Inhalt dieser Arbeit ist es, ein Teilgebiet der mathematischen Grundlagen der Warteschlangentheorie, die Betrachtung des Markov-Prozesses (MP), zu erläutern. Hierzu wird im Kapitel 1 der Begriff MP näher erläutert und die inhaltliche Abgrenzung der weiteren Arbeit vorgestellt. In Kapitel 2 werden die diskreten Markov-Ketten (MK) unter dem Aspekt spezifiziert, wie man gegebene Matrizen und deren Zustände klassifizieren kann. In Kapitel 3 wird auf einige sehr relevante Aspekte von MK eingegangen, v.a. dem kurz- und langfristigen Verhalten. Außerdem werden die Besonderheiten von Inhomogenität sowie Geburts- und Todesprozess betrachtet. In Kapitel 4 folgt eine Zusammenfassung des Themas. Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt auf der ausführlichen Klassifizierung von Zuständen und Matrizen der diskreten MK.
Ein MP ist ein stochastischer Prozess. Ein stochastischer Prozess kann als Menge von Zufallsgrößen aufgefasst werden und bezieht sich auf einen Zustands- sowie einen Parameterraum. Mit Zustandsraum ist gemeint, inwiefern verschiedene Umweltzustände existieren. Sie können abzählbar unterscheidbar oder fortlaufend ineinander übergehend sein. Mit Parameterraum ist gemeint, zu welchen Zeitpunkten ein Wechsel des Umweltzustandes stattfinden kann. Es kann permanent geschehen oder nur zu bestimmten Zeitpunkten, die abgrenzbar sind. Wir erhalten also, je nach Kombination, 4 verschiedene stochastische Prozesse mit der im Kapitel 1.2 vorgestellten Markov-Eigenschaft. Im Rahmen dieser Seminararbeit wird nur auf den Fall diskret/diskret eingegangen, d.h. eine genaue Betrachtung von diskreten MK.
Ein MP dient dazu, um für ein betrachtetes Element, z.B. ein Staubkorn, Aussagen über seine Bewegung in der Zukunft treffen zu können. Hierbei wandert das Staubkorn mit bestimmten Wahrscheinlichkeiten (WS) von Zustand zu Zustand, wobei es auch mehrmals hintereinander im gleichen Zustand bleiben kann. MP finden in vielen Teilen der Wissenschaft Anwendung, z.B. bei der Theorie radioaktiver Umwandlung in der Physik oder dem Wachstum bestimmter Populationen in der Biologie.
Inhaltsverzeichnis
- 1 Einführung
- 1.1 Problemstellung
- 1.2 Darstellung der Markov-Eigenschaft
- 2 Charakterisierung der Zustände und Matrizen
- 2.1 Rekurrenz
- 2.2 Transitorisch
- 2.3 Regularität
- 2.4 Periodisch
- 2.5 Kommunizierend
- 2.6 Dekomponierbar
- 2.8 Ergodisch
- 3 Verhalten und Besonderheiten von diskreten Markov-Ketten
- 3.1 Kurzfristiges Verhalten und Gleichgewicht
- 3.2 Analyse der Verweilzeit
- 3.3 Unterschiede bei inhomogenen Markov-Ketten
- 3.4 Einführung in den Geburts- und Todesprozess
- 4 Zusammenfassung
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Seminararbeit befasst sich mit den mathematischen Grundlagen der Warteschlangentheorie und konzentriert sich auf die Analyse von Markov-Ketten. Ziel ist es, die wichtigsten Eigenschaften und Verhaltensweisen von Markov-Ketten zu beleuchten und ihre Anwendungsmöglichkeiten in der Warteschlangentheorie aufzuzeigen.
- Charakterisierung von Markov-Ketten und ihren Zuständen
- Untersuchung des kurz- und langfristigen Verhaltens von Markov-Ketten
- Analyse von Gleichgewichtszuständen und Verweilzeiten
- Anwendung von Markov-Ketten in der Warteschlangentheorie
- Untersuchung der Besonderheiten inhomogener Markov-Ketten
Zusammenfassung der Kapitel
Kapitel 1: Einführung
Dieses Kapitel führt in die Problemstellung der Warteschlangentheorie ein und erläutert die grundlegenden Eigenschaften von Markov-Ketten.
Kapitel 2: Charakterisierung der Zustände und Matrizen
Dieses Kapitel analysiert verschiedene Eigenschaften von Markov-Ketten, darunter Rekurrenz, Transitorischkeit, Regularität, Periodizität, Kommunizität, Dekomponierbarkeit und Ergodizität.
Kapitel 3: Verhalten und Besonderheiten von diskreten Markov-Ketten
Dieses Kapitel untersucht das kurzfristige Verhalten und die Gleichgewichtszustände von Markov-Ketten, analysiert die Verweilzeit und behandelt die Besonderheiten von inhomogenen Markov-Ketten. Außerdem wird eine Einführung in den Geburts- und Todesprozess gegeben.
Schlüsselwörter
Die Arbeit beschäftigt sich mit wichtigen Konzepten der Warteschlangentheorie, insbesondere mit Markov-Ketten. Schlüsselbegriffe sind: Markov-Eigenschaft, Zustandsraum, Übergangswahrscheinlichkeiten, Rekurrenz, Transitorischkeit, Regularität, Periodizität, Kommunizität, Dekomponierbarkeit, Ergodizität, Gleichgewicht, Verweilzeit, inhomogene Markov-Ketten, Geburts- und Todesprozess.
- Arbeit zitieren
- Dipl.-Kfm. Fabian Sauerwein (Autor:in), 2005, Mathematische Grundlagen der Warteschlangentheorie / Markov-Ketten, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/71073
