Heinrich Hertz. Herleitung der Hertzschen Formeln

Inhaltsverzeichnis

1 Historischer Hintergrund

2 Koordinatensystem und Definitionen

3 Beanspruchung bei Berührung zweier Körper
3.1 Kugel gegen Kugel
3.2 Kugel gegen Ebene
3.3 Zylinder gegen Zylinder
3.4 Zylinder gegen Ebene
3.5 Beliebig gewölbte Fläche

4 Herleitung der Hertzschen Formeln
4.1 Problem von Boussinesq
4.2 Abplattung und Radius der Druckfläche
4.3 Druckverteilung in der Berührungsfläche

5 Anwendungen der Hertzschen Pressung
5.1 Zahnräder
5.2 Wälzlager

6 Zahlenbeispiele
6.1 Kugel gegen Ebene
6.2 Belastung im Wälzkontakt

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: Normale Einzelkraft am Halbraum [Q0]

Abbildung 2: Kugel gegen Kugel [Q3]

Abbildung 3: Zylinder gegen Ebene [Q6]

Abbildung 4: Berührung zweier allseitig gekrümmter Körper mit Hauptebenen [Q7]

Abbildung 5: Vorzeichen der Krümmungen [Q8]

Abbildung 6: Geometrie der beiden Körper

Abbildung 7: Abplattung ‚z1’ in der Kugel [Q13]

Abbildung 9: Die Druckfläche [Q14]

Abbildung 10: Hilfsgrößen in der Druckfläche [Q15]

Abbildung 11: Mittlerer Druck in der Fläche [Q16]

Abbildung 12: Druckverteilung Berechnung [Q17]

Abbildung 13: Abplattung im Schneckenrad [Q19]

Abbildung 15: Krümmungsradien in den Axialschnitten der Lagern [Q21]

Abbildung 16: Axial und Radialer Ansicht der Lager

1 Historischer Hintergrund

Die Hertzschen Formeln wurden durch den deutschen Physiker Heinrich Rudolf Hertz entwickelt. Hertz kam am 22. Feb 1857 in Hamburg zur Welt. Er studierte an der Universität Berlin. Von 1885 bis 1889 lehrte er als Professor für Physik an der Technischen Hochschule in Karlsruhe. Hertz entdeckte in Karlsruhe mit dem ersten Hertzschen Oszillator die Existenz der Elektromagnetischen Wellen. Er wies nach, dass sie sich auf die gleiche Art und mit der gleichen Geschwindigkeit ausarbeiten wie Lichtwellen. Er starb am 1. Januar 1894 in Bonn.

Hertz verwendete die Formeln von Joseph Valentin Boussinesq als Basis, um die Pressung in zusammengedrückten Kugeln bestimmen zu können. Boussinesq war ein französischer Mathematiker und Physiker (geb. am 13. März 1842). Von 1872 bis 1886 war er Professor für Differential und Integralrechung in Lille. Er leistete einen entscheidenden Beitrag zum Verständnis der Turbulenz und der hydrodynamischen Grenzschicht. Er ist 19. Februar 1929 verstorben.

2 Koordinatensystem und Definitionen

Es werden die Begriffe, die später in dieser Arbeit auftauchen werden, erläutert.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: : Normale Einzelkraft auf Halbraum [Q0]

Drei Koordinaten x, y, z werden verwendet, um einen Raum zu definieren. Angenommen ist für die Arbeit, dass eine Kraft F auf den Halbraum in Richtung z wirkt (Abb. 1). Dadurch entstehen die Verschiebung in z - Richtung und die Spannung in der x - z Ebene. Die Verschiebung in z - Richtung heißt Abplattung und wird als w 0 bezeichnet. Die Druckfläche ist für den Fall „Kugel gegen Kugel“ kreisförmig und hat einen Radius, der als a bezeichnet wird. w 0 und a werden in der Arbeit nach der Hertzschen Theorie hergeleitet. Die Abplattung ist nicht nur für Kugeln, sondern weiterhin auch für Zylinder und für die Fälle, dass beliebig gewölbte Flächen aufeinander gepresst werden, bestimmt.

3 Beanspruchung bei Ber ü hrung zweier K ö rper

Zwei Körper berühren sich bei ihrer Annäherung bis zum spannungsfreien Kontakt in einem Punkt, wenn es sich um allseitig gekrümmte Körper handelt oder entlang einer Geraden, wenn die Körper zwei Zylinder bzw. Kegel darstellen. Bei einer weiteren Annäherung der Körper, bei der nur Normalkräfte übertragen werden, erfolgt im ersten Fall die Kraftübertragung über eine elastische, im zweiten Fall über eine rechteckige Kontaktfläche. Unabhängig von der Ausdehnung der Berührung werden die beiden Kontaktarten gemäß der Form der Berührfläche im Punktkontakt (Punktberührung) und Linienkontakt (Linienberührung) unterschieden. Werden Körper nur senkrecht zur Berührlinie belastet, so lassen sich die auftretenden Verformungen und Spannungen nach der Hertzschen Theorie berechnen. Die Anwendungen der Hertzschen Gleichungen setzen .. homogene und isotrope Materialien .. die Gültigkeit des Hookeschen Gesetzes (rein elastisches Materialverhalten) .. Eigenspannungsfreiheit sowie .. eine im Verhältnis zu den Durchmessern der Wälzkörper kleine Kontaktfläche voraus.

Versuche von Stribeck bestätigen unter anderem die Anwendbarkeit der Formeln für Wälzkörper aus Stahl. Grundlage der Hertzschen Gleichungen bilden die Bousinesqschen Formeln, mit denen sich für eine Einzelkraft auf einem Halbraum die Verschiebungen und Spannungen bestimmen lassen.

3.1 Kugel gegen Kugel

Die Hertzsche Formel für die Verschiebung (Abplattung), wenn zwei Kugeln sich in einem Punkt berühren, lautet:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2: Kugel gegen Kugel

Die Druckspannung verteilt sich halbkugelförmig (Abb. 2) über der Druckfläche. Die Projektion der Drückfläche ist ein Kreis vom Radius

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3.2 Kugel gegen Ebene

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3.3 Zylinder gegen Zylinder

Die Projektion der Druckfläche ist ein Rechteck von der breite 2b0 und der Zylinderlänge /. Die Druckspannungen verteilen sich über die Breite 2b0

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Hierbei wird vorausgesetzt, dass sich q = f/l als Linienlast gleichförmig über die Länge verteilt. Die Abplattung wurde von Hertz nicht berechnet, da die begrenzte Länge der Zylinder die Problemlösung erschwert. Die Spannungen ax und <?y an einem Element der Druckfläche (x in Längsrichtung, y in Querrichtung) sind in Zylindermitte <?x =2vaz =0,6cr0, a =az=a0. Der Spannungsverlauf in z - Richtung liefert die größte Schubspannung in der Tiefe z = 0,78 a zu max r = 0,3cr0. Am mittleren Volumenelement der Berührungsfläche ist in der Mitte des Zylinders

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Abbildung 3: Zylinder gegen Ebene [Q6]

Und am Zylinderende maxi r = 0,5<t0 . Dabei liegt maxi r in Flächenelementen schräg zur Oberfläche, da voraussetzungsgemäß in den Oberflächenelementen selbst und damit nach dem Satz von den zugeordneten Schubspannungen auch in Flächenelementen senkrecht dazu r = 0 ist, d.h. die Oberflächenspannungen Hauptspannungen sind.

3.4 Zylinder gegen Ebene

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3.5 Beliebig gew ö lbte Fl ä che

Im Fall „Kugel gegen Kugel“ sind die Kugeln um beide Hauptkrümmungsebenen symmetrisch und deshalb tauchen die Hertzsche Hilfsbeiwerte nicht in den Formeln auf. Für beliebig gewölbte Flächen sieht die Drückfläche wie ein Ellipsoid aus und hat zwei Hauptkrümmungsebenen (siehe Abb. 4).

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Abbildung 4: Ber ührung zweier allseitig gekrümmter Körper mit Hauptebenen [Q7]

Um die Abplattung für beide Ebenen berechnen zu können, müssen zuerst die folgenden Begriffe erläutert werden.

Krümmungsverhältnisse

In der Hertzschen Theorie wird die Berührung zweier allseitig gekrümmter Körper betrachtet, die mit der Kraft F gegeneinander gepresst werden.

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Jeder der beiden Körper 1 und 2 ist durch seine Krümmungen in den beiden senkrecht zueinander stehenden Hauptkrümmungsebenen gekennzeichnet, in denen die Krümmung ihren Maximalwert bzw. Minimalwert annimmt.

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Abbildung 5: Vorzeichen der Kr ümmungen [Q8]

Die Krümmung p ist der Reziprokwert des zugehörigen Krümmungsradius r. Das Vorzeichen von p ist positiv, wenn der Krümmungsmittelpunkt innerhalb des Körpers liegt, dagegen negativ, wenn der Krümmungsmittelpunkt außerhalb des Körpers liegt (Abb. 5). Die Krümmungen werden durch zwei Indizes erläutert, von denen sich der erste auf den Körper und der zweite auf die Hauptkrümmungsebene bezieht. Z.B. stellt p 1 2 die Krümmung des Körpers 1 in der Hauptkrümmungsebene 2 dar.

Die Hertzschen Beiwerte

Hertz hatte nur die Abplattung für den Fall „Kugel gegen Kugel“ berechnet. Für die Berechnung der Annäherung der Druckfläche und der Flächenpressung für die beliebig gewölbten Flächen nach der Hertzschen Theorie müssen aus den Krümmungsverhältnissen in der Berührungsstelle zunächst die Hertzschen Beiwerte ju , und A bestimmt werden. Durch diese Werte wird die Verteilung der Beanspruchung an der Berührungsstelle charakterisiert. Es soll vorausgesetzt werden, dass die Hauptkrümmungsebenen der beiden Körper zusammenfallen. Bei Wälzlagern ist das immer der Fall. Zunächst ist der Hilfswert cosr zu berechnen aus:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 1

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4 Herleitung der Hertzschen Formeln

Hier wird sich nur auf den Fall beschränkt, dass zwei Rotationskörper sich in einem Punkt berühren und während der Zusammendrückung eine resultierende Abplattung erfahren. Die Abplattung wird dadurch verursacht, dass eine Kraft auf der Druckfläche (Kontaktfläche) der Kugel wirkt und sich durch die Boussinesqschen Formeln bestimmen lässt.

Die gesamte Abplattung lautet:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

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