Dans ce travail nous avons modélisé numériquement les équations de Saint Venant qui régissent les écoulements en eau peu profonde, couplées à l'équation de diffusion d'un polluant. Nous avons utilisé deux techniques de calcul numérique parmi les plus efficaces, la méthode des éléments finis et la méthode des volumes finis.
En éléments finis nous utilisons le schéma de Taylor-Galerkin qui est un schéma centré de deuxième ordre dans l'espace et dans le temps. La solution est calculée par ce schéma en deux étapes, la première utilise une approximation constante par élément et la seconde une approximation linéaire. Nous obtenons un schéma conservatif, précis et simple à programmer ; néanmoins il génère des oscillations aux voisinages des gradients importants. Cet handicap est résolu par l'introduction d'un modèle de diffusion numérique du à MacCormak. Cette dissipation a pour caractéristique de n'agir que dans les régions à forts gradients et d'être inactive dans les régions lisses.
Le deuxième schéma est issu de la méthode des volumes finis et il est dû à Roe. On y utilise un maillage de type éléments finis non-structuré (cell-centered) ou les grandeurs physiques sont évaluées aux centres des cercles circonscrits aux triangles. La partie hyperbolique du système d'équations est approximée par un solveur de Riemann, puis le flux numérique est corrigé de façon à garantir l'entropie de la solution. Afin d'augmenter la précision du schéma dans l'espace à l'ordre deux, la technique MUSCL est utilisée. Quant à la discrétisation du temps, elle est effectuée par le schéma de Runge Kutta à l'ordre deux.
La validition des deux méthodes est démontrée sur le test du ressaut hydraulique dont la solution théorique est connue. Ensuite, des comparaisons sont effectuées sur une série d'exemples d'écoulements à surface libre. Les deux schémas se révèlent être puissants, précis et efficaces. Ils présentent des performances comparables quant à leur capacité de capter les ondes de choc. Néanmoins, le schéma de Taylor-Galerkin nécessite le réglage par l'utilisateur du coefficient de la diffusion numérique tandis que le shéma de Roe est plus gourmand en temps CPU.
Table des Matières
1. Introduction
1.1 Problématique
1.2 Etude bibliographique
1.3 Objectifs
1.4 Plan de la thèse
2. Equations des écoulements à surface libre
2.1 Système de coordonnées
2.2 Equations de Navier-Stokes pour les écoulements à surface libre
2.2.1 Conservation de la masse
2.2.2 Conservation de la quantité de mouvement
2.2.3 Conditions aux limites
2.3 Ecoulement bidimensionnel : modèle de Saint Venant
2.3.1 Pression hydrostatique
2.3.2 Régle de Leibnitz
2.3.3 Moyenne de l’équation de continuité
2.3.4 Moyenne de l’équation de quantité de mouvement
2.3.5 Termes sources et forces de volume
2.3.6 Conditions aux limites
2.3.7 Frontières ouvertes d’entrée et de sortie
2.4 Equation de transport-diffusion d’un polluant
2.5 Modèle de turbulence
2.6 Conclusion
3. Méthode des éléments finis et schéma de Taylor-Galerkin
3.1 Approximation nodale par éléments finis
3.2 Elément de référence
3.3 Méthode des résidus pondérés
3.4 Choix de l’élément
3.5 Erreur d’approximation
3.6 Schéma De Taylor-Galerkin
3.6.1 Schéma de Lax-Wendroff en différences finies
3.6.2 Schéma de Taylor-Galerkin
3.6.3 Notion de convergence
3.6.4 Stabilité
3.6.5 Consistance
3.7 Schémas de Taylor-Galerkin en 2-D
3.7.1 Schéma de Taylor-Galerkin à un pas
3.7.2 Schéma de Taylor-Galerkin à deux pas
3.7.3 Traitement des termes F n+ 1/2 et Gn+ 1/2
3.7.4 Techniques de capture de chocs
3.7.5 Stabilité et consistance
3.8 Mise en œuvre numérique
3.8.1 Expression pour un triangle T3
3.8.2 Critère de pas temps
3.8.3 Critère d’arrêt
3.9 Traitement du terme de diffusion
3.10 Traitement du terme source
3.11 Test de validation
3.11.1 Ressaut hydraulique oblique
4. Méthode des volumes finis et schéma de Roe
4.1 Principe de la méthode des volumes finis
4.1.1 Ordre de précision de la discrétisation du terme instationnaire
4.1.2 Ordre de précision de la discrétisation du terme convectif
4.2 Schéma de Roe en volumes finis
4.2.1 Introduction
4.2.2 Schéma de Godunov
4.2.3 Schéma de Roe
4.2.4 Matrice de Roe pour le système de Saint Venant 1D
4.3 Application du schéma de Roe au système de Saint Venant 2D
4.3.1 Construction de la matrice de Roe
4.3.2 Discrétisation
4.3.3 Traitement numérique de la partie convective
4.3.4 Correction entropique du flux de Roe
4.3.5 Extension du schéma de Roe à l’ordre supérieur en espace
4.3.6 Discrétisation de la partie de diffusion
4.3.7 Traitement des termes sources
4.3.8 Discrétisation temporelle
4.4 test de validation
4.4.1 Ressaut hydraulique oblique
5. Etude comparative du schéma de Taylor-Galerkin et du schéma de Roe
5.1 Rupture d’un barrage dans une rivière
5.2 Rupture partielle d’un barrage circulaire
5.3 Ecoulement dans un canal convergent
5.4 Ecoulement dans un canal convergent divergent
5.5 Diffusion d’un polluant dans un réservoir au repos
5.6 Conclusion
6. Conclusion
Objectifs et thèmes de recherche
Cette thèse a pour objectif principal la modélisation numérique des écoulements à surface libre en eau peu profonde, couplés au transport de polluants. La recherche se concentre sur l'application et la comparaison comparative de deux méthodes numériques majeures pour résoudre les équations de Saint Venant, en vue d'améliorer la précision et la stabilité des simulations numériques, notamment en présence d'ondes de choc ou de discontinuités hydrauliques.
- Développement d'un couplage entre le modèle de Saint Venant et le transport de polluants.
- Application du schéma de Taylor-Galerkin basé sur la méthode des éléments finis.
- Application du schéma de Roe basé sur la méthode des volumes finis.
- Étude comparative rigoureuse des performances des deux schémas numériques.
- Validation des modèles sur des tests hydrauliques bidimensionnels (ruptures de barrage, canaux).
Auszug aus dem Buch
3.1 Approximation nodale par éléments finis
On se donne une fonction u définie sur un domaine Ω et on cherche à l’approximer par une fonction uh(x) telle que les deux fonctions coincident en certains points xi:
uh(xi) = u(xi) = ui
Définition 3.1 Les points xi sont appelés noeuds, et les quantités ui sont appelées valeurs nodales.
La technique d’approximation par éléments finis comprend deux volets :
1. Une subdivision du domaine Ω en sous domaines Ωe appelés éléments
2. La construction d’une approximation locale ueh(x) de u(x) au niveau de l’élément
Dans l’accomplissement du premier volet, deux règles fondamentales doivent être observées :
• Afin d’éviter le recouvrement entre éléments, l’intersection de deux éléments distincts est soit vide, soit égale à leur frontière commune.
• L’union des éléments Ωe doit constituer un domaine aussi proche que possible du domaine Ω.
Résumé des chapitres
Introduction: Présente les enjeux des écoulements à surface libre et définit les objectifs de la thèse, incluant le couplage du modèle de Saint Venant et le transport de polluants.
Equations des écoulements à surface libre: Établit les fondements physiques et mathématiques, incluant les équations de Navier-Stokes et leur simplification en modèle bidimensionnel de Saint Venant sous pression hydrostatique.
Méthode des éléments finis et schéma de Taylor-Galerkin: Détaille la mise en œuvre de la méthode des éléments finis et le schéma de Taylor-Galerkin pour la résolution des écoulements, en abordant la stabilité et la consistance.
Méthode des volumes finis et schéma de Roe: Explique l'utilisation des volumes finis, l'approche de Godunov, le solveur de Riemann de Roe et son extension par la méthode MUSCL pour des simulations plus précises.
Etude comparative du schéma de Taylor-Galerkin et du schéma de Roe: Effectue une analyse comparative des deux méthodes numériques sur des cas complexes comme la rupture de barrage et le transport de polluants.
Conclusion: Synthétise les travaux de recherche, souligne l'efficacité des méthodes utilisées et propose des pistes pour des extensions futures comme la modélisation 3D.
Mots-clés
Saint Venant, Taylor-Galerkin, Schéma de Roe, Volumes finis, Eléments finis, Hydraulique, Surface libre, Transport de polluant, Stabilité numérique, Modélisation, Simulation, Discrétisation, Onde de choc, Maillage, Turbulence.
Foire aux questions
Quel est le sujet principal de cette thèse ?
La thèse traite de la modélisation numérique des écoulements à surface libre en utilisant les équations de Saint Venant, couplées à l'équation de transport-diffusion d'un polluant.
Quelles méthodes numériques sont utilisées ?
L'étude compare deux approches : la méthode des éléments finis via le schéma de Taylor-Galerkin et la méthode des volumes finis via le schéma de Roe.
Quel est l'objectif de la recherche ?
Le but est de résoudre et comparer ces deux schémas numériques pour des écoulements hydrauliques, en évaluant leur précision et leur robustesse, surtout lors de la présence de discontinuités comme des ondes de choc.
Quelles sont les difficultés liées à la résolution de ces écoulements ?
La présence d'ondes de choc et de pentes raides peut générer des instabilités numériques, nécessitant l'utilisation de techniques de dissipation artificielle ou de correcteurs entropiques pour stabiliser la solution.
Comment est validé le travail de recherche ?
La validation repose sur des tests de référence hydrauliques bidimensionnels, notamment des ruptures de barrage et des écoulements dans des canaux convergents/divergents, comparés aux solutions théoriques ou expérimentales existantes.
Quels sont les principaux domaines d'application ?
Les résultats s'appliquent à l'hydraulique fluviale, estuarienne et marine, pour la prédiction des inondations, la gestion de la qualité de l'eau et l'étude des transports de contaminants.
Quelle est la spécificité du schéma de Taylor-Galerkin développé ici ?
Le schéma utilise une formulation en deux étapes, offrant une précision de second ordre et permettant une flexibilité géométrique grâce à l'utilisation d'éléments triangulaires linéaires.
Quelle est la conclusion principale concernant le schéma de Roe ?
Bien que performant et précis, le schéma de Roe s'avère plus coûteux en temps de calcul CPU par rapport au schéma de Taylor-Galerkin en raison de l'évaluation de la matrice jacobienne.
- Citation du texte
- Farid Boushaba (Auteur), 2006, Résolution des équations de Saint Venant avec transport de polluant par un schéma éléments finis et un schéma volumes finis, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/939096
