Eigenfrequenzanalyse am rotierenden Kragbalken mit Anwendung auf Dampfturbinenschaufeln

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Aufgabenstellung

3 Kragbalken als Ersatzmodell einer Turbinenschaufel
3.1 Randbedienungen
3.2 Beschleunigung eines materiellen Punktes / Kinematik
3.3 Bewegungsgleichung für einen Timoschenko – Balken
3.4 Bewegungleichung für einen Bernoulli - Balken mit Fliehkrafteinfluss
3.4.1 Gleichgewicht am verformten Element
3.4.2 Gleichgewicht am geschnittenen verformten Element
3.4.3 Energie – Methode
3.5 Eigenfrequenzberechnung für einen Bernoulli – Balken – Modell ohne Fliehkrafteinflusses
3.5.1 Analytische Lösung
3.5.2 FEM – Lösung
3.6 Eigenfrequenzberechnung für einen Bernoulli– Balken– Modell mit Fliehkrafteinflusses
3.6.1 Analytische Lösung
3.6.1.1 Gegenüberstellung der Bewegungsgleichungen
3.6.1.2 Lösung mit Rayleight- Ritz- Verfahren
3.6.2 FEM - Lösung
3.7 Schlussfolgerung

4 Untersuchungen einer Dampfturbinenschaufel mit Hilfe von Solid – Elementen (FEM)
4.1. Aufbau des Volumenmodels
4.2 Allgemeine Darstellungen der Eigenformen
4.3 Darstellungen der Eigenfrequenzen (nach Zeichnung)
4.4 Darstellungen der Eigenfrequenzen mit verlängerter Schaufel
4.5 Darstellungen der Eigenfrequenzen mit verkürzter Schaufel

5 Zusammenfassung

6 Nachweise, Verzeichnisse
6.1 Literaturnachweise
6.2 Formelzeichen, Abkürzungsverzeichnis

7 Anhang

1 Einleitung

In diversen technischen Anwendungen nimmt die Schwingungsanalyse einen bedeutenden Platz ein. Insbesondere werden die Eigenfrequenzen eines technischen Systems untersucht. Eine Eigenfrequenz eines schwingfähigen Systems ist eine der Frequenzen, mit der das System nach einmaligem Anstoß schwingt. Wenn einem solchen System von außen Schwingungen aufgezwungen werden, deren Frequenz mit einer der Eigenfrequenzen übereinstimmt, reagiert das System mit besonders großen Amplituden, was als Resonanz oder, wenn zerstörende Auswirkungen auftreten, als Resonanzkatastrophe bezeichnet wird. Deswegen ist es wichtig beim Konstruieren einer technischen Anlage die Eigenfrequenzen und die möglichen Resonanzerscheinungen zu berücksichtigen. An Hand zweier Beispielen wollen wir dies erläutern. Das erste Beispiel ist aus dem Bereich der Bautechnologie, das Andere aus der technischen Anwendung einer Turbine.

1. Beispiel: Millenium – Brücke London Im Juni 2000 wurde die Londoner Millenium– Brücke eingeweiht (sie wurde von dem Architekten Sir Norman Forster entworfen). Am Tage der Einweihung begann die Brücke unter den Füßen von tausenden Passanten bis zu 10 Zentimeter zu schwingen. Sie musste gesperrt werden. Nach einjähriger Analyse stellte sich heraus, dass die Brücke auf Schwingungen von 1 Hertz stärker als erwartet reagierte. Diese Frequenz entspricht genau dem Rhythmus von Passanten, die auf leicht seitlichen Bewegungen mit dem Seemannsgang reagieren.

2. Beispiel: Space - Shuttle - Turbine Eine Hochdruck - Turboturbine für die Treibstoffversorgung des Haupttriebwerkes des Space – Shuttles, lief 1984 wegen Resonanzeffekte instabil. Bei dem Versuch kam sie nicht über 20.000 Umdrehungen/min, anstatt der benötigten 39.000 Umdrehungen/min. Diese Schwierigkeit führte zu einer sechsmonatigen Unterbrechung des Space - Shuttle - Programms und verursachte täglich 640000 Euro an Kosten.

Da aus den Beispielen deutlich wird welche Folgen die Resonanzerscheinungen haben können, wollen wir im Folgenden die Eigenfrequenzanalyse von Dampfturbinenschaufeln mithilfe eines Modells näher untersuchen

2 Aufgabenstellung

Am Anfang steht die Entwicklung eines geeigneten Kragbalkenmodells. Mit diesem Modell werden wir analytische und numerische Analysen durchführen. Da wir möglichst genau die Eigenfrequenzen des Kragbalkens berechnen möchten, nehmen wir ein kontinuierliches System an. Dabei sind die für die Schwingungen maßgebenden physikalischen Größen, wie die Masse und die Steifigkeit, kontinuierlich verteilt. Wir können solche Systeme auch als Systeme mit unendlich vielen Freiheitsgraden auffassen. Die Bewegung der Balkenpunkte wird mittels partieller Differentialgleichung beschrieben.

Wir werden die Bewegungsgleichungen für den Kragbalken zunächst für zwei Theorien angeben. Einmal ist es die Timoschenko Theorie und die andere ist die Euler - Bernoulli - Balkentheorie.

Dann werden wir uns auf den einfacheren Fall, den Euler – Bernoulli – Balkentheorie, konzentrieren und die verschiedenen Methoden zum Aufstellen der Bewegungsgleichung diskutieren. Der uns interessierende Fliehkrafteinfluss wird in den verschiedenen Methoden unterschiedlich berücksichtigt. Diese Unterschiede sollen im Vergleich zum Euler – Bernoulli – Balkentheorie ohne Fliehkrafteinfluss soweit möglich, auch numerisch herausgearbeitet werden. Dieser erste Weg ist mehr mathematisch, der zweite Weg ist rein numerisch, indem wir mit Hilfe eines Finite Elemente Programms einen Beambalken und Solidbalken aufbauen, um daraus die Eigenfrequenzen zu bestimmen. Wobei wir aus den vorangegangenen Schritten Informationen erwarten, in wie weit FEM, bezogen auf MSC. Nastran for Windows, den Fliehkrafteinfluss berücksichtigt

Die nächste Aufgabe besteht darin, dass wir die Dampfturbinenschaufel auf Eigenfrequenzen unter Berücksichtigung der Fliehkraft analysieren. Mit Hilfe des Finite Elemente Programms (MSC NASRAN) wird die Dampfturbinenschaufel gemäß der Zeichnung generiert und berechnet. Danach werden wir eine Parameterstudie durchführen und den Einfluss der Schaufellänge auf die Eigenfrequenzen darstellen. Alle Ergebnisse werden wir in Campbell – Diagrammen dargestellt, die für den Nutzer aussagekräftig sind.

3 Kragbalken als Ersatzmodell einer Turbinenschaufel

Mit den klassischen mechanischen Ansätzen ist es bis heute nicht möglich, komplexe Zusammenhänge in realen Systemen unmittelbar und ganzheitlich zu erfassen. Üblicherweises gehen wir dann so vor, dass wir ein Problem so vereinfachen, dass wir es auch lösen können. Deswegen diskretisieren wir die Turbinenschaufel und stellen sie als einen Kragbalken da.

3.1 Randbedienungen

Zunächst definieren wir die Randbedingungen für den Kragbalken. Aus der festen Einspannung am Punkt [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] resultieren folgende Randbedienungen:

- Es gibt keine Verschiebung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
- Es gibt keine Steigung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Am Punkt [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]gelten die nächsten Randbedienungen:

- Es gibt keinen Biegemoment [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
- Es gibt keine Querkraft [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3.2 Beschleunigung eines materiellen Punktes / Kinematik

Für die weitere Betrachtung treffen wir folgende Annahmen:

- Der materielle Punkt ist ein kleiner Teil des Kragbalkens, der dehnstarr ist.
- Die Masse des materiellen Punktes und dessen Abmessungen sind vernachlässigbar klein.
- Alle kinematischen Größen, d.h. die Verschiebung, Geschwindigkeit und Beschleunigung in Abhängigkeit von der Zeit, sind bekannt.
- Der materielle Punkt hat eine geführte Bewegung und damit zwei Freiheitsgrade.
- Bezugskörper für die kinematischen Größen ist die Erde.
- Die Luftreibung ist hierbei vernachlässigt.
- Das Koordinatesystem ist kartesisch und rotierend.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Ortsvektor im rotierenden kartesischen Koordinaten {[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten][Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten][Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]} zu einem Punkt P des starren Körpers lautet:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Da wir den Balken als dehnstarr annehmen und nur Verschiebungen in Z - Richtung betrachten, lautet der Verschiebungsvektor:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Aus dem allgemeinen Geschwindigkeitszustand des Punktes P ergibt sich,

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

wobei [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] die Geschwindigkeit der Balkeneinspannung bei [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] oder [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ist. Der Punkt 0 (Balkeneinspannung) ist der Bezugspunkt für den Geschwindigkeitszustand. Die Relativgeschwindigkeit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] erhalten wir aus der Zeitableitung relativ zum rotierenden Koordinatensystem.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Gleichung (4) wird in die allgemeine Gleichung (3) eingesetzt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Aus der Beschleunigung des Punktes P ergibt sich:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

In Komponentenform erhalten wir für die Beschleunigung eines materiellen Balkenpunktes:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3.3 Bewegungsgleichung für einen Timoschenko – Balken

Wir geben die Bewegungsgleichung für Timoschenko - Balken mit an. Wir werden diesen aber nicht weiter untersuchen, da sich relativ komplexe Gleichungen ergeben, die das eigentliche Ziel, den Fliehkrafteinfluss zu untersuchen, sehr erschweren würden, was in Rahmen dieser Arbeit nicht geleistet werden kann.

Annahmen für Timoschenko - Theorie:

Berücksichtigung der Schubverformung und Drehträgheit( vgl. Bernoulli Ahnahmen).

Die Bernoulli– Annahmen vom Ebenbleiben der Querschnitte, müsste streng genommen auch fallen gelassen werden, da sie mit der Existenz von Schubspannungen nicht vereinbar ist. Wenn wir trotzdem auch für die Biegung mit Querkräften diese Hypothese beibehalten, so vernachlässigen wir die Schubdeformation zunächst völlig und errechnen die Normalspannungen in den Balkenquerschnitten nach der Theorie der reinen Biegung.

Die Schubspannungen berechnen wir anschließend gesondert und nehmen an, dass die durch die Biegung verursachte Längenänderung der Längsfasern nicht durch die Schubspannungen beeinflusst werden.

Zunächst betrachten wir die Verformung des Balkenelements:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wir stellen das Gleichgewicht an einem Element des Balkenmodels, dabei berücksichtigen wir die Überlagerung von Schubverformung und Biegung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Aus der Geometrie des Balkenelements und dessen Verformung folgt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für kleine Verformung des Balkenelements gilt die Beziehung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Gleichgewichtsbedingungen am Balkenelement liefern:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die beiden Gleichungen werden durch [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]dividiert und der Grenzübergang [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] durchgeführt. Es entstehen folgende Gleichungen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Aus dem Stoffgesetz erhalten wir Gleichungen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Beziehungen zwischen Kräften, Momenten und Verformungen lauten:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Durch einsetzen der Gleichungen (8) und (9) in die Gleichung (12) und (13), erhalten wir folgende Gleichung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Gleichung (16) und (17) werden in die Gleichung (14) und (15) eingesetzt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Gleichung (18) und (19) wird in die Gleichung (10) und (11) eingesetzt. Daraus entstehen die Gleichungen zur Beschreibung des Timoschenko - Balkens:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wir erhalten zwei gekoppelte partielle Differentialgleichungen vierter Ordnung bezüglich der Ortkoordinate und zweiter Ordnung bezüglich der Zeit. Die beiden Koordinaten können hier nicht durch einen einfachen Separationseinsatz getrennt werden (vgl. 3.4.). Wir werden dieses komplexe Problem hier nicht weiter verfolgen.

3.4 Bewegungleichung für einen Bernoulli - Balken mit Fliehkrafteinfluss

Die Annahmen bei Euler – Bernoulli – Theorie:

- Es gibt eine Balkenachse, die keine Dehnung oder Stauchung erfährt. Die x-Achse ist identisch mit dieser neutralen Achse.
- Querschnitte sind rechtwinklig zu neutralen Achse am unverformten Balken, bleiben eben und rechtwinklig zu verformter neutralen Achse, dass bedeutet, Schubverformungen werden vernachlässigt.
- Der Werkstoff ist linear elastisch und der Balken ist homogen.
- [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] werden vernachlässigt verglichen mit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].
- Die x y – Ebene ist eine Hauptebene.
- Die Drehträgheit bei Momenten Gleichgewicht wird vernachlässigt.
- Vorausgesetzt wird ein langer dünner Körper.
- Die Werkstoffdämpfung wird vernachlässigt.

3.4.1 Gleichgewicht am verformten Element

Nach d`Alembertschen Prinzip schneiden wir ein Balkenelement heraus und tragen alle Kräfte und Momente ein.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wir bilden das Gleichgewicht am Balkenelement, wobei für den Bernoulli – Balken [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]gilt. Es werden nur lineare Terme bezüglich der Verschiebung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]und den Ableitungen berücksichtigt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Gleichungen werden durch [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]dividiert und der Grenzübergang [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] durchgeführt.

Es entstehen folgende Gleichungen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für kleine Verformung des Balkenelements gilt die Gleichung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Gleichung (28) wird in den Stoffgesetz eingesetzt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Aus dem Zusammenhang zwischen Moment und Verformung entsteht folgende Gleichung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Gleichung (29) wird in die Gleichung (30) eingesetzt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Gleichung (31) wird in die Gleichung (27) eingesetzt und anschließend in die Gleichung (26). Es entsteht folgende partielle Differentialgleichung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wir betrachten hier nur Kragbalken mit konstanten Querschnitten,[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Damit geht die Gleichung (32) über in,

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Beschleunigungen [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] werden aus der Gleichungen (6) und (7) in die Gleichung (33) eingesetzt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Term [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten][Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ist von höherer Ordnung klein (quadratisch). Er wird in der Gleichung (34) gestrichen,

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

wobei [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]im Fliehkraft – Term den Abstand von der Rotationsachse beschreibt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die partielle Differentialgleichung kann mit dem Separationsansatz,

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

in folgende gewöhnliche lineare Differentialgleichung mit variablen Koeffizienten umgeformt werden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die zugehörigen Randbedienungen lauten:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3.4.2 Gleichgewicht am geschnittenen verformten Element

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Momente Gleichgewicht um die Schnittstelle (s):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Zweimalige partielle Ableitung nach der Ortskoordinate unter Beachtung von

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

liefert die Bewegungsgleichung, wobei für [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]die Werte aus den Gleichungen (6) und (7) eingesetzt werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3.4.3 Energie – Methode

In dem Aufsatz von H. H. Yoo und S. H. Shin [(8)] wird über eine Formulierung der potentiellen Energie und der Arbeit der Trägheitskräfte eine Gleichung, unter Berücksichtigung folgender Annahmen, aufgestellt:

- Der Biegebalken hat eine homogene und isotrope Materialeigenschaft.
- Der Biegebalken hat einen langen dünnen Körper.
- Schubspannungen werden hierbei vernachlässigt.
- Die Drehträgheit bei Momenten Gleichgewicht wird vernachlässigt.
- Es gibt eine Balkenachse, die keine Dehnung oder Stauchung erfährt.
- Die Winkelgeschwindigkeit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ist konstant.
- Querschnitte sind rechtwinklig zu neutralen Achse am unverformten Balken, bleiben eben und rechtwinklig zur verformten neutralen Achse.

In der Gleichung wurde bereits der Ansatz von Rayleigh – Ritz

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

eingearbeitet.

Die Gleichungen lauten:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3.5 Eigenfrequenzberechnung für einen Bernoulli – Balken – Modell ohne Fliehkrafteinflusses

3.5.1 Analytische Lösung

Die gewöhnliche lineare Differentialgleichung ohne Berücksichtigung der Fliehkraft lautet:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für die Koeffizienten führen wir eine Abkürzung ein:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die allgemeine Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung (48) kann in folgender Form angegeben werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diese Gleichung brauchen wir um die Eigenfrequenzen des Kragbalkenmodels zu bestimmen. Zuerst wollen wir die Randbedingungen betrachten:

Feste Einspannung am Anfang des Kragbalkenmodels führt zu folgender Aussage:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Freies Ende des Balkenmodels führt zu nächster Aussage:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wir haben 4 Unbekannte und 4 Gleichungen. Durch Eliminieren der Unbekannten kommen wir auf eine Gleichung, durch die wir die Eigenfrequenzen ermitteln können.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Lösungen ([Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]) dieser nichtlinearen Gleichung können iterativ beliebig genau bestimmt werden. Es werden vier verschiedene Werte für [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]berechnet, die wir in die Gleichung (56) einsetzen.

Zur Berechnung der Eigenfrequenzen treffen folgende Annahmen:

- Der Werkstoff ist E235 mit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
- Die Länge L ist 100 mm lang
- Der Querschnitt ist ein Quadrat je 10 mm

Die Größen setzen wir in die Gleichung (56) und bestimmen daraus die vier Eigenfrequenzen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3.5.2 FEM – Lösung

Eigenfrequenzen des Kragbalkens aus einem Beamelement

Ein Beambalken ist ein dreidimensionaler Körper. Durch die Definition der Balkenachse, die die ungekrümmte Verbindungslinie der Schwerpunkte der Querschnitte des Beambalkenselements darstellt, wird er auf ein eindimensionales Gebilde reduziert. Für einen Beambalken gelten die Hypothesen der Timoschenko – Balken – Theorie. Jeder Knoten des Beamelements besitzt sechs Freiheitsgrade, daher kann er Momente und Kräfte in einem dreidimensionalen Raum übertragen. Für die Eigenfrequenzbestimmung des Kragbalkens liefert das Beamelement die genausten Ergebnisse.

Aufbau des Kragbalkens mit Beamelementen

Zuerst definieren wir die Materialkarte, in dem wir den Werkstoff E235 auswählen. Anschließend bestimmen wir die Propertykarte, in welcher wir die Geometrie des Kragbalkens festlegen. In der Länge von 100 mm legen wir 50 Knoten fest. Zwischen diesen Knoten verbinden wir die einzelnen Beamelemente. Das eine Ende vom Kragbalken wird mit dem Lager fixiert und die Eigenfrequenzanalyse wird gestartet.

Aufbau des Kragbalkens:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Darstellung der einzelnen Eigenformen und die dazu gehörigen Eigenfrequenzen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Eigenfrequenzen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Eigenfrequenzen des Kragbalkens aus einem Solidelement

Die Anwendung von Solidelementen erfolgt bei allen dickwandigen oder massiven Bauteilen. Die Solidelemente werden benutzt in räumlichen Strukturen als Tatraederelement, Pentaederelement und Hexaederelement. Es sind isoparametrische Elemente, d.h. Berandungsflächen der Elementen können gekrümmt sein. Jeder Knoten des Solidelements hat Verschiebungsmöglichkeiten und somit kann er Kräfte im dreidimensionalen Raum aufnehmen.

Aufbau des Kragbalkens aus Solidelementen:

Zuerst definieren wir die Materialkarte, in dem wir den Werkstoff E235 auswählen. In der Propertykarte bestimmen wir ein Hilfselement vom Typ Plane Strain und danach einen Solidelement. Wir zeichnen ein Rechteck [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] , bauen daraus eine Fläche und belegen es mit 25 Plane Strain Elementen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Netz aus Plane Strain Elementen

Dann extrudieren wir die Plane Strain Elemente auf 100 mm Länge, in dem wir die ursprünglichen Plane Strain Elemente löschen und sie mit Solidelemente ersetzen. Es entsteht ein Kragbalken aus Solid Elementen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Ein Ende des Kragbalkens wird mit dem Lager fixiert und die Eigenfrequenzanalyse gestartet.

Darstellung der einzelnen Eigenformen und die dazu gehörigen Eigenfrequenzen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Eigenfrequenzen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3.6 Eigenfrequenzberechnung für einen Bernoulli– Balken– Modell mit Fliehkrafteinflusses

3.6.1 Analytische Lösung

Im Abschnitt 3.4. haben wir für den Euler– Bernoulli– Balken drei verschiedene Bewegungsgleichungen vorgestellt, deren unterschiedliche Behandlung des Fliehkraftterms wie hier nur angeben. Bei der Lösung der Differentialgleichung Beschränken wir uns auf die Energie- Methode. Der Einfluss des Fliehkraftterms auf den Euler- Bernoulli- Balken ohne Fliehkrafteinflusses wird dargestellt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

[...]