Mathematik ist die Liebe zur Weisheit, die Philosophie des Unendlich-Vielfältigen. Daher ist es auch kein Wunder, daß der erste Philosoph, - wie Aristoteles sagte -, auch ein Mathematiker ist, nämlich Thales von Milet (625-547 v.Chr.), der die Sonnenfinsternis vom 28. Mai 585 v. Chr. richtig vorhersagte.
Seit über zweieinhalb Jahrtausenden beschäftigt sich also die Menschheit schon mit geometrischen Gebilden, wie Geraden, Dreiecke, Vierecke oder Pyramiden! Unter den alten Geometern finden sich der um 600 v. Chr. geborene, schulbekannte Pythagoras, der eine geheime Bruderschaft gründete; Zenon von Elea (490-430), der mit scharfsinnigen Paradoxien durch reine Überlegung schon der „Quantennatur der Geometrie“ auf die Schliche kam; Platon (427-347), ein Schüler Sokrates, der nur den Ideen eigentliche Realität zusprach, und unsere Sicht der Welt im Höhlengleichnis als nur schattenhaft erkannte; der um 300 v. Chr. in Alexandria lebende Euklid, der schließlich das erste axiomatisch aufgebaute 13-bändige, mathematische Werk verfaßte, nach dessen Geometrie noch heute alle Schüler unterrichtet werden, -nur das Beweisen scheint heute an den Schulen außer Mode gekommen zu sein; Archimedes von Syrakus (285-212), der nicht nur die Kreiszahl π, sonder beispielsweise auch äußerst elegant das Kugelvolumen berechnete; und die vielen, vielen anderen. Alle Gelehrten und Kosmologen beschäftigten sich mit dieser idealisierten Welt der Zahlen und des Raumes, angefangen von Aristarchos von Samos (320-250), der als erster das heliozentrische Weltbild lehrte, nachdem sich die Erde um die Sonne dreht, bis hin zu dem im 2. Jahrhundert nach Christus in Alexandria lebenden Claudius Ptolemäus, dessen geozentrisches Weltbild sich für Jahrhunderte durchsetzen sollte, (- würde sich nicht jede Fliege als Mittelpunkt der Welt betrachten? -), bis Kopernikus, Galilei und Kepler uns endgültig eines besseren belehren sollten.
Bald wird wohl die Anzahl der heute auf der Erde lebenden Mathematiker größer sein, als alle einst in den vergangenen Jahrtausenden lebenden bzw. gestorbenen, zusammen genommen! Und sie haben sich alle schon mit Dreiecken beschäftigt! Könnte da noch etwas über das Dreieck unentdeckt geblieben sein?
Können Sie sich vorstellen, daß es für das Dreieck noch Formeln gibt, die in keinem Buch und keiner Formelsammlung zu finden sind?
Ja, dies ist der Fall, oder kennen Sie etwa die Formel, daß das Produkt der Dreiecksseiten dividiert durch seine Summe (auch Umfang genannt) gleich dem doppelten Produkt seiner beiden Radien des In- und Umkreises, - die sog. Wehrle-Zahl des Dreiecks-, ist? Oder wissen Sie, daß im rechtwinkligen Dreieck der Inkreis-Durchmesser gleich der um die größte Seite (auch Hypotenuse genannt) verminderte Summe der kleineren Seiten (auch Katheten genannt) ist, daß die Summe der am rechten Winkel anliegenden Seiten gleich der Summe der Durchmesser ist?
Und daß das halbe Produkt dieser zwei Seiten, -die Dreiecksfläche also-, gleich der Summe der Wehrle-Zahl und dem vierten Teil der Wehrle-Zahl der Differenzen ist: A = w + ¼w*. Dieser letztere „Differenzen-Wehrle“ ist das Quadrat des Durchmessers des Inkreises!
Kennen Sie das kleinste, diskrete gleichschenklige Dreieck, oder das kleinste, nicht-rechtwinklige, rationale Dreieck, das aus nur natürlichen Seitenlängen besteht?
Wissen Sie, welche Vierecke einen In- und Umkreis haben, oder kennen Sie deren doppelte Radienprodukte? Kennen sie diskrete Kreisvierecke, diskrete Sehnenvierecke ohne Inkreis gar?
Wie heißt der dreidimensionale Satz des Pythagoras, oder wissen Sie, welche rechtwinklige Pyramide mit ganzzahligen Katheten den Inkugelradius r=1 hat?
Wissen Sie, daß der Inkugelmittelpunkt rechtwinkliger Tetraeder
Mi = (r; r; r) mit
r = abc / [(ab+ac+bc)+√(a²b²+a²c²+b²c²)] ist;
und das Umkugelzentrum
Mu = (a/2; b/2; c/2) mit Radius R = ½√(a²+b²+c²) ist?
Und was gilt für das Radienprodukt bei den allgemeinen Pyramiden?
Wissen, wie man das Volumen und den Umkugelradius einer Pyramide nur über die Kantenlängen berechnet! Sicherlich kennen Sie auch die Fehringer-Formel für das allgemeine Tetraeder noch nicht!
Table of Contents
Einleitung
Erster TEIL:
Wehrle-Formeln für Dreiecke
Rationale Dreiecke mit natürlichen Seitenlängen
Abstand der Zentren
Der Sinus-Wehrle
Andere trigonometrische Wehrles
Des Sinus-Differenzen-Wehrle
Die trigonomischen Potenzen-Wehrles
Die Summe der Seitenquadrate des Dreiecks
Die Kreise des Dreiecks
Das Küßproblem
Die Formel von Descartes
Die Kreisspiegelung
Die Krümmung der Küßkreise
Die Krümmung der Ankreise
Die Eulergerade und der Feuerbachkreis
Merkwürdigkeiten beim Dreieck
Teil II: Das Radienprodukt für Kreisvierecke
Flächeninhalt
Sehnen- und Tangentenvierecke
Der Drachen-Wehrle
Rationale Vierecke mit natürlichen Seiten
Das Radienprodukt für Kreistrapeze ist
Teil III: Pyramiden
Das Analogon zum rechtwinkligen Dreieck: Der dreidimensionale Pythagoras
Die Entfernung der Zentren
Die Fehringer-Wehrle-Formel
TEIL IV: n- und unendliche Dimensionalität
Wir verlassen nun die uns vertrauten Sphären!
Satz des Pythagoras im n-Dimensionalen
Das allereinfachste Gebilde, genannt SIMPLEX
Volumen der unendlich-dimensionalen Kugeln
Schlußfolgerung
ANHANG
BEWEIS der WEHRLE-Formel
Beweis der Flächenformel
Beweis für w = R² - d²
Übungsaufgaben zum Kapitel I:
Übungsaufgaben zum Kapitel II:
Übungsaufgaben zum Kapitel III:
Objectives and Topics
This work aims to explore and derive new geometric relationships in triangles, quadrilaterals, pyramids, and n-dimensional structures, introducing novel concepts such as the "Wehrle-number" to unify various geometric properties. The primary research goal is to demonstrate how these algebraic identities hold across different dimensions and complex geometric configurations.
- Derivation of the "Wehrle-formulas" for triangle side and radius relations.
- Exploration of rational triangles and quadrilaterals with natural side lengths.
- Analysis of geometric circle properties including kissing circles, Feuerbach circles, and inversion.
- Extension of the Pythagorean theorem to 3D pyramids and n-dimensional simplices.
- Examination of hyperspheres and the behavior of volume/surface area in infinite dimensions.
Excerpt from the Book
Die Wehrle-Zahl der Dreiecksseiten
Die Wehrle-Zahl der Dreiecksseiten, oder kürzer - des Dreiecks -, ist nämlich gerade das doppelte Produkt der beiden Radien, nämlich des Inkreises, der alle Seiten berührt, und des Umkreises, der durch die drei Ecken festgelegt ist. (Durch zwei Punkte ist eine Gerade eindeutig bestimmt, und durch drei ein Kreis, dessen Zentrum der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Seiten des durch diese drei Ecken bestimmten Dreiecks ist!)
Summary of Chapters
Erster TEIL: This section introduces the foundational "Wehrle-formulas" and investigates the relationships between side lengths, areas, and radii in both general and rational triangles.
Die Kreise des Dreiecks: This chapter focuses on advanced circle geometry, specifically the "kissing problem," circle inversion, and the properties of the Euler line and Feuerbach circle.
Teil II: Das Radienprodukt für Kreisvierecke: This part shifts focus to quadrilaterals, analyzing the conditions for cyclic and tangential quadrilaterals and extending the Wehrle concepts to these shapes.
Teil III: Pyramiden: This chapter generalizes the Pythagorean theorem to three dimensions by examining rechtwinklige Pyramiden and the specific metrics related to their inspheres and circumspheres.
TEIL IV: n- und unendliche Dimensionalität: The final chapter takes the concepts into n-dimensional and infinite-dimensional spaces, exploring the disappearance of hyperspheres and the limitations of Euclidean geometry in extreme dimensions.
Keywords
Wehrle-Zahl, Dreiecksgeometrie, Inkreis, Umkreis, Kreisviereck, rechtwinklige Pyramide, dreidimensionaler Pythagoras, n-dimensionales Simplex, Kreisspiegelung, Feuerbachkreis, Kugelradien, Geometrie, Mathematik, Radienprodukt
Frequently Asked Questions
What is the core focus of this publication?
The work focuses on developing algebraic identities in geometry, specifically linking side lengths, surface areas, and radii in triangles and higher-dimensional polyhedra using the author's defined "Wehrle-number."
What are the primary thematic areas covered?
The book spans classical triangle geometry, circle-based problems like the "kissing problem," quadrilateral geometry, and higher-dimensional geometric analysis.
What is the primary objective of the author?
The author aims to establish a consistent set of formulas (Wehrle-formulas) that describe the interplay between inscribed and circumscribed spheres/circles in varying geometric figures.
Which scientific methodology is utilized?
The author uses analytical geometry, vector analysis, and algebraic derivations based on established Euclidean principles, often verified through modern 3D visualizations.
What topics are discussed in the main body?
The body covers the properties of triangle centers, circle inversion techniques, the generalization of the Pythagorean theorem to 3D and n-dimensions, and the analysis of limits in infinite dimensions.
Which keywords define this work?
The work is defined by terms such as Wehrle-number, circle geometry, polyhedra radii, inversion, and high-dimensional geometric stability.
How is the "Wehrle-number" defined for triangles?
It is defined as the product of the side lengths divided by the perimeter, which equals twice the product of the inradius and circumradius.
What does the book conclude about Euclidean geometry in infinite dimensions?
The author concludes that Euclidean geometry reaches its limitations in infinite-dimensional spaces, suggesting it functions as an ideal model that cannot fully capture the complexity of the actual spatial limit.
- Quote paper
- Hugo Wehrle (Author), 2008, Beitrag zum Jahr der Mathematik 2008, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/88496
