Argumentationskompetenzen und die Verwendung von Repräsentationsformen bei Grundschulkindern

INHALTSVERZEICHNIS

I. EINLEITUNG

II. THEORETISCHE GRUNDLAGEN

1 ARGUMENTIEREN, BEGRÜNDEN, BEWEISEN
1.1 Begriffsbestimmungen
1.2 Die Bedeutung des Argumentierens im Mathematikunterricht
1.3 „Argumentieren“ im Lehrplan und den Bildungsstandards

2 ANALYSE VON ARGUMENTATIONSPROZESSEN
2.1 Allgemeine Kategorisierung von Argumenten
2.2 Die Strukturvon Argumentationen nach Toulmin
2.3 InteraktionstheoretischerAnsatz nach Schwarzkopf
2.4 Funktionale Argumentationsanalyse nach Fetzer

3 KOMBINATORISCHEGRUNDLAGEN
3.1 Kombinatorik im Mathematikunterricht der Grundschule
3.2 Produktregel als fundamentales Zählprinzip der Kombinatorik
3.3 Lernumgebung „Lustige Tiere“ als kombinatorische Problemstellung
3.3.1 DarstellungderLernumgebung
3.3.2 FachmathematischeBeschreibung
3.3.3 Fachdidaktische Analyse
3.3.4 Einfacher und mehrfacher Kartensatz

4 REPRÄSENTATIONSFORMEN
4.1 Begriffsbestimmung
4.2 Kategorisierung
4.3 Einteilung möglicher Schülerlösungen

5 PLANUNG UND DURCHFÜHRUNG DER STUDIE
5.1 Forschungsfrage
5.2 Forschungsdesign
5.3 Planungsaspekte und Durchführung der Studie

III. PRAKTISCHER TEIL

6 INTERVIEWS
6.1 Darstellung und Auswertung derdurchgeführten Interviews
6.1.1 Interview 1 - Schülerin S - einfacher Kartensatz
6.1.2 Interview 2 - Schülerin T - mehrfacher Kartensatz
6.1.3 Interview 3 - Schüler U - einfacher Kartensatz
6.1.4 Interview 4 - Schüler V - einfacher Kartensatz
6.1.5 Interview 5 - Schülerin W - mehrfacher Kartensatz
6.1.6 Interview6-SchülerX-mehrfacherKartensatz
6.2 Zusammenfassung der Interviews

IV. SCHLUSSBEMERKUNG

7 FAZIT

V. LITERATURVERZEICHNIS

VI. ANHANG

I. EINLEITUNG

Das dürftige Abschneiden deutscher Schülerinnen und Schüler bei der ersten internationa­len PISA-Studie im Jahr 2000 bescheinigte Deutschland eine „Bildungskatastrophe“ (Der Spiegel, 2001). Auf dem Gebiet der Mathematik wurden besonders im Bereich des Argu­mentierens deutliche Defizite aufgezeigt, so waren über 98% der getesteten 15jährigen Schülerinnen und Schüler unfähig, selbstständig Argumentationen zu entwickeln und dar­zustellen (vgl. Artelt et al. 2001). Spätestens seit diesem „Pisa-Schock“ (BMBF 2001) ist die Argumentationskompetenz als Schlüssel zum Lernerfolg vermehrt in den Fokus der mathematikdidaktischen Wissenschaft gerückt. Im Zuge der neuen Kompetenzorientierung wurde in empirischen Arbeiten zunehmend Gewicht auf die Identifizierung und Differenzie­rung unterschiedlicher Niveaustufen sowie der Förderung von Argumentationskompeten­zen gelegt.

Besonders von den Naturwissenschaften und der Mathematik wurde die Bedeutung der Argumentation für den Lernerfolg, das Verständnis fachlicher Konzepte und die individuelle Wissenskonstruktion vielfach untersucht und belegt (u.a. Aufschnaiter, Erduran, Osborne & Simon, 2008). In den Lehrplänen und Bildungsstandards der Primarstufe wird das Argu­mentieren daher als eine der zu erwerbenden zentralen prozessbezogenen Kompetenzen aufgeführt (vgl. KMK2005, S. 8, MSW NRW2008, S.8 u.11).

Das Argumentieren und Begründen als reflexive, aktiv entdeckende Tätigkeiten der Schü­lerinnen und Schüler gehört also zu den zentralen Aktivitäten eines gelungenen Mathema­tikunterrichts. Winter, Begründer des entdeckenden Lernens, hatte schon in seinen Arbei­ten der 70er Jahre das (rationale) Argumentieren als ein zentrales Unterrichtsziel angese­hen (vgl. Winter 1975) und mit seinen didaktischen Überlegungen wesentlichen Anteil am späteren Lehrplan MathematikfürGrundschulen in Nordrhein-Westfalen.

Neben der Ausbildung mathematikspezifischer kognitiver Fähigkeiten, wie dem logischen Schließen, wird dem Argumentieren auch die Entwicklung sozialer und affektiver Kompe­tenzen zugeschrieben (vgl. Lauter 1991). Argumentieren und Begründen spielen also wich­tige Rollen im Lehr-Lern-Prozess. Bedeutungen werden ausgehandelt, durch das Ausfor­mulieren von neuen Erkenntnissen und das Begründen von Lösungen nehmen Schülerin­nen und Schüler an Gedankengängen anderer teil, neue Perspektiven auf einen Lerninhalt werden eröffnet. Es kann zu Unstimmigkeiten führen, welche wiederum einen neuen Be­gründungsbedarfliefern. Begründungsversuche erleichtern es den Lehrkräften, Fehlauffas­sungen, Fehlerursachen und Verständnisschwierigkeiten gezielt aufzudecken.

Ebenso dienen Argumentations- und Begründungsprozesse dem Erwerb der Fachsprache. Diese ist erforderlich, um erkannte mathematische Zusammenhänge zu verbalisieren und individuelle Gedankengänge unmissverständlich mitzuteilen, auch um mit sogenannten .Experten' zu kommunizieren. Schülerinnen und Schüler sollen durch das Argumentieren als allgemeines Lernziel auf rationale Diskurse vorbereitet werden (vgl. Schwarzkopf 2000). Trotz der Erkenntnisse über die Bedeutung für den Lernprozess werden prozessbezogene Kompetenzen wie das Argumentieren laut einer Evaluation zur Umsetzung des neuen Lehr­plans im Mathematikunterricht immer noch eher stiefmütterlich im Unterricht behandelt (vgl. Hübner-Schwartz, 2013). In vielen Klassenzimmern deutscher Grundschulen wird Mathematik immernoch „auf das Rechnen und bloßen Fertigkeitserwerb reduziert“ (BLK, 2004, S. 17)

Das Ziel folgender Arbeit ist es, eine Standortbestimmung vorzunehmen und einen Einblick in die Argumentationskompetenzen und ihre Erscheinungsformen bei jungen Grundschul­kindern zu liefern und somit vorhandene Vorläuferkompetenzen aufzudecken. Dabei wird ein Argumentationsbegriff zugrunde gelegt, der nicht notwendig den fachmathematischen Ansprüchen an formaler Strenge genügt, sondern eher in der Nähe des Begriffs des Be­gründens anzusiedeln ist.

Aus der Forschungsfrage ergibt sich die forschungsmethodologische Überlegung, wie sich theoretisch und methodisch die Argumentationsweise von Grundschulkindern untersuchen lässt. So wurden für die kleine qualitative Fallstudie klinische Interviews mit Kindern der zweiten Jahrgangsstufe durchgeführt, diese videographiert, transkribiert und anschließend ausgewertet. Zur Bearbeitung erhielten die Kinder eine kombinatorische „Forscheraufgabe“ (zur Erläuterung vgl. Nührenbörger & Verboom 2005, S. 39), bei der sie anhand von selbst­gewählten Strategien bestenfalls alle geordneten Paare „lustiger Tiere“ ermitteln und dabei begründen sollen, wieso sie sicher seien, alle Möglichkeiten gefunden zu haben. Anschlie­ßend werden die Äußerungen und Handlungen der Kinder auf ihre argumentative Art hin analysiert und nach bestimmten Kriterien eingeteilt.

Vorab wird ein Überblick über das Begriffsverständnis zum Argumentieren im Allgemeinen und in Abgrenzung zu verwandten Begriffen sowie in ausgewählten mathematikdidakti­schen Forschungsarbeiten geschaffen und die Bedeutung und Besonderheiten des Argu­mentierens im Primarstufenunterricht betrachtet.

Für die Auswertung der Schüleräußerungen werden einige ausgewählte Analyseinstru­mente, Schemata und Begriffsnetze zum Argumentieren vorgestellt und eine begründete Wahl zur Auswertung der Schüleräußerungen getroffen. Anschließend wird der kombinato­rische Bezug der Lernumgebung vorgestellt, sowie mögliche mathematische Zugänge dar­gestellt, eine mathematikdidaktische Analyse und eine Einordnung in den Lehrplan NRW und die Bildungsstandards vorgenommen.

Zudem wird der Begriff der Repräsentationsform kurz erläutert und im Anschluss eine Ka­tegorisierung für mögliche Schülerbearbeitungen vorgeschlagen, sowie die mögliche Wir­kung des einfachen und mehrfachen Kartensatzes auf die Argumentationsweise und die Darstellung der Lösung diskutiert.

Hinführend zum praktischen Teil werden die Forschungsfragen und die Studienplanung ausgeführt und daran anschließend, im praktischen Teil, werden die einzelnen Interviews jeweils kurz umschrieben und markante Schüleräußerung auf ihre Argumentationsqualität hin untersucht. Im Zuge dieser Analyse wird auf aufgetretene Hürden und Vorkommnisse während der Bearbeitung sowie auf verwendete Repräsentationsformen eingegangen.

Zum Schluss werde ich zusammenfassend einen Überblick über die Argumentationskom­petenzen der Schülerinnen und Schüler dieser Studie geben und die Lernumgebung sowie das Forschungsdesign aufseine Eignung hin reflektieren.

II. THEORETISCHE GRUNDLAGEN

1 ARGUMENTIEREN, BEGRÜNDEN UND BEWEISEN

1.1. Begriffsbestimmungen

Das deutsche Wort .Argument' ist abgeleitet vom lateinischen argumentum und bedeutet .Beweis(mittel), Beweisgrund' (PONS, o.J.).

Im Duden Online (o.J.) findet sich zum Argumentieren folgender Eintrag:

„seine Argumente [für oder gegen etwas] darlegen, seine Gründe auseinandersetzen, den Beweis führen“. Als Synonyme werden dort unter anderem gelistet: „Argumente Vorbrin­gen, begründen, belegen, den Beweis führen, rechtfertigen; (bildungssprachlich) fundie­ren, legitimieren“ (ebd.)

Alltagssprachlich werden die Begriffe des Argumentierens, Begründens und Beweisens also mehr oder weniger synonym verwendet, in der Fachwelt dagegen wird seit Jahrzehn­ten über die Unterschiede der Begriffe in ihrer Bedeutung und Verwendung diskutiert. Obwohl das Argumentieren, Begründen und Beweisen explizit von den Bildungsstandards und Lehrplänen des Fachs Mathematik gefordert wird, gibt es in der mathematikdidakti­schen Literatur keine einheitliche Begriffsdefinition und auch das Verhältnis zwischen die­sen Begriffen ist nicht eindeutig geklärt (vgl. Brunner 2014). Das Spektrum dessen, was in der Fachliteratur jeweils als Argumentation verstanden wird ist breit. Der Sprachwissen­schaftler Wolfgang Klein (1980) beschreibt das Argument als eine Folge von Aussagen, die in einer logischen Weise miteinander verbunden sind und am Ende eine Antwort auf eine strittige Frage liefern. Knipping (2003) versteht unter Argumentation eine Folge von Äuße­rungen, in der ein Geltungsanspruch formuliert wird und Gründe mit dem Ziel hervorge­bracht werden, diesen rational zu stützen und beruft sich dabei auf Habermas' Ausführun­gen in seinerTheorie des kommunikativen Handelns:

„Argumentationen nennen wir den Typus von Rede, in dem die Teilnehmer strittige Gel­tungsansprüche thematisieren und versuchen, diese mit Argumenten einzulösen oder zu kritisieren. Ein Argument enthält Gründe, die in systematischer Weise mit dem Geltungs­anspruch einerproblematischenÄußerung verknüpft sind.“ (Habermas 1995, S. 38)

Sie sieht das Argumentieren sowohl als elementaren Bestandteil als auch als Vorausset­zung des Lernens und Lehrens von Beweisen (vgl. Knipping 2003/2010).

Auch Pedemonte setzt das Argumentieren mit dem Beweisen in Beziehung, indem sie strukturelle Gemeinsamkeiten und Unterschiede von mathematischen Argumentationen und Beweisen herausarbeitet (vgl. Pedemonte 2007). Vollrath (1980) sieht im Argumentie­ren, meist im Sinne von Begründen, eine Vorform des mathematischen Beweisens und möchte das Argumentieren nicht auf die mathematisch enge Form des Beweisens be­schränken. Er schreibt dem Argumentieren dennoch dieselbe Funktion wie dem Beweisen zu:

„Argumentationen haben hier die Aufgabe, eine Einsicht in einen allgemeinen Sachverhalt zu vermitteln unddiese zu sichern.“ (Vollrath 1980, S. 30)

Andere sehen im Argumentieren und mathematischen Beweisen aber auch fundamental verschiedene Aktivitäten und erkennen in derfalschen Auffassung des Argumentationsbe­griffs die Ursachefür Fehlvorstellungen vom Beweisen (vgl. Duval 1991; Balacheff 1999). Etwas eindeutiger definiert ist zumindest im Bereich der Mathematik der Begriff des Bewei­sens. Meyer (2007) versteht unter Beweisen, dass „eine Behauptung in gültiger Weise Schritt für Schritt formal deduktiv aus als bekannt vorausgesetzten Sätzen und Definitionen gefolgert [wird]“ (Meyer 2007, S. 21). Aufgrund der Fokussierung einer formal deduktiven Vorgehensweise ist ein solches Beweisverständnis besonders im Mathematikunterricht der Grundschule aufgrund der Lernausgangslage der Kinder zu eng gefasst. Daher wird der Beweisbegriff, wenn auch inhaltlich-anschauliches Begründen gefragt ist, oft ergänzt durch den weiter gefassten Begriff des Begründens. Um das breite Verständnis mathematischen Begründens zu erfassen, wurden in der Mathematikdidaktik unterschiedliche begriffliche Ausdifferenzierungen vorgeschlagen. Die Abgrenzung zwischen Beweisen und Begründen verläuft dabei ähnlich graduell wie die Abgrenzung beider Begriffe zum Argumentieren.

Insbesondere empirische Studien aus dem Bereich der Grundschulmathematikdidaktik rü­cken von einem eher deduktiven Argumentationsverständnis ab. So schlägt Schwarzkopf (2000) einen Argumentationsbegriff vor, durch den Argumentation als eine spezielle Inter­aktionsweise gekennzeichnet wird. Die soziale und kommunikative Dimension des Begrün­dens wird mit dem Begriff derArgumentation hier deutlich hervorgehoben:

„Der im Unterricht stattfindende soziale Prozess, bestehend aus dem Anzeigen eines Be­gründungsbedarfs und dem Versuch diesen Begründungsbedarf zu befriedigen, wird als Argumentation bezeichnet.“ (Schwarzkopf2000, S. 240)

Er erkennt im Argumentieren und Begründen ebenfalls wichtige Grundvoraussetzungen für das Erlernen von mathematischen Beweisen (ebd.).

Bezold (2009) sieht diesen engen Zusammenhang zwischen Argumentieren und Begrün­den ebenfalls und definiert Argumentieren als das Äußern von Vermutungen über mathe­matische Eigenschaften und Zusammenhänge, das Hinterfragen dieser sowie das Liefern von Begründungen. Das Begründen stellt somit „eine argumentative Tätigkeit“ neben dem Entdecken, Beschreiben und Hinterfragen dar, sei jedoch nicht mit dem Argumentieren gleichzusetzen (vgl. Bezold 2009, S. 37 ff.).

Blum fasst den Argumentationsbegriff noch weiter und bezeichnet es selbst dann als Argu­mentation, wenn ein Schüler in einem „intern ablaufenden mentalen Prozess, ein Lösungs­verfahren oder ein Ergebnis erklären, rechtfertigen und überprüfen muss.“ (Blum et al. 2010, S. 36). Bezold (2009) bezeichnet diese Form des Argumentierens als „inneres Argu­mentieren“ (Bezold 2009, S 39)

Brunner (2014) schlägt eine Differenzierung des Argumentationsbegriffs in .alltagsbezoge­nes Argumentieren’, .Argumentieren mit mathematischen Mitteln’, .logisches Argumentie­ren mit mathematischen Mitteln’ sowie .formal-deduktives Beweisen’ vor. .Alltagsbezoge­nes Argumentieren’ folgt hier den Regeln des jeweiligen Kontextes, z.B. der Berufung auf eine Autorität, und nicht unbedingt mathematischen Standards. .Argumentieren mit mathe­matischen Mitteln’ bezieht mathematische Mittel unterschiedlichster Art wie z.B. ikonische Darstellungen oder Anschauungsmittel mit in die Argumentation ein, folgt aber nicht zwin­gend dem logischen Schließen. Erforderlich wird dieses streng logische Vorgehen erst beim .logischen Argumentieren mit mathematischen Mitteln’, doch es muss, trotz logischer Strenge bei ikonischen Darstellungen oder ähnlichem, die formale Sprache nicht zwingend genutzt werden. Beim .formal-deduktiven’ Beweisen dagegen wird die Argumentation so­wohl in streng deduktiver Weise als auch in einer formalen Sprache dargestellt (vgl. Brunner 2014, S.30 ff.).

In der aktuellen mathematikdidaktischen Forschung zeigt sich also ein Begriffsverständnis, das in unterschiedlicher Weise doch von einem - meist graduellen - Zusammenhang zwi­schen Argumentieren, Begründen und Beweisen ausgeht. Im Primarbereich jedoch scheint sich ein Begriff des Argumentierens durchzusetzen, der in der Nähe des .Begründens' an­gesiedelt ist. Hier setzt auch die vorliegende Arbeit an, indem sie vor allem aufgrund des vorliegenden Forschungsinteresses einen Argumentationsbegriff zugrunde legt, der fernab von formal-logischen Beweisen angesiedelt ist und das Begründen als eine argumentative Tätigkeit betrachtet.

1.2. Die Bedeutung des Argumentierens im Mathematikunterricht der Grundschule

Mathematik ist eine beweisende Disziplin. Durch deduktive Herleitungen lassen sich nach spezifizierten Schlussregeln aus Axiomen und zuvor bewiesenen Sätzen neue mathemati­sche Aussagen deduzieren (vgl. Knipping 2019). Bedeutende argumentationstheoretische (Toulmin 1969) und pragmatisch-philosophische Ansätze (Aberdein 2012) verstehen ma­thematische Beweise als spezifische Art von Argumenten (vgl. Knipping 2003, Pedemonte 2007). Entdeckungen zu beschreiben, sie zu hinterfragen, zu erklären und zu begründen sind die wesentlichen Aktivitäten des Mathematikunterrichts in der Primarstufe, die das Ar­gumentieren fördern und das Verstehen von mathematischen Inhalten unterstützen (vgl. Bezold 2010). Was man vom Argumentieren und Beweisen im Mathematikunterricht der Grundschule erwarten kann, unterscheidet sich selbstverständlich von wissenschaftlichen Argumentations- und Beweisprozessen. Kinder der Primarstufe verfügen nicht über die nö­tige Fachsprache und argumentieren nicht immer logisch stringent. Sie verwenden ganz unterschiedliche mathematische aber auch nicht-mathematische Ausgangspunkte (vgl. Cramer 2018). Es handelt sich also eher um lebensweltliche, pragmatische Argumentatio­nen. Kinder berufen sich ganz allgemein bei ihren Argumentationen z. B. auf Autoritäten oder auf zurückliegende Erfahrungen.

Nach Krummheuer (2010) „hat man es u. a. mit den folgenden zwei Schwierigkeiten bei der Analyse von Argumentationsprozessen im Mathematikunterricht der Grundschule zu tun: „Die Ausführungen der Kinder sind zumeist sehr voraussetzungsvoll und damit in Bezug auf das hervorgebrachte Argument häufig unvollständig. Man neigt (deswegen?) leicht dazu, die argumentative Funktion kindlicher Begründungen und Erklärungen zu ihren Rech­nungen und Zeichnungen zu unterschätzen oder sogar zu übersehen.“ (Krummheuer 2010, S.4)

Besonders die Mathematik als „die Wissenschaft von den Mustern“ (Devlin 1998, S. 3) bie­tet ein hervorragendes Betätigungsfeld für die Förderung der Argumentationskompetenz, was ein gemeinsames Ziel aller Fachbereiche der Grundschule ist. Entdeckungen zu Struk­turen und Mustern lassen sich nicht nur beschreiben, sondern je nach Voraussetzungen der Kinder auch erklären und argumentativ begründen, was mit verschiedenen Mitteln und auf unterschiedlichen Wegen realisiert werden kann: sprachlich (mündlich und schriftlich), durch Zeichnungen, durch Fortsetzen eines Musters, durch Vergleichen mit anderen Mus­tern usw. (vgl. Krauthausen 2018).

Häufig sind Argumentationen in Lehr-Lern-Situationen herbeigerufen durch die Lehrkräfte, die diese auszulösen versuchen, indem sie einen künstlichen Begründungsbedarf schaffen. Grundschulkinder erachten einen mathematischen Sachverhalt oft nicht von sich aus für begründungsbedürftig (vgl. Mayer 2015). Ausgelöst werden kann die Argumentation z. B. durch eine provokative Aussage oder die Hervorhebung eines ungewöhnlichen oder uner­warteten Ergebnisses durch die Lehrkraft. Es wird jedoch als lernförderlich angenommen, dass sich ein Begründungsbedarf aus dem Fach heraus ergibt, indem eine Erwartungshal­tung der Lernenden irritiert wird (vgl. Nührenbörger & Schwarzkopf 2013). Eine substanti­elle Lernchance kann also entstehen, wenn sozusagen „produktive Irritationen“ durch die Lehrkraft initiiert werden (ebd., S. 719). Frühere Studien zu Argumentationsprozessen im Primarstufenunterricht geben erste Hinweise darauf, welche Formen von Argumentationen in der Grundschule zu finden sind (vgl. Fetzer 2011; Cramer 2018) und dass das Bearbei­ten von sogenannten ,Forscheraufgaben‘ sich bereits nach kurzer Zeit förderlich auf die Argumentations- und Problemlösekompetenz von Kindern auswirkt (vgl. Bezold 2009).

1.3. Argumentieren in den Bildungsstandards und im Lehrplan

Die Bildungsstandards legen fest, welche Kompetenzen Kinder oder Jugendlichen bis zu einer bestimmten Jahrgangsstufe erworben haben sollen und formulieren dabei die Ziele in Form von Kompetenzanforderungen. Sie geben also an, über welche Kompetenzen ein Schüler oder eine Schülerin verfügen muss, wenn wichtige Lernziele als erreicht gelten sollen (vgl. KMK 2005). Von zentraler Bedeutung für eine erfolgreiche Nutzung und Aneig­nung von Mathematik sind laut der Bildungsstandards vor allem die fünf allgemeinen ma­thematischen Kompetenzen, die sich in der lebendigen Auseinandersetzung mit Mathema­tik zeigen und durch die tätige Auseinandersetzung mit dieser erworben werden. Das Ar­gumentieren ist eine dieser allgemeinen mathematischen Kompetenzen. Konkret bedeutet dies für die Argumentationskompetenz, dass die Schülerinnen und Schüler am Ende der Primarstufe in der Lage sein sollen, mathematische Aussagen zu hinterfragen und auf Kor­rektheit zu prüfen, mathematische Zusammenhänge zu erkennen und Vermutungen zu ent­wickeln, Begründungen zu suchen und nachzuvollziehen (vgl. KMK 2005).

Im Lehrplan der Grundschulen NRW (MSW 2008) wird grundlegende mathematische Bil­dung durch das Zusammenspiel von Kompetenzen, die sich primär auf Prozesse beziehen (prozessbezogene Kompetenzen), und solchen, die sich primär auf Inhalte beziehen (in­haltsbezogene Kompetenzen) beschrieben. Anknüpfend an die Bildungsstandards finden sich die allgemeinen mathematischen Kompetenzen dort in Form der vier prozessbezoge­nen Kompetenzen wieder. Prozessbezogene Kompetenzen sollen in der aktiven Auseinan­dersetzung mit konkreten Lerninhalten, also unter Nutzung inhaltsbezogener Kompeten­zen, erworben und weiterentwickelt werden. Zugleich unterstützen prozessbezogene Kom­petenzen den verständigen Erwerb inhaltsbezogener Fertigkeiten und Fähigkeiten. Die prozessbezogenen und die inhaltsbezogenen Kompetenzen sind also auf vielfältige Art mit­einander verwoben und nicht separat erlernbar. Die zu erreichenden Lernziele werden als Kompetenzerwartungen formuliert, welche Schülerinnen und Schüler am Ende der Schu­leingangsphase und am Ende der Klasse 4 erworben haben sollen. Die Schulung der pro­zessbezogenen Kompetenzen ist bereits in der Schuleingangsphase entsprechend zu be­rücksichtigen (vgl. MSW 2008).

Als Kompetenzerwartung für das „Argumentieren“ wird im Lehrplan NRW (MSW 2008) for­muliert:

„Die Schülerinnen und Schüler stellen begründet Vermutungen über mathematische Zusammenhänge unterschiedlicher Komplexität an und erklären Beziehungen und Gesetzmäßigkeiten (sprachlich, handelnd, zeichnerisch).“ (MSW 2008, S.8) Weiter wird konkretisiert:

„Die Schülerinnen und Schüler

- stellen Vermutungen über mathematische Zusammenhänge oder Auffälligkeiten an (vermuten)
- testen Vermutungen anhand von Beispielen und hinterfragen, ob ihre Vermutungen, Lösungen, Aussagen, etc. zutreffend sind (überprüfen)
- bestätigen oder widerlegen ihre Vermutungen anhand von Beispielen und entwickeln - ausgehend von Beispielen - ansatzweise allgemeine Überlegungen oder vollziehen diese nach (folgern)
- erklären Beziehungen und Gesetzmäßigkeiten an Beispielen und vollziehen Begrün­dungen anderernach (begründen)“ (ebd., S.11)

Hier findet sich auch die im Kapitel 1.1 beschriebene mathematikdidaktische Nähe des Ar­gumentationsbegriffs zum Begriff des .Begründens' wieder und ein Verständnis von Argu­mentation als interaktiver Prozess wird deutlich.

2 ANALYSE VON ARGUMENTATIONSPROZESSEN

2.1 Allgemeine Kategorisierung von Argumenten

Argumente sind abhängig von einer Reihe von Variablen. Sie sind personenabhängig, va­riieren je nach Kontext und können je nach Fachbereich mehr oder weniger formal gültig sein. Zur Beschreibung von Argumenten stehen allgemein folgende Kategorien an Argu­mentationsmitteln zurAuswahl:

- Belegbare Fakten (durch Daten, Zahlen, Statistiken, Untersuchungen, Experimente)
- Sachnormen, wie Gesetze, Paragraphen, Verträge, Vorschriften, Vereinbarungen
- Fallbeispiele
- Erfahrungsgrundsätze, Alltagswissen, Traditionen
- moralisch-normative Grundsätze
- BezugnahmeaufAutoritäten
- Prognosen
- eigene Erfahrungen, Empfindungen, Emotionen
- gemeinsame Erfahrungen (vgl. Händel et. al. 2007)

Die Auflistung folgt ohne Rangordnung, auch wenn bestimmte Argumentationsmittel hin­sichtlich ihrer Überzeugungskraft je nach Kontext mehr oder weniger geeignet sind. In der Primarstufe sind einige dieser Argumentationsmittel nicht zu erwarten. Grundschulkinder werden sich eher nicht auf Statistiken und Paragraphen berufen, durchaus aber auf mathe­matische Regeln, Alltagswissen, Fallbeispiele, moralische Normen, Autoritäten, Emotionen und eigene oder gemeinsame Erfahrungen.

Laut Händel (Händel et. al. 2007) besteht die Grundstruktur eines Arguments immer aus einem Argument bzw. einer Begründung und einem Argumentandum, dem zu Begründen­den. Diese Struktur sollte jeweils auf einer gemeinsamen Grundannahme beruhen. Falls diese nicht gegeben ist, sollte sie zunächst hergestellt werden.

2.2 Die Strukturvon Argumentationen nach Toulmin

Toulmin (1969/1996) hat sich der Frage gewidmet, wie Aussagen, Annahmen und Meinun­gen in alltäglichen Kontexten rational begründet werden und wie Äußerungen allgemein eingesetzt werden, um andere zu überzeugen. Die Gültigkeit oder Überzeugungskraft einer Argumentation ist laut Toulmin dabei nicht normativ. Argumentationen werden von den Be­teiligten situationsabhängig entwickelt. Einzelne Äußerungen übernehmen dabei be­stimmte Funktionen innerhalb der Argumentation, die Überzeugungskraft ist jeweils abhän­gig vom Kontext. Einige Elemente sind laut Toulmin dabei stets beständig und damit cha­rakteristisch für Argumentationen unterschiedlichster Lebensbereiche. Diese zeichnen pragmatische Argumentationen ebenso aus wie wissenschaftliche. Aufgrund dieser Univer­salität eignet sich Toulmins argumentationstheoretischer Ansatz besonders, wenn man sich mit dem eher alltagsweltlichen Argumentieren in der Schule und mit dem Begründen von Kindern beschäftigt (vgl. z. B. Krummheuer 1995; Schwarzkopf 2000; Knipping 2003; Pe- demonte 2007; Fetzer 2007). Toulmins Argumentationsmodell wird daher seit einiger Zeit in der mathematikdidaktischen empirischen Unterrichtsforschung als methodisches Instru­ment zur Analyse von Argumentationsprozessen eingesetzt (ebd.). Sein Ansatz ermöglicht die Rekonstruktion argumentativer Prozesse und hilft zu beschreiben und somit besser zu verstehen, wie Grundschulkinder begründen.

Toulmin interessiert sich besonders für eine spezielle Art von Argumentationen, die „zur Rechtfertigung von Behauptungen vorgebracht werden, für die Strukturen, die man bei ihnen erwarten kann, die Vorzüge, die sie für sich beanspruchen können und die Art und Weise, in der wir bei ihrer Einteilung, ihrer Beurteilung und ihrer Kritik vorgehen.“ (Toulmin, 1996, S. 17). Dies ist nach seiner Auffassung die primäre Funktion von Argumentationen (ebd.). Vereinfacht dargestellt besteht nach Toulmin ein Argument aus mehreren funktio­nalen Elementen, von denen vier zentral sind: Das „Datum“ (D), die „Konklusion“ (K), die „Schlussregel“ (SR; bei Krummheuer 2003 u. Fetzer 2007/2011 als „Garant“ übersetzt, im englischen Original „warrant“) und „die Stützung“ (S). Dabei ist die Konklusion die Aussage, die belegt werden soll und das Datum eine unbestrittene Tatsache. Diese zwei Elemente sind die minimale Einheit eines Arguments. Schlussregeln bzw. Garanten sind allgemeine, hypothetische Aussagen, die als Verbindung dienen können, um die Konklusion zu rechtfertigen. Die Stützung soll schließlich überzeugen, dass die Schlussregel allgemein zulässig ist. Vom Datum zur Konklusion gelangt man durch die Herstellung eines Schlus­ses. Ob dieser Gültigkeit besitzt bzw. überzeugt, hängt von der Schlussregel und deren Stützung ab. In mehrgliedrigen Argumentationen bildet die Konklusion das neue Datum des nächsten Gliedes des Arguments. Aufgrund dieser funktio­nalen Einteilung der Elemente bezeichnet man Toulmins Schema auch als „funktio­nale Argumentationsanalyse“ (vgl. Kop- perschmidt 1989). Toulmin merkt an, dass die Unterscheidung zwischen Datum und Schlussregel nicht immer eindeutig ist. In­dividuelle Sinnzuschreibungen und Ab­sichten der Beteiligten seien untergeord­net, im Vordergrund stehe die Rekon­struktion der argumentativen Struktur (vgl. Krummheuer 2003). Toulmin teilt Argu­mentationen in analytische und substanti­elle Argumentationen ein. Analytisch ist also eher nicht tautologisch, es handelt sich um einen unsicheren Schluss. Bei einer sub­stantiellen Argumentation bleibt immer eine gewisse Unsicherheit über die Gültigkeit. Hier fügt Toulmin seinem Argumentationsschema zusätzlich bei Bedarf Operatoren (O) und Ausnahmebedingungen (AB) hinzu, die notwendig sind, wenn eine Schlussregel anfechtbar ist. Operatoren können einschränkende Begriffe wie „vermutlich“ oder „wahrscheinlich“ sein. Für die empirische Untersuchung von Schüleräußerungen im primarmathematischen Bereich sind einige weitere Überlegungen Toulmins, z. B. die der Bereichsabhängigkeit, nicht praktikabel (vgl. Schwarzkopf 2000). Toulmins Argumentationsmodell und seine ar­gumentationstheoretischen Überlegungen werden für mathematikdidaktische Forschungs­arbeiten zur Rekonstruktion von Schüleräußerungen meist vereinfacht und in angepasster Form angewandt.

Die Eignung von Toulmins Schema zur Rekonstruktion argumentativer Prozesse im Mathe­matikunterricht wurde in der Mathematikdidaktik schon mehrfach empirisch belegt (vgl. Krummheuer 1997; Schwarzkopf 2000; Knipping 2003, 2010; Fetzer 2007; 2011; Meyer 2007). Sein Ansatz ermöglicht sowohl die Analyse verbaler wie non-verbaler Handlungen und beschränkt sich nicht auf die Untersuchung explizit strittiger Fragen, sondern ermög­licht die Rekonstruktion aller Arten argumentativer Prozesse. Empirische Studien haben gezeigt, dass sich sogar implizite Elemente eines Argumentationsprozesses nicht der Ana­lyse entziehen (vgl. Krummheuer 1997; Schwarzkopf 2000; Fetzer 2007, 2011; Meyer 2007). Auf der Grundlage Toulmins Schemas lässt sich nicht nur die Struktur einer Argu­mentation erfassen, sondern auch inhaltlich-mathematische Aspekte werden rekonstruier­bar, was besonders im Zusammenhang mathematikdidaktischer Forschung ein zentrales Interesse darstellt (vgl. Fetzer 2011).

2.3 InteraktionstheoretischerAnsatz nach Schwarzkopf

Schwarzkopf untersucht das Zustandekommen von Argumentationen, soziale Regelmäßig­keiten des Argumentationsprozesses sowie Ziele und Funktionen von Argumentationen im Mathematikunterricht. Erschlägt einen Argumentationsbegriff vor, durch den das Argumen­tieren als eine spezielle Ausprägung von Kommunikations- oder Interaktionsprozessen, also als ein zwischenmenschlicher Prozess verstanden wird. Argumentative Situationen sind der Ort, an dem Bedeutungen ausgehandelt werden, wozu laut Schwarzkopf ein Be­gründungsbedarf explizit angezeigt werden muss (vgl. Schwarzkopf 2000). Er nutzt für die Analyse von mündlichen Unterrichtssequenzen einer vierten und fünften Jahrgangsstufe die Überlegungen Toulmins und passt sie hinsichtlich seines Forschungsanliegens an (ebd.). Hierbei lehnt er unter anderem Toulmins Analogie zu Argumentationsstrukturen bei Gericht ab und bewertet die Einteilung nach bereichsabhängigen und bereichsunabhängi­gen Elementen aufgrund mangelnder Trennschärfe bei empirischen Untersuchungen als inkompatibel (vgl. Schwarzkopf 2000). Stattdessen nutzt er den Begriff der Rahmungen, den Krummheuer für seine interaktionstheoretische Arbeit (vgl. Krummheuer 1995) im Zu­sammenhang mit dem Argumentieren eingeführt hat und welcher ursprünglich Bernsteins Theorien der soziokulturellen Codes entlehnt ist (vgl. hierzu Bernstein 1990). In unter­schiedlichen Rahmungen können verschiedene Schlussregeln und Stützungen für sinnvol­les Argumentieren zur Verfügung stehen, an denen die Angemessenheit durch einen Argu­mentationsteilnehmer beurteilt wird. Bei schwacher Rahmung sind die Regeln des Diskur­ses implizit und für Lernende weitgehend unbekannt. (vgl. Cramer 2018) Wenn Individuen nicht offenlegen, in welcher Rahmung argumentiert werden soll, kommt es häufig zu Miss­verständnissen (vgl. Schwarzkopf 2000). Im Bereich der Mathematik können solche Rah­mungen z. B. eine Rechen-Rahmung, eine geometrische Rahmung oder eine mathema­tisch-strukturelle Rahmung sein. Die Theorie der Rahmung ist sehr interessant, wenn man die Art der vorgebrachten Argumente verstehen möchte. Der Einfluss der explizit oder im­plizitvorhandenen Rahmung sollte bei derAnalyse derArgumente berücksichtigt werden. Im Unterschied zu Toulmin unterscheidet Schwarzkopf in Anlehnung an Klein (1980) zwi­schen dem Argument und der Argumentation, in dem er den sozialen Prozess des Anzei­gens und Befriedigens eines Begründungsbedarfs als Argumentation bezeichnet, während Argumente die jeweils in diesem Prozess hervorgebrachten Begründungsangebote sind (vgl. Schwarzkopf2000).

Schwarzkopf verfolgt einen interaktionistischen Ansatz und betrachtet bei seiner Analyse jeweils nur die durch die Lehrerin im Unterrichtsverlauf angezeigten begründungsbedürfti­gen Aussagen als Konklusion. Davon ausgehend erschließt er das Datum und die Schluss- regel/Stützung, auch wenn ausgehend von der zu bearbeitenden Aufgabe andere Anwen­dungen des Toulmin-Schemas denkbar wären, wie er durch einen Vergleich mit einer Arbeit Krummheuers (1995) verdeutlicht (vgl. Schwarzkopf 2000, S. 217 ff.). Im Unterschied zu Schwarzkopfs Vorgehensweise werden in der vorliegenden Arbeit verschiedene Handlun­gen und Äußerungen aus den geführten Interviews auf ihre argumentative Struktur hin be­trachtet und nicht nur die explizit zur Begründung angezeigten.

Weiter arbeitet Schwarzkopf Stützungen der hervorgebrachten Argumente mathematikspe­zifisch heraus und teilt sie in Klassen ein. Er führt hierfür den Begriff der Argumentations­basis ein und unterscheidet diese z.B. nach Rechengesetzen, Erfahrungen im geschickten Rechnen, Anwendung von Rechenalgorithmen, etablierte grundlegende Rechenverfahren, Erfahrungen in der Anwendung mathematischer Begriffe, explizit formulierte Definitionen, Erfahrungen aus dem außermathematischen Alltag, schulische Gewohnheiten mit mathe­matischen Zusammenhängen, Beziehungen zwischen Rechenoperationen, Erfahrungen mit sozialen Regelmäßigkeiten des Unterrichts und Veranschaulichungen (vgl. Schwarz­kopf 2000, S. 436 ff.). Durch unterschiedliche Voraussetzungen der Studie im Vergleich zur vorliegenden Arbeit lassen sich diese mathematikspezifischen Bezeichnungen von Stüt­zungen kaum übertragen. Die Lernausgangslage derZweitklässlerinnen und Zweitklässler ist eine völlig andere, so ist es überhaupt nicht denkbar, dass man Argumentationsbasen anhand von expliziten Definitionen oder Algorithmen in der vorliegenden Untersuchung ein­teilen können wird. Es ist zudem nicht zu erwarten, dass Stützungen bei Kindern der zwei­ten Klassenstufe in großerAnzahl explizitgeäußertwerden.

Schwarzkopf teilt anhand weiterer Analysen von Argumenten im Schulunterricht einer vier­ten Klasse Argumente in drei Klassen ein, welche sich zur Auswertung der Daten aus vor­liegenderArbeit ebenfalls anbieten: empirisch, empirisch-konstruktiv, strukturell-mathema­tisch, welche erfolgendermaßen definiert:

- EmpirischesArgument: Überprüfung aller Fälle im Beispiel: Gibt es ein Phänomen?
- Empirisch - konstruktives Argument: Übertragung der Vorgehensweise auf weitere Bei­spiele: Bleibt das Phänomen erhalten?
- Strukturell - mathematisches Argument: Auswirkungen von hypothetisch zugrunde lie­genden Strukturen. Wie kann man das Phänomen erzeugen? (vgl. Schwarzkopf2003)

2.4 Funktionale Argumentationsanalyse nach Fetzer

Fetzer hat für eine Langzeitstudie zur Arbeit mit Schreibanlässen an einer Grundschule über drei Jahre hinweg Episoden aus dem Mathematikunterricht einer ersten bis dritten Klasse untersucht (vgl. Fetzer 2007). Die Analyse argumentativer Prozesse der Grundschü­ler erfolgte durch funktionale Argumentationsanalyse in Anlehnung an Toulmins Ansatz. Einzelne Äußerungen und/oder Aktivitäten wurden dabei hinsichtlich ihrer Funktion bzw. Rolle innerhalb des Arguments untersucht (vgl. Toulmin 1996; vgl. Klein 1989). Viele der für den Unterricht typischen Schüleräußerungen, lassen sich laut Fetzer auf den ersten Blick nur bedingt als Argumentationen beschreiben. „Wederdas Nennen des Kopfrechen­ergebnisses „14“ noch die Bemerkung „Stimmt“ nach dem Ansetzen des Spiegels zum Überprüfen von Symmetrieeigenschaften fallen ,landläufig‘ in die Kategorie Argumenta­tion“. Die Differenz zu der in den Bildungsstandards beschriebenen Argumentationskompe­tenz scheint immens.“ (Fetzer 2011, S. 33)

Es mangelt scheinbar an Begründungen. Doch durch die funktionale Argumentationsana­lyse nach Toulmin lassen sich laut Fetzer viele der Einwort-Beiträge, die im Mathematikun­terricht der Primarstufe von den Kindern getätigt wurden aus argumentationstheoretischer Sicht als Argumentationen verstehen. Es sind einfache Schlüsse, bestehend aus Datum und Konklusion. Schlussregeln (bei Fetzer als „Garanten“ übersetzt) und Stützungen, die diese Schlüsse legitimieren könnten, werden häufig nicht angeführt. Viele der untersuchten Argumentationen sind vage und hinterlassen Zweifel an der Zulässigkeit des jeweiligen Schlusses, da die angeführten Schlussregeln strittig erscheinen oder fehlen (vgl. Fetzer 2011). „Festzustellen bleibt, dass die Ergebnisse derStudie darauf hinweisen, dass analy­tische Schülerargumentationen im alltäglichen Mathematikunterricht der Grundschule nicht die Regel sind und eher selten Vorkommen. Häufig beobachten ließen sich dagegen im Rahmen der Studie solche Argumentationen, die nach Toulmin als substanzielle Argumen­tationen zu beschreiben sind. Hierbei bleibt auf argumentationstheoretischer Ebene eine gewisse Unsicherheit bestehen.“ (Fetzer 2011, S. 35)

Substantielle Argumentationen bleiben vage. Diese Vagheit resultiert aus der Tatsache, dass die angeführte Schlussregel oder die Stützung nicht alle Informationen enthält, welche im Schluss übermittelt werden (Toulmin 1996, S.111 ff.). Entsprechend sind unterschiedli­che Schlussregeln denkbar, um zurselben Konklusion zu führen.

Ebenfalls charakteristisch für Argumentationen von Grundschulkindern ist laut Fetzer ein geringes Maß an Explizität. Auf der Grundlage der Analyse des Materials aus ihrer Lang­zeitstudie (Fetzer 2007) lassen sich dabei mindestens zwei Ausprägungen identifizieren, nämlich die implizit verbleibenden einzelne Elemente der Argumentation und die häufig dif­fuse Funktionszuschreibung dieser (vgl. Fetzer 2011). Die Kinder machen meist nicht deut­lich, was sie als gegeben voraussetzen bzw. wovon sie ausgehen, sie machen „das Datum ihrer Argumentation nicht explizit“ (ebd., S. 37 f). Bleibt eines der zentralen Elemente einer Argumentation implizit, ergeben sich in der Folge leicht Deutungsdifferenzen. Diese werden teils im Interaktionsverlauf von den Beteiligten wahrgenommen und nachträglich mehr oder weniger beseitigt. In vielen Fällen, gerade auch bei komplexeren Argumentationen, ver­deutlichen die Kinder zwar ihr Datum und die Konklusion, machen aber ihre Schlussregel nicht explizit. Stattdessen setzen sie die Gültigkeit ihres Schlusses scheinbar unbewusst voraus. Ein geringes Maß an Explizität der einzelnen funktionalen Elemente kann außer­dem dazu führen, dass nicht eindeutig rekonstruierbar ist, welche Funktion eine Äußerung innerhalb der Argumentation übernehmen soll. So bleibt z. B. ungewiss, ob ein Datum ge­klärt oder eine Konklusion präsentiert wird (vgl. Fetzer 2011).

Da sich Toulmins argumentationstheoretischerAnsatz nicht nurzurAnalyse verbaler, son­dern auch non-verbaler Aktivitäten eignet, trägt die Arbeit mit der Funktionalen Argumenta­tionsanalyse dazu bei, die in der mathematikdidaktischen Forschung weit verbreitete Sprachzentriertheit zu überwinden. Fetzers empirische Studie liefert als Befund die Ausdif­ferenzierung auf theoretischer Ebene in verbale und non-verbale Formen des Argumentie­rens (vgl. Fetzer 2007, S. 196ff.). Lehren und Lernen von Mathematik ist in hohem Maße sprachlich gebunden, daher nutzen viele Studien, die das Argumentieren im Mathematik­unterricht fokussieren, die Analyse der Verbalhandlungen als Grundlage (Schwarzkopf 2000; Krummheuer & Fetzer 2005; Meyer 2007; Knipping 2003). Doch bereits ein ober­flächlicher Blick auf mathematischen Unterrichtsalltag zeigt, dass sich Mathematiklernen nicht nur auf verbaler Ebene vollzieht, sondern auch materialgebunden, durch Zeigen oder Legen stattfindet. Grundschulkinder nutzen beim Argumentieren also sowohl verbale als auch non-verbale Formen der Explizität, um ihre Begründungen und Erklärungen nachvoll­ziehbar zu machen (vgl. Fetzer2011). Fetzerstellt auch implizite Elemente von Argumen­tationen im Layout des Toulmin-Schemas dar und kommentiert die einzelnen Elemente zu­sätzlich mit Hinweisen z.B. über einen vermuteten oder einen non-verbalen Inhalt.

Zusammenfassend ließen sich die innerhalb der Studie Fetzers rekonstruierten Argumen­tationen von Grundschülerinnen und -schülern im Mathematikunterricht durch vierwesent­liche Aspekte charakterisieren:

„Einfache Schlüsse: Aus einem Sachverhalt oder einer Tatsache wird unmittelbar etwas geschlossen, ohne dass dieses durch eine allgemeine Aussage legitimiert wird. Hierzu zäh­len z.B. Einwort-Antworten (vgl. Fetzer 2011,S.30&S. 33).

SubstanzielleArgumentationen: Die Begründung ist eher vage formuliert und es sind nicht alle Informationen enthalten, die einen eindeutigen Schluss ermöglichen (vgl. ebd., S. 35; vgl. auch Toulmin 1996).

Geringe Explizität von Argumenten: Die Begründung ist ungenau, weil z.B. eine Verdeutli­chung, worauf sich bezogen bzw. wovon ausgegangen wird, fehlt (vgl. ebd., S. 37f.). Impli­zite Elemente derArgumentation können nur vermutet werden.

Verbales und non-verbales Argumentieren: Die Argumentation vollzieht sich verbal und non-verbal. Wenn eine sprachliche Argumentation schwerfällt, hilft das „Zeigen und Ver­weisen auf didaktische Materialien, die Tafel oder das Heft" (ebd., S. 42).

Diese Charakteristika sind für die Auswertung und Kategorisierung der Schüleräußerungen der vorliegenden Arbeit zusammen mit dem funktionalen Argumentationsschema Toulmins aufgrund des ähnlichen Forschungsgegenstandes von großer Bedeutung.

3 KOMBINATORISCHE GRUNDLAGEN

3.1 Kombinatorikim Mathematikunterricht derGrundschule

Die Kombinatorik als eines der drei Teilgebiete der Stochastik wird auch als die Kunst des Zählens bezeichnet (vgl. Schäffler 2019). Zentraler Inhalt der Kombinatorik ist das Zusam­menfassen, das „Kombinieren“ von Elementen zu einem neuen Objekt. Kombinatorische Fragestellungen haben zum Ziel, alle zulässigen Kombinationsmöglichkeiten und deren An­zahl zu bestimmen (vgl. Kütting & Sauer 2011, S. 129). Dabei soll möglichst geschickt, also möglichst einfach gezählt werden. Die Suche nach prinzipiellen Möglichkeiten zum Zusam­menstellen der endlichen Mengen stellt für Grundschülerinnen und -schüler kaum ein Problem dar, da die kombinatorische Aufgabenstellung in der Regel verstanden wird. Das Problemlösen besteht in der Suche nach allen Möglichkeiten, der Beantwortung der Frage, ob alle Möglichkeiten gefunden wurden und dem Ausschließen doppelter Möglichkeiten (vgl. Neubert2013).

Die Auseinandersetzung mit kombinatorischen Fragestellungen in der Grundschule leistet einen wertvollen Beitrag zum Erwerb prozessbezogener Kompetenzen. Sie fordern die Kin­der dazu auf, Probleme zu lösen und mathematisch zu argumentieren. Die intuitiven Vor­gehensweisen von Kindern über das Auflisten wurden bereits in verschiedenen internatio­nalen Studien (vgl. u.a. Piaget & Inhelder 1975; English 1991; Höveler2014) genauer un­tersucht und beschrieben. Allgemein lassen sich drei zentrale Herangehensweisen an kom­binatorische Fragestellungen unterscheiden, von denen die letzte in der Primarstufe noch keine Rolle spielt:

1. Das (systematische) Auflisten und Abzählen
2. Das Verwenden kombinatorischerZählstrategien
3. Das Nutzen der kombinatorischen Formeln (vgl. Piaget & Inhelder 1975; English 1991; Höveler2014)

Das Auflisten und Abzählen ist der elementarste, aber auch der aufwendigste Lösungsweg, der den Lernenden zur Verfügung steht. Eine systematische Auflistung (mit Material oder schriftlich) verhindert, dass Figuren doppelt gezählt oder vergessen werden. Die Verwen­dung kombinatorischer Zählstrategien baut sozusagen auf den systematischen Auflistun­gen auf. Um die Anzahl aller Objekte möglichst geschickt zu erfassen ist es notwendig, sich zunächst bildlich, dann hypothetisch zu überlegen, wie man sie zusammenstellen und aus­zählen kann. Das Verwenden von Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion und Multi­plikation erleichtert das sonst mühsame Abzählen. Schon zu Beginn Grundschulzeit wird das geschickte (Ab-)Zählen einzelner Elemente und das Ermitteln der Anzahl einer gege­benen Menge thematisiert. Das Rechnen ist also die Kunst, die vom mühsamen Zählen befreit (vgl. Selter & Spiegel 2004, S. 81). Neben diesen Zugängen gibt es weitere ikonische und symbolische Darstellungen und Hilfsmittel, wie beispielsweise das Baumdiagramm, ta­bellarische Darstellungen und Codewörter, die zur Lösungsfindung beitragen können (vgl. Kütting & Sauer 2008).

Besonders English hat sich ausführlich mit den Vorgehensweisen beschäftigt, die Kinder bei der Bearbeitung von Aufgaben zeigen, in denen - wie auch im Beispiel „Lustige Tiere“ - immer zwei Elemente miteinander kombiniert werden müssen. English stellt insgesamt sechs Strategien heraus, die von zufälligen Herangehensweisen über Versuch und Irrtum bis hin zu einem systematischen Finden aller Möglichkeiten reichen, von denen oben ledig­lich drei Strategien aufgeführt sind, da es sich bei den anderen um ähnliche Vor- und Zwi­schenstufen handelt (vgl. English 1991). Das Wissen um diese Strategien trägt dazu bei, die individuellen Bearbeitungen der Kinder besser zu verstehen.

Die Thematisierung der Kombinatorik in der Grundschule ist im Sinne des Spiralprinzips (vgl. Bruner 1971) geeignet, um Grundvorstellungen zu schaffen, die Rechenoperation der Multiplikation zu festigen, die Vorstellungen der Kinder zu erweitern und ihnen Zugang zu weiteren Anwendungssituationen auch aus dem kindlichen Alltag zu ermöglichen.

Für die vorliegende Arbeit ist die Nutzung einer kombinatorischen Aufgabe besonders ge­eignet, da sie als Problemaufgabe sowohl Anlass zum Argumentieren und Begründen gibt als auch zum Nutzen von Repräsentationsformen anregen kann.

3.2 Produktregel als fundamentales Zählprinzip der Kombinatorik

Die Produktregel, auch Kreuzprodukt oder kartesisches Produkt genannt, gehört zu den fundamentalen Zählprinzipien der elementaren Kombinatorik. Sie stellt eine kombinatori­sche Grundfigur dar, die bei vielen anderen kombinatorischen Problemen als Grundlage dient (vgl. Hefendehl-Hebeker, 1988). Auch wenn sich die Modellvorstellung des kartesi­schen Produkts nicht zur Einführung in die Multiplikation eignet, da die Benutzung von Ar­beitsmitteln nur mit Einschränkungen möglich ist, die Vorerfahrungen der Kinder gering sind und der Zusammenhang der Multiplikation mit der Division als Umkehroperation relativ schwer herzustellen ist (vgl. Padberg 2007), ist es zur Bewältigung einiger realer Umwelt­situationen hilfreich und bietet erste Erfahrungen, auf die im späteren Mathematikunterricht aufgebaut werden kann.

Allgemein berechnet man die Mächtigkeit eines kartesischen Produktes aus endlich vielen Mengen durch Multiplikation der einzelnen Mächtigkeiten dieser Mengen. Eine häufige Dar­stellung der Produktregel entspricht einem mehrstufigen bzw. k-stufigen Entscheidungspro­zess, bei dem die Anzahl der Wahlmöglichkeiten m, n2, ..., nk jeder Stufe miteinander mul­tipliziert werden. Als Ergebnis erhält man die Anzahl aller Möglichkeiten der Kombination der Elemente der Mengen. Bei Auflistung dieser Kombinationen erhält man geordnete k- Tupel. Neben der Formel zur Produktregel bieten sich einige anschauliche Darstellungsfor­men an, um die Anzahl und die Art aller möglichen Kombinationen anschaulich zu ermitteln und darzustellen, dazu gehören u. a. das Baumdiagramm und die tabellarische Form. Auf diese wird im Kapitel 3.3.2 näher eingegangen.

3.3 Lernumgebung „Lustige Tiere“ als kombinatorische Problemstellung

3.3.1 DarstellungderLernumgebung

Bei der Lernumgebung „Lustige Tiere“ handelt es sich um eine leicht abgewandelte Aufga­benstellung aus dem Bereich „Kombinieren“ des Mathematik-Arbeitsheftes Fredo 2 (Ver­boom et al., 2015, S. 74). Vier statt ursprünglich drei jeweils am Hals geteilte comichafte Tiere mit zweisilbigen Namen (Tiger, Löwe, Pudel und Hase) ergeben hierbei acht Tierkar­ten, welche in Form von geordneten Paaren „Tierkopf-Tierkörper“ zu neuen Kombinationen zusammenfinden sollen. Hierbei wird also die Menge „Tierköpfe“ mit der Menge „Tierkör­per“ gekreuzt. Die Aufgabe wird knapp als Aufforderung formuliert: „Finde lustige Tiere!“ Sie wird durch die Frage, ob man alle Möglichkeiten finden kann, ergänzt. Ein abgebildetes Beispiel eines lustigen Tieres soll das Vorgehen verdeutlichen und den Zugang erleichtern. Die Tierkarten stehen sowohl als einfacher als auch als mehrfacher Kartensatz zur Verfü­gung.

3.3.2 Fachmathematische Beschreibung

Die oben beschriebene Aufgabe „Lustige Tiere“ ist dem Bereich der Kombinatorik zuzuord­nen. Es behandelt den multiplikativen Aspekt des kartesischen Produktes. Das kartesische Produkt zweier Mengen, auch Kreuzprodukt genannt, ist die Menge aller geordneten Paare von Elementen der beiden Mengen, wobei die erste Komponente ein Element der ersten Menge und die zweite Komponente ein Element der zweiten Menge ist.

Je nach Lernstand kann die Anzahl aller Möglichkeiten gemäß natürlicher Differenzierung nach systematischer oder unsystematischer Auflistung abzählend, durch wiederholte Addi­tion oder auch rein multiplikativ gelöst werden. Das kleine Einmaleins ist Gegenstand des Unterrichts der zweiten Klassenstufe und sollte somit keine große Hürde darstellen. Genau wie das unterschiedliche Vorgehen ist auch eine Vielzahl unterschiedlicher Darstellungs­weisen möglich. Auf die Repräsentationsformen wird im nächsten Kapitel noch näher ein­gegangen. Im Folgenden geht es vorrangig um mögliche mathematische Bearbeitungen der Aufgabe. So ist die Lösungsmenge (L) darstellbar als Menge geordneter Paare aus zwei Elementen A (Tierköpfe) und B (Tierkörper), so dass gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Lösungsmenge L wird auch als kartesisches Produkt, Kreuzprodukt oder Produkt­menge bezeichnet.

Mittels kombinatorischer Formel kann die Aufgabe über die Produktregel auch folgender­maßen gelöst werden können:

Es handelt sich hier um einen zweistufigen (allgemein k-stufigen) Entscheidungsprozess, im ersten Schritt wählt man einen von vier (n-i) Tierköpfen, im zweiten Schritt wählt man einen von vier (n2) Tierkörpern.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für weitere Tierkörperglieder, z. B. 3-silbige Tiere, würde eine weitere, dritte Stufe (n3) hin­zukommen und die Produktregel um einen Faktor erweitert, wobei nk immer die letzte der Entscheidungsstufen darstellt und k somit die Anzahl der Faktoren angibt. Die Reihenfolge dergetroffenen Entscheidungen istdabei unerheblich.

Das Ermitteln und zugleich Darstellen aller Möglichkeiten ist auch über ein Baumdiagramm möglich, wobei jede Entscheidungsstufen eine Ebene bildet. Im folgenden Baumdiagramm betrifft die erste Entscheidungsstufe die Wahl des Kopfes und die zweite Stufe die Wahl des Körpers. Eine umgekehrte Anordnung der Entscheidungen ist ebenso denkbar, er- schwertjedoch die Lesbarkeit der Namen, sozusagen der „Tupel“.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 3: Baumdiagramm "Lustige Tiere” (Quelle: eigene Darstell ung)

Ein Baumdiagramm kann auch von links nach rechts oder von unten nach oben angefertigt werden. Beim Nachvollziehen jedes einzelnen Weges ergeben sich die Namen aller Mög­lichkeiten der Tiere, die sogenannten „Codewörter“, außerdem ist die multiplikative Struktur („vier mal vier“) in derAbbildung ersichtlich und genau wie bei einer Liste ergibt die Anzahl der „Spitzen“ direkt abzahlbar die gesuchte Lösungsmenge. Der Vorteil gegenüber der rein multiplikativen Lösung ist, dass nicht bloß die Frage nach der Anzahl der Möglichkeiten, sondern auch nach derArt der Möglichkeiten beantwortet wird.

Eine weitere mögliche Herangehensweise ist das Erstellen einer Tabelle, auch als Matrix bezeichnet. Hierbei stehen die Elemente der Menge A (Tierköpfe) in den Spalten und die Ele­mente der Menge B (Tierkörper) in den Zeilen. In den einzelnen Feldern der Tabelle ergeben sich alle Kombinationsmöglichkeiten. Anhand der Tabelle lasst sich auch der multiplikative As­pekt als wiederholte Addition (vier mal vier) gut erkennen. Eine solche Tabelle eignet sich je­doch im Gegensatz zur rechnerischen Lösung über die Produktregel oder zum Baumdiagramm nicht für Entscheidungsfindungen mit k>2, da dann eine dreidimensionale Darstellung erforderlich wäre.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 1: 4x4 Matrix "Lustige Tiere" (Quelle: eigene Darstellung)

An eine Tabelle oder Matrix angelehnt kann auch eine systematische Anordnung der ge­legten Tiere spalten- oder reihenweise, geordnet nach Köpfen oder Körpern erfolgen. Eine schriftliche Auflistung der Tiernamen spalten- oder reihenweise losgelöst vom konkreten Material ist ebenso denkbar. Grundschulkinder haben vielleicht noch nicht die Anfertigung einerTabelle zum Ziel, wenn sie die Möglichkeiten geordnet in Reihen oder Spalten auflis­ten oder ablegen.

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