Im ersten Kapitel will ich mich zunächst der Frage zuwenden, was Mathematik eigentlich ist. Schaut man sich an, was Mathematiker und Wissenschaftstheoretiker zu dieser Frage zu sagen haben, so stellt man fest, daß ihre Ansichten zum Teil diametral entgegengesetzt sind. Manche sehen in der Mathematik eine Kunst, die höchste Blüte des menschlichen Geistes und wollen sie allein um des ästhetischen Genusses wegen betrieben sehen. Andere gestehen ihr nur deswegen eine Daseinsberechtigung zu, weil sie auf die Wirklichkeit anwendbar ist. [...]
Im zweiten Kapitel werde ich mich mit dem Begriff der Wirklichkeit beschäftigen und versuchen aufzuzeigen, in welcher Beziehung er zur Mathematik steht. Dabei möchte ich auch auf die Bedeutung der Mathematik für die Lebenswirklichkeit der Schüler heute eingehen und die Frage erörtern, welche mathematischen Fähigkeiten sie benöti-gen, um in der heutigen Gesellschaft zu bestehen und welche Fähigkeiten die Gesell-schaft den Schülern abverlangen muß, um ihre eigene Existenz zu sichern.
Im dritten Kapitel untersuche ich auf welche Weise Mathematik in diesem Jahrhundert in Deutschland unterrichtet wurde, in welcher Weise man dabei die angewandte Ma-thematik in den Unterricht integrierte und welche Probleme dabei auftraten. Ausge-hend von den Informationen die ich im Verlauf meiner Arbeit über die Mathematik, die Schüler mit ihren Bedürfnissen und den Mathematikunterricht gesammelt habe, werde ich schließlich Vorschläge zur Verbesserung der im Bildungs- und Lehrplan für die Realschulen in Baden-Württemberg fixierten Konzeption von Mathematikunter-richt machen.
Ich hoffe, es ist mir mit meiner Arbeit gelungen, einen Überblick über Material zu ge-ben, das sich normalerweise über viele Bücher verteilt findet: Bücher über Mathema-tikdidaktik, Mathematikgeschichte, Philosophie der Mathematik, Wissenschaftstheo-rie, Soziologie und so fort. - Material, das in Büchern über die Didaktik und Methodik des Sachrechnens häufig auf wenigen Seiten abgehandelt oder gar nicht erwähnt wird, das mir aber dennoch für die Planung von Sachrechenunterricht relevant zu sein scheint. Möge diese Arbeit den Leser erfreuen und ihm, so er Lehrer ist, bei der Ges-taltung seines Unterrichts von Nutzen sein.
Inhaltsverzeichnis
EINLEITUNG
KAPITEL 1: MATHEMATIK
1.1 STREIT UM DAS WESEN DER MATHEMATIK
1.1.1 Mathematik als Unterrichtsgegenstand
1.1.2 Erste Erkundungen
1.2 DIE WURZELN DER MATHEMATIK
1.2.1 Stochern im Nebel der Zeit
1.2.2 Zahlgefühl - Zählen - Zahl
1.2.2.1 Das Zahlgefühl
1.2.2.2 Paarweise Zuordnung
1.2.2.3 Herausbildung des Zahlbegriffs
1.2.3 Mystik - Magie - Religion
1.2.3.1 Zahlen und das Gesetz der Berührung
1.2.3.2 Geometrie und das Gesetz der Ähnlichkeit
1.2.3.3 Zwei Sichtweisen
1.3 DIE ENTWICKLUNG DER MATHEMATIK
1.3.1 Algorithmische Mathematik
1.3.1.1 Die Entstehung der ersten Hochkulturen
1.3.1.2 Mathematik in Ägypten
1.3.1.3 Mathematik in Mesopotamien
1.3.1.4 Mathematik in Indien
1.3.1.5 Mathematik in China
1.3.1.6 Mathematik in Süd- und Mittelamerika
1.3.2 Axiomatische Mathematik
1.3.2.1 Ein entscheidender Schritt
1.3.2.2 Die ionische Periode
1.3.2.3 Die athenische Periode
1.3.2.4 Die hellenistisch / alexandrinische Periode
1.3.2.5 Die Periode des Niedergangs
1.3.2.6 Angewandte und „reine“ Mathematik bei den Griechen
1.3.2.7 Darstellung der axiomatischen Methode nach Aristoteles
1.3.3 Mathematik im Untergrund
1.3.4 Die Wiedergeburt der Mathematik
1.3.4.1 Die Umstände der Geburt
1.3.4.2 Vom Abakus zur Algebra
1.3.5 Mathematik in Bewegung
1.3.5.1 Gesellschaftliche Bewegung
1.3.5.2 Naturwissenschaftliche Bewegung
1.3.5.3 Mathematische Bewegung
1.3.6 Grundlegende Mathematik
1.3.6.1 Die industrielle Revolution
1.3.6.2 Die Spaltung der Mathematik
1.3.6.3 Grundlagenforschung in der Analysis
1.3.6.4 Grundlagenforschung im Bereich der Zahlsysteme
1.3.6.5 Grundlagenforschung in der Geometrie
1.3.6.6 Grundlagenforschung in der Logik
1.3.6.7 Die Mengenlehre
1.3.7 Mathematik in der Krise
1.3.7.1 Grundlagenkrise?
1.3.7.2 Die Antinomien der Mengenlehre
1.3.7.3 Logizismus
1.3.7.4 Formalismus
1.3.7.5 Die Strukturmathematik des Bourbakikreises
1.3.7.6 Intuitionismus
1.3.7.7 Welche Grundlagenkrise?
1.3.8 Auf dem Weg in die Zukunft
1.3.8.1 Computerisierung
1.3.8.2 Die Informationsgesellschaft
1.3.8.3 Entwicklungen in der Wissenschaft
1.3.8.4 Entwicklungen in der Mathematik
1.4 MATHEMATIK UND ANWENDUNG
1.4.1 Angewandte und „reine“ Mathematik in der geschichtlichen Entwicklung
1.4.1.1 Vorgeschichtliche Zeit
1.4.1.2 Zeit der frühen Hochkulturen
1.4.1.3 Griechische Antike
1.4.1.4 Mittelalter und Renaissance
1.4.1.5 Barock und Aufklärung
1.4.1.6 Das Zeitalter der Industrialisierung
1.4.1.7 Industriezeitalter bis heute
1.4.2 Kampf um die Vorherrschaft
1.4.2.1 Die Argumente der „reinen“ Mathematiker
1.4.2.2 Die Argumente der anwendungsorientierten Mathematiker
1.4.2.3 Der ideologische Kern der Auseinandersetzung
1.4.3 Symbiose
1.4.4 Was für eine Wissenschaft ist die Mathematik?
1.5 WAS IST MATHEMATIK - ANSICHTEN IM ÜBERBLICK
1.5.1 Im Dschungel philosophischer Sichtweisen
1.5.2 Schneisen im Dschungel
1.5.2.1 Logizismus, Formalismus, Bourbakismus und Intuitionismus
1.5.2.2 Platonismus, Empirismus, Konventionalismus und Konstruktivismus
1.5.2.3 Der Stellenwert mathematischer Wahrheit
1.5.2.4 Entdecker und Erschaffer
1.5.3 Schlingpflanzen
KAPITEL 2: WIRKLICHKEIT
2.1 WIRKLICHKEIT IN DER PHILOSOPHIE
2.1.1 Der Wirklichkeitsbegriff
2.1.2 Ontologische Wirklichkeitskonzeptionen
2.1.2.1 Materialismus
2.1.2.2 Idealismus
2.1.2.3 Dualismus
2.1.3 Epistemologische Wirklichkeitskonzeptionen
2.1.4 Die konstruktivistische Alternative
2.1.4.1 Wissen und Wirklichkeit
2.1.4.2 Metaphysischer Realismus
2.1.4.3 Radikaler Konstruktivismus
2.1.4.4 Konstruierte Wirklichkeit
2.1.4.5 Die biologische Argumentationslinie
2.1.4.6 Verschiedene Spielarten konstruktivistischen Denkens
2.1.4.7 Sozialer Konstruktivismus
2.1.4.8 Konstruktivistische Ansätze in Pädagogik und Didaktik
2.1.5 Konstruktivismus und Mathematik
2.2 LEBENSWIRKLICHKEIT
2.2.1 Die Welt in der wir leben
2.2.2 Der Nutzen der Mathematik
2.2.2.1 Nutzen der Mathematik für den Einzelnen
2.2.2.2 Nutzen der Mathematik für die Gesellschaft
2.2.2.3 Sicherung und Weiterentwicklung der Mathematik
KAPITEL 3: DIDAKTIK
3.1 VERGANGENHEIT
3.1.1 Die Weitergabe von Wissen
3.1.2 Die „Meraner Reformbewegung“
3.1.3 Das „traditionelle“ Sachrechnen
3.1.4 Kritik des „traditionellen“ Sachrechnens
3.1.5 Die „neue“ Mathematik
3.1.6 Kritik der „neuen“ Mathematik
3.1.7 Ausgewogener Mathematikunterricht
3.2 GEGENWART
3.2.1 TIMSS das Schreckgespenst
3.2.2 Der Bildungs- und Lehrplan für die Realschulen in Baden-Württemberg
3.2.2.1 Didaktische Grundsätze des Bildungsplans
3.2.2.2 Schwerpunktsetzungen im Lehrplan Mathematik
3.2.2.3 Der Inhalt des Lehrplans und die Probleme der Renaissance
3.3 ZUKUNFT
3.3.1 Folgerungen aus der Untersuchung des Unterrichtsgegenstands
3.3.2 Folgerungen aus der Untersuchung der Bedürfnisse der Schüler
3.3.3 Folgerungen aus der Untersuchung des unterrichtlichen Kontextes
3.3.4 Schluß
NACHWORT
Zielsetzung und thematische Schwerpunkte
Die vorliegende Arbeit untersucht das Spannungsfeld zwischen angewandter und „reiner“ Mathematik in deren historischer Entwicklung sowie deren Bedeutung für den Mathematikunterricht, insbesondere vor dem Hintergrund des aktuellen Bildungs- und Lehrplans für Realschulen in Baden-Württemberg. Ziel ist es, ausgehend von einer philosophischen und historischen Reflexion, Unterrichtskonzepte zu entwickeln, die einen ausgewogenen und für Schüler bedeutsamen Mathematikunterricht ermöglichen.
- Historische Analyse des Spannungsverhältnisses zwischen „reiner“ und angewandter Mathematik.
- Untersuchung des Wirklichkeitsbegriffs im Kontext der Mathematikdidaktik.
- Kritische Auseinandersetzung mit didaktischen Strömungen wie dem „traditionellen“ Sachrechnen und der „neuen“ Mathematik.
- Evaluation aktueller Bildungsstandards im Hinblick auf ihre Relevanz für moderne gesellschaftliche Anforderungen.
- Vorschläge zur didaktischen Verbesserung des Mathematikunterrichts durch eine Verknüpfung von fachmathematischen Inhalten mit Lebensweltbezügen.
Auszug aus dem Buch
1.2.2.3 Herausbildung des Zahlbegriffs
Aber damit war die Entwicklung noch nicht an ihrem Ende. Um das möglich zu machen, was wir heute als Mathematik kennen, mußte auch noch von eben erwähnter Hilfsmenge abstrahiert werden. Dazu war ein rekursives Zahlenverständnis notwendig, das Ifrah so beschreibt: „Jede Zahl der Reihe ganzer Zahlen, mit Ausnahme der Einheit selbst, entsteht dadurch, daß man der ganzen Zahl, die ihr vorangeht, eine weitere Einheit hinzufügt.“ Dadurch wird zusätzlich zum kardinalen Aspekt der ganzen Zahlen, der sich auf der schon erwähnten paarweisen Zuordnung gründet, der ordinale Aspekt erschlossen, der ein Verständnis der Folge der natürlichen Zahlen voraussetzt. Dantzig faßt dies sehr schön zusammen: „Wir gehen so leicht von Kardinal- zu Ordinalzahlen über, daß wir diese beiden Aspekte der ganzen Zahl nicht mehr auseinanderhalten. Wenn wir die Anzahl der Gegenstände einer Menge, also ihre Kardinalzahl, bestimmen wollen, suchen wir nicht mehr nach einer Hilfsmenge, mit der wir sie vergleichen können, wir ‘zählen’ sie ganz einfach. Dieser Fähigkeit, die beiden Aspekte der Zahl gleichzusetzen, verdanken wir unsere Fortschritte in der Mathematik. Während uns in der Praxis nur die Kardinalzahl interessiert, kann diese Zahl doch nicht die Grundlage der Arithmetik bilden, da die Rechenarten auf der stillschweigenden Voraussetzung beruhen, daß wir stets von jeder Zahl auf die ihr nachfolgende übergehen können - die Zahl also als Ordinalzahl begriffen wird. Die paarweise Zuordnung allein reicht nicht aus, um zu rechnen; ohne unsere Fähigkeit, die Gegenstände durch die natürliche Zahlenfolge zu gliedern, wäre nur ein sehr geringer Fortschritt möglich geworden. Unser Zahlensystem beruht auf den beiden Prinzipien der Zuordnung und der Rangfolge, die das Gewebe der Mathematik und aller Bereiche der exakten Wissenschaften bilden.“
Zusammenfassung der Kapitel
KAPITEL 1: MATHEMATIK: Das Kapitel bietet eine historische und philosophische Analyse der Mathematik, beleuchtet ihre Wurzeln in Zählprozessen und Mythen sowie ihre Entwicklung von den ersten Hochkulturen bis hin zur modernen Grundlagenkrise.
KAPITEL 2: WIRKLICHKEIT: Hier wird der philosophische Wirklichkeitsbegriff exploriert und die konstruktivistische Perspektive als ein Modell eingeführt, das unser Wissen über die Welt als eine funktionale Anpassung begreift.
KAPITEL 3: DIDAKTIK: Dieses Kapitel kritisiert historische didaktische Ansätze und leitet basierend auf den vorangegangenen Analysen Verbesserungsvorschläge für den aktuellen Mathematikunterricht in Deutschland ab.
Schlüsselwörter
Mathematik, Wirklichkeit, Sachrechnen, Didaktik, Konstruktivismus, Mathematikgeschichte, Anwendungsbezug, Grundlagenforschung, Erkenntnisstreben, Zahlbegriff, Mathematisierung, Lehrplan, Bildungsplan, Modellbildung, Wissenskonstruktion
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit untersucht das Verhältnis von Mathematik und Wirklichkeit, wobei sie den historischen Wandel des Mathematikunterrichts reflektiert und Möglichkeiten für eine sinnvollere Didaktik aufzeigt.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die Schwerpunkte liegen auf der Geschichte der Mathematik, der Erkenntnistheorie, der mathematischen Didaktik sowie der kritischen Analyse aktueller Bildungspläne.
Was ist das primäre Ziel der Arbeit?
Das Hauptziel ist die Entwicklung von Ansätzen für einen Mathematikunterricht, der theoretische Fundierung mit praktischem Lebensweltbezug verbindet, um den Nutzen für Schüler zu maximieren.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es handelt sich um eine wissenschaftliche Hausarbeit, die auf einer umfassenden Literaturanalyse zur Mathematikgeschichte, Philosophie der Mathematik und Didaktik basiert.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil analysiert die Wurzeln der Mathematik, philosophische Wirklichkeitskonzeptionen sowie die didaktische Vergangenheit und Gegenwart des Faches in Deutschland.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Mathematik, Wirklichkeit, Didaktik, Konstruktivismus, Sachrechnen und Anwendungsbezug.
Inwiefern beeinflusst der Konstruktivismus die Arbeit?
Der radikale Konstruktivismus dient als theoretisches Modell, um zu erklären, wie Wissen durch das Subjekt aktiv aufgebaut wird und warum ein starrer Realismus in der Mathematikdidaktik oft zu Problemen führt.
Welche Rolle spielt der aktuelle Bildungsplan für Realschulen in Baden-Württemberg?
Er dient als Fallbeispiel, anhand dessen der Autor aufzeigt, dass der Anspruch eines „ausgewogenen“ Mathematikunterrichts in der aktuellen Lehrplangestaltung noch nicht ausreichend in die Praxis umgesetzt wird.
- Quote paper
- Jörg Dieter (Author), 1998, Mathematik und Wirklichkeit - Von den Wurzeln der Mathematik zu einer Didaktik des Sachrechnens, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/9111
