätsschock erfährt, entlassen wird oder andere denkbare Ereignisse eintreten, die den Manager veranlassen, früh auszuüben.[63]
Da das Modell allgemein auf dem CRR-Modell aufbaut, wird die Haltepflichtperiode des Managers berücksichtigt. Die Wechselwahrscheinlichkeit des Managers und die Nichthandelbarkeit stecken implizit in der Stoppwahrscheinlichkeit. Deshalb wird die Stoppwahrscheinlichkeit in der Regel einen der Risikoaversion adäquaten Wert annehmen, um eine realitätsnahe Laufzeit zu modellieren. Stellt man sich die Stoppwahrscheinlichkeit als Dividendenrate vor, dann wird klar, dass mit zunehmender Dividendenrate der Halter der Option schneller dazu geneigt sein wird, vor Laufzeitende auszuüben.[64] Aus diesem Grund kommt das Carp-Modell auch ohne eine „erwartete Laufzeit“ aus. Stattdessen erhöht oder verringert man je Managertyp die Stoppwahrscheinlichkeit. Der Verwässerungseffekt wird nicht berücksichtigt.
Die Ergebnisse aus diesem Modell werden verglichen mit dem bereits vorgestellten Nutzenmaximierungsmodell von Huddart (UM-Modell), das zusätzlich nach einem sehr verwandten Konzept von Marcus und Kulatilaka (1994) erweitert wird. Zusätzliche Modifikationen zum UM-Modell sind einmal die Existenz von Privatvermögen in Höhe von x, einer Wahrscheinlichkeit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, dass der Manager ein Jobangebot einer Fremdfirma in Höhe von y erhält und einer Veränderung der Anlagemöglichkeit nach Ausübung. Die Wahrscheinlichkeiten Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten sind beide Modellinputparameter und werden im Folgenden als identische Variablen behandelt. Die Vermögensgröße x ist ein Multiple aus dem absoluten Vermögen in $ und dem Aktiengegenwert gehalten in Optionen. Dementsprechend ist das Multiple y die Höhe des Jobangebots in $ geteilt durch den Aktiengegenwert gehalten in Optionen. Carpenter weist darauf hin, dass im UM-Modell das auf das risikolose Instrument und der Aktie beschränkte Anlageuniversum die Ausübungsentscheidung verzerrt. Carpenter verwendet stattdessen ein wohl diversifiziertes Portfolio nach Merton[65], das eine realitätsnähere Alternativanlage darstellen soll. Um das UM-Modell nicht weiter zu verkomplizieren, wird von ein paar Annahmen abstrahiert. Zum einen wird angenommen, dass der Manager keinen Einfluss mehr auf den zukünftigen Aktienkursprozess ausüben kann, da bereits Effekte einer veränderten Managerstrategie – z.B. die Erhöhung des Unternehmensrisikos, Reduzierung von Dividenden oder auch erhöhte Fremdfinanzierung auf Grund von Bezahlung mit Manageroptionen – schon im Kurs enthalten sind. Die empirische Studie von Agrawal und Mandelker (1987) lässt vermuten, dass alle diese Effekte hervorgerufen durch Manageroptionen denkbar sind.[66] Die Interaktionen zwischen Unternehmenspolitik und Ausübungspolitik des Managers wird ebenfalls nicht betrachtet. Auch die Entscheidung der Firmaüber die zukünftige Höhe der Entlohnung auf Grundlage der aktuellen Anzahl von gehaltenen Optionen des Managers wird außer Acht gelassen. Weiterhin verfügt der Managerüber kein Insiderwissen in Bezug auf den zukünftigen Aktienkursverlauf, was darauf gestützt wird, dass es noch keinen eindeutigen Beweis von signifikant abnormalen Renditen durch Managertransaktionen gibt.[67] Zuletzt wird von der Existenz von Steuern abgesehen.[68]
Als Basis zur Messung der Leistungsfähigkeit beider Modelle verwendet Carpenter Datensätze von 40 US-Unternehmen zwischen 1979 bis 1994, die genügend Informationenüber ihre Optionsprogramme veröffentlichen. Bei Verwendung der Modelle werden zwei wichtige Modelloutputs generiert, die für die Ausübungspolitik des Managers als besonders wichtig eingestuft werden. Diese sind zum einen die Haltedauer bis zur Ausübung (ta) und zum anderen der Aktienpreis bei Ausübung (Sta), der als normalisierter Wert ausgegeben wird. Bei Anwendung des jeweiligen Modells ergeben sich diesbezüglich folgende bedingte Modelloutputs.
(17) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Dabei stellt die Variable ST,X das Verhältnis vom Aktienkurs nach der gesamten Laufzeit der Option zum Basispreis dar. Diese Variable ist mit der Höhe des Aktienkurses bei Ausübung mit 0,6 korreliert, was für eine höhere Ausübung „im-Geld“ bei Unternehmen mit einer sehr guten Aktienperformance sprechen kann. Die Variable θ bildet den Umfang der zusätzlich verwendeten Modellinputparameter bei den vorgestellten Manageroptionsbewertungsmodellen wider. Diese sind für das Carp-Modell θ =Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltennur die Stoppwahrscheinlichkeit und für das modifizierte UM-Modell θ = γ,x,y undAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, wobei gilt Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Ein dritter wichtiger Faktor, der die Ausübungspolitik determiniert, ist die Annulierungsrate. Dieser Modelloutput hängt dann von folgenden Bedingungen ab.
(18) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Bei der Berechnung der bedingten Annulierungsrate geht man davon aus, dass eine Firma jedes Jahr eine gleiche Anzahl von Optionen identischen Managern garantiert. Die bedingte Annulierungsrate kann als Wahrscheinlichkeit einer vorzeitigen Kündigung ausstehender Optionen in dem betreffenden Jahr interpretiert werden. Sie wird aus einer etwas größeren Stichprobe, bestehend aus 52 US-Unternehmen zwischen 1984 und 1993, gewonnen. Der Unterschied zwischen Annulierungsrate und Stoppwahrscheinlichkeit besteht darin, dass die Annulierungsrate eine beobachtbare auf ein Jahr bezogene Variable darstellt, die man aus einer definierten Probe schätzt. Die Stoppwahrscheinlichkeit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ist ein Modellinputparameter, der direkt in die Bewertungsformel für Manageroptionen einfließt und für die gesamte Laufzeit der Option gilt. Vergleichbar hängt die Annulierungsrate von der Ausübungspolitik des Managers ab, die das Modell implizit durch die Stoppwahrscheinlichkeit berücksichtigt, wie auch andere Inputparameter des Modells: z.B. der Aktienkurs oder die Volatilität. Als Ausgangspunkt des Vergleichs beider Modelle müssen für die zusätzlichen und unbekannten Inputparameter θ geeignete Größen gefunden werden. Diese Parameter werden nun so kalibriert, dass sie auf die drei oben genannten Outputs der Probe am besten passen. Um die Berechnungen zu vereinfachen, wird eine „repräsentative Firma“ konstruiert, die hinsichtlich der Variablen Haltepflichtzeit (tv), Volatilität (σ), Dividenderendite (δ) und Aktienpreisverhältnis zum Basispreis (ST,X) dem Probendurchschnitt entspricht. Die risikolose Rendite (r) und die erwartete Aktienrendite (μ) wird jeweils auf 7% und 15,5% gesetzt. Da der beobachtete Risikoaversionsparameter (γ) in der Probe nicht sensitiv ist, wird er als konstant gleich 2 für alle Manager angenommen. Um nun für ein so genanntes Basisszenario Werte für die unbekannten Inputparameter θ der beiden Modelle zu generieren, nämlich die Größe Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten für das Carp-Modell und x, y,Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und γ für das modifizierte UM-Modell, wird folgender Ausdruck minimiert.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Im Zähler wird jeweils die quadrierte Differenz aus den Probendurchschnittswerten (jeweils bezeichnet mit einem Strich) und den Werten, die sich für das „repräsentative Unternehmen“ gebildet haben (mit einem Dach bezeichnet), dargestellt. Diese werden mit den jeweiligen durchschnittlichen Probenvarianzen dividiert.[69]
Die in der Ergebnistabelle gezeigten Werte werden in einem Binomialbaum mit monatlichen Zeitschritten und jährlichen Ausübungszeitpunkten konstruieren. Hier sind Werte für die drei Modellvarianten CRR-Modell, Carp-Modell mit der Stoppwahrscheinlichkeit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und das modifizierte UM-Modells mit den zusätzlichen Variablen x,y,Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und einer konstanten relativen Risikoaversionsrate γ=2 enthalten.
Tabelle 2: Bewertungsmodelle im Vergleich unter verschiedenen Parametrisierungen[70]
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
* Kennzeichnen die Parameterwerte für das Basisszenario
Wie man leicht erkennt, ist der Wert der Standardoption (CRR) mit 0,39 am höchsten. Dies kommt daher, dass die Risikoaversion des Managers und die 5-jährige Haltepflichtperiode nicht berücksichtigt werden. Letzteres Kriterium ist für die gewählte Dividendenrendite auch nicht bindend, da hier unter der Annahme von Risikoneutralität eine vorzeitige Ausübung erst nach 7,6 Jahren optimal wäre. Die Modellierung der Risikoeinstellung des Managers scheint somit ein gewichtiger Faktor zur Bewertung von Manageroptionen zu sein. Man stellt beim Carp-Modell fest, dass eine simple Erweiterung des CRR-Modells mit der unabhängigen Stoppwahrscheinlichkeit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten dazu führt, dass sich der Wert um ca. 25% auf 0,29 reduziert. Dieser Wert würde gerade dem des FASB-Modells gleich kommen, und zwar bei Verwendung des B&S-Modells mit einer Laufzeit entsprechend der modellierten Laufzeit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten des repräsentativen Unternehmens. Als nächstes wird das UM-Modell mit der nach den Probedaten ermittelten Basis-Parametrisierung für x,y,γ und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenbetrachtet. Es fällt besonders ins Auge, dass die Werte für x=342 und y=132 relativ hoch erscheinen, um gegen die Probendurchschnitte zu konvergieren. Die Modellvorhersagen hinsichtlich des Zeitpunktes der Ausübung (Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten), der normalisierten Höhe des Aktienkurses bei Ausübung (Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten) und der Annulierungsrate (Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten) des Basisszenarios sind fast identisch mit dem des Carp-Modells. Um mögliche Verzerrungen seitens des modifizierten UM-Modells zu vermeiden, wurden noch weitere Parametrisierungen getestet. Zwei Varianten mit den geringsten statistischen Fehlerwerten seien hier kurz erwähnt. Bei beiden wird die Höhe des Jobangebots y auf 10 fixiert, und die anderen beiden Inputs werden so gewählt, dass Gleichung (19) minimiert wird. Dies führt zu umso kleineren Optionswerten, je größer der Unterschied zwischen dem relativen Vermögen x und dem Jobangebot y ist, was darauf hindeutet, dass bei einem geringen privaten Vermögen des Managers die Präferenz für eine vorzeitige Ausübung steigt und sich somit der Optionswert reduziert.[71]
Um die statistische Güte der Modelloutputs „Höhe des Aktienkurses bei Ausübung“, sowie „Zeitpunkt der Ausübung“ zu untersuchen, werden folgende lineare Regressionen angewendet.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Dabei stellt sich heraus, dass die Höhe des Aktienkurses bei Ausübung eine höhere statistische Güte aufweist als bei der ermittelten Laufzeit bis zur Ausübung. Als Fehlermaße werden die drei folgenden verwendet.
Zur Illustration wird hier der normalisierte Aktienkurs bei Ausübung für die Firmen i bis N (Sta,i) verwendet.
Mittlerer Fehler (MF) und in Prozent (MF%):
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Mittlerer absoluter Fehler (MaF) und in Prozent (MaF%):
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Wurzel aus dem prozentual quadrierten mittleren Fehler (WMF):
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Tabellen 3 bis 4 zeigen nun die Ergebnisse der Regression und der statistischen Güte von den beiden oben genannten Modelloutputs.
[...]
[1] Vgl. Handelsblatt (2003), S.31.
[2] Vgl. Aboody (1996), S. 357.
[3] Vgl. Hess/Lüders (2000), S.2.
[4] Vgl. Bettis/Bizjak/Lemmon (2005), S. 446.
[5] Vgl. Rees/Stott (1998), S. 1-2.
[6] Mit Underlying bezeichnet man das Wertpapier, das der Option zu Grunde liegt. Der Begriff wird im Folgenden synonym zu dem Begriff der Aktie verwendet.
[7] Mit Ausübung wird die Einlösung des Optionsrechts durch den Halter der Option bezeichnet.
[8] Vgl. Uszczapowski (1999), S.45 f.
[9] Vgl. Aboody/Barth/Kasznik (2001), S.4-5.
[10] Vgl. Uszczapowski (1999), S.54 f.
[11] Im OTC-Markt werden Optionsgeschäfte mit individuellen Kontraktspezifika meist zwischen Banken und Maklern abgewickelt.
[12] Vgl. Hull/White (2002), S.1.
[13] Mit Volatilität wird hier und im Folgenden die Volatilität der Rendite bezeichnet. Der Begriff kann synonym zu der Standardabweichung der Rendite verwendet werden.
[14] Vgl. Black/Scholes (1973), S.640f.
[15] Vgl. Hull (2005), S.359-362.
[16] Die implizite Volatilität meint die am Markt gehandelte Volatilität, die man durch Beobachtung der Optionspreise und derenVerwendung in der B&S-Formel nach der Volatilität auflöst erhält.
[17] Vgl. Dupire (1994), S.1f.
[18] Vgl. Black/Scholes (1973), S.644.
[19] Vgl. Hull (2002), S.299.
[20] Vgl. Cox/Ross/Rubinstein (1979), S.4.
[21] Vgl. Hull (2005), S.80.
[22] Vgl. Uszczapowski (1999), S.126ff.
[23] Vgl. Cox/Ross/Rubinstein (1979), S.21.
[24] Vgl. Cox/Ross/Rubinstein (1979), S.4-10.
[25] Vgl. Cox/Ross/Rubinstein (1979), S.26-32.
[26] Vgl. APB No.25 (1972), § 23.
[27] Vgl. NCEO (2000), zit. bei Hess/Lüders (2001), S.3.
[28] Vgl. APB No.25 (1972), § 19.
[29] Vgl. APB No.25 (1972), S.13.
[30] Vgl. SFAS No.123 (1995), S.4.
[31] Vgl. SFAS No.123 (1995), S.69.
[32] Vgl. SFAS No.123 (1995), § 47.
[33] Vgl. SFAS No.123 (1995), § 48.
[34] Vgl. Hull/White (2002), S.1.
[35] Vgl. Rees/Stott (1998), S.9.
[36] Vgl. Rees/Stott (1998), S.2.
[37] Vgl. Rubinstein (1994), S.16-17.
[38] Vgl. Cox/Ross/Rubinstein (1979), S.7.
[39] Vgl. Rubinstein (1994), S.16-17.
[40] Vgl. Li/Wong (2005), S.100.
[41] Vgl. Cuny/Jorion (1995), S.195.
[42] Vgl. Cuny/Jorion (1995), S.198-199.
[43] Vgl. SFAS No.123 (1995), § 19.
[44] Vgl. SFAS No.123 (1995), § 279-283.
[45] Vgl. SFAS No.123 (1995), § 284-285.
[46] Vgl. SFAS No.123 (1995), § 286-287.
[47] Vgl. Cox/Ross/Rubinstein (1979), S.26-32.
[48] Vgl. SFAS No.123 (1995), § 19 und §273.
[49] Vgl. SFAS No.123 (1995), § 291.
[50] Vgl. SFAS No.123 (1995), § 292-293.
[51] Vgl. Ammann/Seiz (2005), S.22.
[52] Vgl. SFAS No.123 (1995), § 19.
[53] Vgl. Huddart/Lang (1996), S.5-43, zit. bei Ammann/Seiz (2003), S.5.
[54] Vgl. Rubinstein (1994), S.16-17.
[55] Vgl. Agrawal/Mandelker (1987), S.823.
[56] Vgl. Huddart (1994), S.213-215.
[57] Vgl. Huddart (1994), S.218-219.
[58] Vgl. Hull (2002), S. 304.
[59] Vgl. Huddart (1994), S.217-220.
[60] Vgl. Huddart (1994), S.224.
[61] Vgl. Huddart (1994), S.225.
[62] Vgl. Carpenter (1998), S.155.
[63] Vgl. Carpenter (1998), S.131-135.
[64] Vgl. Hull (2005), S.218-219.
[65] Vgl. Merton (1969), S.247-257, zit. bei Carpenter (1998), S.136.
[66] Vgl. Agrawal/Mandelker (1987), S.835-836.
[67] Vgl. Seyhun (1992), S.149-182, zit. bei Carpenter (1998), S.136.
[68] Vgl. Carpenter (1998), S.135-136.
[69] Vgl. Carpenter (1998), S.139-142.
[70] Vgl. Carpenter (1998), S.144 .
[71] Vgl. Carpenter (1998), S.143-145.