Grundlagen und Anwendungsgebiete der Fuzzy-Mengenlehre


Seminararbeit, 2020

18 Seiten, Note: 1,3


Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

INHALTSVERZEICHNIS

ABBILDUNGSVERZEICHNIS

1 EINLEITUNG

2 KONZEPTIONELLE GRUNDLAGEN
2.1 Grundkenntnisse Mengenlehre
2.2 Herkunftder Fuzzy-Mengenlehre

3 FUZZY MENGENLEHRE
3.1 Formale Modelle und natürliche Sprache
3.2 Scharfe Mengen und Fuzzy-Sets
3.3 Fuzzy-Mengenoperationen
3.4 Fuzzy-Relationen

4 ANWENDUNGSGEBIETE DER FUZZY-MENGENLEHRE

5 SCHLUSSBETRACHTUNG

6 LITERATURVERZEICHNIS

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: ScharfeZugehörigkeitsfunktion

Abbildung 2: Fuzzy Zugehörigkeitsfunktion Beispiel Teenager

Abbildung 3: Grundlegende Mengenoperationen im Venn-Diagramm

Abbildung 4: Fuzzy Komplement der Menge AFuzzy

Abbildung 5: Fuzzy-Durchschnitt und Fuzzy-Vereinigung

Abbildung 6: Relationsmatrix der Beispielmengen X und Y

Abbildung 7: Fuzzy-Relationsmatrix der Beispielmengen X und Y

1 Einleitung

Die Zweiwertigkeit - auch binare Logik genannt - basiert auf Aristoteles und bedeutet, dass etwas einer Menge zugehörig ist oder nicht. Reproduziert man diese Logik auf die Realitat, so wird schnell offensichtlich, dass eine klare Einteilung in Schwarz und WeiB in der Wirklichkeit nicht immer möglich und ratsam ist. Die Graustufen machen das Leben aus und nicht die vorangegangene Einteilung in Schwarz und WeiB. Eine gute Analogie für diesen Sachverhalt bietet ein gefülltes Glas Wasser. Trinkt eine Person nun einen groBen Schluck des Wassers, ist das Glas weder voll, noch ist es leer. Wobei handelt es sich nun also bei diesem Glas? Ist es ein Glas Wasser oder ist es keins? Wird ein weiterer Schluck genommen, sodass nur noch ein Rest Flüssigkeit übrig ist, wird das Problem noch gravierender. Die Fuzzy-Logik stellt einen Paradigmenwechsel in der Mathematik dar und führt weg von SchwarzweiB hin zum Grau, von der Zweiwertigkeit in die Vielwertigkeit. Die Fuzzigkeit beschreibt die Zwischenstufen, die ein MaB für die Zugehörigkeit zu einem Ding sind.1 Für das Beispiel des Glas Wassers bedeutet das, dass ein Glas Wasser nicht nur voll und leer sein kann, sondern auch fast voll, halbvoll und fast leer sein kann. Die Menge der Stufen gilt es sinnvoll festzulegen. Die klassische binare Logik stellt einen Sonderfall der Fuzzy-Logik dar, namlich den schwarzweiBen Fall. Doch wie sieht die Grundlage dieser Logik genau aus und welche praktischen Anwendungen gibt es?

Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, die Grundlagen der Fuzzy-Mengenlehre zu beschreiben und praktische Anwendungsgebiete für die genannte Mengenlehre anzuführen. Weiter wird eine Prognose aufgestellt, die den zukünftigen Einsatz der Fuzzy-Theorie erörtert.

Zu Beginn der vorliegenden Arbeit wird der mathematische Teilbereich der Mengenlehre in seinen Grundzügen dargestellt und die Herkunft und Geschichte der Fuzzy Theorie zusammengefasst. So wird ein semantisch einheitliches Fundament erzeugt und ein Grundverstandnis der Thematik vermittelt. Im nachsten Abschnitt des Assignments wird konkret auf die Fuzzy-Mengenlehre eingegangen, wobei die essentiellen Grundregeln im Vordergrund stehen. Folgend werden verschiedene Anwendungsgebiete herausgearbeitet, um die Praktikabilitat der Fuzzy-Theorie zu unterstreichen. Darauf aufbauend werden im letzten Kapitel die erarbeiteten Ergebnisse zusammengefasst, reflektiert und interpretiert.

2 Konzeptionelle Grundlagen

Im vorliegenden Kapitel wird dargestellt, was grundsatzlich unter dem Begriff der Mengenlehre zu verstehen ist. Zusatzlich werden die fundamentalsten Mengenoperationen vorgestellt und erganzend wird auf die Entstehung der Fuzzy-Theorie eingegangen, sodass ein umfassendes Grundverstandnis über die Begrifflichkeit der Mengenlehre und ein Einblick in die Entstehung der Fuzzy-Mengenlehre geschaffen wird.

2.1 Grundkenntnisse Mengenlehre

Um den Bereich der Mengenlehre beschreiben zu können, sollte an erster Stelle geklart werden, was eine Menge ist. Prinzipiell lasst sich festhalten, dass Mengen die Basis der Mathematik sind. Eine wohldefinierte Gesamtheit eindeutig unterscheidbarer Elemente wird unter dem Begriff der Menge zusammengefasst. Allgemein werden Mengen mit grofien lateinischen Buchstaben (A, B, C, etc.) bezeichnet. Eine Menge besteht aus Elementen, welche in der Regel mit kleinen lateinischen Buchstaben abgekürzt werden. Die Elemente einer Menge fasst man mit geschweiften Klammern zusammen, beispielsweise: A = {a, b, c}. Ein Element kann in einer Menge durch Mehrfachnennung öfter auftreten - es zahltjedoch nur als ein Element.2 Möchte man formulieren, dass ein Element in einer Menge enthalten ist, so lasst sich dieser Sachverhalt durch das Zeichen E beschreiben. In einem Beispiel zusammengefasst gehören von den drei Elementen Paprika, Banane und Apfel, die Elemente Banane und Apfel zu der Menge Obst - mathematisch ausgedrückt: Banane, Apfel E Obst; Paprika g Obst. 3

Ein weiteres Merkmal der Mengen ist, dass diese durch Mengenoperationen miteinander verknüpft werden können. Zu den Operationen zahlen die Vereinigung (A B), welche alle Elemente enthalt, die entweder in der einen oder anderen Menge vorhanden sind. Natürlich lassen sich noch mehr Mengen miteinander verknüpfen - im Sinne der Übersichtlichkeit und Verstandlichkeit wird sich bei der Beschreibung der Operationen allerdings immer auf zwei Mengen bezogen, die mit A und B bezeichnet werden. Eine weitere Mengenoperation ist der Durchschnitt, welcher alle Elemente enthalt, die sowohl in A als auch in B enthalten sind (A E B).4 Die Differenz zweier Mengen hingegen enthalt alle Elemente von A, die nicht in B enthalten sind. Ausgeschrieben wird dieser Sachverhalt wie folgt festgehalten: A \ B. Als letzte Operation sei das Komplement genannt. Das Komplement der Menge A (Ac) bezüglich der Universalmenge O enthalt alle Elemente der Menge O, die nicht in A enthalten sind. Dieser Sachverhalt sei an einem Beispiel erlautert: A ist die Menge von Studenten, die Kunst studieren. Die Komplementmenge von A sind alle Studierenden, die nicht Kunst studieren. Um den Rahmen des Assignments nicht zu sprengen, wird darauf verzichtet, die verschiedenen Mengengesetze vorzustellen - diese werden im Verlauf des Assignments im Kaptiel der Fuzzy-Mengenlehre erörtert.5

2.2 Herkunft der Fuzzy-Mengenlehre

Der Begründer der Fuzzy Theorie ist der aserbaidschanische Elektroingenieur Lofti A. Zadeh (1921 - 2017), welcher im Jahr 1965 die Fuzzy-Logik in seinem Artikel Fuzzy-Sets einführte. Wie bereits erwahnt, liegt der Unterschied der Fuzzy-Logik gegenüber der klassischen Booleschen- oder binaren Logik darin, dass die Fuzzy-Theorie einen stetigen Übergang zwischen Zugehörigkeit und Nichtzugehörigkeit einer Aussage zu einer Menge durch eine Abbildung der Wahrheits- oder Zugehörigkeitswerte in einem abgeschlossenen Intervall [0,1] bietet. Haufig liegen die Werte in Form von verbalen Ausdrücken vor wie beispielsweise sehr falsch, falsch, wahr, sehr wahr und werden mit Hilfe von charakteristischen Funktionen auf die numerischen Wahrheitswerte abgebildet.6

3 Fuzzy Mengenlehre

Im vorliegenden Abschnitt wird die natürliche Sprache mit formalen mathematischen Modellen verglichen. Auberdem werden die wesentlichen Unterschiede zwischen den klassischen Mengen und den Fuzzy-Sets herausgearbeitet und Operatoren der Fuzzy Mengenlehre vorgestellt. Auch dabei gilt es immer wieder die klassische Mengenlehre aufzugreifen. Nachfolgend werden Fuzzy- Relationen und Fuzzy-Expertensysteme beschrieben und der klassische Aufbau eines Expertensystems erganzt.

3.1 Formale Modelle und natürliche Sprache

Wie bereits beschrieben, basiert die klassische Mengenlehre darauf, dass alle formal-logischen Aussagen stets eine der beiden Wahrheitswerte wahr oder falsch einnimmt. Die Beschreibung eines formalen Modells geschieht in einer Terminologie, die strikteren Regeln folgt als die natürliche Umgangssprache.7 Wird für die Lösung einer Aufgabe oder eines Problems ein formales Modell verwendet, welches die Realitat vereinfacht darstellt und mit eindeutiger Zugehörigkeit zu einem Wahrheitswert belegt, stellt die Mathematik umfassende Werkzeuge zur Problemlösung zur Verfügung. Durch die strikteren Regeln der formalen Modelle, wird der Vorteil erlangt, dass Fehlinterpretationen vermieden, Vermutungen bewiesen und Zusammenhange abgeleitet werden können.8

In der natürlichen Kommunikation spielen formale Modelle keine Rolle. Der Mensch ist darauf ausgelegt Informationen in natürlicher Sprache direkt zu verarbeiten, ohne zuvor Formalisierungen vorzunehmen. So kann ein Mensch bei einem Abend vor dem Kamin, die Aufforderung „Leg ein wenig Holz nach, wenn das Feuer weniger brennt“ direkt umsetzen. Dabei ware in der formalen Modellbildung durchaus wichtig, ab welcher Lichtmenge, wie viel Holz nachgelegt werden soll. Eine solche Vorgabe ware beispielsweise nötig, wenn der Vorgang automatisiert werden soll. Der Mensch selbst könnte mit dieser Aussage weniger anfangen als mit der unpraziseren Vorgabe zuvor, da ihm verwehrt bleibt, ohne Hilfsmittel genaue physikalische Werte zu ermitteln. Dieser Sachverhalt verdeutlicht, dass Ungenauigkeit kein Nachteil sein muss. Die Ungenauigkeit ermöglicht es sogar in Situationen, in denen nur unvollstandige oder widersprüchliche Informationen vorliegen, eine Entscheidung zu fallen.9

In der Regel verwenden Menschen innerhalb der natürlichen Sprache überwiegend unscharfe oder unprazise Konzepte, wie sehr schnell, schwer, warm, bei denen eine eindeutige Entscheidung, ob einem Wert das entsprechende Attribut zuzuordnen ist, nicht möglich ist. Ein Grund dafür liegt darin, dass Attribute eine kontextabhangige Bedeutung besitzen - beispielsweise wird der Begriff klein in der Atomphysik anders interpretiert als in der Herstellung von Möbeln.10 Durch das Einführen von Zwischenstufen - ein Wert ist also nicht mehr ganz oder gar nicht zugehörig zu einem Attribut, sondern kann auch teilweise dazu zahlen - ist die Fuzzy-Theorie entstanden. Die Idee von Fuzzy-Mengen besteht darin, scharfe, zweiwertige Unterscheidungen gewöhnlicher Mengen aufzugeben.11

3.2 Scharfe Mengen und Fuzzy-Sets

Wie bereits beschrieben, wird in der klassischen Mengenlehre eine Menge allgemein als Teilmenge (A) von einer Grundmenge (X) beschrieben, welche sich aus einzelnen Elementen (x) zusammensetzt.12 Eine Menge kann dabei unterschiedlich dargestellt werden13:

- Durch Auflistung der enthaltenen Elemente:
- Durch die Charakterisierung einer Eigenschaft, welche das Element haben muss: A scharf={x E N\x > 5 und x <13}
- Durch eine charakteristische Funktion oder Zugehörigkeitsfunktion li.a der Menge, die auch grafisch dargestellt werden kann, wie Abbildung 1 zu entnehmen ist:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: Scharfe Zugehörigkeitsfunktion (vergleiche Meier/Portmann 2019, S.3) Die Mengenzugehörigkeitsfunktion, welche die Elemente der Menge A umfasst, ist eine charakteristische Funktion - entweder gehört ein Element zur Menge A oder nicht.14

Gehen wir jetzt beispielsweise davon aus, dass unsere Beispielmenge A scharf das Alter für Teenager darstellen soll, die wir aufgrund einer Kundensegmentierung nutzen möchten. Da die Entwicklung eines Menschen stark individuell verlauft und sich stark von der eines anderen Menschen unterscheiden kann, lasst sich konstatieren, dass die scharfe Selektion der Klasse Teenager unserem Kundensegment nicht gerecht wird. So ware der Sachverhalt bei einer scharfen Menge, wie folgt: Einige Momente vor dem dreizehnten Geburtstag springt jede Person von der Klasse der Nicht-Teenager in die Klasse der Teenager. Am Ende des neunzehnten Lebensjahres ist er binnen kürzester Zeit nicht mehr Teenager.15

[...]


1 Vgl. Jerems/Fritz (o. J.), S.5ff.

2 Vgl. Kohn/Öztürk (2018), S.4.

3 Vgl. Kohn/Öztürk (2018), S.5ff.

4 Vgl. Kohn/Öztürk (2018), S.7ff.

5 Vgl. Kohn/Öztürk (2018), S.10.

6 Vgl. Bothe, H.-H. (1995), S.2.

7 Vgl. Kruse/Borgelt/Braune/Klawonn/Moewes/Steinbrecher (2015), S.289.

8 Vgl. Kruse/Borgelt/Braune/Klawonn/Moewes/Steinbrecher (2015), S.289f.

9 Vgl. Nischwitz/Fischer/Haberbacker/Socher (2011), S.484.

10 Vgl. Drechsel, D. (1996), S.1.

11 Vgl. Kruse/Borgelt/Braune/Klawonn/Moewes/Steinbrecher (2015), S.290.

12 Vgl. Nischwitz/Fischer/Haberbacker/Socher (2011), S.484.

13 Vgl. Drechsel, D. (1996), S.26f.

14 Vgl Meier/Portmann (2019), S.2f.

15 Vgl. Meier/Portmann (2019), S.3ff.

Ende der Leseprobe aus 18 Seiten

Details

Titel
Grundlagen und Anwendungsgebiete der Fuzzy-Mengenlehre
Hochschule
AKAD University, ehem. AKAD Fachhochschule Stuttgart
Note
1,3
Autor
Jahr
2020
Seiten
18
Katalognummer
V920022
ISBN (eBook)
9783346228994
ISBN (Buch)
9783346229007
Sprache
Deutsch
Schlagworte
grundlagen, anwendungsgebiete, fuzzy-mengenlehre
Arbeit zitieren
Dominic Anlauf (Autor), 2020, Grundlagen und Anwendungsgebiete der Fuzzy-Mengenlehre, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/920022

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