Balance de Materia para Dummies

LA ESTEQUIOMETRIA

Y EL BALANCE DE MATERIA

Se recordarán los conceptos de Estequiometría estudiados en Química General y los enlazaremos con el Balance de Materia y la Ingeniería Química.

Durante su formación, un Ingeniero Químico debe aprender a diseñar y a operar con seguridad, Procesos mediante los cuales se transforman materias primas en productos más útiles, obteniendo ganancias y procurando que no se afecte el medio ambiente.

El diseño de un Proceso Químico requiere la selección de una secuencia de transformaciones físicas y químicas apropiadas, llamadas Operaciones Unitarias y Procesos Unitarios, respectivamente, y de la escogencia de los equipos necesarios para realizarlas.

De acuerdo con la conocida Ley de la Conservación de la Materia, en las Operaciones Unitarias se conserva, tanto la masa, como el número de moles y el número de átomos. En los Procesos Unitarios, se conserva la masa y el número de átomos, pero –generalmente - no se conserva el número de moles.

Sea la reacción entre las sustancias, A y B, en presencia de un catalizador, a temperatura y presión elevadas, para producir los productos X y Y, mediante la reacción:

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La sustancia A, es costosa y está mezclada con un inerte, I, en pequeñas proporciones. La sustancia B es barata. El producto deseado es la sustancia X. Además, la reacción no tiene un eficiencia del 100% y el reactivo más barato se utiliza en exceso.

El Proceso requeriría un Reactor, dos calentadores y dos compresores. Además las sustancias deben impulsarse para que fluyan por las tuberías. Se requerirían dos bombas.

Los Productos a la salida del Reactor son X, Y, A que no reaccionó, B que está en exceso y el Inerte I.

En la Figura 1 se muestra un Diagrama del Proceso.

- Las Flechas representan las corrientes de entrada y salida a los equipos,
- Los Componentes de cada corriente se colocan sobre la flecha,
- El Reactor se representa con un rectángulo,
- El calentador (Intercambiador de Calor) se representa con un círculo, al que se le suministra calor,
- La bomba y el compresor se representan por medio de un dispositivo en forma de cañón, al que se le suministra energía en forma de trabajo.

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Estos Diagramas reciben el nombre de Diagramas Cualitativos y son el Primer paso en la solución de cualquier problema de Balance de Materia. El número de Unidades en la Figura 1 es de 7.

Observemos que antes de llevar las sustancias al Reactor, es conveniente mezclarlas para no usar dos intercambiadores de calor, dos bombas y dos compresores. Figura 2.

El Mezclador se representa con un círculo con la letra M en su interior, seguida de un número si hay más de uno. La Figura 2 tiene ahora 5 unidades.

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A la salida del Reactor, la sustancia deseada, X, está mezclada con las otras, por lo que debe separarse de ellos y, posiblemente, purificarse. Para lograrlo se utilizan uno o varios Separadores.

En general, un Separador divide la corriente o corrientes de entrada en dos o más flujos de salida, con composiciones diferentes. Ver Figura 3:

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En este Proceso, con 7 Unidades, el compuesto deseado, X, se ha sometido a una Separación y a una Purificación, para obtenerlo con una fracción molar, digamos, del 99%.

Si analizamos los Flujos que entran y salen de los equipos del Proceso, es fácil ver que los flujos másicos y la composición de las corrientes que entran y salen de la bomba, el compresor y el intercambiador de calor son las mismas. Han experimentado un cambio físico (Presión, Temperatura) pero no han experimentado ningún cambio químico. En otros equipos pueden también cambiar de fase.

Por tanto, los balances de materia en este tipo de equipos son triviales y se pueden excluir del diagrama, en Procesos en que solo se deben evaluar Balances de materia (una excepción son algunos Procesos adiabáticos con mezclas aire-vapor de agua). Sólo son indispensable cuando se realicen Balances de Energía.

El Diagrama Cualitativo resultante de esta exclusión se ve en la Figura 4, en la cual, además, se numeran las corrientes. El Proceso queda con 4 Unidades.

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Como la sustancia A es costosa, se puede pensar en retornar la corriente que lo contiene al Reactor, para obtener mayor cantidad de X, como se ve en la Figura 5:

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En ella puede verse que, a pesar de que algo del inerte, I, sale del Proceso en el Separador II, una cantidad de él va en la corriente que se está recirculando, de tal manera que su cantidad en la corriente que entra al Reactor va a ir aumentando y aumentando, haciendo que las condiciones de estabilidad del Proceso desaparezcan.

La mayoría de los Procesos operan en condiciones de estabilidad.

Un Proceso Estable es aquel en el que las condiciones de presión, temperatura, flujos, composiciones, no varían con el tiempo. Más exactamente, se llaman de Estado Estable y Flujo Estable.

Por tanto, una cantidad de la corriente que se retorna debe ser extraída del Proceso. A esta corriente que se extrae se le conoce con el nombre de Purga y el equipo en el que se realiza se conoce con el nombre de Divisor. Esto se analizará en detalle más adelante.

Lo mismo que los Separadores, los Divisores se representan con un círculo, con una letra D en su interior, seguida de un número si hay más de un Divisor. Tal como puede verse en la Figura 6, la cual tiene 5 Unidades.

En general, un Divisor es un dispositivo que tiene una sola corriente y 2 o más corrientes de salida. Es también un Separador, con la diferencia de que los flujos que salen de él tienen la misma composición.

Los equipos del Proceso que se muestra en el diagrama de la Figura 6, se pueden clasificar en cuatro categorías:

1. MEZCLADORES; 2. REACTORES; 3. SEPARADORES; 4. DIVISORES.

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Y no solo en este proceso sencillo, todos los equipos que forman cualquier planta química en la que se deban efectuar balances de materia y energía, por más grande y compleja que sea (como el complejo petroquímico de Sadara, en la ciudad industrial de Jubail, Arabia Saudita, que es el complejo químico más grande del mundo construido en una sola fase, con 26 plantas de fabricación a escala mundial y produce más de tres millones de toneladas de productos cada año), pertenecen a una de estas cuatro categorías, independientemente del tipo de Reactor o del tipo de Separador. En los Mezcladores y los Divisores, es simple entender lo que hacen y cómo lo hacen.

Cuando el futuro Ingeniero Químico llegue a décimo semestre y curse Diseño de Plantas y Equipos, debe tener los conocimientos teóricos suficientes que le permitan hacerlo, es decir, DISEÑAR PROCESOS. El curso de Mecánica de Fluidos le enseñará a diseñar las tuberías y las bombas para mover los fluidos; en Procesos de Separación, Fenómenos de Transferencia, Termodinámicas aprenderá a escoger la forma apropiada para separar las mezclas, la geometría de los Reactores y sus componentes internos; los cursos de Cinética y Catálisis e Ingeniería de las Reacciones Químicas le enseñarán a estudiar las condiciones óptimas de las transformaciones químicas, los catalizadores, etc., el curso de Transferencia de Calor le enseñará a diseñar los Intercambiadores, los Condensadores, las Columnas de enfriamiento, etc.; el Control de Procesos le demostrará la necesidad del control automático para un proceso químico, con el que se mantienen estables las Variables del proceso (temperatura, presión, flujo, composición, etc.).

Analizaremos cada una de las Unidades que forman el Proceso desde el punto de vista de la Química General y los relacionaremos con el Balance de Materia. Al final, cuando se tengan claros los conceptos necesarios, analizaremos el Proceso completo de la Figura 6.

MEZCLADOR Y REACTOR. ANÁLISIS CUANTITATIVO.

Miremos el Mezclador y el Reactor de la Figura 2 con los conceptos de Estequiometría, estudiados en Química General, para una situación particular.

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Mezclador: Ejercicio 1. Si se conoce que el flujo de una de las corrientes que entra al Mezclador es de 1000 gramos mol/h, (gmol/h), con un porcentaje molar de A de 98,5% molar A, y que se suministra la sustancia B en un exceso del 15%. Halle el flujo de cada componente a la salida del Mezclador y la composición de la corriente.

Solución: Puede calcularse fácilmente el flujo de B con la estequiometría de la reacción y el flujo de A, y luego, los flujos a la salida del Mezclador y la composición molar de esa corriente, porque:

Lo que Sale = Lo que Entra (1)

Resuelva el Ejercicio de manera completa.

Bomba, Compresor e Intercambiador de Calor: No se modifican ni el flujo, ni la composición de las corrientes (por eso, generalmente se eliminan).

Reactor: Si se desea hallar el flujo de los componentes que salen, su composición y el flujo total, conocidos los flujos ya calculados de las sustancias A, B e I a la entrada, es necesario tener información adicional. ¿Cuánta información adicional más y cuál?.

Analicemos el ejercicio con los conceptos de Química General.

Con lo aprendido en Estequiometría, recordemos que cuando se conocen las moles de los reactivos, basta tener la eficiencia de la reacción, para hallar los flujos de todos los Productos del Reactor. Es decir, los compuestos que salen del Reactor (Productos de la Reacción y los Reactivos que no se transformaron) y, con ellos, puede calcularse la composición de la corriente y el flujo molar total. Digamos que la eficiencia es del 63% .

Por tanto, para hallar los flujos y la composición pedida BASTA UN SOLO DATO O INFORMACIÓN ADICIONAL. En Balance de materia, la cantidad de datos o de información adicional necesarios para que un Balance de materia se pueda resolver, recibe el nombre de GRADOS DE LIBERTAD. Más adelante, cuando se tengan todos los elementos, se explicará mejor qué son y cómo se calculan.

Sin embargo, adelantemos que cuando los Grados de Libertad de un Proceso valen UNO O CERO, UNO sin flujos conocidos o CERO con flujos conocidos, el Proceso está especificado correctamente y pueden hallarse todos los flujos y composiciones. Será llamada la condición (1,0).

Ejercicio 2. Al Reactor entran los flujos calculados en el Ejercicio 1. La reacción tiene una eficiencia del 63%. Calcule los flujos de los componentes de la corriente de salida y su composición. Resuelva el ejercicio.

¿Qué otro dato adicional puede usarse para resolver el ejercicio, además de la eficiencia?. La Estequiometría nos enseñó que conociendo cualquiera de los flujos de las sustancias que salen del Reactor o Flujos por Componente (así se llaman en Balance de materia), Productos de la reacción o Reactivos sin reaccionar, se pueden calcular los otros flujos desconocidos, la composición de la corriente, la Eficiencia de la reacción, el Exceso usado, etc.

Ejercicio 3. Calcule el flujo de los otros componentes que salen del Reactor y la composición de la corriente, si son conocidos los flujos de A, B e I hallados en el Ejercicio 1 y el flujo de uno de los Productos del Reactor, en cada uno de los siguientes casos:

a) Se conoce que del Reactor salen 364,45 gmol/h de A.
b) Se conoce que del Reactor salen 1024,4 gmol/h de B.
c) Se conoce que del Reactor salen 1861,65 gmol/h de X.
d) Se conoce que del Reactor salen 620,55 gmol/h de Y.
e) Se conoce que el flujo total que sale del Reactor es de 3886,05 gmol/h.

Observe que un Dato Adicional: La eficiencia, se ha cambiado por otro dato: El Flujo que sale de un componente o el Flujo total. Esto es importante para el análisis de Grados de Libertad.

Ejemplo Resuelto 1. Con los conceptos de Estequiometría, el único “difícil” es el ítem e), porque debe asumirse una incógnita: La cantidad de A que reacciona. Y si ya resolvieron las partes a) hasta d), utilizó las archiconocidas formulas sobre la Conservación de la Materia cuando hay reacciones químicas (Procesos Unitarios):

1º. Para Reactivos: Lo que sale = Lo que entra – Lo que reacciona (2)
2º. Para Productos: Lo que sale = Lo que entra + Lo que se produce. (3)

Sea Z los gmol/h de A que reaccionan. Con la relación entre los respectivos coeficientes estequiométricos se sabe que:

A que sale = 985 – Z

B que sale = 2265,5 – 2 Z

X que sale = 0 + 3 Z

Y que sale = 0 + Z

Inerte que sale = Inerte que entra = 15

Como se conocen los flujos de todos los componentes a la salida del Reactor, puede plantearse que:

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La cantidad que reacciona o se produce de un Reactivo o de un Producto está relacionada con un concepto importante, que en Balance de Materia se conoce con el nombre de Velocidad de Reacción, r, (una constante de la reacción), por medio de la ecuación:

Lo que reacciona o se forma = Coeficiente Estequiométrico*Velocidad de Reacción (4)

De esta manera, si lo que se produjo de A fueron 620,55 gmol/h, debe cumplirse que:

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y, por tanto, la velocidad de reacción es: r = 620,55 gmol/s.

Con los coeficientes estequiométricos de la reacción se encuentra fácilmente que:

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Es lo mismo que enseña la Estequiometría: Para hallar los flujos que reaccionan o se producen de cada una de las otras sustancias que intervienen en una reacción se multiplica el valor conocido (lo que sale sin reaccionar o se produce de unos de ellos), por la relación entre los respectivos coeficientes estequiométricos (En Grado 10 del Bachillerato, se usaba una simple regla de tres: Si 2 moles de B reaccionan con 1 de A, cuántas de B reaccionarán con 620,55 moles de A?).

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En general, para hallar la Velocidad de reacción de cualquier transformación química (ojo, siempre balanceada), conocida la cantidad que reacciona o se produce de una de las sustancias que intervienen, se divide esta cantidad por su coeficiente estequiométrico.

Así, si se conoce que de la sustancia X se forman 1861,65 gmol/s, como su coeficiente estequiométrico es 3, la velocidad de reacción es: r = (1861,65/3) = 620,55 gmol/s.

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¿Cómo se afectan los flujos de los componentes que salen del Reactor?.

Solución: Al dividir el flujo de A producido, por su coeficiente estequiométrico, 2, la Velocidad de reacción se reduce a la mitad: r = (620,55/2).

Las cantidades que reaccionan permanecen constantes. Por ejemplo:

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Obviamente, los Flujos de los componentes que salen del Reactor no cambian.

Hasta ahora, lo único “nuevo” es la Velocidad de reacción. Se han hecho los mismos cálculos de manera diferente. Se ha calculado lo que reacciona y lo que se produce de una manera más sencilla, que permitirá generalizar estos cálculos y darle un tratamiento matemático. No nos hemos salido de la Estequiometría.

Hagamos algo similar, por lo nuevo, con los coeficientes estequiométricos de la reacción: Los representamos con la letra sigma minúscula, σS, en la que el subíndice representa la sustancia.

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Como el flujo de los reactivos disminuye y el de los productos de la reacción aumenta, se asigna un valor positivo a los coeficientes estequiométricos de las sustancias que aparecen y uno negativo a los coeficientes estequiométricos de las sustancias que desaparecen.

Esto permitirá calcular lo que entra y lo que sale de cualquier componente C, que interviene en una reacción, con una sola ecuación:

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Y si hayR reacciones la ecuación será:

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Donde es el coeficiente estequiométrico del componente C en la reacción r.

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Otra información o dato adicional sobre el Reactor, que podría servir para hallar los flujos y composiciones molares de las sustancias que salen del Reactor, es la composición molar o másica de una de ellas en el flujo de salida.

Ejercicio 4. Calcule el flujo de los componentes que salen del Reactor y su composición, teniendo como información los flujos de A, B e I hallados en el Ejercicio 1, y una de los porcentajes a la salida del Reactor, en cada uno de los siguientes casos:

f) El porcentaje molar de la sustancia B en la corriente de salida es 26,36096%.
g) El porcentaje molar de la sustancia A en la corriente de salida es 9,37842%.
h) El porcentaje molar de la sustancia X en la corriente de salida es 47,90597%.
i) El porcentaje molar de la sustancia Y en la corriente de salida es 15,96866%.
j) El porcentaje molar de la sustancia I en la corriente de salida es 0,38600%.

Ejemplo Resuelto 3. Se resuelve la parte f) del Ejercicio.

Sea M los gmol/h totales que salen del Reactor. Por tanto, expresados también en gmol/h, puede decirse que:

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Con este valor se pueden calcular los otros Flujos por componente a la salida del Reactor y compararlos con las respuestas obtenidas en soluciones anteriores al mismo ejercicio.

OBSERVE QUE HASTA AHORA NO SE HA UTILIZADO NINGÚN CONCEPTO NUEVO Y MUCHO MENOS DE BALANCE DE MATERIA. Ha sido solo Estequiometría de Primer Semestre y sentido común. Se han hecho unas re-definiciones de conceptos antiguos como la velocidad de reacción por “Lo que reacciona” y “Lo que se produce” o una notación para los coeficientes estequiométricos. Solo se han cambiado conceptos de Estequiometría de Primer Semestre por la forma como se manejan en Balance de materia los mismos conceptos. Además se han utilizado algunos elementos que debe haber aprendido en el curso de Introducción a la Ingeniería Química.

SEPARADORES I Y II: ANÁLISIS CUALITATIVO.

Ya se hizo el análisis en el Reactor, el único Proceso Unitario que hay en el Proceso. Seguimos con las unidades de Separación, en las que ocurren transformaciones físicas, las conocidas como Operaciones Unitarias.

En la Figura 4 se “complica” el Diagrama con la adición de un Separador y de un Separador-Purificador. El análisis es más sencillo que el anterior porque no hay transformaciones químicas y las ecuaciones usadas en el Reactor para los Reactivos y los se Productos se vuelven una sola: Lo que sale = lo que entra. Más sencilla, a pesar de que pueda haber, en general, varios flujos de entrada y varios flujos de salida.

En este caso particular, en el Separador hay dos corrientes de salida y una de entrada.

Ejemplo Resuelto 4. En el Separador I, la corriente (4), formada por 5 componentes y cuyos flujos se conocen, se divide en las corrientes (5) y (6), tal como se muestra en la Figura 4.

a. ¿Cuál y cuánta información adicional se requiere para hallar los flujos de los componentes que salen en las corrientes (5) y (6) y su composición?.
b. Asuma la información necesaria y calcúlelos.

Solución:

a. ¿Cuál y cuánta información adicional se requiere para hallar los flujos de los componentes que salen en las corrientes (5) y (6) y su composición?.

Decir cuál es sencillo: Hasta ahora se ha utilizado como información adicional la eficiencia, los flujos y las composiciones. Como ya no hay reacciones, la información adicional solo pueden ser flujos y/o composiciones.

Hay otra forma de expresar la información adicional, que no hemos mencionado todavía de manera explícita, no se le ha dado un nombre, pero que ha sido utilizada en el Mezclador y en el Reactor, y que puede ser utilizada también en el Separador. La explicaremos con todo detalle más adelante.

En la Figura 7 puede verse el Separador I, aislado del Proceso, con la información conocida hasta ahora. Los flujos están en gmol/h:

Hasta ahora, las variables que se han asignado a las corrientes han sido los Flujos molares de los componentes y con ellos se han efectuado los cálculos pedidos. Pero como la composición puede ser un dato, y la suma de los Flujos por componente es el Flujo total, las composiciones y el Flujo total también pueden ser usados como variables de las corrientes.

A continuación se muestra la manera más sencilla para analizar el problema y encontrar cuánta información adicional se requiere para resolverlo, pero adelantemos algo acerca de Balance de Materia:

En todo problema de Balance de materia de un Proceso químico, formado por un solo equipo o por cientos o miles, siempre se desea conocer los flujos y/o las composiciones y/o Algunos datos adicionales de unas corrientes o del Proceso y para conocer estos valores se dispone de:

A) La información dada o Datos del ejercicio,
B) La(s) ecuación(es) de Conservación de la Materia o Ecuaciones de Balance de Materia, y
C) Los Datos adicionales.

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En la Figura 7 se ve la forma como se distribuyen los componentes que entran en la corriente (4): La sustancia A sale por la corriente (5); las sustancias X y Y salen por la corriente (6), los componentes B e I salen por las corrientes (5) y (6). Se desea conocer el flujo de cada componente en cada corriente.

Es decir, se desconocen tres flujos de la corriente (5) y cuatro flujos de la corriente (6). Un total de siete variables desconocidas o incógnitas.

La ecuación de Conservación de la Materia: Lo que entra = Lo que sale, para el componente B, o Ecuación de Balance es:

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Pero es conveniente utilizar una simbología que permita identificar de una manera más clara las incógnitas y expresar matemáticamente las ecuaciones de Balance o de Conservación de la materia.

El MAESTRO Girontzas V. Reklaitis en su libro de Balances de Materia y Energía, autor de una de los mejores cuatro libros de Balance que conozco, y quien introdujo de la manera más clara el concepto de Grados de Libertad, propone la siguiente notación:

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Para notar los Flujos Másicos propone la letra F, y para las fracciones másicas propone la letra w, minúscula:

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Con esta simbología, la ecuación (5), para el componente C que interviene en una reacción cualquiera, puede expresarse matemáticamente como:

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Análogamente, utilizando esta simbología, en la Figura 8 se muestran todos los flujos que intervienen en el Separador I, conocidos y desconocidos.

Otros autores, posteriores al texto del Maestro Reklaitis han planteado otras notaciones, tratando de ser originales, pero esta notación es la mejor.

La Figura 8 es lo que se conoce como un Diagrama Cuantitativo, es el Segundo Paso que debe seguirse en la solución de cualquier problema o ejercicio de Balance de Materia.

En él se colocan todas las variables de las corrientes que intervienen en el Proceso, conocidas y desconocidas.

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Además, pueden plantearse las ecuaciones de Balance, que relacionan los flujos de las cuatro sustancias restantes, B, X, Y e I, como:

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Tenemos un sistema de 5 ecuaciones con 7 incógnitas. Matemáticamente se sabe que para resolverlo existen varias posibilidades:

1) Disminuir en 2 el número de incógnitas;
2) Aumentar en 2 el número de ecuaciones; y,
3) Disminuir en 1 las incógnitas y aumentar en 1 las ecuaciones.

Las incógnitas son Flujos y Composiciones, por tanto, la información adicional podrían ser, por ejemplo, 2 flujos o 2 composiciones o 1 flujo y una composición. ¿Pero cómo podrían añadirse ecuaciones?. Digamos, por ahora, que con esa forma de expresar la información, que digo que se ha utilizado, pero a la que no nos hemos referido aún de forma explícita.

Realmente, esta forma de expresar las ecuaciones de Balance no es exactamente la que utilizaremos. Adelantemos que no se reemplazan en ellas los valores conocidos.

Hemos hallado la solución a la parte a) del Ejercicio: Se requieren 2 datos más para hallar los flujos de los componentes de las corrientes (5) y (6). Esos datos pueden ser flujos, composiciones y una tercera de la que se hablará más adelante. Luego se resolverá la parte b) del ejercicio.

Anteriormente se planteó:

En Balance de materia, el número de Datos o Información adicional necesaria para que se pueda resolver un ejercicio o un problema, de manera completa, recibe el nombre de GRADOS DE LIBERTAD.

Se pueden calcular usando la ecuación:

Grados de Libertad = Número de Incógnitas – Número de Ecuaciones.

Es decir, este ejercicio tiene 2 Grados de Libertad. Volveremos más adelante sobre él para referirnos en detalle a la información adicional.

Cuando hace falta información en un Proceso, los Grados de Libertad son positivos y, lo que es lo mismo, si los Grados de Libertad son positivos, hace falta información.

En general, cuando los Grados de Libertad son POSITIVOS se dice que el proceso está SUB-ESPECIFICADO (menos cuando vale 1, y no hay flujos conocidos) .

Cuando los Grados de Libertad tienen un valor NEGATIVO, se dice que el proceso está SOBRE-ESPECIFICADO, sobra información. Volveremos sobre estos conceptos más adelante.

SOLUCIÓN DEL EJERCICIO EN EL MEZCLADOR. ANÁLISIS CUANTITATIVO:

En las Figuras 9a y 9b se ha aislado el Mezclador y se representa su Diagrama Cuantitativo, con la simbología propuesta. Con este equipo se inició el Análisis Cuantitativo del Proceso por medio de la Estequiometría, pero se pasó por encima de él, sin realizar ningún análisis.

Se usa la numeración de la Figura 4 y se utilizan las dos formas diferentes que existen para expresar las variables de las corrientes.

En el primer Diagrama Cuantitativo se utilizan los Flujos por componente en las corrientes (1), (2) y (3), y en el segundo Diagrama se usa el Flujo total de las corrientes y las composiciones.

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Incógnitas: En la Figura 9a hay 6 incógnitas: , , , , , . En la Figura 9b también hay 6 incógnitas: , , , , , . En Balance de materia estas incógnitas reciben el nombre de Variables de Corrientes Independientes (veremos porqué son independientes) y son las variables que se utilizan para expresar las ecuaciones y para efectuar cálculos (Ya se han utilizado en los cálculos de Estequiometría, sin darles ningún nombre).

En general, si las Variables de una corriente cualquiera con C componentes se quiere definir mediante Flujos por Componente, serán necesarias C Variables de Corriente Independientes. Puede comprobarse en la Figura 9a: Se requiere una variable para la corriente (2) que solo tiene el componente B, dos variables para la corriente (1) que tiene los componentes A e I, y tres variables para la corriente (3), formada por los componentes A, B e I.

Si para definir la corriente se utilizan como Variables de Corriente el Flujo Total y las Composiciones, el número de Variables de corriente Independientes necesarias será la suma de 1, que representa el Flujo Total, más (C – 1) composiciones, es decir, será igual a ( 1 + (C – 1)) = C. Es decir, no se altera el número de Variables de Corriente Independientes. Puede comprobarse en el Diagrama Cuantitativo de la Figura 9b.

Ecuaciones: En el Proceso de Mezclado intervienen tres componentes y, por tanto, puede plantearse tres ecuaciones de balance, una para cada uno de ellos. En general, puede decirse que si en un proceso intervienen C componentes, la Ley de Conservación de la materia da lugar a (C + 1) ecuaciones de balance, una para cada uno de los C componentes y una para el Flujo Total. Pero de estas (C + 1) ecuaciones solo C son independientes, porque la ecuación (C + 1) puede obtenerse a partir de las otras: La ecuación de balance para el Flujo Total es la suma de las ecuaciones de balance de los C componentes; y la ecuación de balance de cualquier componente, C, puede obtenerse restando de la ecuación de balance total los balances de los otros (C – 1) componentes.

En el proceso se pueden plantear tres ecuaciones de balance: 1) Los tres Componentes, o 2) El Balance Total y el de dos de los Componentes. El uso de unas u otras ecuaciones depende del tipo de Variables de Corriente Independientes utilizado: Si se usan Flujos y Composiciones, el balance Total es sencillo; pero el de la sustancia dependiente es muy grande; si se usan Flujos por Componente, el balance Total es muy grande.

Como conclusión, en el Proceso se puede plantear tres Ecuaciones de Balance Independientes y existen 6 incógnitas o Variables de Corriente Independientes desconocidas.

En la figura 9b aparecen unas composiciones entre paréntesis que no se contaron como variables del proceso o como incógnitas. Son las Variables Dependientes y nos referiremos a ellas más adelante (eso sí, queda claro que se colocan entre paréntesis).

El Ejercicio 1, se resolvió sin usar un solo concepto de Balance de materia, solo algo de Estequiometría, sentido común y lógica.

Ejemplo 3. Resuelto. Su enunciado es: Si se conoce que el flujo de una de las corriente que entra al Mezclador es de 1000 gramos mol/h, (gmol/h), con un porcentaje molar de A de 98,5% molar A, y que se suministra la sustancia B en un exceso del 15%. Halle el flujo de cada componente a la salida del Mezclador y la composición de la corriente.

SOLUCIÓN: Primero que todo, insistamos en que la definición de las corrientes mediante el uso de Variables por Componente o del Flujo Total y las Composiciones, son equivalentes (Figuras 9a y 9b). El uso de una u otra o de una mezcla de las dos, depende de la información dada, del gusto y de la información buscada.

Sin embargo, se propondrá una forma de solución que involucra las Variables de Corriente Independientes de los dos tipos de Diagrama, así tengan múltiples Unidades.

Variables Dependientes: En la corriente (1) de la Figura 9a aparecen los flujos , , que no son dados por el enunciado, pero que pueden calcularse a partir del Flujo total (1000 gmol/h de mezcla) y de la composición dada (98,5% de A). Vean que no se habla del porcentaje del inerte. ¿Porqué?. Porque no es necesario. Podría decirse que su valor es de 1,5% pero no aporta nada porque se sabe. Eso significa ser Dependiente.

Si en una corriente hay C componentes y se conoce el porcentaje de (C – 1) de ellos, la composición del componente C también será conocida, porque basta restar de 100 la suma de los (C – 1) componentes y, por tanto, será una composición dependiente. Es decir, para el caso más sencillo, formado por dos componentes como la corriente (1), es una Variable Dependiente y por eso se coloca entre paréntesis y no se contabiliza como incógnita. Lo mismo sucede con .

Esto ocurre con cualquier porcentaje: Si en el mes un estudiante se gasta el 60% de la mesada en cerveza y el 30% en cine, le queda el 10% para comer todo el mes. No necesita decirlo.

Algo similar ocurre con el flujo total . No se utiliza en el Diagrama Cuantitativo de la figura 9a porque es una variable dependiente que se obtiene sumando los flujos de los componentes. Siempre que se utiliza el Flujo total, estará acompañado de las composiciones.

Veremos el enfoque del Balance de materia para resolver este Ejercicio tan simple (una sola unidad). Pero, a pesar de lo sencillo del Ejercicio, este enfoque es el mismo que se utilizará en todos los problemas de Balance de materia, por grandes y complejos que sean (cientos de unidades).

Ya se sabe que la diferencia entre el Número de Incógnitas y el Número de Ecuaciones se conoce con el nombre de Grados de Libertad. El análisis del Diagrama Cuantitativo de la Figura 9b mostró que los Grados de Libertad del Proceso valen (6 – 3) = 3. Al analizar ahora el enunciado se encuentra información: Un flujo (1000 gmol/h de mezcla) y una composición (98,5% de A). Las Variables de Corriente Independientes que eran incógnitas, y , son ahora conocidas, las desconocidas pasan a valer 4 y los Grados de Libertad quedan valiendo (4 – 3) = 1.

Cuando se resuelven ejercicios y problemas de Balance de materia el Primer Paso es construir el Diagrama Cualitativo, en el que se indican las corrientes y los componentes de cada una de ellos. Esto puede tener cierta dificultad en Procesos complejos y la asignación de los componentes a cada corriente requiere análisis. En la mayoría de los casos los errores se cometen por problemas de Comprensión de Lectura. En ejercicios sencillos, como éste, puede obviarse este paso y pasar al Segundo Paso que es la Construcción del Diagrama Cuantitativo.

De acuerdo con la información conocida o de las respuestas pedidas, puede escogerse cuál de las dos Variables de Corriente utilizar, es decir: Flujos por Componentes o Flujo Total y composiciones o una mezcla de ambas, unas variables pueden asignarse a unas corrientes y usar sus equivalentes en otras. Cuando se utilizan Flujos individuales las ecuaciones de balance son más sencillas y más lineales, lo que facilita su solución cuando se resuelven sistemas muy grandes de ecuaciones.

Pero, de nuevo, anticipemos que el método de solución que se propone hace que el uso de una u otra sea indiferente. Pero debe definirse una de las dos para hacer los Diagramas, con los cuales se plantearán las ecuaciones de balance y, generalmente, se escoge dependiendo del modo como se presente la información.

La información para la construcción de los dos diagramas se obtiene así:

1º. Utilizando los datos dados en el enunciado del ejercicio, = 1000 y = 0,985, se construye el Diagrama Cuantitativo de la Figura 10a.
2º. Se calculan los flujos de los componentes A e I en la corriente (1):

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y se construye el Diagrama Cuantitativo de la Figura 10b.

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En este momento, el ejercicio continúa con 1 Grado de Libertad, está Sub-especificado, lo que significa que no pueden hallarse TODAS las variables desconocidas. Es bueno insistir en esto, cuando un proceso esta Sub-especificado, es posible que puedan calcularse algunas de las Variables de corriente, pero no TODAS.

Analicemos la otra información que da el enunciado y con la cual el Proceso quedará con CERO Grados de Libertad: Se suministra la sustancia B en un exceso del 15%.

Con los coeficientes estequiométricos de A y B en la reacción se conoce que la proporción entre ellos es de 2 moles de B por 1 de A. Y se conoce que se adiciona el componente B en un exceso del 15%. Por tanto esta información da una RELACIÓN entre la cantidad de A que hay en la corriente (1) y la cantidad de B que debe haber en la corriente (2). Es decir, el flujo molar de una corriente puede expresarse en función de la otra mediante una ecuación.

Esta RELACIÓN es una Especificación o Condición que se le impone al Proceso. Repitámoslo para darle énfasis: Si se conoce el flujo molar del componente A en la corriente (1), se puede calcular el flujo del componente B en la corriente (2), pero lo importante es que un flujo puede expresarse en función del otro.

En Balance de materia, estas Relaciones se notan con la letra R y cuando hay varias se les coloca un subíndice numérico para diferenciarlas: R1, R2, R3, etc.

La expresión matemática de la Relación es:

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En el Proceso de Mezclado, las incógnitas siguen siendo 4, pero como se debe cumplir la condición dada por la ecuación (12), el número de ecuaciones aumentado en 1. Ahora, los Grados de Libertad valen (4 – 4) = 0.

A esta forma de expresar los datos adicionales nos referíamos cuando planteábamos que:

“Hay otra forma de expresar la información adicional, que no hemos mencionado todavía de manera explícita, pero que ya ha sido utilizada en el Mezclador y en el Reactor”. Esta es la Información Adicional o Dato Adicional planteada anteriormente.

LAS RELACIONES: DATOS ADICIONALES O INFORMACIÓN ADICIONAL.

Son especificaciones o condiciones que se le colocan al Proceso e imponen y definen relaciones entre sus Variables de Corriente independientes. Se manejan como Ecuaciones Adicionales y se utilizan con las Ecuaciones de Balance para hallar las incógnitas o variables desconocidas. Expresar matemáticamente de manera correcta las Relaciones es una de las dificultades que se encuentran, sobre todo por deficiencias en Comprensión de Lectura.

La condición que se maneja en el Mezclador es que se suministra el componente B en un exceso del 15% sobre el teórico para reaccionar con el componente A y esta condición o especificación se expresa mediante la Ecuación (12).

Por tanto, todo ejercicio de Balance de materia, en el que los Grados de Libertad estén en la condición (1, 0), se puede resolver mediante la solución de un sistema de n ecuaciones con n incógnitas. Esté formado por una sola Unidad o por cientos de Unidades.

Solución al ejercicio:

1). Usando el Diagrama de la Figura 10a:

La inmensa mayoría de los textos de Balance de materia resuelve los ejercicios de manera secuencial, lo cual es realmente más sencillo en muchos casos simples. Sin embargo este método no prepara para la solución de ejercicios complejos de balances, en los que existan muchas Unidades. Es más, el 98% de los ejercicios de los textos de balance, aún los más complejos, están diseñados para que sean resueltos Unidad por Unidad y de manera secuencial, comenzando en la mayoría de los casos por los Balances en el Proceso Global. Basta con revisar los ejercicios resueltos y propuestos que acompañan los textos de balance. De todos.

La forma de solución que propongo es la Solución Simultánea del Sistema de Ecuaciones de todo el Proceso, sin necesidad de considerar las Unidades individuales una por una. La considero la mejor manera para analizarlos y resolverlos. Y es la base de mi libro de Balance de Materia.

Este Proceso de Mezclado es extremadamente sencillo y los balances son triviales. Se resolverá de las dos maneras para ir precisando las ventajas del Método de Solución Simultánea.

a) Solución secuencial: Es similar a la forma en que enseña a resolver los ejercicios de Química General. Realmente se están utilizando ecuaciones, pero sin escribirlas. Cuando lo hacen, las ecuaciones se resuelven una por una, intentando hallar las variables independientes o incógnitas del Proceso en secuencia. A veces no se requiere plantear ecuaciones y los datos se pueden utilizar directamente. Cuando se usan, el orden de solución se realiza escogiendo aquellas que tengan solo una incógnita y que los valores hallados puedan ser utilizados en las ecuaciones siguientes. Para el Proceso de Mezclado las Incógnitas son: , , , .

Para hallar es necesario calcular primero . No se requieren ecuaciones:

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La fracción molar del componente I, , que no se ha mencionado porque es una Variable de Corriente Dependiente, se calcula por medio de la diferencia entre 1 y las fracciones molares de los otros componentes de la corriente:

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Los resultados pueden comprobarse por medio del Balance Dependiente del componente Inerte, cuyas moles deben conservarse en el Proceso:

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Como no hay textos de Química orientados exclusivamente a la Ingeniería Química y la Química General la dicta cualquiera, esta comprobación de resultados y muchas cosas importantes no se enseñan. La pequeñísima diferencia se debe a los cortes en los decimales.

Si resolvió este Ejercicio anteriormente, hizo exactamente lo mismo, solo que sin utilizar ningún tipo de nomenclatura. Debe haber usado la Ley de la Conservación de la materia y los conocidos: A que entra, B que entra, A que sale, B que sale, I que sale, etc.

b) Solución simultánea: Se plantean todas las ecuaciones del Proceso, sin resolver ninguna. Es más, no es necesario reemplazar los valores conocidos sino que pueden colocarse como ecuaciones. De hecho, no se reemplazarán, porque esto permitirá cambiar los datos y resolver cientos de ejercicios. Las Variables de Corriente Independientes desconocidas son: , , , . Las Variables de corriente conocidas son: , .

La otra característica importante es que no se debe confiar en que los resultados obtenidos sean correctos y éstos deben comprobarse SIEMPRE. Para corroborar los resultados se pueden usar las ecuaciones de Conservación o la ecuación del balance dependiente. E incluir esta ecuación como una ecuación más en el Sistema de ecuaciones usado para resolver el ejercicio. En este Proceso, se sabe que el número de moles se conserva y que los resultados deben satisfacer el Balance dependiente no utilizado, el balance del Inerte.

Hay muchas calculadoras y software disponibles para resolver sistemas de ecuaciones, lineales y no lineales. La Hewlett Packard 50, la Texas, Matlab, Scilab, Gams, EES, etc. En este documento se utiliza EES:

Las ecuaciones de Balances Molares por Componente del Proceso y la ecuación que especifica la condición impuesta al flujo de B o Relación, R1, ecuación (12), son:

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(Nota: Utilizar los valores conocidos de flujo y composición en forma de ecuaciones es solo un método para resolver el sistema de ecuaciones. Parecería más lógico reemplazar estos valores en las ecuaciones y resolver un sistema de 4*4. Más adelante se entenderá claramente por qué se hace de esta forma).

El sistema tiene 6 ecuaciones con 6 incógnitas. Podría resolverse ya y conocer el valor de las incógnitas, que se podrían comparar los datos encontrados en la solución secuencial. Por eso a este sistema de ecuaciones le daremos más adelante un nombre especial. Pero como se planteaba antes, la solución simultánea se puede utilizar para efectuar otros cálculos: Primero que todo y lo más importante: asegurarse de que los resultados sean correctos.

Para ello se añade al Sistema de 6*6 la ecuación de Balance del Componente que no se ha utilizado, ya que la ecuación de Balance para el Flujo total se utilizó dentro del Sistema de ecuaciones. En este caso, el Balance del Inerte, cuyo número de moles debe conservarse.

Se calculan las cantidades que entran y salen:

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Diferencia = Flujo Molar que sale de I – Flujo Molar que entra de I:

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En el primer caso habrá dos incógnitas más en el Sistema, FIQE y FIQS, y dos ecuaciones más. En el segundo, habrá una incógnita más, D, y una ecuación más. Escogiendo la primera posibilidad se formará un sistema de 8 ecuaciones con 8 incógnitas, de 8*8 se dice.

Hay otras dos maneras de comprobar los resultados, las cuales se analizarán más adelante.

Se puede hallar, de una vez, las fracciones molares del inerte en las corrientes (1) y (3):

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Hay dos incógnitas más, y y dos ecuaciones. Un sistema de 10 ecuaciones con 10 incógnitas, de 10*10.

Además, de una vez, se pueden calcular los Flujos molares por componente que pide el ejercicio. Esto significa que se añaden al sistema 5 ecuaciones y 5 incógnitas, quedando de 15*15, ecuaciones (23) a (27):

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Más adelante se demostrará la importancia de introducir el cálculo de las fracciones o de los flujos dentro del sistema de ecuaciones del Proceso.

Cualquier otro cálculo pedido puede ser introducido como una ecuación más en el sistema: Que se desea hallar la Relación entre los flujos de las corrientes (3) y (2). Se introduce en el sistema un incógnita para este dato, sea R1 y la ecuación: R1=N3/N2. Y listo. El sistema queda con 16 ecuaciones y 16 incógnitas.

Tal como aparece al digitarlo en EES, el sistema de 16*16 y su solución son:

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Análisis de Resultados: Las respuestas básicas a un ejercicio o problema de Balance de Materia siempre son Flujos, Composiciones o Velocidades de reacción (En el tema sobre Humedad y Saturación pueden pedir también las temperaturas de bulbo seco o bulbo húmedo). También sabemos que ninguno de estos valores puede ser negativo y las composiciones deben estar entre 0 y 1. Es conveniente poner como condición al software que no haya variables negativas y que todas las fracciones estén entre 0 y 1.

Las primeras respuestas que deben analizarse son las correspondientes a la comprobación. Su exactitud garantiza que los otros resultados sean correctos. En este caso, puede verse que los flujos molares que salen y entran del inerte son los mismos (en negrilla). Si no lo fueran, se ha cometido un error en alguna parte. Generalmente de digitación. Comience a revisar. Si no es digitación, puede ser un dato incorrecto. Si no lo es, debe ser una ecuación de balance. En la solución aparecen los valores de flujo molar y composición de la corriente (1) porque fueron usados como ecuaciones.

En este momento, al comparar las dos soluciones dadas, podrá pensar que la segunda es demasiado larga. Debe darse cuenta que el ejercicio propuesto es muy simple por lo que se resolvió muy fácilmente de manera secuencial y, por ahora, debe reconocer dos ventajas: Primero, tiene la seguridad de que el ejercicio fue resuelto correctamente y, segundo, halló todas las respuestas de una sola vez. Y estas dos características son las menos importantes.

Cualquier variante que se le haga al ejercicio puede ser resuelta haciendo los cambios convenientes al sistema de 15 ecuaciones con 15 incógnitas planteado. Eso demora poco.

Por ejemplo: Suponga que la parte b) del Ejercicio 1 dice:

Resuelva el ejercicio si no se conoce la composición de la corriente que entra, pero se sabe que el porcentaje del compuesto A en la salida es del 30,16383%. Y tampoco se conoce el exceso de B, pero se sabe que el cociente entre los flujos molares de las corrientes (3) y (2) vale 1,441404. Si, de nuevo, entran 1000 gmol/h de la mezcla, calcule todos los flujos y composiciones desconocidos. Halle todos los flujos por componente. Calcule el exceso de B.

Solución: Se deja como trabajo resolver el ejercicio de manera secuencial con sus conocimientos de Química. La solución, utilizando la solución simultánea del sistema de ecuaciones es la siguiente.

El Diagrama Cuantitativo del Proceso se ve en la Figura 11.

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La nueva Especificación o Condición en el Proceso de Mezclado es R1:

R1: La proporción molar entre las corrientes (3) y (2) vale 1,441404.

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