Das Ziel dieser Arbeit ist der Beweis des Satzes von Schönflies, der zunächst vorgestellt wird. Dieser Beweis ist sehr komplex und umfasst zwei - schon an sich sehr wichtige - Sätze, nämlich den Jordanschen Kurvensatz und den Satz über die Charakterisierung der geschlossenen Flächen.
Hierüber entsteht im Laufe der Arbeit der Beweis des Satzes von Schönflies, welcher abschließend noch einmal zusammengefasst wird.
Zuletzt wird ein Ansatz zur Verallgemeinerung des Satzes bzw. ähnliche Formulierung betrachtet und kurz erläutert.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Der Satz von Schönflies
3 Jordanscher Kurvensatz
4 Ankleben einer D^2 an das Innere
5 Klassifizierung einfach geschlossener Flächen vom Geschlecht 0
6 Konstruktion einer geeigneten Morsefunktion
7 Ausweitung der Einbettung zum Diffeomorphismus
8 Verallgemeinerung und verwandte Probleme
Zielsetzung und Themen
Das Hauptziel dieser Arbeit ist der mathematische Beweis des Satzes von Schönflies, der besagt, dass eine glatte Einbettung der Sphäre S^1 in den R^2 stets zu einem Diffeomorphismus des R^2 erweitert werden kann. Die Arbeit führt dabei systematisch durch die topologischen und differentialgeometrischen Grundlagen, die für diesen Beweis notwendig sind.
- Der Jordansche Kurvensatz als fundamentale Voraussetzung
- Methoden zur Konstruktion von Diffeomorphismen mittels Pushouts
- Klassifizierung geschlossener Flächen vom Geschlecht 0
- Einsatz von Morsefunktionen zur topologischen Identifikation
- Verallgemeinerung der Beweisführung auf höhere Dimensionen
Auszug aus dem Buch
3 Jordanscher Kurvensatz
Der grundlegende Satz in der Betrachtung von Einbettungen der S^1 in den R^2 ist der Jordansche Kurvensatz. Er besagt, dass jede Jordankurve φ : [a, b] → R^2 die Ebene in genau zwei disjunkte Gebiete trennt. Das Trennen der Ebene bedeutet hiebei, dass der Rand beider Gebiete gerade das Bild der Kurve ist und die Vereinigung der Gebiete mit ihrem Rand dem R^2 entspricht. Außerdem ist:
Definition 3.1. Eine Jordankurve oder einfach geschlossene Kurve ist eine stetige Abbildung φ : [a, b] → R^n mit φ(a) = φ(b) und φ(t1) ≠ φ(t2) für alle t1, t2 ∈ [a, b).
Damit entsprechen Jordankurven gerade homöomorphen Einbettungen der S^1.
Sowohl die Jordan-Kurven als auch der Jordansche Kurvensatz sind nach dem französische Mathematiker Marie Ennemond Camille Jordan benannt. Er wurde 1838 in Lyon geboren und studierte ab 1855 an der École Polytechnique in Paris. Dann arbeitete er als Ingenieur, betrieb jedoch nebenbei mathematische Forschung. Er wurde 1876 Professor für Analysis in Paris und 1916 Präsident an der Académie des Sciences. Jordan beschäftigte sich mit der Analysis, der Gruppentheorie und der Topologie, wobei er fundamentale Beiträge leisten konnte. Daher wurde neben den hier untersuchten Objekten auch die Jordansche Normalform ihm zu Ehren benannt. Camille Jordan starb 1922 in Paris (siehe [Wi]: „Marie Ennemond Camille Jordan“).
Ich werde im Folgenden den Beweis des Jordanschen Kurvensatzes für glatte Einbettungen der S^1 in den R^2 erbringen. Dieser Beweis kann jedoch ohne gewichtige Veränderungen für jede (n − 1)-dimensionale, kompakte, glatte Untermannigfaltigkeit ohne Rand im R^n übernommen werden. Außerdem ist hier, wie schon in den Vorbemerkungen erkennbar, ein Beweis mit schwächeren Bedingungen ebenfalls möglich. Der Jordansche Kurvensatz ist mit der von Brouwer gezeigten Erweiterung, dass in diesem Fall ein Gebiet eine kompakte Untermannigfaltigkeit ist, vervollständigt.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Diese Einleitung skizziert das Ziel der Arbeit, den Beweis des Satzes von Schönflies, und setzt die notwendigen mathematischen Grundkenntnisse voraus.
2 Der Satz von Schönflies: Hier wird der historische Hintergrund des Satzes und die mathematische Definition der glatten Einbettung dargelegt.
3 Jordanscher Kurvensatz: Dieses Kapitel behandelt die Trennung der Ebene durch eine geschlossene Kurve und liefert die theoretische Basis für den weiteren Beweisgang.
4 Ankleben einer D^2 an das Innere: Hier wird die Methode der Pushouts eingeführt, um ein inneres Gebiet topologisch zu untersuchen und Diffeomorphismen zwischen Objekten zu erzeugen.
5 Klassifizierung einfach geschlossener Flächen vom Geschlecht 0: Das Kapitel widmet sich der Charakterisierung von Flächen mittels kritischer Punkte und Morsefunktionen.
6 Konstruktion einer geeigneten Morsefunktion: Es wird gezeigt, wie eine Morsefunktion auf dem Pushout konstruiert werden kann, um dessen Struktur zu analysieren.
7 Ausweitung der Einbettung zum Diffeomorphismus: Der Fokus liegt auf dem Beweis, dass eine Einbettung der Scheibe D^2 zu einem Diffeomorphismus der gesamten Ebene erweitert werden kann.
8 Verallgemeinerung und verwandte Probleme: Abschließend werden Möglichkeiten diskutiert, die Beweismethoden auf topologische Einbettungen und höhere Dimensionen zu übertragen.
Schlüsselwörter
Satz von Schönflies, Jordanscher Kurvensatz, Diffeomorphismus, Einbettung, Topologie, Differentialgeometrie, Morsefunktion, Untermannigfaltigkeit, Pushout, Homöomorphismus, Sphäre, Mannigfaltigkeit, Knoten, Differentialtopologie, Rand.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit beschäftigt sich mit dem mathematischen Beweis des Satzes von Schönflies, welcher Aussagen über die Erweiterbarkeit von Einbettungen der S^1 in die Ebene macht.
Was sind die zentralen Themenfelder der Arbeit?
Die Arbeit verknüpft topologische Grundlagen, speziell den Jordanschen Kurvensatz, mit Methoden der Differentialgeometrie und der Theorie der Untermannigfaltigkeiten.
Was ist das primäre Ziel oder die Forschungsfrage?
Das Ziel ist es, zu zeigen, dass jede glatte Einbettung der S^1 in den R^2 zu einem Diffeomorphismus des R^2 erweitert werden kann.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Der Autor verwendet eine konstruktive Beweisführung unter Einbeziehung von Pushouts, Morsefunktionen und der Klassifizierung von Flächen.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Der Hauptteil umfasst den Beweis des Jordanschen Kurvensatzes, die Konstruktion von Diffeomorphismen und die Anwendung der Morse-Theorie auf geschlossene Flächen.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Zentrale Begriffe sind Satz von Schönflies, Diffeomorphismus, Einbettung, Morsefunktion und Jordanscher Kurvensatz.
Warum wird die Methode des Pushouts in der Arbeit eingesetzt?
Der Pushout dient dazu, das durch den Jordanschen Kurvensatz identifizierte innere Gebiet mathematisch zu erfassen und den Übergang zur Scheibe D^2 formal korrekt zu vollziehen.
Was ist die Bedeutung der Euler-Charakteristik in diesem Kontext?
Die Euler-Charakteristik wird genutzt, um die topologische Identität des durch die Verklebung entstandenen Objekts mit der Sphäre S^2 zu belegen.
Inwiefern lassen sich die Ergebnisse verallgemeinern?
Wie im letzten Kapitel dargelegt, lassen sich die Beweisschritte teilweise auf höhere Dimensionen übertragen, wobei topologische Bedingungen anstelle von rein glatten Strukturen treten können.
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- B.Sc. Achim Beckers (Author), 2006, Der Satz von Schönflies, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/83473
