Unterrichtsstunde: Wir entdecken Rechtecke mit gleichem Flächeninhalt haben unterschiedliche Umfänge!

Inhaltsverzeichnis

1. Unterrichtlicher Kontext
1.1 Stellung innerhalb der Unterrichtseinheit
1.2 Bezug zum Rahmenplan und den Bildungsstandards im Fach Mathematik
1.3 In der Unterrichteinheit angestrebte Kompetenzen

2. Sachanalyse
2.1 Flächeninhalt
2.2 Umfang
2.3 Beziehungen zwischen Flächeninhalt und Umfang

3. Didaktischer Begründungszusammenhang
3.1 Bedeutsamkeit des Unterrichtsinhalts
3.2 Didaktische Reduktion

4. Voraussetzungen für den Unterricht
4.1 SchülerInnen und Störanfälligkeit
4.2 Arbeitsbedingungen

5. Kompetenzen und Unterrichtsziele
5.1 Kompetenzen
5.2 Unterrichtsziele

6. Methodische Überlegungen
6.1 Artikulation
6.2 Medien und Arbeitsmaterialien
6.3 Geplantes Tafelbild

7. Geplanter Unterrichtsverlauf

8. Literaturverzeichnis

9. Anhang

1. Unterrichtlicher Kontext

1.1 Stellung innerhalb der Unterrichtseinheit

Thema der Unterrichtseinheit: Flächeninhalt und Umfang

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1.2 Bezug zum Rahmenplan und den Bildungsstandards im Fach Mathematik

Die Unterrichtsstunde „Wir entdecken: Rechtecke mit gleichem Flächeninhalt haben unterschiedliche Umfänge“ schließt gemeinsam mit der nachfolgenden Stunde die Unterrichtseinheit „Flächeninhalt und Umfang“ ab. Diese Einheit ist gemäß dem Teilrahmenplan Mathematik^[1] dem Einzelbereich „Geometrie“ zuzuordnen und findet sich dort vor allem im Bereich „Geometrische Maße“, aber auch in den Bereichen „Raum“ und „Ebene Figuren“ wieder. Sie vermittelt Grundbegriffe des Vergleichens und Messens und schult Vergleichs- und Messverfahren im Bereich des geometrischen Maßes Flächeninhalt. Zudem fördert diese Unterrichtseinheit die visuelle Wahrnehmungsfähigkeit und schult geometrische Grundkenntnisse, weshalb sie sich sowohl nach dem Teilrahmenplan Mathematik^[2] als auch nach den Bildungsstandards im Fach Mathematik^[3] der Leitidee „Raum und Form“ zuordnen lässt.

1.3 In der Unterrichteinheit angestrebte Kompetenzen

Allgemeine mathematische Kompetenzen:

Problemlösen: - mathematische Kenntnisse, Fertigkeiten und Fähigkeiten bei der

Bearbeitung problemhaltiger Aufgaben anwenden

- Lösungsstrategien entwickeln und nutzen
- Zusammenhänge erkennen, nutzen und auf ähnliche Sachverhalte übertragen

Kommunizieren: - eigene Vorgehensweisen beschreiben, Lösungswege anderer verstehen

und gemeinsam darüber reflektieren

- mathematische Fachbegriffe sachgerecht verwenden
- Aufgaben gemeinsam bearbeiten, Verabredungen treffen und einhalten

Argumentieren: - mathematische Aussagen hinterfragen und auf Korrektheit prüfen

- mathematische Zusammenhänge erkennen und Vermutungen entwickeln
- Begründungen suchen und nachvollziehen

Modellieren: - Sachtexten die relevanten Informationen entnehmen

- Sachprobleme in die Sprache der Mathematik übersetzen,

innermathematisch lösen und diese Lösungen auf die

Ausgangssituation beziehen

Darstellen: - für das Bearbeiten mathematischer Probleme geeignete Darstellungen

entwickeln, auswählen und nutzen

Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen:

Sich im Raum orientieren: - räumliche Beziehungen (Anordnungen) erkennen, beschreiben

und nutzen

Geometrische Figuren erkennen, benennen und darstellen:

- ebenen Figuren Fachbegriffe zuordnen
- Zeichnungen mit Hilfsmitteln anfertigen

Flächeninhalte vergleichen und messen:

- Flächeninhalte ebener Figuren durch Zerlegen vergleichen und durch Auslegen mit Einheitsflächen messen
- Umfang und Flächeninhalt von ebenen Figuren untersuchen

Rechenoperationen beherrschen: - gedächtnismäßiges Beherrschen der Grundaufgaben

des Kopfrechnens (Einmaleins)

In Kontexten rechnen: - einfache kombinatorische Aufgaben durch

systematisches Vorgehen lösen

2. Sachanalyse

2.1 Flächeninhalt

Die Größe einer Fläche wird durch den Flächeninhalt bestimmt. Zur Bestimmung des Flächeninhalts benötigt man ein Flächenmaß, eine Maßeinheit. Die Grundeinheit des Flächenmaßes ist der Quadratmeter: 1m² = 1m ∙ 1m^[4]. Bei der Berechnung des Flächeninhalts werden stets zwei Längenmaße miteinander multipliziert, weshalb „es sich bei Flächeneinheiten um Längeneinheiten zum Quadrat“^[5] handelt.

In der Grundschule soll der Flächeninhalt noch nicht auf der Grundlage von Formeln berechnet werden.^[6] Folgende Einsichten sollen die Schüler bezüglich des Flächeninhalts gewinnen:^[7]

Zwei Flächen haben dann den gleichen Flächeninhalt, wenn sie

a) deckungsgleich sind …
b) zerlegungsgleich sind …
c) auslegungsgleich sind …

Zur Bestimmung des Flächeninhalts wird meist ein kleines Quadrat oder Dreieck von geeigneter Größe, das als Einheitsquadrat oder –dreieck bezeichnet wird, als Maßeinheit verwendet. Mit dieser Maßeinheit wird die Fläche „ausgelegt“, um schließlich über das Zählen der benötigten Maßeinheiten die Größe der Fläche zu bestimmen.^[8]

Diese Vorgehensweise bereitet die Verwendung konventioneller Flächenmaße vor.

Der Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet sich konventionell über die Multiplikation zweier benachbarter Seitenlängen (Länge∙Breite): F = a ∙ b

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bestimmt man die Anzahl der beim „Auslegen“ verwendeten Maßquadrate unter Beachtung ihrer geometrischen Anordnung, so ergibt sich eine „Lösungsstrategie“, die sich zwar an der Flächenberechnungsformel orientiert, für die diese aber nicht explizit thematisiert werden muss:

Das Rechteck besteht aus zwei Streifen

Jeder Streifen besteht aus 3 Maßquadraten

2.2 Umfang

Unter dem Umfang versteht „man die Länge der geschlossenen Randlinie einer Fläche“^[9], die Länge ihrer Begrenzungslinie. Damit wird der Umfang in Längeneinheiten gemessen.

Der Umfang eines Rechtecks berechnet sich aus der Summe seiner Seitenlängen:

U= a + b + a + b = 2a + 2b

Zum Messen und Vergleichen von Umfängen werden in der Grundschule vor der Verwendung der Längeneinheit Zentimeter zunächst andere geeignete Maßeinheiten wie das Streichholz oder die Seitenlänge der zum Auslegen verwendeten Maßquadrate gewählt.

2.3 Beziehungen zwischen Flächeninhalt und Umfang

Die Größe von Flächen und die Länge ihres Umfangs ändern sich nicht proportional und nicht antiproportional zueinander.^[10]

Somit kann beim Vergleich von Flächeninhalt und Umfang verschiedener Figuren festgestellt werden:

- Umfangsgleiche Figuren müssen nicht denselben Flächeninhalt haben.
- Flächengleiche Figuren können einen unterschiedlichen Umfang haben
- Bei Figuren mit gleicher Flächengröße haben kompakte Figuren einen kleineren

Umfang als unregelmäßige oder „gestreckte“ Figuren. (vgl. die Rechtecke dieser

Unterrichtstunde)

- Bei Figuren mit gleichem Umfang haben kompakte Figuren einer größere Fläche als

unregelmäßige oder „gestreckte“ Figuren.

Flächeninhalt und Umfang der Rechtecke dieser Unterrichtstunde seien im Folgenden dargestellt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3. Didaktischer Begründungszusammenhang

3.1 Bedeutsamkeit des Unterrichtsinhalts

Kunert^[11] verweist darauf, wie wichtig es ist, dass Kinder eine Vorstellung von einer Fläche im mathematischen Sinn oder vom Begriff Flächeninhalt im Laufe der Grundschulzeit entwickeln können. „Erfolgt dieses nicht, besteht die Gefahr, dass sie bei der Bestimmung von Flächeninhalten in den weiterführenden Schulen rein mechanisch Formeln zur Flächeninhaltsbestimmung anwenden, ohne sich ihr Zustandekommen erklären oder ableiten zu können. Eine analoge Forderung und deren Begründung lässt sich meiner Meinung nach auch für den Begriff des Umfangs aufstellen.

Franke fordert in ihren Ausführungen zu Flächeninhalt und Umfang, gezielt Übungen zur Unterscheidung von Flächeninhalt und Umfang einzusetzen.^[12] Dieser Forderung kommt diese Unterrichtsstunde voll und ganz nach. Die Kontrastierung unterstützt die Begriffsbildung^[13] und wirkt einer Verwechslung der beiden Begriffe entgegen. Insbesondere dient die Aufgabenstellung, verschiedene Rechtecke zu einem gegebenen Flächeninhalt zu finden, der operativen Durcharbeitung der Flächenmessung. Dies geschieht exemplarisch am Beispiel „Flächeninhalt 24“.

Im Alltag können die Schüler in zahlreiche Situationen „geraten“, die das Vergleichen, Schätzen oder genaue Bestimmen der Größe einer Fläche oder eines Umfangs notwendig machen: Bekleben von Schachteln mit buntem Papier, Auswählen eines passenden Bilderrahmens für ein Foto oder Bild, Bestimmung der Anzahl der Tapetenbahnen zum Tapezieren eines Zimmers, Bestimmung der Größe des neuen Teppichbodens – Errichten eines Zauns, Einrahmen eines Bildes, Umranden eines Blattes mit einer Schmuckkante… Somit wird durch die Behandlung von Flächeninhalt und Umfang eine laut Radatz/Schipper grundlegende Funktion des Geometrieunterrichts erfüllt, nämlich der „Beitrag zur Umwelterschließung“^[14]. Das konkret handelnde, entdeckende und forschende Lernen fördert bei den Schülern die „Bereitschaft, sich mit geometrischen Problemen auseinanderzusetzen“ und schafft „damit ein Klima […], in dem die Schüler selbstbewußt und mit Freude an geometrische Fragestellungen herangehen.“^[15]

3.2 Didaktische Reduktion

Das Konstruieren der Rechtecke zum Flächeninhalt 24 geschieht, wie in der Grundschule üblich, auf der Grundlage des Auslegens mit Maßquadraten und deren geometrischer Anordnung. Die Wahl des Flächeninhalts 24 ermöglicht es den Schülern, die Rechtecke unter Rückgriff auf ihnen geläufige Malaufgaben des kleinen Einmaleins zu konstruieren. Unterstützung bietet ihnen dabei das eingesetzte Arbeitsmaterial (Netz aus Zentimeterquadraten und ein Abdeckwinkel), das ein Arbeiten auf der ikonischen Ebene zulässt. Wenn notwendig, dann können die Schüler durch das Legen der Rechtecke aus Zentimeterquadraten auf konkrete Handlungen auf der enaktiven Ebene zurückgreifen. Außerdem habe ich eine Einschränkung auf Rechtecke vorgenommen, um die Anzahl der möglichen Anordnungen der Maßquadrate stark einzugrenzen. Zudem erhalten die Schüler dadurch ausschließlich Figuren mit unterschiedlichem Umfang. Auch wird das Finden von Begründungen für die Veränderung des Umfangs erleichtert.

4. Voraussetzungen für den Unterricht

4.1 SchülerInnen und Störanfälligkeit

Die Klasse 4 der Grundschule X besteht aus 18 Schülern, 11 Mädchen und 7 Jungen. Klassenlehrerin war bis vor kurzem Frau B, die sich bis zum Ende des Schuljahres im Mutterschutz befindet. Die Mitarbeit der Schüler ist weiterhin recht hoch. Leider kommt es durch die Veränderungen der letzten Zeit, die unter anderem mit vermehrtem Unterrichtsausfall einher gingen, insbesondere in Unterrichtsgesprächen immer wieder zu Störungen durch eine Gruppe von Mitschülern. Dadurch sind wiederholt Ermahnungen notwendig. Diesem Verhalten versuchen die in der Klasse eingesetzten Lehrkräfte konsequent entgegen zu wirken. Besonders von M geht zu Beginn der Unterrichtsstunden meist große Unruhe aus.

Das soziale Gefüge der Klasse ist gut, der Umgang miteinander meist freundschaftlich. Der Schüler A, der zu Beginn des 3. Schuljahres aus der höheren Stufe in die Klassengemeinschaft kam, kann als Außenseiter bezeichnet werden. Er ist leider immer wieder Zielscheibe für Hänseleien der Mitschüler. Allerdings provoziert er dies häufig durch entsprechendes Verhalten ihnen gegenüber. Auch S ist wenig in die Gemeinschaft der Klasse integriert. Sie verhält sich sehr still und zeigt in allen Bereichen nur sehr schwache Leistungen. Sie versteht es mittlerweile recht gut, sich unauffällig von ihren Mitschülern Lösungen für gestellte Aufgaben zu verschaffen, sodass ihre Probleme in der Einzelstunde auch mir nicht immer auffallen.

In Arbeitsphasen schaffen es die Schüler im Allgemeinen, konzentriert, weitgehend selbstständig und ruhig zu arbeiten. Die Klasse ist das Arbeiten in verschiedenen Aktions- und Sozialformen gewohnt. Gruppenarbeiten werden in der Klasse eher selten eingesetzt. Möglicherweise müssen die Schüler bei ihrer Arbeit direkt in der Gruppe oder durch ein Klingelzeichen für alle auf eine angemessene Arbeitslautstärke hingewiesen werden. Auch bei der Verwendung von Tipps besteht noch Übungsbedarf: Häufig werden sie zu schnell nacheinander durchgelesen, ohne überhaupt über die Aussage und die dadurch gegebene Hilfe gezielt nachzudenken. Auch die Kompetenz des Argumentierens und die Motivation für diese Art des Mathematiktreibens müssen sich bei vielen Schülern noch sehr stark entwickeln.

Natürlich variiert das Arbeitstempo von Schüler zu Schüler aufgrund der unterschiedlichen Lernvoraussetzungen auch im Bereich der Geometrie. Auch dies muss als Faktor für mögliche Unterrichtsstörungen berücksichtigt werden. Dem versuche ich entgegenzuwirken, indem ich für die jeweiligen Kinder Differenzierungsangebote bereithalte.

Innerhalb der Unterrichtseinheit konnten die Schüler bisher folgende Lernvoraussetzungen für diese Unterrichtstunde erwerben und vertiefen:

- Vorstellungen von den Begriffen Fläche und Flächeninhalt
- Einsicht in das Prinzip der Flächeninvarianz
- Erfahrungen mit dem qualitativen Flächenvergleich durch Zerschneiden und Umlegen von

Teilfiguren und das Auslegen von Flächen mit geeigneten Plättchen

- Entwicklung einer Einheitsfläche als Maß zur Bestimmung des Flächeninhalts
- Vorstellung vom Begriff Umfang
- Vergleichen von Umfängen mit geeigneten Maßeinheiten
- Unterscheiden zwischen Flächeninhalt und Umfang
- erste Wege zur mathematischen Berechnung des Flächeninhalts und des Umfangs von

Rechtecken

Dabei haben sie den Umgang mit dem Netz aus Zentimeterquadraten und dem Abdeckwinkel geübt. Sie sind in der Lage die geometrische Anordnung der Maßquadrate in einem Rechteck zu versprachlichen und eine entsprechende Malaufgabe zu bilden. Die Umkehrung der Aufgabenstellung sollte ihnen daher keine Probleme bereiten.

4.2 Arbeitsbedingungen

Die Schüler sitzen an vier Gruppentischen zu 4 Schülern sowie zu zweit an einem einzelnen Tisch. Die Sitzordnung wurde im Vorfeld der Unterrichtsstunde geändert, sodass für die Partner- und Gruppenarbeit keine Veränderungen vorgenommen werden müssen.

Auf den Tageslichtprojektor, dessen Einsatz diese Unterrichtstunde hätte weniger materialaufwändig werden lassen, kann in den Sälen der Grundschule nur bedingt zurückgegriffen werden. Die Fenster können nicht ausreichend verdunkelt werden, sodass schon bei geringem Sonnenschein die Projektion nicht mehr erkannt werden kann.

5. Kompetenzen und Unterrichtsziele

5.1 Kompetenzen

Allgemeine mathematische Kompetenzen:

Problemlösen: - mathematische Kenntnisse, Fertigkeiten und Fähigkeiten bei der Bearbeitung

problemhaltiger Aufgaben anwenden

- Lösungsstrategien entwickeln und nutzen (systematisch probieren)
- Zusammenhänge erkennen und nutzen

Argumentieren: - mathematische Zusammenhänge erkennen

- Begründungen suchen und nachvollziehen

Kommunizieren: - eigene Vorgehensweisen beschreiben, Lösungswege anderer verstehen

- mathematische Fachbegriffe sachgerecht verwenden
- Aufgaben gemeinsam bearbeiten

Inhaltliche mathematische Kompetenzen: Leitidee Raum und Form

Flächeninhalte vergleichen und messen: - Flächen vorgegebener Größe durch Zusammensetzen

von Einheitsflächen konstruieren

- Umfang und Flächeninhalt von ebenen Flächen

untersuchen

Leitidee Zahlen und Operationen

Rechenoperationen beherrschen: - gedächtnismäßiges Beherrschen der Grundaufgaben

des Kopfrechnens (Einmaleins)

In Kontexten rechnen: - einfache kombinatorische Aufgaben durch

systematisches Vorgehen lösen

5.2 Unterrichtsziele

Die SchülerInnen …

- … können sowohl die geometrische Anordnung der Maßquadrate in einem Rechteck beschreiben als auch zu einer mündlichen Beschreibung das entsprechende Rechteck „konstruieren“.
- … nutzen die geometrische Anordnung der Maßquadrate im Rechteck und die sich daraus ergebende Malaufgabe zur Berechnung des Flächeninhalts.
- … erkennen, dass sie bei Umkehrung der Aufgabenstellung über die Bildung einer Malaufgabe zu vorgegebenem Flächeninhalt Möglichkeiten der Anordnung der Maßquadrate zu einem Rechteck finden können und wenden diese Erkenntnis an.
- … erkennen, dass Rechtecke mit gleichem Flächeninhalt unterschiedliche Umfänge haben, indem sie die Umfänge der Rechtecke bestimmen und miteinander vergleichen.
- … können (mit Hilfe der Anordnung der Maßquadrate) begründen oder nachvollziehen, warum sich die Rechtecke trotz gleichen Flächeninhalts in ihrem Umfang unterscheiden.

6. Methodische Überlegungen

6.1 Artikulation

Die Unterrichtstunde verläuft in folgenden Stufen:

1. Warming up
2. Hinführung mit Problemstellung
3. Bearbeitung des Problems
4. Zwischenreflexion
5. Problemvertiefung
6. Präsentation

1. Warming up

Nach der Begrüßung beginne ich die Unterrichtstunde mit einem Warming up. Dafür erhält jeder Schüler das ihm bereits bekannte Netz aus Zentimeterquadraten und den dazugehörigen Abdeckwinkel. Nach mündlicher Beschreibung eines Rechtecks über die Anordnung der Maßquadrate in Streifen, sollen die Schüler dieses Rechteck mit Hilfe des Arbeitsmittels zeigen sowie dessen Flächeninhalt und Umfang bestimmen. Dadurch werden die für die Unterrichtstunde notwendigen Lernvoraussetzungen aktiviert. Zwar wirkte der Einsatz dieses Arbeitsmittels bisher sehr motivierend auf die Schüler, um aber tatsächlich möglichst alle Schüler einzubinden, sollen Flächeninhalt und Umfang zusätzlich auf einem mit Namen versehenen Notizblatt notiert werden, welches nach Beendigung der Phase von mir eingesammelt wird.

2. Hinführung mit Problemstellung

Schließlich präsentiere ich durch Aufklappen der Tafel 24 einzelne Quadrate. Möglicherweise vermuten die Schüler, dass sie aus diesen Quadraten eine Figur legen sollen - vielleicht aus allen Quadraten. Somit hätte die gelegte Figur einen Flächeninhalt von 24 Q.

Die Schüler werden aufgefordert, ein Rechteck mit dem Flächeninhalt 24 zu legen. Ein Schüler präsentiert das Ergebnis seiner Überlegungen an der Tafel, der Umfang dieses Rechtecks wird bestimmt. Vermutlich werden an dieser Stelle bereits andere Schüler einwenden, dass es neben diesem Rechteck noch weitere Rechtecke mit dem gleichen Flächeninhalt gibt. Dann kann ich diese Äußerungen aufgreifen und die Schüler dazu auffordern weitere solche Rechtecke zu finden. Ansonsten werde ich selbst die Behauptung aufstellen, dass es noch weitere Rechtecke mit dem gleichen Flächeninhalt gibt und die Schüler zum Finden dieser auffordern.

Zudem erhalten die Schüler den Auftrag, die Umfänge der gefundenen Rechtecke zu bestimmen und Auffälligkeiten zu notieren.

3. Bearbeitung des Problems

Die Schüler beginnen die Bearbeitung des Problems zunächst in einer kurzen Phase der Einzelarbeit, damit jeder Schüler sich zunächst selbst mit der Problemstellung auseinandersetzt. Zum Finden der Rechtecke können die Schüler das Quadratnetz und den Abdeckwinkel verwenden, können aber auch nach Bilden einer Malaufgabe das Rechteck direkt auf dem Arbeitsblatt aufzeichnen. Sollte das Arbeiten auf der ikonischen Ebene einzelnen Schülern Probleme bereiten, so halte ich für diese einzelne Zentimeterquadrate bereit. Beim Bestimmen der Umfänge wird den Schülern auffallen, dass sich die Umfänge der Rechtecke unterscheiden. Nach kurzer Zeit sollen die Schüler mit ihrem Sitznachbarn die gefundenen Rechtecke vergleichen, möglicherweise weitere finden, sich die Frage stellen, ob sie alle möglichen Rechtecke gefunden haben, sich über beobachtete Auffälligkeiten austauschen und diese dokumentieren.

Dabei ist es möglich, dass die Schüler neben der bereits angesprochenen Entdeckung, formulieren, dass sie eine gewisse Anzahl an Rechtecken zum vorgegebenen Flächeninhalt finden konnten oder dass sich Umfang unterschiedlich stark verändert.

Schüler, die vor Ende dieser Phase den Arbeitsauftrag bereits erledigt haben, erhalten bereits den vertiefenden Forscherauftrag.

4. Zwischenreflexion

In der Zwischenreflexion sollen die möglichen Rechtecke an der Tafel gesammelt werden, um eine gemeinsame Grundlage für die Weiterarbeit zu schaffen. Die Schüler beschreiben die von ihnen gefundenen Rechtecke und veranschaulichen ihre Beschreibung durch Anhalten des Abdeckwinkels an das 24x24 – Quadrat an der Tafel. Je nach Reihenfolge der Nennung werde ich von mir vorbereitete Lösungsquadrate an der Tafel fixieren. Die Schüler erhalten Gelegenheit ihr Vorgehen beim Finden der Rechtecke zu beschreiben und zu argumentieren, ob nun alle Möglichkeiten gefunden seien. Wahrscheinlich werden die Schüler auch Rechtecke nennen, die durch Drehung ineinander zu überführen sind bzw. deren Flächeninhalt sich in Malaufgabe und zugehöriger Tauschaufgabe ausdrücken lässt. Diese werde ich zunächst beide anhängen und die Schüler durch gezielte Impulse zur Erkenntnis führen, dass es nur vier unterschiedliche Rechtecke mit dem Flächeninhalt 24 Q gibt. Erst danach sollen die Umfänge der Lösungsrechtecke genannt, mit Schildern festgehalten und verglichen werden.

Auf den Schildern sind sowohl der Umfang als auch der Flächeninhalt angegeben. Dadurch wird ganz deutlich gezeigt: Alle Figuren sind Rechtecke, alle Rechtecke haben den gleichen Flächeninhalt und dennoch haben sie unterschiedliche Umfänge. Sollte dies für die Schüler keine unerwartete Entdeckung sein, so werde ich versuchen, die Unterschiedlichkeit als unerwartet hervorzuheben.

[...]

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^[1] (Ministerium für Bildung, 2002, S. 34)

^[2] vgl. ebd. S. 23

^[3] vgl. (Kultusminister, 2005) S. 10

^[4] vgl. (Wikipedia)

^[5] ebd.

^[6] vgl. (Franke, 2000) S. 246

^[7] ebd.

^[8] (Rickmeyer, 1997)

^[9] (Radatz, Schipper, Dröge, & Ebeling, 1998, S. 157)

^[10] (Keller & Pfaff, 2005)

^[11] vgl (Kunert, 2003, S. 36)

^[12] vgl. (Franke, 2000, S. 255)

^[13] vgl. (Zech, 2002, S. 177)

^[14] (Radatz & Schipper, 1983, S. 141)

^[15] Ebd.