Die optimale Stoppregel - Die 1/e Regel

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Das Sekretärinnen Problem
2.1 Theoretische Formulierung des Problems
2.2 Mathematischer Lösungsansatz
2.3 Anwendbarkeit der 1/e Regel
2.4 Variationen des Sekretärinnen Problems
2.4.1 Das unlimitierte Sekretärinnen Problem mit Rückruf
2.4.2 Sekretärinnen Problem mit zwei Entscheidern

3 Simulation
3.1 Aufbau der Simulation
3.2 Ergebnisse der Simulation

4 Schlussbetrachtung

Abbildungsverzeichnis

3.1 Ergebnisse bei 100 Bewerbern und 30.000 Durchläufen

3.2 Wahrscheinlichkeit bei 100 Bewerbern und 30.000 Durchläufen

3.3 Ergebnisse bei 1000 Bewerbern und 30.000 Durchläufen

3.4 Wahrscheinlichkeit bei 100 Bewerbern und 30.000 Durchläufen

1 Einleitung

In gewissen Situationen stehen Entscheider vor der Frage, wann sie eine einen Kan- didaten akzeptieren sollen. Unter welchen Voraussetzungen sollen Bewerber akzeptiert werden und unter welchen Voraussetzungen sollte auf den nächsten gewartet werden.¹

Es gibt sehr viele Situationen, in denen sich Entscheider diese Frage stellen. Die Frau von Johannes Kepler starb in sehr jungen Jahren und der Witwer stand nun vor der Frage, welche Werberin er zu seiner zweiten Frau machen sollte. Da er nur begrenzt Zeit hatte und eine Entscheidung treffen musste, musste auch er abwägen, welche Bewerberin er akzeptieren sollte.²

Stellen sie sich eine weitere Situation vor. Als Pendler fahren Sie jeden Freitag von der Helmut-Schmidt-Universität durch Hamburg zur BAB7, um nach Flensburg zu gelangen. Ein Blick in Ihr Auto genügt um festzustellen, dass das Benzin nicht bis nach Flensburg reichen wird. Da Sie wissen, dass die Preise auf den Autobahnen durchschnittlich höher sind, als innerorts, müssen Sie entscheiden, welche Tankstelle sie nutzen sollen. Plausibel ist es zunächst eine gewisse Zahl an Tankstellen zu passieren und sich den günstigsten Preis zu merken. Ab einen bestimmten Zeitpunkt sollten sie tanken, da Sie sonst Gefahr laufen auf die Autobahn aufzufahren ohne getankt zu haben. Welcher Zeitpunkt ist nun aber der Beste? Wie maximieren Sie die Wahrscheinlichkeit, an der günstigsten Tankstelle zu tanken?

Diese Frage soll in dieser Arbeit erläutert werden. Zunächst wird das Modell mit all seinen Voraussetzungen vorgestellt. Anschließend sollen die mathematischen Lösun- gen erläutert werden. Der zweite Teil der Arbeit befasst sich mit einer Simulation zum oben genannten Problem und seiner mathematischen Lösung. Der Anschaulichkeit hal- ber wurde diese Simulation mit Microsoft Excel programmiert. Die Ergebnisse lassen sich hier einfacher und anschaulicher darstellen, als zum Beispiel mit C++ oder anderen Programmiersprachen. Der Nachteil dieser Simulation und der genutzten Programmier- sprache liegt in der zeitlichen Beanspruchung der Ressource. Da Excel die einzelnen Ergebnisse am Bildschirm darstellt, geht sehr viel Zeit damit verloren.

2 Das Sekretärinnen Problem

2.1 Theoretische Formulierung des Problems

Probleme der besten Wahl sind in der Literatur weit verbreitet. Solche Probleme entste- hen bei Kauf- und Verkaufsentscheidungen, sowie bei der Einstellung von Bewerbern.^[1] Die optimale Strategie zu einem optimal-choice problem wird in der Literatur mit dem Sekretärinnen Problem dargestellt. Das Modell zu diesem Problem ist recht einfach. Eine bestimmte Anzahl Anwärterinnen auf eine Stelle sprechen nacheinander bei dem zukünf- tigen Chef vor. Dieser kann ihnen auf der Stelle zusagen oder muss sie ablehnen. Ist eine Bewerberin einmal aus dem Büro gegangen, gibt es keine Möglichkeit sie wieder einzula- den. Da der Chef stets die beste Sekretärin einstellen will, stellt sich die Frage, wann er welche einstellen soll. Dieses Modell lässt sich sehr einfach auf andere Situationen um- formulieren.^[2]Im klassischen Sekretärinnen Problem ist das Ziel, die Wahrscheinlichkeit zur Auswahl des besten Kandidaten zu maximieren.³

Welche Sekretärin soll der Chef nun wählen? Nehmen wir an es kämen 10 Bewerbe- rinnen. Da man vorher keine Vorentscheidung und Rangfolge erstellen konnte, sind die Bewerberinnen gemischt und bei allen ist die Möglichkeit gleich groß, dass sie die Beste ist. In unserem Fall beträgt die Wahrscheinlichkeit 10 . Damit die Entscheidung einfa- cher zu treffen ist, vergibt der Chef Noten für den Eindruck und die Qualifikation jeder Bewerberin. Nehmen wir an, der ersten Bewerberin habe er die Schulnote 2,7 gegeben. Die zweite Bewerberin erhält eine 3,5 als Note. Da diese Note schlechter als die erste ist, muss er diese verwerfen. Er kann also nur fragen, ob er die Bewerberin annimmt, wenn die aktuelle Bewerberin besser ist, als alle bisher geprüften. Je länger er mit der Annahme einer Bewerberin wartet, desto höher ist die Wahrscheinlichkeit die beste be- reits nicht angenommen zu haben. Bruss schlägt eine Variation des Modells vor, um die Wahrscheinlichkeit zu erhöhen, die Beste zu wählen. Dazu soll man die ersten fünf Bewerberinnen prüfen und sich die beste merken. Danach soll die nächste Bewerberin angenommen werden, die ebenfalls diese Note erreicht, oder besser. Wenn die zweitbeste Lösung unter den ersten fünf Bewerberinnen war, führt diese Strategie zum Erfolg. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist [24] welches eine deutliche Verbesserung zur Wahr- 90 , scheinlichkeit von[1] 10 darstellt,ohnedieModifikationdiebesteBewerberinauszuwählen.⁴ Historisch ist dieses Problem seit längerem bekannt. Erstmals wird das Problem im Zusammenhang mit Johannes Kepler beschrieben. Dessen erste Frau war 1611 an Cholera gestorben. Kepler verbrachte die folgenden zwei Jahre damit aus elf Bewerberinnen die Beste auszuwählen. Da eine Ablehnung der Frau eine Beleidigung für den Brautvater darstellte, war eine spätere Rückkehr zu dieser Frau nicht mehr möglich. Das Problem ist unserem Sekretärinnen Problem sehr ähnlich. Kepler entschied sich letztendlich für die fünfte Bewerberin. Im späteren Teil dieser Arbeit wird beschrieben, wieso die fünfte Bewerberin in seinem Fall die optimale war.⁵

2.2 Mathematischer Lösungsansatz

Das Sekretärinnenproblem muss folgende sechs Merkmale ausweisen:⁶

1. Es handelt sich nur um eine vakante Stelle, die zu vergeben ist. Man wählt also maximal einen Bewerber aus.
2. Die genaue Anzahl der Bewerber ist bekannt. Wahlweise ist auch der Zeitraum bekannt, in dem eine Entscheidung getroffen werden muss. Dies kann zum Beispiel der Fall sein, wenn man Immobilien verkaufen will und diese über mehrere Wochen in Zeitungen inseriert.⁷
3. Die einzelnen Bewerber wurden vor dem Gespräch nicht sortiert bzw. vorher klas- sifiziert.
4. Bewerber können nicht gleich eingestuft werden, verglichen mit anderen Bewer- bern. Letztendlich ist eine Klassifizierung der Bewerber möglich.
5. Sollte man sich gegen einen Bewerber entschieden haben, ist es nicht möglich ihn erneut zu befragen oder sogar einzustellen. Die Entscheidung ist definitiv.
6. Der Auswählende ist nur mit dem besten Bewerber zufrieden und will auch nur diesen einstellen.

Die mathematische Lösung dieses Problems wurde erstmals 1961 durch Lindley veröffentlicht. Lindley benutzt dazu das oben genannte Sekretärinnen Problem, mit oben genannten Voraussetzungen, jedoch soll nicht eine Stelle besetzt werden, sondern eine Ehefrau gewählt werden.⁸

Die optimale Lösung dieses Problems findet man, indem man die ersten r −1 Bewerber ablehnt.⁹ Er ordnet demnach nur die ersten Bewerber in eine bestimmt Rangfolge, um ab dem r-ten Bewerber den besten zu wählen. Von den ersten r − 1 Bewerbern merkt er sich den Besten. Von den Bewerbern r bis n wählt er den Nächsten, der die Qualität des Besten aus der Menge von M = (0, r − 1) übertrifft. Für den Fall, dass er r = 1 wählt, ist die Wahrscheinlichkeit den Besten zu wählen 1/n.

Für den Fall, dass r > 1 gehen wir aus unseren Merkmalen für das SekretärinnenProblem von einer Normalverteilung aus. Die Wahrscheinlichkeit Bewerber j mit j > r ist der absolut Beste und wird durch mich gewählt beträgt

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Löst man diese Gleichung auf ergibt sich das optimale x bei x =[1] = 0.367879... mit e

der optimalen Wahrscheinlichkeit von[1] e.Wartetmannunbeieinemgroßenndieersten[37] % der Bewerber ab und wählt anschließend den nächst besten, ist die Erfolgswahrscheinlichkeit den besten zu wählen bei[37] % am Höchsten.¹⁰

Lindley überträgt dieses Problem anhand seines Beispiels in die Realität und setzt voraus, dass die Partnerwahl im Zeitraum von 18 bis 40 Jahren vollzogen wird. Natürlich

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

gibt es auch hier eine gewisse Varianz außerhalb dieser Grenzen, diese werden aber weiterhin nicht beachtet. Diese Zeitspanne beträgt demnach also 22 Jahre. Da die Entscheidung frühestens mit 18 Jahren ansteht, ergibt sich folgende Gleichung:

Die Wahrscheinlichkeit, die beste Partnerin zu wählen ist somit am Höchsten, wenn man bis zum Alter von 26 Jahren die möglichen Kandidaten beurteilt und nach dem 26. Lebensjahr die nächste auswählt, die die bis dahin Beste übertrifft.¹¹

2.3 Anwendbarkeit der 1/e Regel

Die Voraussetzungen zur Anwendbarkeit der 1/e Regel sind durch die Verfasser sehr genau definiert. Um die Übertragung dieser Regel auf die Praxis zu prüfen, müssen die Anwendungsvoraussetzungen auf dessen logische Umsetzung hin überprüft werden. Die einzelnen Voraussetzungen sind auf Seite 3 dieses Textes aufgelistet. Ich erspare mir hier, eine erneute Auflistung.

Die Grundannahme ist eine vakante Stelle, die es zu besetzen gilt. Sollten mehrere Stel- len frei sein, könnte man jede Stelle einzeln mit der 1/e Regel besetzen. Das Problem besteht nun jedoch darin, dass die Kandidaten erneut eingeladen werden müssten. Der Entscheider dürfte keine Aufzeichnungen über die Kandidaten aus dem ersten Gespräch haben und müsste erneut völlig wertfrei entscheiden. Dieser Fall ist in der Wirklich- keit jedoch nicht umzusetzen. Vielmehr sollte hier die 1/e Regel verändert werden. Zu überlegen wäre, die Spanne der Bewerberinnen, die nur gesichtet werden, um die Beste bis dahin zu identifizieren, zu verkleinern. Bis jetzt sollten e−[1] Bewerberinnen abge- lehnt werden. Hier sollte untersucht werden, wie diese Regel geändert werden kann, um letztendlich die höchste Wahrscheinlichkeit zu haben, die zwei besten Bewerberinnen zu akzeptieren.

Die zweite Voraussetzung verlangt, dass die Größe der Stichprobe n bekannt ist. Bei einer Stellenanzeige ist diese Annahme korrekt, da die Bewerber zunächst eine Einladung zu einem Bewerbungsgespräch erhalten, und nicht plötzlich ohne Einladung zu einen Gespräch erscheinen. Beim Verkauf einer Immobilie ist dies jedoch unterschiedlich und nicht genau bekannt. Um die Größe von n zu schätzen, muss die Nachfrage berechnet werden.

[...]

¹ Vgl. Bruss (2004) S.102[3]

² Vgl. Ferguson (1989) S.284[6]

¹ Vgl. Salminen (1996) S.1046[11]

² Vgl. Bruss (2004) S.103[3] und Ano (1996) S.307[1]

³ Vgl. Assaf (1996) S.828[2] und Samuel-Chan (1995) S.315[12]

⁴ Vgl. Bruss (2004) S.102[3]

⁵ Vgl. Ferguson (1989) S.284[6]

⁶ Vgl. Ferguson (1989) S.282[6], sowie Seale (1997) S.222[13]

⁷ Vgl. Bruss (2004) S.102[3]

⁸ Vgl. Lindley (1961) S.47ff[8]

⁹ Vgl. Quine (1996) S.631[9]

¹⁰ Vgl. Ferguson (1989) S.283[6]

¹¹ Vgl. Lindley (1961) S.49[8]