In Abbildung 1 ist eine Punktmasse m dargestellt, die sich, von einem masselosen starren Stab der Länge l gefesselt, auf einer Kreisbahn bewegt. Dabei wirken auf die Masse eine äußere Antriebskraft F und die Stabkraft S. Da die freie Bewegung der Masse (zwei Freiheitsgrade x und y) durch den Stab eingeschränkt wird, ergibt sich bei der Modellierung ein differenzial-algebraisches Gleichungssystem (DAE), das sowohl Differenzialgleichungen als auch algebraische Gleichungen beinhaltet. Im Folgenden wird die Massenbewegung auf fünf verschiedene Arten simuliert: 1. Als klassisches DAE-System mit vier Differenzialgleichungen und einer algebraischen Gleichung unter Matlab, 2. Als klassisches DAE-System mit vier Differenzialgleichungen und einer algebraischen Gleichung unter Simulink, 3. Als reines Differenzialgleichungssystem mit fünf Differenzialgleichungen (durch Umwandlung der algebraischen Gleichung in eine Differenzialgleichung), 4. Als Differenzialgleichungssystem mit vier Differenzialgleichungen (durch Ersatz des Stabes durch eine Feder), 5. Als Differenzialgleichungssystem mit zwei Differenzialgleichungen (durch Formulierung
in Polarkoordinaten). Alle Simulationen produzieren dabei qualitativ vergleichbare Ergebnisse.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Gefesselte Masse als DAE
2.1 Implementation unter Matlab
2.2 Implementation unter Simulink
3 Algebraische Gleichung durch Differenzialgleichung ersetzen
4 Starren Stab durch Feder ersetzen
5 Polarkoordinaten
Zielsetzung & Themen
Die Arbeit untersucht die physikalische Modellierung und numerische Simulation einer an einem masselosen starren Stab gefesselten Punktmasse, die sich auf einer Kreisbahn bewegt. Ziel ist es, verschiedene Ansätze zur Lösung des resultierenden differenzial-algebraischen Gleichungssystems (DAE) sowie alternative Modellierungsstrategien mittels Matlab und Simulink zu demonstrieren und deren Ergebnisse zu vergleichen.
- Modellierung von DAE-Systemen bei mechanischen Bindungen
- Numerische Implementierung unter Matlab (ode15s) und Simulink
- Methoden zur Transformation von DAEs in reine Differenzialgleichungssysteme
- Ersatz von starren Bindungen durch Federmodelle
- Formulierung mechanischer Probleme in Polarkoordinaten
Auszug aus dem Buch
2 Gefesselte Masse als DAE
Newton’sches Kräftegleichgewicht: m · r̈ = F + S (1) Die Stabkraft ist antiparallel zum Positionsvektor: S = −S · r (2) (2) wird in (1) eingesetzt und nach der Beschleunigung aufgelöst: r̈ = 1/m (F − S · r) (3) In Komponenten ausgedrückt ergibt sich [ẍ ÿ] = 1/m ([Fx Fy] − S [x y]) (4) ẍ = 1/m (Fx − S · x) (5) ÿ = 1/m (Fy − S · y) (6) Um die zwei Differenzialgleichungen zweiter Ordnung in vier Differenzialgleichungen erster Ordnung zu überführen, werden die Position (x und y) und die Geschwindigkeit (ẋ und ẏ) in beiden Richtungen als neue Zustandsgrößen eingeführt:
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Vorstellung des mechanischen Systems einer an einem starren Stab gefesselten Punktmasse und Definition der fünf zu untersuchenden Simulationsarten.
2 Gefesselte Masse als DAE: Herleitung der Bewegungsgleichungen als differenzial-algebraisches System und deren Implementierung mittels Matlab und Simulink.
3 Algebraische Gleichung durch Differenzialgleichung ersetzen: Darstellung der Methode, das DAE durch mehrfaches Differenzieren der Zwangsbedingung in ein reines Differenzialgleichungssystem umzuwandeln.
4 Starren Stab durch Feder ersetzen: Erklärung der Vereinfachung des Systems durch den Ersatz der starren Verbindung durch eine Feder mit hoher Steifigkeit.
5 Polarkoordinaten: Transformation des Problems in ein polares Koordinatensystem zur Reduktion auf die minimale Anzahl an Zustandsgrößen.
Schlüsselwörter
Gefesselte Masse, Differenzial-algebraisches Gleichungssystem, DAE, Matlab, Simulink, Punktmasse, Kreisbahn, Bewegungsgleichung, Stabkraft, Zustandsgrößen, Numerische Simulation, Polarkoordinaten, Federersatzmodell, Mechanik, Zwangsbedingung
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit befasst sich mit der mathematischen Modellierung und rechnergestützten Simulation der Bewegung einer Punktmasse, deren Bewegungsfreiheit durch einen starren Stab eingeschränkt ist.
Was sind die zentralen Themenfelder der Publikation?
Die zentralen Themen umfassen die physikalische Modellierung von Bindungen, die Transformation von DAE-Systemen, numerische Integrationsverfahren sowie die softwareseitige Umsetzung in Matlab und Simulink.
Was ist das primäre Ziel der Untersuchung?
Das Ziel ist es, aufzuzeigen, wie das physikalische Problem der gefesselten Masse auf verschiedene Arten – von DAE-Systemen bis hin zu Polarkoordinaten – formuliert und simuliert werden kann.
Welche wissenschaftlichen Methoden werden verwendet?
Es wird die klassische newtonsche Mechanik zur Aufstellung der Bewegungsgleichungen genutzt, kombiniert mit algebraischen Nebenbedingungen und verschiedenen Methoden der numerischen Transformation.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Der Hauptteil behandelt die detaillierte Herleitung der Gleichungen, die Implementierung in Matlab, die Nutzung von Vektorintegratoren in Simulink sowie alternative Modellansätze wie Feder-Ersatzmodelle.
Welche Begriffe charakterisieren die Arbeit?
Die Arbeit wird maßgeblich durch Begriffe wie DAE, Zustandsgrößen, Zwangsbedingungen, Polarkoordinaten und Simulationsmethoden charakterisiert.
Warum ist das gewählte DAE-System eine Herausforderung?
DAE-Systeme enthalten algebraische Gleichungen, die die Bewegung auf eine bestimmte Bahn zwingen; dies erfordert spezielle numerische Integratoren, die konsistente Anfangsbedingungen berücksichtigen müssen.
Welchen Vorteil bietet die Formulierung in Polarkoordinaten?
Die Formulierung in Polarkoordinaten erlaubt eine Reduktion des Systems auf die minimale Anzahl an Zustandsgrößen, wodurch eine sehr kompakte Modellierung möglich wird.
Was geschieht bei der Annahme eines nicht völlig starren Stabes?
Wird der starre Stab durch eine steife Feder ersetzt, entfällt die algebraische Zwangsbedingung. Das System wird damit einfacher zu simulieren, erfordert jedoch eine hohe Federsteifigkeit, um das Verhalten des starren Stabes hinreichend genau anzunähern.
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- Prof. Dr.-Ing. Jörg Buchholz (Author), 2008, Gefesselte Masse, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/90035
