Lehren und Lernen im Mathematikunterricht der Grundschule anhand eines Arbeitsmittels - Eine empirische Erkundung mit dem japanischen Abakus Soroban


Examensarbeit, 2006
142 Seiten, Note: 1,7

Leseprobe

Inhalt

1. Einleitung

2. Der Soroban – Ein Exkurs
2.1 Historische Entstehung
2.1.1 Ziffer, Zahl und Abakus
2.1.2 Die Entstehung des Soroban
2.2 Rechnen mit dem Soroban
2.2.1 Vielfalt der Soroban-Variationen
2.2.2 Zahldarstellung natürlicher Zahlen und Dezimalbrüche
2.2.3 Rechenverfahren.
Addition
Subtraktion.
Multiplikation
Division
2.2.4 Fingertechnik

3. Didaktische Anforderungen an Arbeitsmittel
3.1 Sinn und Zweck von Arbeitsmittel
3.2 Didaktische Beurteilungskriterien

4. Der Soroban als Arbeitsmittel in der Grundschule
4.1 Der Soroban für Grundschulkinder
4.1.1 Aufbau und Aussehen des Sorobans
4.1.2 Theoretische Kriterien und Erwartungen an den Soroban

5. Lehren und Lernen mit dem Soroban – Eine empirische Erkundung
5.1 Beweggründe für eine Erkundung am Soroban
5.2 Vorbreitungen und die Auswahl der
Schulkinder
5.3 Transkripte und Erläuterungen zu den
empirischen Untersuchungsergebnisse
Montag, 15. Mai 2006
Mittwoch, 17. Mai 2006
Montag, 22. Mai 2006
Mittwoch, 24. Mai 2006
Montag, 29. Mai 2006
Mittwoch, 31. Mai 2006
Mittwoch, 7. Juni 2006
Montag, 12. Juni 2006
Mittwoch, 14. Juni 2006
Montag, 19. Juni 2006

6. Reflektion und Fazit

Quellen

Abbildungen

Erklärung

Anlagen
1 Elternbrief
2 Soroban-Diplom
3 12x CD-R

Einleitung

Der Abakus gehört zu einer der ältesten Rechenhilfsmittel der Welt und ist trotz heutiger Computertechnologie noch immer in vielen Haushalten und Klassenzimmern als Rechenhilfe für Kinder vertreten. Der Abakus wird häufig im Mathematikunterricht der Grundschule verwendet und ist unter anderem auch unter den Begriffen Rechenschieber, russische Rechenmaschine oder Kugelrechenbrett bekannt. Obwohl der Abakus in der Didaktik der Mathematik als hilfreiches Arbeitsmittel für Kinder anerkannt ist, gibt es sogar noch immer den abwertenden Ausdruck der Idiotenharfe.

Egal unter welchem Begriff uns der Abakus bekannt ist, in den westlichen Kulturen denken wir sofort an einen Rahmen mit zehn Stäben mit je zehn Kugeln, angepasst an das Dezimalsystem.

Doch es existieren auch andere Varianten des Abakus, die in asiatischen Ländern vor mehreren hundert Jahren entstanden.

Im Folgenden soll einer dieser asiatischen Rechenmaschinen genauer für den Einsatz im Mathematikunterricht der Grundschule betrachtet werden: der japanische Abakus Soroban.

Entstanden ist die Idee bei einem Besuch am 30. Nov. 2006 im Arithmeum in Bonn, einer zentralen Einrichtung der Rheinischen Friedrich-Wilhelms-Universität dieser Stadt. Das Arithmeum stellt verschiedenste Rechenmaschinen aus vergangener und heutiger Zeit aus und sollte mir als Inspiration für ein Arbeitsmittel für die Grundschulmathematik verhelfen.

Diese Inspiration sollte nicht zu einer Ideenfindung für ein komplett neues Arbeitsmittel dienen, da ich kurz zuvor mit Prof. Dr. Dr. E. Ch. Wittmann per E-Mail in Kontakt stand, der mir Folgendes riet: „Bei Arbeitsmitteln vertrete ich ganz entschieden die These ‚Weniger ist mehr’. Daher möchte ich Sie ermuntern, lieber mit einem bewährten, schon vorhandenen Material zu arbeiten.“

Als ich im Museum auf den Soroban aufmerksam wurde, prasselten die Ideen regelrecht auf mich nieder: Eine jahrhunderte alte Rechenhilfe aus Japan sollte zu einem grundschulgerechten Arbeitsmittel für den Mathematikunterricht werden. Zum einen faszinierte es mich, dass dieser Rechenrahmen zwar sehr alt ist, aber noch heute vereinzelt in Japan verwendet wird, so dass es sich aufgrund dessen um eine sehr sinnvolle Rechenhilfe handeln muss. Der historische Hintergrund und das Rechnen auf dem Soroban werden in Kapitel 2 behandelt.

Zum anderen aber ist der Soroban an deutschen Grundschulen völlig unbekannt, so dass eine empirische Untersuchung, mit Kindern ohne frühere Erfahrungswerte auf diesem Gebiet, stattfinden konnte, was ich als besonders spannend empfand.

Welche didaktischen Anforderungen ein Arbeitsmittel generell erfüllen sollte wird in Kapitel 3 beleuchtet.

Da es in Deutschland nicht einfach ist einen Soroban zu erwerben, entschloss ich mich diesen selbst zu bauen. Dies ermöglichte mir gewisse Änderungen bezüglich Aussehen und Handhabung, so dass ein kindgerechter Soroban entstand, der für jedes Schuljahr variabel genutzt werden kann. Wie dieser Grundschul-Soroban aussieht und welche Kriterien und Erwartungen ich an ihn stellte, wird in Kapitel 4 behandelt.

Im Zeitraum vom 15. Mai bis zum 16. Juni 2006 führte ich an einer Leverkusener Grundschule eine empirische Untersuchung mit drei Schulkindern der 3. Klasse über jeweils zehn Übungsstunden durch. Hintergründe und Vorbereitungen, sowie Interviewauszüge und Beschreibungen dieser interessanten Zeit sind in Kapitel 5 aufgeführt und transkripiert.

Wie kamen die Kinder mit der fernöstlichen Rechenstrategie klar? Ist der Soroban ein gutes Arbeitsmittel für die Grundschule? Welche Vor- und Nachteile birgt diese Art des Abakus? Ist die japanische Rechenmaschine eine sinnvolle Unterstützung für Kinder und ihrem Verständnis der Mathematik? All diese Fragen und Vieles mehr werden in Kapitel 6 durch eine Reflexion und das Ziehen eines Fazits beantwortet.

2. Der Soroban – Ein Exkurs

2.1 Historische Entstehung

Die Menschheit bediente sich seit je her verschiedenster Materialien um Begebenheiten der Mathematik für das Leben zu erleichtern. Ob Muscheln, Steine oder Einkerbungen, die eigenen zehn Finger oder die teils paarweise angeordnete Anatomie von Lebewesen; der Mensch war stets erfinderisch und hat zur Erleichterung seiner Aufgaben des täglichen Lebens verschiedene Hilfsmittel geschaffen. Immer wieder wurde beabsichtigt, Wege zu finden, die das Rechnen erleichtern und beschleunigen.

2.1.1 Ziffer, Zahl und Abakus

Die wohl älteste „Rechenmaschine“ ist ca. 30.000 Jahre alt (Abb. 1), ein Holzstück mit eingeritzten Kerben, die eine Zahl / Anzahl darstellen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1

Die bist heute modernste Rechenmaschine und für die meisten auch schnellste und sicherste, ist der Computer.

In der Zeit zwischen diesen beiden Erfindungen entstanden enorm viele Möglichkeiten, um das Rechnen zu erleichtern. Einige dieser Rechenhilfen verschiedenster Kulturen haben sich über Jahrhunderte durchgesetzt, manche hatten ihren Ursprung sogar vor vielen tausend Jahren.

Die noch heute bekannteste und traditionellste Rechenmaschine ist der Abakus in seiner kulturabhängigen Vielfalt. Abakus kommt aus dem Lateinischen (lat. abacus), ursprünglich leitet sich der Name aber von dem griechischem Wort ábax ab und bedeutet Tafel, Tisch, Tablett, denn der Abakus ist ein Rechenbrett, beziehungsweise Rechenrahmen mit aufgefädelten Kugeln oder Steinen, die linear und nach den Stellewerten angeordnet sind. Mit dem Abakus ist es möglich mit den vier Grundrechenarten, Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division zu operieren.

Je nach Kulturraum und Zahlsystem entstanden verschiedene Varianten des Abakus.

Die noch heute bekanntesten Versionen sind der russische Abakus Stschoty (Abb. 2), der Römische Abakus (Abb. 3), der Suan Pan ist die chinesische Variante (Abb. 4), sowie der japanische Abakus Soroban.

Der Stschoty besteht aus durchgehenden Spalten, die waagerecht zu dem Benutzer liegen. Jede Spalte enthält zehn Kugeln, die jeweils den Einerwert des entsprechenden Stellenwertes hat. In leicht abgeänderter Form, aber noch immer mit zehn Kugeln pro Stange, findet die russische Rechenmaschine noch heute Verwendung als Arbeitsmittel im Mathematikunterricht in der Grundschule.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 2

Der Römische Abakus, auch calculi genannt, besteht aus einer Metallplatte mit einer bestimmten Anzahl von parallel angeordneten Schlitzen und darin verschiebbaren Metallknöpfen. Die Rechenmaschine ist in zwei Bereichen eingeteilt. Im oberen Bereich befindet sich pro Spalte jeweils ein Knopf, der den Wert Fünf hat, der untere Bereich besteht jeweils aus vier Knöpfen, die einfach zählen.

Vermutlich mit dem Untergang des römischen Reiches verschwand dieser Abakus.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 3

Der Suanpan wird in China noch heute verwendet und heißt wörtlich übersetzt „Rechenbrett“ (Menninger 1958, II 118). Er besteht aus einem Holzrahmen mit mehreren senkrecht angeordneten Stäben mit jeweils sieben Kugeln. Ein horizontaler Trennungssteg trennt jeweils zwei Kugeln im oberen Bereich und fünf Kugeln im unteren Bereich voneinander. Die zwei Kugeln haben jeweils den Wert 5, die anderen fünf Kugeln zählen einfach. In der Ausgangsposition sind die oberen Kugeln beide am oberen Rand und die unteren fünf Kugeln am unteren Rand. Der Chinese nennt diese Positionen Himmel und Erde.

Jede Spalte kann somit Werte bis 15 aufnehmen, obwohl maximal der Wert 9 für unser Dezimalsystem benötigt wird.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 4

Während der Suanpan seine Ursprünge vermutlich um das 12. Jahrhundert hatte, wurde erst um 1600 die Rechenmaschine auch von den Japanern mit dem Prinzip 2 + 5 übernommen und nannten es Soroban. Erst Ende des 19. Jahrhunderts veränderten die Japaner den Soroban so, dass im oberen Bereich nur noch eine 5er-Kugel war, die unteren fünf Einerkugeln wurden aber beibehalten (Abb. 5).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 5

Erst um 1920 reduzierte sich der Soroban mit seiner heutigen Darstellung mit 1 + 4 (Abb. 6). Der Wert einer Spalte des Sorobans beträgt also 9. Verglichen mit dem Prinzip des Römischen Abakus ist der Soroban dieser Rechenmaschine sehr ähnlich.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 6

Der Soroban basiert auf dem Dezimalsystem, das auf der Welt meist verbreitetes Zahlsystem. Den Grund dafür kann man sich an seinen zehn Fingern abzählen (!), denn seit je her waren die eigenen Finger das naheliegendste Rechenhilfsmittel der Menschheit. Doch auch andere Zahlsysteme entwickelten sich in verschiedenen Kulturen und Epochen. So nutzten die Maya, Azteken und Kelten noch zusätzlich ihre zehn Zehen und hatte somit die 20 als Basis.

Den Sumerern und Babylonier verdanken wir – der eine mehr, der andere weniger – das Zahlsystem mit der 60 als Grundlage, das in unserer Zeitrechnung für Stunde, Minute und Sekunde wieder zu finden ist, ebenso in der 360°-Einteilung des Kreises.

Während die Babylonier für ihre Entdeckung der Null in die Geschichte eingingen, entwickelte sich unsere heutige Zahlschrift des Dezimalsystems in Südasien, die sich weitgehend in der Welt durchgesetzt hat. Auch wenn wir von der arabischen Schrift sprechen, so haben die Inder die zweifellos grandiose Vorlage der Zahlen geliefert. Die Araber übernahmen nach der Eroberung Indiens das indische Zahlsystem und es entwickelte sich über Jahrhunderte hinweg in die bestehende Zahlschrift (Ifrah 1987, 485-486).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten Indisch 8. Jahrhundert

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten Westarabisch 11. Jahrhundert

2.1.2 Die Entstehung des Soroban

Der Soroban und der Suanpan sind noch heute im asiatischen Raum in Gebrauch und nehmen in verschiedenen sozialen Schichten weiterhin einen wichtigen Platz ein. So sind die Rechenmaschinen für fliegende Händler, die weder lesen noch schreiben können, genauso wichtig, wie für gebildete Buchhalter, Kaufleute oder Menschen anderer Berufsgruppen. Auch in den Großstädten der asiatischen Länder, wo moderne Rechner Standartausrüstung jedes Unternehmens sind, wird auf den Soroban oder den Suanpan nicht verzichtet. Gerade für die Japaner, die mitunter die führende Nation auf dem elektronischen Weltmarkt sind, gehört der Soroban zur Grundausrüstung für Alltag, Schule und Beruf. Selbst in asiatischen Immigrantenviertel des Westens, wie beispielsweise in China Town in Manhattan (USA), sind die ostasiatischen Rechenschieber noch zu finden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 7

Dabei hat gerade der Suanpan, aus dem sich der Soroban erst entwickelte, eine lange Tradition.

Nachweisliche Belege zur Erstehung des Suanpan sind nicht bekannt, dafür umso mehr Vermutungen und Spekulationen über den Entstehungszeitraum. Es gibt Behauptungen, der Suanpan wurde schon 500 v. Chr. erfunden, während authentische Quellen (Kojima, 1963) belegen, dass die Rechenmaschine erstmals während der Song-Dynastie (960-1279) in Erscheinung trat und sich um die Zeit der Ming-Dynastie (1368-1644) im asiatischen Raum weiter verbreitete. Die Entwicklung der chinesischen Zivilisation dauerte sehr lange an und das Land war hauptsächlich ein von Nomaden bevölkerter Agrarstaat. Die Notwendigkeit einer schnellen Berechnung wurde erst mit dem Anstieg von Handelsgeschäften im größeren Maße wichtig und somit das Interesse an der Rechenmaschine enorm. Das bis dato umständliche Rechnen mit den tche’ou, durch vertikales und horizontales Legen von Stäbchenkombinationen auf einem Brett (Abb.8), wurde durch das schneller Rechenverfahren mit dem Suanpan abgelöst.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 8

Das Rechenverfahren auf dem Suanpan fand allerdings nie Anklang in der westlichen Welt. Das lag zum einen daran, dass die Chinesen kein Interesse hatten, ihre Rechenmaschine zu popularisieren, da sie nur den Zweck des schnellen Rechnens erfüllen sollte, zum anderen konnte sich die Zählweise mit 15 Einheiten pro Stange nicht gegen das Dezimalsystem in westlichen Ländern durchsetzen.

Trotzdem gab es noch bis zum Untergang des römischen Reichs im 5. Jahrhundert n. Chr. eine ähnliche Variante des Suanpan, bzw. des heutigen Soroban: der Römische Abakus. Durch die Ähnlichkeit mit dem Römischen Abakus gibt es Vermutungen darüber, dass dieser als Vorlage für den Suanpan diente. Erfunden war der Römische Abakus zu Beginn der christlichen Zeitrechnung, denn eine Darstellung der Rechenhilfe ist schon auf einem römischen Sarkophag aus dem 1. Jahrhundert n. Chr. zu finden (Menninger 1958, II 114).

Zwischen China und dem römischen Reich war schon 200 v. Chr. ein reger Handel mit Seide, Eisen und Fellen entstanden, und so ist es nicht verwunderlich, dass die Chinesen die römischen Rechenhilfe als Intention ihres eigenen, leicht abgewandelten Abakus gebrauchten. Wenn nun aber die Spekulation über die Ersterscheinung des Suanpan schon 500 v. Chr. korrekt ist, dann haben die Römer möglicherweise ein Plagiat des Soroban geschaffen. Vielleicht haben beide Kulturen aber auch nur zufällig zu unterschiedlichen Zeitpunkten ähnliche Rechenmaschinen erfunden.

In Japan wurde der Suanpan etwa im 16. Jahrhundert aus China eingeführt. Vermutlich aufgrund des südlichen Dialekts wurde Suanpan zu S oopan oder Surpan in der Mandschurei, und aufgrund der Dialekte und unterschiedlicher Aussprachen entwickelte sich der Name Suanpan zu Soroban. Bis zur politischen Revolution 1868 wurden in Japan der Abakus mit zwei Fünf- und fünf Ein-Zähler-Kugeln benutzt. Nach der Revolution ist der Soroban auf einer Fünf- und fünf Ein-Zähler-Kugeln pro Stab reduziert worden und die chinesische Variante verschwand völlig aus Japan.

Seit etwa 1940 hat auch der effektivere, neue Soroban mit einer Fünf- und vier Ein-Zähler-Kugeln den älteren japanischen Abakus ersetzt.

Gleichzeitig zur japanischen Form gab es auch den Koreanischen Abakus Tschu Pan und den Vietnamesischen Abakus Ban Tuan, die auch jeweils 1 + 4 Perlen besitzen.

2.2 Rechnen mit dem Soroban

Warum hat sich in Japan eine eigene, abgeänderte Variante des Suanpan durchgesetzt? Aus welchem Grund benutzen die Japaner die 4 + 1-Methode anstatt der chinesischen 5 + 2-Vorgehensweise? War denn die zwischenzeitliche Version mit 5 + 1 nicht der logischere Soroban?

Betrachte man den Anzahlwert der Kugeln bezogen auf unser Dezimalsystem erscheint uns die 5 + 1-Methode sicherlich als die schlüssigste, denn jede Spalte besitzt eine Kugel mit dem Wert 5 und fünf Kugeln mit einfachem Wert. Insgesamt hat jede Spalte die Anzahl 10, während der Suanpan mit 5 + 2 einen Anzahlwert von 15 pro Spalte hat, da er zwei fünfwertige und fünf einwertige Kugeln besitzt.

Der Soroban hat demzufolge den Gesamtwert von 9 pro Spalte mit einer Fünferkugel und vier Einerkugeln.

Die Reduzierung beim Soroban auf ein Minimum an Kugeln pro Spalte birgt allerdings den Vorteil, dass durch eine schnellere Handhabung das Ergebnis auch schneller vorliegt. Allerdings wird mehr Kopfarbeit abverlangt.

Dass sich der Soroban noch bis heute, dem Zeitalter der elektronischen Rechenmaschinen durchsetzen konnte, liegt also nicht zuletzt an seiner schnelle Handhabung und dem geübten Kopfrechnen des Benutzers.

Dies bewies ein Wettkampf in Tokio aus dem Jahr 1945 als der Japaner Kiyoshi Matsuzaki mit dem Soroban gegen den Amerikaner Thomas Nathan Wood antrat, der als „bester Bediener elektrischer Rechenmaschinen in Japan“ hervorging (Ifrah 1987, 154). Das Calculating Match wurde unter der Schirmherrschaft der amerikanischen Armeezeitung Stars and Stripes vor 3000 Zuschauern ausgetragen. Das Sensationsergebnis (Abb. 9) wurde von Stars and Stripes wie folgst kommentiert: „Die Maschine hat gestern im Ernie Pyle-Theater (Austragungsort des Matschs in Tokio) einen Rückschlag hinnehmen müssen, als das Jahrhunderte alte Kugelbrett die modernste Rechenmaschine der Vereinigten Staaten vernichtend schlug.“ (Ifrah 1987, 155)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 9

Während die japanische internationale Schule in Düsseldorf auf Nachfrage die Verwendung des Soroban im Unterricht verneinte, wird noch in Japan und in einigen wenigen Schulen im Westen der japanische Abakus in der Schule genutzt. Besonders blinde Kinder profitieren mit der Arbeit auf dem Soroban, da sie durch das handlungsorientierte Rechnen mit dem Rechenrahmen jegliche Aufgaben lösen können.

Da auch heute noch japanische Schüler auf dem Soroban ausgebildet werden und viele Japaner so geübt im Rechnen mit dieser Art von Kugelrechenbrett sind, ist es nicht verwunderlich, dass noch immer jährlich in Japan der Weltmeister im Soroban-Rechnen gekürt wird. Sogar die Kreisstadt Annaberg-Buchholz in Zusammenarbeit mit dem Adam-Ries-Bund e.V. und dem Rekord-Klub SAXONIA rief 2004 im Rahmen der Weltmeisterschaft im Kopfrechnen ebenso die Rechenmeister mit dem Soroban auf um bei genügend Anmeldungen eine eigene Kategorie mit diesem Hilfsmittel zu gestalten. Leider kam aus Mangel an Anmeldungen diese Wettbewerbsart nicht zu Stande.

Während sich der Bediener einer elektronischen Rechenmaschine lediglich auf die Eingabe von Ziffern beschränken muss, leistet der Benutzer des Sorobans ein großes Potenzial an Kopfrechnen und erhält sich seine Rechenfertigkeit.

Natürlich kann man Fehler nie ausschließen, aber sicherlich kann keiner behaupten, sich niemals auf dem Taschenrechner vertippt zu haben.

2.2.1 Vielfalt der Soroban-Variationen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Es gibt viele verschiedene Ausführungen des Sorobans (Abb. 10). Dabei unterscheiden sich die verschiedenen Arten durch das Material des Rahmens und der Kugeln, das von Edelholz, über Jade bis hin zu Kunststoff und Metall reicht um den Ansprüchen des Benutzers gerecht zu werden. Abb. 10

So erlangt eine farbige Gestaltung der Kugeln die Beliebtheit bei Kindern, die schon im Alter von 3 bis 5 Jahren im Kindergarten oder in Vorschulkursen spielerisch mit dem Kinder-Soroban ihre Fingerfertigkeit und das Zahlverständnis üben können (Abb. 11).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 11

Auch für Menschen mit eingeschränkter Feinmotorik der Fingern wird durch einen speziellen Soroban geholfen, indem die Abstände der einzelnen Perlenreihen und die Kugeln vergrößert sind.

Der „Soroban für die Handtasche“ misst gerade mal 95 x 52 mm und besteht aus sieben Reihen, hingegen einer der größten Rechenschieber aus 27 Reihen besteht und über Abmessungen von etwa 400 x 70 mm verfügt (Abb. 12). Allerdings handelt es sich hierbei noch um die 5 + 1-Variante, die noch aus den 1920er Jahren stammt, als der Soroban noch nicht auf die Minimalanzahl von Kugeln reduziert wurde.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 12

Technische Raffinessen und Innovationen machten auch vor einer traditionellen Rechenmaschine nicht Halt. Der Soroban mit Rückstellmechanik erleichtert durch einen Druckknopf, der zwei parallele Stangen am Mittelsteg spreizen lässt, die schnelle Regulierung auf die Nullstellung (Abb. 13).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 13

Das wohl außergewöhnlichste Exemplar ist der Soroban mit integriertem elektronischem Taschenrechner der Firma Sharp (Abb. 14). Diese etwas eigenwillige Konstruktion markiert durchaus den Übergang von mechanischen zu elektronischen Rechengeräten.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 14

2.2.2 Zahldarstellung natürlicher Zahlen und Dezimalbrüche

Um mit dem Soroban rechnen zu können, muss man zuerst wissen, wie man Zahlen auf der Rechenmaschine darstellt. Die Zahlen auf dem Soroban ähneln unserer herkömmlichen arabischen Schreibweise in Bezug auf die Stellungen der Zehnerpotenzen. Jede Spalte repräsentiert einen Stellenwert, aufsteigend mit der Einerstelle beginnend von rechts mit 100 bis nach links 10n, je nach Größe des Sorobans. Die vier Kugeln im unteren Bereich der Querstrebe stehen für eine Einheit und die Kugeln im oberen Bereich haben den Wert 5 des jeweiligen Stellenwerts.

Die Ausgangsposition mit dem Wert 0 zeigt sich, wenn alle Fünferkugeln am oberen Rand und alle Einerkugeln am unteren Rand – dem Himmel und der Erde – verweilen, also keine Kugel an der Querstrebe liegt. Der Soroban zeigt dann die Zahl 0.

Erst durch das Verschieben der Kugeln an die Querstrebe erhalten diese einen entsprechenden Wert.

Die folgende Abbildung 15 zeigt eine Darstellung der Zahl 825 auf dem Soroban. An der Querstrebe erkennt man, beginnend bei der Einerstelle, die Fünferkugel, weiterhin zwei Einer auf der Spalte der Zehnerstelle und der folgende Stellenwert 10² hat an der Strebe eine Fünferkugel und drei Einerkugeln, insgesamt also acht Hunderter, anliegen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 15

Arithmetisch kann man dies wie folgt darstellen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Im Vergleich hierzu betrachte man die Darstellung, ebenfalls der Zahl 825 an dem chinesischen Suanpan und dem russischen Stschoty.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 16

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 17

Die Darstellung der Zahl 825 am Suanpan (Abb. 16) ist gleich der Darstellung am Soroban, obwohl man individuell in der Einerspalte die fünf Einer statt einer Fünferkugel hätte wählen können. Doch durch die größere Vielfalt der Zahldarstellung aufgrund von zwei Fünferkugeln und fünf Kugeln des einfachen Wertes pro Stellenwert, ist eine direkte Bündelung für ein schnelleres Ablesen der Zahl vorteilhaft.

Am Stschoty hingegen sind zehn Kugeln mit einfachem Wert pro Stange für den jeweiligen Stellenwert gegeben (Abb. 17). Zwei Kugeln, die fünfte und die sechste, sind farblich gekennzeichnet und unterstützen damit die simultane Zahlerkennung. Ein weiterer Unterschied ist die Handhabung, da der Bediener der Rechenmaschine diese mit den Spalten horizontal vor sich hält, so dass die Zahldarstellung von unten nach oben verläuft. Die unterste Reihe zeigt am Beispiel fünf Kugeln für die Einerstelle, zwei für die Zehnerstelle und acht für die Hunderterstelle und man kann am linken Rand die Zahl 825 ablesen.

Die Anzahl der vorhandenen Stellenwerte der drei Rechenmaschinen sind für die Veranschaulichung der Darstellungsunterschiede frei gewählt. Gewöhnlich besteht ein Soroban aus zwölf bis fünfzehn Stäben, so dass Zahlen bis zu 1015-1 dargestellt werden können. Wenn demzufolge alle Kugeln des Sorobans an den Quersteg geschoben werden, erhält man die Zahl 999.999.999.999.999, also eine

Billiarde – 1.

Die Anordnung der Einer-, Zehner-, Hunderter- usw. Stelle auf dem Soroban ist aber nicht zwingen. Diese Stellen könne auch für Dezimalbrüche genutzt werden, folglich Nachkommastellen. Dies ist wichtig bei der Berechnung mit Geldwerten, Gewichten, Größen und weiteren Maßzahlen.

Dafür wählt man meistens die Stäbe rechts auf dem Soroban, je nach Anzahl der Darstellung der Kommastelle und ist dennoch individuell abhängig vom Benutzer des Sorobans.

2.2.3 Rechenverfahren

Auf dem Soroban sind die vier Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division durchführbar und beruhen auf der Darstellung der natürlichen Zahlen im Dezimalsystem. Aber auch das Ziehen von Quadrat- und Kubikwurzeln sind möglich, worauf aber nicht näher eingegangen wird, da es für den weiteren Verlauf in Bezug auf die empirische Erkundung nicht relevant sein wird.

Dafür wird das Rechnen mit den Nachkommastellen berücksichtigt, was vorwiegend beim Berechnen mit Maßeinheiten, wie Währung, Gewichten, etc. von Bedeutung ist.

In Bezug auf die Grundrechenarten weist das Agieren mit Nachkommastellen keinen Unterschied zum Rechnen mit natürlichen Zahlen auf. Aus diesem Grund zeigen die folgenden Unterkapitel die Vorgehensweise der Berechnung der jeweiligen Grundrechenarten anhand von Beispielaufgaben mit natürlichen Zahlen im dekadischen System.

Das Verfahren der vier Grundrechenarten auf dem Soroban erfolgt durch Verschieben der Kugeln in die entsprechenden Stellen. Beim Überlauf einer Stelle erfolgt der Übertrag in die nächste Stelle. Um dies zu gewährleisten kommt das arithmetische Komplement zu trage. Diese Hilfskonstruktion für die Addition und für die Subtraktion beruht auf einem Wert, der sich aus der Differenz eines Basiswertes und einer davon abgezogenen kleineren Zahl ergibt. Innerhalb eines Stabes ist das arithmetische Komplement zur Basis 5 von Bedeutung, während bei einem Zehnerübergang das arithmetische Komplement zur Basis 10 in Erscheinung tritt.

Die Zahlen der Beispielaufgaben sind so gewählt, dass verschiedene Situationen von Rechenschritte dargestellt werden, die bei Berechnungen auf dem Soroban entstehen können.

Im Folgenden werden alle Zwischenschritte zur Berechnung der Aufgaben grafisch dargestellt. Die Darstellung der Kugeln wird mit Kreisen verdeutlicht, weiterhin aber bei Erläuterungen als Kugeln bezeichnet. Um die grafischen Darstellungen noch zu verdeutlichen, sind die Kugeln grau hinterlegt, die derzeitig zählen, also an der Querstrebe verweilen. Kugeln, die während eines Rechenschrittes hinzu- oder abgezogen werden, sind ebenfalls farbig hinterlegt (grün für +, rot für -) und gleichzeitig durch entsprechende Pfeilrichtungen gekennzeichnet.

Die Querstrebe wird durch einen markanten Strich abgebildet.

Die Addition

Beispiel: 2 584 125 + 682 753

1. Schritt

Darstellung des 1. Summanden 2 584 125

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2. Schritt

Man beginnt nun den 2. Summanden zu addieren, indem man mit der Einerstelle der Zahl beginnt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Schritt 3

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Da der Soroban eine Fünferbündelung mit der Kugel im oberen Bereich aufweist, wird diese zur Querstrebe verschoben. Im unteren Bereich verändert sich nichts.

Es wurde der Wert 50 addiert.

Der Stellenwert 101 zeigt 2 + 5 = 7

Schritt 4

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Hier mussten schon zwei Handlungen vollzogen werden. Die 7 wird durch das Verschieben der Fünferkugel im oberen und zwei Einerkugeln im unteren Bereich erreicht. Insgesamt wurden so 7 hinzugezählt.

Es wurde der Wert 700 addiert.

Der Stellenwert 102 zeigt 1 + 5 + 2 = 8

Schritt 5

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Da im unteren Bereich nicht mehr ausreichend Einerkugeln mehr vorhanden sind, muss die Fünferkugel entbündelt werden. Das geschieht in zwei Schritten, indem man die Fünferkugel an die Querstrebe schiebt und im unteren Bereich drei Einerkugeln subtrahiert (5 – 3 = 2) – das arithmetische Komplement zur Basis 5.

Es wurde der Wert 2000 addiert.

Der Stellenwert 103 zeigt 4 + 5 – 3 = 6

Schritt 6

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Auch bei diesem Vorgang müssen zwei Schritte durchgeführt werden. Diesmal wird aber in den nächsten Stellenwert eingegriffen. Man borgt sich eine Kugel der nächst größeren Stelle, die man mit dem Wert 10 betrachtet, denn in diesem Fall steht sie analog für die 100 000. Da man nun 10 addiert hat, aber nur 8 benötigte, werden 2 wieder abgezogen (10 – 2 = 8) – das arithmetische Komplement zur Basis 10.

Es wurde der Wert 80 000 addiert.

Der Stellenwert 104 zeigt 8 + 10 – 2 = 16, wobei der Zehner in des folgenden Stellenwerts 105 steht.

Schritt 7

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der letzte Vorgang benötigt sogar drei Schritte. Da die entsprechende Spalte nicht ausreichend Kugeln vorweist, muss auch hier von der nächstgrößeren Stelle eine Einerkugel geborgt werden. So hat man 10 hinzugezogen, was analog für die Dezimalstelle 106 die 1 000 000 bedeutet.

Weil man aber 6 und nicht 10 hinzu addieren wollte, müssen 4 subtrahiert werden. Allerdings sind nicht mindestens vier Einerkugeln an der Querstrebe vorhanden, so dass der Wert der verfügbaren Fünferkugel entbündelt werden muss. Es werden 5 subtrahiert und der Wert einer Einerkugel addiert (10 – 5 + 1 = 6) – das arithmetische Komplement zur Basis 10 und zur Basis 5.

Es wurde der Wert 600 000 addiert.

Der Stellenwert 105 zeigt 6 + 10 – 5 + 1 = 12, während der Zehner in der Spalte 106 und der Einer in der Spalte 105 wieder zu finden ist.

Schritt 8

Das Ergebnis der Aufgabe 2 584 125 + 682 753 lautet 3 266 878 und ist wie folgt auf der Grafik ablesbar:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Vorgang auf dem Soroban weist Parallelen zum Schriftlichen Rechenverfahren auf, denn auch hier wird mit den Ziffern der jeweiligen Stellenwerte gerechnet.

Die Besonderheit ist allerdings, dass die Addition die Subtraktion nicht ausschließt, indem das arithmetische Komplement zu Trage kommt. Ist ein Zehnerübergang nötig, so werden erst 10 hinzugezählt und die entsprechende Differenz der eigentlich zu addierenden Zahl wieder abgezogen. Diese Hilfskonstruktion ist ebenfalls zur Entbündelung der Fünferkugel wichtig, also für die Basis 5.

Die Mischung aus Addition und Subtraktion geschieht bei der schriftlichen Addition nicht, da der entstandene Übertrag erst nachfolgend hinzugezogen wird und für den jeweiligen berechnenden Stellenwert nicht relevant ist.

Das wäre am Soroban zwar auch möglich, würde aber eine aufwendigere Art des zählenden Rechnens abverlangen. Deshalb ist die „Addition-Subtraktion-Methode“ sinnvoller, verlangt aber mehr Kopfrechnen, was aber keineswegs einen Nachteil darstellen sollte.

Der demonstrierte Vorgang am Soroban würde arithmetisch dargestellt wie folgt aussehen:

2 584 125 + 3 + 50 + (500 + 200) + (5000 – 3000) + (100 000 – 20 000) + (1 000 000 – 500 000 + 100 000)

Nach der Auflösung der Klammern und der Darstellung in halbschriftlicher Schreibweise kann man den Rechenweg folgendermaßen verdeutlichen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1. Schritt

Darstellung des Minuenden 5 562 784

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2. Schritt

Der Subtrahend wird nun schrittweise, beginnend mit der Einerstelle, subtrahiert.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Zwei einzelne Kugeln werden von den vier Kugeln an der Querstrebe abgezogen.

Der Stellenwert 100 zeigt 4 - 2 = 2

Schritt 3

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Hier sind zwei Handlungen nötig. Durch die vorhandene Fünferbündelung im oberen Bereich der Querstrebe wird abgezogen, sowie eine Einerkugel von dem unteren Bereich.

Ingesamt wurden sechs Einheiten des Stellenwerts, also 60, subtrahiert.

Der Stellenwert 101 zeigt 8 - 6 = 2

Schritt 4

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Auch hier mussten zwei Handlungen vollzogen werden. Dieser Stellenwert stellte 7 in Form eines Fünfers dar - und zwei Einerkugeln an der Querstrebe. Da nun 3 abgezogen werden soll, dies aber durch die geringe Anzahl der Einerkugeln nicht möglich ist, wird die Fünferkugel entbündelt, indem diese Kugel abgezogen wird – das arithmetische Komplement zur Basis 5. Weil man aber nur 3 statt 5 abziehen wollte, müssen 2 Einerkugeln hinzu gezogen werden und der Soroban zeigt nun die Kugelanzahl 4.

Es wurde ein Wert von 300 subtrahiert.

Der Stellenwert 102 zeigt 7 - 5 + 2 = 4

Schritt 5

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bei diesem Vorgang sind drei Schritte nötig. Da die zu behandelnde Spalte nicht ausreichend an Kugeln an der Querstrebe verfügt, wird von dem nächstgrößeren Stellenwert eine Einerkugel abgezogen – das arithmetische Komplement zur Basis 10. Dies ist mit -10 gekennzeichnet, denn in diesem Fall steht sie analog für 10 000.

Nachdem dieser Wert subtrahiert wurde, muss die Differenz wieder ausglichen werden. Dies geschieht durch hinzufügen einer Fünfer- und einer Einerkugel mit dem Gesamtwert von 6. Nun wurde von dem entsprechenden Stellenwert 4 subtrahiert.

Es wurde der Wert 4000 subtrahiert.

Der Stellenwert 103 zeigt 2 + 5 + 1 = 8, wobei der geborgte Zehner - 10 von dem Stellenwert 104 subtrahiert wurde.

Schritt 6

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Situation ähnelt dem letzten Vorgang. Auch hier muss man sich des nächstgrößeren Stellenwerts bedienen. Diesmal kann aber nicht auf eine Einerkugel zurückgegriffen werden, da nur eine Fünferkugel vorhanden ist. Somit wird diese abgezogen, dafür dennoch vier Einerkugeln hinzugezogen, damit es auf einen geborgten Zehner hinausläuft – das arithmetische Komplement der Basis 5, sowie der Basis 10.

Da dies jedoch immer noch zu viel Differenz ist, werden vier Einerkugel der aktuellen Spalte hinzugezählt und folglich ein Wert von 60 000 subtrahiert.

Der Stellenwert 104 zeigt 5 + 4 = 9, wobei der geborgte Zehner (- 50 + 40) von dem Stellenwert 105 subtrahiert wurde.

Schritt 7

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der letzte Vorgang benötigt sogar vier Schritte, ähnelt jedoch Schritt 5 und Schritt 6.

Zum einen wird sich wieder ein Zehner geborgt, da die aktuelle Spalte nicht ausreichend Kugeln aufweist (arithmetisches Komplement zur Basis 10). Da nur eine Fünferkugel in der nächst größeren Spalte vorhanden ist, wird sie entbündelt, indem man die Fünferkugel abzieht und vier Einerkugeln hinzu zieht (arithmetisches Komplement zur Basis 5).

In der aktuellen Spalte muss nun die Differenz 3 (-50 + 40 – 7 = 3), die durch das Borgen entstanden ist, dazu gelegt werden. Das ist auf Anhieb nicht möglich, weil nur noch zwei Einerkugeln zur Verfügung stehen. So muss auch die Fünferkugel der aktuellen Spalte entbündelt werden (arithmetisches Komplement zur Basis 5), während man die 5 hinzuzählt und zwei Einerkugeln wieder abzieht (5 – 2 = 3).

Es wurde ein Wert von 700 000 subtrahiert.

Der Stellenwert 105 zeigt 4 + 5 – 2 = 7, wobei der geborgte Zehner (- 50 + 40) von dem Stellenwert 106 subtrahiert wurde.

Schritt 8

Das Ergebnis der Aufgabe 5 562 784 – 764 362 lautet 4 798 422 und ist wie folgt auf der Grafik ablesbar:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dieser Vorgang der Subtraktion auf dem Soroban zeigt ebenfalls Parallelen zum Schriftlichen Verfahren aufgrund des Ziffernrechnens.

Trotz der verwendeten Subtraktion, kommt dieses Verfahren ohne die Anwendung der Addition nicht aus. Es gibt beim schriftlichen Subtraktionsverfahren ebenfalls die Möglichkeit der Einbindung der Addition, da es neben der Methode des Abziehens (Wegnehmen des Subtrahenden zum Minuenden ergibt die Differenz) auch den Vorgang des Ergänzens (Ergänzen des Subtrahenden zum Minuenden durch die Differenz) gibt. Allerdings ist die Technik des Subtraktionverfahrens am Soroban ungewöhnlich im Vergleich mit den bekannten Arbeitsweisen der schriftlichen Subtraktion. Neben der Erweiterungstechnik und der Auffülltechnik, kommt die Borgetechnik dem Verfahren am Soroban wohl am nächsten, weil bei der Borgetechnik entbündelt wird. Ist der Minuend gegenüber dem Subtrahenden zu klein, borgt man sich einen Zehner der nächstgrößeren Stelle. Diese Vorgehensweise ist bis hier identisch mit dem Verfahren am Soroban. Während man beim Schriftlichen Verfahren den geborgten Zehner mit dem Minuenden addiert und den Subtrahenden abzieht, wird beim Rechnen auf dem Soroban der Minuend vorerst nicht beachtet, sondern vom geborgten Zehner die Differenz zum Subtrahenden ermittelt und diese zum Minuenden addiert.

Beispiel: 614

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Versucht man die schriftliche Vorgehensweise am Soroban schrittweise nachzuahmen, stößt man sehr schnell an seine Grenzen und versteht, warum ein eigenes Verfahren für den Soroban, aber auch anderen Abakusarten, von Bedeutung ist. Während man auf einer Stellentafel jeden beliebigen Stellenwert entbündeln kann, ist dies mit einer Holz- oder Plastikkugel nicht möglich. Dafür geschieht dieser Rechenvorgang im Kopf des Soroban-Benutzers.

Deshalb wird bei dem Subtraktionsverfahren auf dem Soroban das arithmetische Komplement genutzt, zum einen das Komplement zur Basis 5, zum anderen das Komplement zur Basis 10.

[...]

Ende der Leseprobe aus 142 Seiten

Details

Titel
Lehren und Lernen im Mathematikunterricht der Grundschule anhand eines Arbeitsmittels - Eine empirische Erkundung mit dem japanischen Abakus Soroban
Hochschule
Universität zu Köln
Note
1,7
Autor
Jahr
2006
Seiten
142
Katalognummer
V66302
ISBN (eBook)
9783638584586
Dateigröße
1745 KB
Sprache
Deutsch
Anmerkungen
Schlagworte
Lehren, Lernen, Mathematikunterricht, Grundschule, Arbeitsmittels, Eine, Erkundung, Abakus, Soroban
Arbeit zitieren
Simone Marek (Autor), 2006, Lehren und Lernen im Mathematikunterricht der Grundschule anhand eines Arbeitsmittels - Eine empirische Erkundung mit dem japanischen Abakus Soroban, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/66302

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