Die Arbeit ist in vier Kapitel aufgeteilt. Im ersten Kapitel werde ich den Leser in die Thematik einführen und ihm ein erstes Bild der linearen Optimierung vermitteln. Dabei gehe ich von drei verschiedenen Perspektiven aus, die zunehmend mathematische Aspekte aufgreifen.
In Kapitel 2 steht die lineare Optimierungsaufgabe als mathematisches Gebilde im Mittelpunkt meiner Betrachtungen. Nach einer auf rein mathematische Gesichtspunkte bezogenen Beschreibung der Problemstellung, wende ich mich den beiden Normalformen linearer Optimierungsaufgaben zu. Zunächst beschäftige ich mich sehr ausführlich mit der „Allgemeinen Form“. Ich gehe dabei besonders intensiv auf die geometrische Interpretation linearer Optimierungsaufgaben ein, sowie auf das graphische Lösungsverfahren, welches sich aus der geometrischen Interpretation im Fall des bzw. des ergibt. Der Grund dafür liegt in der Tatsache, dass beide Aspekte dazu beitragen, die charakteristischen Merkmale der Lösungsverfahren – und zwar sowohl die des graphischen als auch später die der rechnerischen - anschaulich zu verstehen. Danach führe ich das zur allgemeinen Form äquivalente Standardformat ein, und diskutiere deren Zusammenhang.
Im Hauptteil, dem dritten Kapitel, beschäftige ich mich mit der Herleitung des Simplex-Algorithmus, als das wichtigste rechnerische Lösungsverfahren der linearen Optimierung. Dabei ist es nicht mein Interesse, einen mathematisch korrekten Beweis für den gesamten Simplex-Algorithmus und dessen Elementen zu liefern. Vielmehr liegt mir daran, den Algorithmus möglichst anhand von Beispielen oder mithilfe der Anschauung zu entwickeln, da sich gerade auf diesem Weg bestimmte Möglichkeiten für die Umsetzung der Thematik der linearen Optimierung in der Schule bieten.
Zunächst befasse ich mich mit den geometrischen Eigenschaften konvexer Polyeder und deren algebraischer Beschreibung, bevor ich die einzelnen Elemente des Simplex-Algorithmus entwickele und diese schließlich zum Simplex-Algorithmus zusammenführe. Danach gehe ich kurz auf zwei Sonderfälle des Simplex-Algorithmus ein, nämlich die „Antizyklentechniken“ im Falle einer Entartung und die „Revidierte Form des Simplex-Algorithmus“.
Im letzten Kapitel spanne ich schließlich den Bogen von den Verfahren linearer Optimierungsprobleme hin zur Schule und untersuche dort deren Anwendungsmöglichkeiten und Relevanz.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1.1 Einordnung der Thematik „Lineare Optimierung“
1.1.1 Thematischer Kontext
1.1.2 Geschichtliche Einordnung
1.1.3 Mathematischer Kontext
2 Die lineare Optimierungsaufgabe
2.1 Mathematische Beschreibung der Problemstellung
2.2 Normalformen linearer Optimierungsaufgaben
2.2.1 Die allgemeine Form einer linearen Optimierungsaufgabe
2.2.1.1 Definitionen und Erläuterungen
2.2.1.2 Geometrische Interpretation
2.2.1.3 Graphisches Lösungsverfahren
2.2.1.4 Beispiele
2.2.2 Das Standardformat einer linearen Optimierungsaufgabe
2.2.2.1 Eine einführende Definition und Erläuterungen
2.2.2.2 Die Beziehung zwischen der allgemeinen Form und dem Standardformat
2.2.2.3 Einige abschließende Definitionen
3 Rechnerische Lösungsverfahren linearer Optimierungsaufgaben
3.1 Die geometrischen Eigenschaften der Polyederecken
3.1.1 Algebraische Grundlagen
3.1.2 Die Eigenschaften konvexer Polyeder
3.1.3 Die Eigenschaften der Polyederecken
3.1.4 Ein rechnerisches „Verfahren“ für die Sekundarstufe I – Die algebraische Lösungsmethode
3.1.5 Zusammenfassung
3.2 Die Elemente des Simplex-Verfahrens
3.2.1 Ein Einstiegsbeispiel
3.2.2 Das Optimalitätskriterium einer Basislösung
3.2.3 Kriterium zum Austausch einer Basisvariablen gegen eine Nichtbasisvariable
3.2.4 Erstellen einer neuen Basisdarstellung
3.2.5 Das Simplextableau
3.2.6 Zusammenfassung der Simplexelemente
3.3 Die Grundform des Simplex-Algorithmus (GSV)
3.3.1 GSV einer Maximierungsaufgabe
3.3.2 GSV einer Minimierungsaufgabe
3.3.3 Beispiele
3.4 Sonderfälle des Simplex-Algorithmus
3.4.1 Antizyklentechniken
3.4.1.1 Die lexikographische Regel
3.4.1.2 Die Regel nach Bland
3.4.2 Die revidierte Form des Simplex-Algorithmus (rGSV)
3.4.2.1 Die Idee des rGSV
3.4.2.2 Der Algorithmus rGSV
3.4.2.3 Einige Vorteile der revidierten Simplexmethode gegenüber der ursprünglichen Simplexmethode
3.5 Ausblick
4 Die lineare Optimierung und ihre Möglichkeiten in der Schule
4.1 Extremwertprobleme und ihre Rolle in Mathematik und Schule
4.2 Notwendige mathematische Voraussetzungen zur Anwendung von Optimierungsverfahren
4.3 Lineare Optimierung und die Richtlinien und Lehrpläne
4.3.1 Prozessbezogene Kompetenzen
4.3.2 Inhaltsbezogene Kompetenzen
4.3.3 Lineare Optimierung: Konkrete Umsetzungsmöglichkeiten in der Schule
4.4 Schlussfolgernde Konsequenzen: Kann die lineare Optimierung die von der KMK geforderten Kompetenzen sinnvoll fördern?
Zielsetzung & Themen
Die Arbeit untersucht das mathematische Teilgebiet der linearen Optimierung und deren Potenzial, den Anwendungsbezug im schulischen Mathematikunterricht zu stärken sowie geforderte Bildungsstandards zu erfüllen.
- Mathematische Erschließung linearer Optimierungsverfahren
- Graphische Lösungsverfahren und das Simplex-Verfahren
- Möglichkeiten der Integration in den Mathematikunterricht der Schule
- Analyse der Förderung mathematischer Kompetenzen gemäß KMK-Vorgaben
- Gegenüberstellung von Extremwertproblemen und linearer Optimierung
Auszug aus dem Buch
2.2.1.2 Geometrische Interpretation
Die besondere mathematische Struktur linearer Optimierungsaufgaben ermöglicht es, dass selbst im R^n für jedes Optimierungsproblem die Beschaffenheit der zulässigen Lösungsmenge und die Ermittlung einer Optimallösung, also die Lösungsmethode, mithilfe der Geometrie anschaulich interpretiert werden kann.
Eine Sonderstellung nehmen in dieser Hinsicht der R^2 und der R^3 ein, da in beiden Fällen die Möglichkeit besteht, das Optimierungsproblem nicht nur graphisch zu interpretieren, sonder darüber hinaus auch graphisch darzustellen.
In Anlehnung an die Charakterisierungen LEHMANNS in [Lehmann 1970] und PIEHLERS in [Piehler 1962] befasse ich mich zunächst mit der geometrischen Interpretation des gesuchten Lösungsbereichs, also mit der Suche nach allen diejenigen Punkten, die sämtlichen gegebenen Nebenbedingungen genügen, auf geometrischer Basis. Dazu betrachte ich die Ungleichungen des allgemeinen (LP)-Problems genauer.
Jede lineare Ungleichung eines (LP)-Systems über x = (x1, …, xn) ∈ R^n beschreibt einen abgeschlossenen Halbraum des R^n, der durch eine (n - 1) - dimensionale Hyperebene begrenzt wird. Diese Hyperebene wird durch die in der Ungleichung enthaltene Gleichung definiert. Ein solcher Halbraum stellt dann die Menge aller zulässigen Lösungen bzgl. dieser Ungleichung dar, zu der auch die Punkte der begrenzenden Hyperebene selbst gehören.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Die Einleitung beleuchtet die aktuelle Kritik am deutschen Schulsystem nach PISA-Ergebnissen und führt die lineare Optimierung als anwendungsbezogenes Feld zur Förderung der Problemlösekompetenz ein.
2 Die lineare Optimierungsaufgabe: Dieses Kapitel definiert lineare Optimierungsprobleme, erläutert die allgemeine Form und das Standardformat sowie deren geometrische Interpretation.
3 Rechnerische Lösungsverfahren linearer Optimierungsaufgaben: Hier wird der Simplex-Algorithmus als zentrales rechnerisches Verfahren hergeleitet, inklusive der algebraischen Grundlagen, der Simplexelemente, Sonderfälle und der revidierten Simplexmethode.
4 Die lineare Optimierung und ihre Möglichkeiten in der Schule: Das letzte Kapitel untersucht die Anwendbarkeit der linearen Optimierung im Schulunterricht unter Berücksichtigung von Richtlinien, Lehrplänen und den notwendigen mathematischen Voraussetzungen der Schüler.
Schlüsselwörter
Lineare Optimierung, Operations Research, Simplex-Algorithmus, Optimallösung, Zielfunktion, Restriktionen, Konvexes Polyeder, Basislösung, Pivotverfahren, Mathematische Kompetenzen, Extremwertaufgaben, Bildungsstandards, PISA, Unterrichtskultur, Standardformat.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit primär?
Die Arbeit behandelt die mathematischen Grundlagen linearer Optimierungsverfahren und deren Anwendungsmöglichkeiten sowie didaktische Umsetzungsstrategien im schulischen Mathematikunterricht.
Welche zentralen Themenfelder werden abgedeckt?
Zentrale Themen sind die mathematische Modellierung von Optimierungsproblemen, verschiedene Lösungsalgorithmen (insbesondere der Simplex-Algorithmus) und die didaktische Einbindung in den Mathematikunterricht.
Was ist das primäre Ziel der Untersuchung?
Das Ziel ist es, aufzuzeigen, wie lineare Optimierung als anwendungsorientiertes Gebiet dazu beitragen kann, geforderte Bildungsstandards und Kompetenzen (wie Problemlösen und Modellieren) bei Schülern zu fördern.
Welche wissenschaftlichen Methoden werden angewandt?
Es handelt sich um eine mathematisch-didaktische Arbeit, die auf der Analyse mathematischer Fachliteratur, der Herleitung von Optimierungsalgorithmen und der Auswertung pädagogischer Richtlinien basiert.
Was umfasst der mathematische Hauptteil?
Der Hauptteil widmet sich der Definition linearer Optimierungsprobleme, der geometrischen Interpretation von Lösungen, der theoretischen Herleitung des Simplex-Algorithmus sowie dessen Erweiterungen.
Welche Schlüsselbegriffe charakterisieren die Arbeit?
Zu den Kernbegriffen gehören lineare Optimierung, Simplex-Verfahren, Zielfunktion, Restriktionen, Basislösungen, kompetenzorientierter Unterricht und Extremwertprobleme.
Wie unterscheidet sich die "allgemeine Form" vom "Standardformat"?
Die allgemeine Form kann aus Ungleichungen bestehen, während das Standardformat ausschließlich aus Gleichungen besteht, wozu sogenannte Schlupfvariablen eingeführt werden, um die rechnerische Bearbeitung zu ermöglichen.
Warum ist die lineare Optimierung für die Schule von Interesse?
Sie bietet einen starken Anwendungsbezug zu lebensnahen Problemen (z.B. aus der Wirtschaft), macht Mathematik als lebendiges Fach erfahrbar und ermöglicht die Förderung von Modellierungskompetenzen.
- Quote paper
- Andrea Jänisch (Author), 2006, Lineare Verfahren der Optimierung in der Mathematik und ihre Möglichkeiten in der Schule, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/74682
