Können mathematische Sätze wahr sein? Balaguers Position über die Existenz von mathematischen Gegenständen


Hausarbeit, 2019

18 Seiten, Note: 1,0


Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

Einleitung: Was macht einen Satz wahr?

Balaguers Projekt und das Ziel der Hausarbeit

FBP und Fiktionalismus

Das epistemische Problem

Verteidigung von FBP

Was bleibt übrig?

Literaturverzeichnis

Einleitung: Was macht einen Satz wahr?

3+2=2+3 oder Pi ist eine irrationale Zahl scheinen auf den ersten Blick wahre Sätze zu sein. Unsere vortheoretische Annahme ist meist, dass die üblichen mathematischen Sätze, insbesondere definitori- sche Sätze, triviale Wahrheiten sind. Wir vertrauen der Mathematik so sehr, dass wir sie ständig in den theoretischen Begründungslinien unserer besten wissenschaftlichen Theorien mit einfließen lassen. Doch so mancher Sprachphilosoph würde hier einschreiten und behaupten, dass mathematische Sätze alles andere sind als triviale Wahrheiten. Zu behaupten, dass 3+ 2=2+3 eine wahre Aussage ist, kann aus sprachphilosophischer Sicht sehr problematisch sein und kann schnell zu merkwürdigen Ergebnis­sen führen. Denn wenn man die Wahrheit eines solchen Satzes behauptet, dann legt man sich gleich­zeitig auf sehr viel mehr fest. Stellen wir uns doch zuerst die Frage, was einen alltagssprachlichen und nichtmathematischen Satz wahr macht. Wir machen uns jetzt also auf die Suche nach den sogenannten Wahrmachern von Sätzen. Der Verfasser dieser Hausarbeit ist ein Student der Universität Duisburg- Essen. Dieser Satz scheint aus, folgenden zwei Gründen wahr zu sein. Zu einem, weil ein Verfasser dieser Hausarbeit existiert (nämlich Ich, Petar Santini) und zum anderen, weil der Verfasser dieser Haus­arbeit tatsächlich ein Student der Universität Duisburg-Essen ist. Oder alternativ ausgedrückt in dem Vokabular des berühmten Sprachphilosophen Frege: Der singuläre Term der Verfasser dieser Hausar­beit hat eine Bedeutung und diesem singulären Term kommt das Prädikat ist ein Student der Universität Duisburg- Essen zu. Das Wort Bedeutung in Bezug auf singuläre Terme muss man anders als im all­tagssprachlichen Sinne verstehen. Wenn ein singulärer Term eine Bedeutung im fregeschen Sinnen hat, dann heißt das, dass ein Referenzobjekt existiert auf den dieser Singuläre Term verweist. Die Wahrheit eines Satzes scheint also nicht nur davon abzuhängen, dass einem gewissen Gegenstand eine korrekte Eigenschaft zugeordnet wird.1 Der Gegenstand muss zusätzlich auch noch existieren. Ein weiterer Kan­didat der Sätze wahr machen kann, ist also die Existenz. Kommen wir also zurück zu unserem ursprüng­lichen Beispiel 2+3= 3+2. Warum ist dieser Satz wahr? Wird den einzelnen Termen, dass korrekte Prädikat zu gesprochen beziehungsweise wird zwischen den Zahlen eine richtige Relation hergestellt? Trivialerweise lässt sich diese Frage mit folgender Argumentation mit einem Ja beantworten:

P1: Die Menge der reellen Zahlen bilden mit der Rechenoperation + eine Gruppe

P2: In einer Gruppe mit Rechenoperation + gilt für alle ihre Elemente Kommutativität:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

P3: 2 und 3 sind Elemente der Gruppe (R,+)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Mit den algebraischen Axiomen lässt sich zwar dieses Problem lösen, aber was ist mit der Existenzbe­dingung? Existieren Zahlen? Existieren mathematische Gegenstände? An dieser Stelle kommen die so­genannten Platonisten ins Spiel. Sie behaupten, dass mathematische Gegenstände existieren. Und zwar existieren sie als abstrakte Gegenstände. Nun stellt sich die Frage, was abstrakte Gegenstände sind. In Kurzform würde der Platonist sie als nichtraumzeitliche Gegenstände charakterisieren. Sie entstehen nicht, sie vergehen nicht und sie sind nicht kausal wirksam. Ein Platonist steht also vor der Herausfor­derung, eine ontologische Theorie für abstrakte Gegenstände aufzustellen. Er muss erklären können, weshalb abstrakte Gegenstände existieren und er muss ihre Seinsweise erklären können. Die kurze und knappe Antwort eines Platonisten auf die Ausgangsfrage lautet also: Die Wahrheit der Aussage 2+3=3+2 folgt aus den algebraischen Axiomen und aus der Existenz der reellen Zahlen.

Doch wie es nun typisch für die Philosophie ist, ist nun mal alles strittig. Und genau in diesem Zuge wird nun die gegnerische Partei eingeführt: Die sogenannten Anti-Platonisten. Sie sehen davon ab En­titäten wie abstrakte Gegenstände zu postulieren und verfolgen eine andere Strategie. Eine Sorte von Anti-Platonisten werden aus diesem Grund auch als Fiktionalisten bezeichnet, da sie mathematischen Gegenstände als fiktionale Gegenstände betrachten. Mathematische Gegenstände, so die Fiktionalisten, sind eine Fiktion, da sie nicht existieren. Aus diesem Grund müssen sie auch keine ontologische Theorie über abstrakte Gegenstände aufstellen. Stattdessen greifen sie auf Paraphrasestrategien und auf eine für die Mathematik entworfene Hermeneutik zurück. Das Problem, dass sich bei mathematischen Sätzen ergibt, soll sozusagen hinweganalysiert werden, indem man eine angemessene Standardlesart für ma­thematische Sätze zu Grunde legt. Demnach muss der Satz 2+3 = 3+2 anders gelesen werden als zuvor und paraphrasiert werden. Aber was soll denn eine Paraphrase bringen, wenn die Wahrheit eines Satzes von der Existenz der Objekte abhängt, auf den die sprachlichen Ausdrücke verweisen, die in ihm vor­kommen. Es ist doch völlig irrelevant, wie der Satz paraphrasiert wird. Solange Zahlen in einem Satz vorkommen und man gleichzeitig, eben wie ein Fiktionalist, behauptet, dass Zahlen nicht existieren, dann muss doch der Satz falsch sein. Hier würde wieder sich wieder so mancher Sprachphilosoph zu Wort melden und den Anti-Platonisten verteidigen. Tatsächlich gibt es Sätze bei dem die Wahrheit des Aussagesatzes in keiner Weise davon abhängt, ob die in ihm vorkommenden Terme eine Bedeutung haben (also ein existentes Referenzobjekt haben, auf das sie verweisen).2 Der Satz Harry Potter ist Brillenträger trägt den Wahrheitswert falsch, da Harry Potter nicht existiert. Der Satz Jonas glaubt, dass Harry Potter ein Brillenträger ist, wäre wiederrum eine wahre Aussage, da es sich um einen Bericht von mentalen Zuständen handelt. Operatoren wie X glaubt, X behauptet usw. sorgen dafür, dass der Satz genau dann richtig ist, wenn X die richtige Überzeugung beziehungsweise die richtige Behauptung zu­geschrieben wird. Die Wahrheit von der Glaubenszuschreibung hängt demnach nicht davon ab, ob Harry Potter existiert, sondern hängt davon ab, dass Jonas tatsächlich glaubt, dass Harry Potter Brillenträger ist. Man spricht aus diesem Grund auch von Existenz-Indifferenten Operatoren. Und eben mit solchen Existenz-Indifferenten Operatoren arbeiten auch die Fiktionalisten. Demnach sagt der Satz 2+3 = 3+2 nichts anderes als: Innerhalb der Geschichte/Theorie der Mathematik gilt, dass 2+3 = 3+2 ist. Hier wird also ein Fiktionsoperator genutzt, wie er auch bei Sätzen benutzt werden könnte, wenn man über eine Serie oder ein Fantasyroman redet. Was bedeutet das nun? Sind dann nicht mathematische Sätze in beiden Fällen wahr. Sowohl bei den Platonisten als auch bei den Fiktionalisten? Das stimmt natürlich nicht ganz. Wenn ein Mensch den Behauptungssatz tätigt, dass 2+3= 3+2 und es auch wirklich genau so meint, dann würde der Platonist nickend zustimmen, der Anti-Platonist würde jedoch sagen:,, Ja aber nur innerhalb der Geschichte der Mathematik stimmt das.“ Mathematische Theorien würden demnach genauso behandelt werden wie ein Fantasyroman. Es gibt also doch einen wesentlichen Unterschied zwischen den beiden Parteien: Mathematische Sätze für sich genommen und ohne Existenz-Indifferen­ten Operator sind für Fiktionalisten immer falsche Aussagen.

Balaguers Projekt und das Ziel der Hausarbeit

Welche der beiden Theorien ist nun die Richtige? Sind wir überhaupt dazu in der Lage herauszufinden, wer Recht hat? Existiert ein Argument, dass wir noch nicht ergründet haben, welches eine der beiden Theorien widerlegt? Mit diesen Fragen beschäftigte sich auch Mark Balaguer in seinem Werk Plato­nism and Anti-Platonism in mathematics3 und bemühte sich diese zu beantworten. Balaguers Werk und seine Argumentation in Bezug auf die genannten Fragen sind Hauptuntersuchungsgegenstand der vor­liegenden Hausarbeit Im folgenden Kapitel wird Mark Balaguers strukturelles Vorgehen skizziert und anschließend werden die Analyseschwerpunkte und das weitere Vorgehen dieser Hausarbeit geklärt. Bereits zu Beginn seines Werkes stellt Balaguer klar, welches Projekt und welche Ziele er verfolgt. Folgende 3 Konklusionen möchte er in seinem Werk beweisen:

a) Es soll gezeigt werden, dass sowohl der Platonismus als auch der Anti-Platonismus gegen alle bisherigen Einwände verteidigt werden können und wir daher aktuell keine Möglichkeit haben eine der beiden Theorien zu falsifizieren (oder zu verfizieren). Diesen Schluss nennt er „the weak epistemic conclusion“4 (schwache epistemische Konklusion)
b) Es soll gezeigt werden, dass wir nicht nur aktuell keine Möglichkeit haben eine der beiden Theorien zu falsifizieren (oder zu verifizieren), sondern dass es im Allgemeinen für uns Un­möglich ist ein Argument zu konstruieren, aus dem folgt, dass mathematische Gegenstände existieren oder eben nicht existieren. Diesen Schluss nennt Balaguer „Strong epistemic conclu- sion“5 (starke epistemische Konklusion)
c) Es soll gezeigt werden, dass wir nicht nur aufgrund unserer mentalen und physiologischen Be­grenzungen keine Möglichkeiten haben, herauszufinden, ob eine der beiden Parteien recht hat, sondern dass überhaupt keine Tatsachen auf unserer Welt existieren, um zu überprüfen, ob abs­trakte Gegenstände existieren oder nicht. Diesen Schluss betitelt Balaguer mit der Bezeichnung ,,Strong metaphysical conclusion“6

Alle 3 Argumentationsziele vollständig zu analysieren würde den Rahmen dieser Hausarbeit sprengen, daher wird im Folgenden das Hauptaugenmerk auf a) und b) liegen, wobei bei a) nur auf Balaguers Verteidigung vom Platonismus gegen die traditionellen Einwände eingegangen wird:

FBP und Fiktionalismus

Laut a) möchte Balaguer beweisen, dass sowohl der Platonismus als auch der Anti-Platonismus alle traditionellen Einwände überleben könnten und es daher aktuell keine Argumente gibt eine der beiden Theorien zu widerlegen. Aus Übersichtlichkeitsgründen wurde das Argumentationsziel im vorherigen Kapitel nicht ganz präzise beschrieben. Es ist nämlich so, dass es nicht nur eine Form von Platonismus gibt und es ist auch nicht der Fall, dass es nur eine Form von Anti-Platonismus gibt. Tatsächlich gibt es viele Varianten und Ausartungen der beiden Theorien, die auch Balaguer für falsch hält und demnach nicht verteidigt. In seinem Projekt geht es also darum bestimmte Formen dieser beiden Denkströmungen zu verteidigen. In Bezug auf den Platonismus möchte er den „full-blooded platonism“7 (FBP), übersetzt den Vollblut-Platonismus verteidigen. Wenn Balaguer von verteidigen spricht, dann meint er damit zwei Dinge. Zu einem möchte er zeigen, dass alle anderen Formen von Platonismus, die nicht FBP sind, falsch sind und zum anderen möchte er zeigen, dass FBP alle traditionellen Einwände überlebt. In Bezug auf den Anti-Platonismus möchte er den Fiktionalismus verteidigen. Dabei verläuft seine Verteidigung Analog wie beim Platonismus sprich: Alle Varianten des Anti-Platonismus werden falsifiziert und der Fiktionalismus wird gegen die traditionellen Einwände der Platonisten verteidigt.8

Was ist nun FBP? Und was ist der Fiktionalismus? Beginnen wir mit dem Vollblut Platonismus oder auch kurz FBP. Heutzutage gibt es sämtliche mathematische Konstrukte und Mengen, die einst einge­führt wurden. Der traditionelle Platonist würde behaupten, dass alle diese Mengen und Strukturen als abstrakte Gegenstände existieren. Doch es gab auch eine Zeit, in der beispielsweise die komplexen Zah­len noch nicht eingeführt wurden. Es gab eine Zeit bevor die euklidische Geometrie erfunden wurde und es gab auch eine Zeit, wo noch keine Kreise oder Vierecke definiert wurden. Es wird vermutlich in den kommenden Jahrhunderten weitere Mathematiker geben, die weitere Mengen definieren werden. Exis­tieren diese Mengen bereits jetzt? Existieren auch mögliche mathematische Mengen, die aber niemals von einem Menschen definiert werden? Eine weitere Frage die sich Platonisten also stellen müssen, ist, ob abstrakte Gegenstände auch unabhängig von uns und unseren mathematischen Theorien existieren. Und hier kommt Balaguers Unterscheidung ins Spiel. Er unterscheidet zwischen vollkommenen, Voll­blut-Platonismus und dem unvollkommenen Platonismus. Wie die Namen bereits andeuten, ist der Voll- blut-Platonimus (FBP) diejenige Theorie, welche alle logisch möglichen mathematischen Gegenstände postuliert, während die unvollkommenen Platonisten nur die Existenz von bestimmten mathematischen Gegenständen behaupten und wiederrum andere mathematische Gegenständen als metphysisch unmög­lich bezeichnen.9 Wenn wir also an die einführenden Fragen dieses Kapitels zurückdenken, so könnte es durchaus eine Sorte von unvollkommenen Platonisten geben, welche die Existenz von mathemati­schen Gegenständen an aktive Denk und -Konstruktionsprozesse eines Mathematikers binden. Im Zuge dieser Unterscheidung bemüht sich Balaguer, um eine logische Formalisierung von FBP und stößt damit auf einige Probleme. In einem ersten Versuch versucht Balaguer FBP auf diese Weise zu formalisieren: Vx (x ist ein mathematischer Gegenstand & x ist logisch möglich) x existiert)10

Die zwei Kernprobleme einer derartigen Formalisierung von FBP ist zu einem, dass Existenz als Prädi­kat verwendet wird. Dies kann, wenn man diverse ontologische Gottesbeweise näher betrachtet, zu ab­surden Schlussfolgerungen führen. Ein Philosoph, der dieses Problem erkannt hat, war Kant. Wenn man innerhalb einer Argumentation Prämissen aufstellt, so können diese Prämissen aus unterschiedlichen Gründen wahr sein. Es handelt sich entweder um analytische Urteile bzw. Prämissen, die wir auch häu­fig als analytische Wahrheiten betiteln oder synthetische Urteile bzw. Prämissen von denen typischer­weise vor Kants Kritik der reinen Vernunft gedacht wurde, dass sie sich immer Erfahrungswissen stüt- zen.11 Analytische Urteile apriori kann man widerlegen, indem man zeigt, dass der Begriff missverstan­den wurde beziehungsweise falsch deduziert wurde. Synthetische Urteile aposteriori können beispiels­weise durch empirische Belege widerlegt oder bestätigt werden. Der Satz ein Junggeselle ist unverhei­ratet ist analytisch wahr. Dies kann man auch daran erkennen, dass der Satz Es gibt Junggesellen, die verheiratet sind einen Widerspruch erzeugt. Einem konkreten Gegenstand das Prädikat x existiert zu­zuschreiben kann jedoch niemals aus analytischen Gründen wahr sein. Existenzzuschreibungen sind, laut Kant, immer synthetische Urteile a posteriori, die sich immer in irgendeiner Form auf Erfahrungs­urteile stützen.12 x ist logisch möglich und x ist ein mathematischer Gegenstand, aber x existiert nicht, scheint keinen logischen Widerspruch darzustellen und aus diesem Grund kann es nicht der Fall sein, dass Existenz aus dem Begriff logisch möglicher mathematischer Gegenstand deduzierbar ist. Dieses Problem lässt sich kaum durch alternative Formalisierungen in den Griff zu bekommen. Ob FBP sich gegen diesen Einwand verteidigen kann, wird sich im Laufe der Hausarbeit herausstellen. Ein weiteres Problem ist die Verwendung des Begriffs logisch möglich. Laut Balaguer gibt es die eine Partei, die behauptet, dass das was logisch möglich ist auch tatsächlich bereits in unserem Universum existiert. Während die andere Partei behauptet, dass aus der logischen Möglichkeit einer Entität keine faktische Existenz der möglichen Entität folgt.13 Balaguers intuitives Verständnis von logischer Möglichkeit könnte man folgendermaßen rekonstruieren: Ein Ereignis, das logisch möglich ist, ist dadurch charak­terisiert, dass es eine Wahrscheinlichkeit besitzt, die größer als Null ist. Jedes Ereignis, dass nämlich logisch unmöglich und damit widersprüchlich ist, hat eine Wahrscheinlichkeit von Null. So ist auch das Ereignis bei einem einmaligen Münzwurf mit einer einzigen Münze gleichzeitig Kopf und Zahl zu wür­feln logisch unmöglich. Die logische Möglichkeit, lässt sich also durch Widerspruchsfreiheit charakte­risieren, sie impliziert jedoch, zumindest in Balaguers Verständnis, noch keine Existenz.14 Die einzigen Gegenständen denen die logische Möglichkeit auch die Existenz garantiert, sind mathermatische Ge­genstände. An dieser Stelle möchte ich mich, wie auch Balaguer, damit zufriedengeben, dass FBP, nicht vollständig oder besser gesagt, nicht frei von Problemen formalisiert werden kann und mich mit einem intuitiven und informellen Verständnis dieser Theorie zufriedengeben: Alle mathematischen Gegen­stände, Systeme oder Mengen die man sich je ausdenken könnte und kohärent, also widerspruchsfrei sind, sind logisch möglich und damit existent. Eine Zahl, die eine natürliche Zahl ist und gleichzeitig negativ ist, kann demnach aus der Sicht von FBP-isten nicht existieren, da es sich hierbei um eine Zahl handelt, die logisch unmöglich ist, da natürliche Zahlen per Definition nicht negativ sein können. Dies ist mein intuitives Verständnis von Balaguers FBP und eben dieses Verständnis wird im Zuge meiner Argumentrekonstruktion und -Analyse zu Grunde gelegt.

Kommen wir nun, zu dem bereits erwähnten, Fiktionalismus. Dieser besagt, wie bereits in der Einleitung ausgeführt, dass mathematische Sätze wie 2+3=3+2 nur dann wahr sind, wenn man mit Existenz-Indif­ferenten Operatoren arbeitet. Der Satz 2+3=3+2 ist falsch, aber der Satz In der Geschichte/Theorie der Mathematik gilt 2+3=3+2 ist wahr. Oder mit anderen Worten Fiktionalisten glauben nicht an die Exis­tenz von abstrakten Gegenständen und arbeiten bei mathematischen Sätzen demnach mit anderen Wahr- heitsbedingungen.15 Neben dem Fiktionalismus gibt es noch viele weitere Varianten vom Anti-Platonis­mus, die Balaguer sorgfältig in den Einführungskapiteln benennt, diese sind jedoch nicht weiter relevant oder erwähnenswert für die vorliegende Diskussion.16

[...]


1 Gottlob, Frege. (1892). Über Sinn und Bedeutung. In: Voigt, Uwe (Hg.): Reclam Great Papers Philosophie. Ditzingen: Reclam, 2019

2 Vgl. Frege 1892.

3 Balaguer, Mark. (2001). Platonism and anti-Platonism in mathematics. Oxford [u.a.]: Oxford University Press.

4 Balaguer 2001, S.17.

5 Ebd.

6 Ebd.

7 Ebd., S.5.

8 Vgl. Balaguer 2001, S. 14-15.

9 Vgl. ebd., S.5.

10 Vgl. ebd., S.6.

11 Kant führte die Kategorie synthetische Urteile a priori ein.

12 Vgl. Kant, I., & Erdmann, B. (2011). Kritik der reinen Vernunft: [Hauptband] (5. durchgängig rev. Aufl. Reprint 2010 ed.). Berlin: Georg Andreas Reimer Verlag, De Gruyter.S.461-462.

13 Vgl. Balaguer, S.6.

14 Bis auf bei mathematischen Gegenständen

15 Vgl. Balaguer, Mark. (2001). Platonism and anti-Platonism in mathematics. Oxford [u.a.]: Oxford University Press. S.13.

16 Vgl. Balaguer, Mark. (2001). Platonism and anti-Platonism in mathematics. Oxford [u.a.]: Oxford University Press. S.11.

Ende der Leseprobe aus 18 Seiten

Details

Titel
Können mathematische Sätze wahr sein? Balaguers Position über die Existenz von mathematischen Gegenständen
Hochschule
Universität Duisburg-Essen
Note
1,0
Autor
Jahr
2019
Seiten
18
Katalognummer
V915728
ISBN (eBook)
9783346233691
ISBN (Buch)
9783346233707
Sprache
Deutsch
Schlagworte
Philosophie der Mathematik, Sprachphilosophie, Theorien fiktionaler Rede, Ontologie, Platonismus, Fiktionalismus, Antiplatonismus
Arbeit zitieren
Petar Santini (Autor), 2019, Können mathematische Sätze wahr sein? Balaguers Position über die Existenz von mathematischen Gegenständen, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/915728

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