Prognose von Wohnimmobilienmärkten mittels des ARIMA-Modells

Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Formelverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

1. Abschnitt: Prognosen auf dem Wohnimmobilienmar
A. Bedeutung von Prognosen
B. Notwendigkeit der Abgrenzung von Wohnimmobilienmärkten
C. Datenerfassungsmöglichkeiten
I. Erfassungsmethoden bei der Datenerhebung
II. Datenquellen bei der Datenerhebung

2. Abschnitt: ARIMA zur Prognose von Wohnimmobilienpreisen
A. Prämissen des Zeitreihenmodells
I. Grundannahmen an die Zeitreihe
II. Anforderungen an den Datenbestand
B. Funktionsweise des ARIMA-Modells
I. Autoregressiver Prozess p-ter Ordnung
II. Moving Average-Prozess q-ter Ordnung
III. Wirkungszusammenhänge im ARIMA-Modell

3. Abschnitt: Beispielhafte Umsetzung und Würdigung des ARIMA-Modells
A. Anwendung an einem Wohnimmobilienmarkt mittels SPSS
I. Vorüberlegung
II. Überprüfung der Prämissen des Zeitreihenmodells
III. Abweichungsanalyse der Prognoseergebnisse
B. Würdigung von ARIMA bei Wohnimmobilien
C. Ausblick

Anhang

Quellenverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: Merkmale von Immobilienmärkten

Abbildung 2: Abgrenzung der Immobilienmärkte hinsichtlich der Nutzungsart

Abbildung 3: Immobilienspezifische Prognosemodelle

Abbildung 4: ACF und PACF der originären Zeitreihe

Abbildung 5: Sequenzdiagramm der originären Zeitreihe

Abbildung 6: Sequenzdiagramm der originären Zeitreihe nach einmaliger Differenzierung

Abbildung 7: ACF und PACF der Renditen

Abbildung 8: Histogramm und Q-Q-Plot der Renditen

Abbildung 9: Ergebnisse des Kolmogorov-Smirnov-Anpassungstests

Abbildung 10: Prognose mittels ARIMA-Modell (7,1,3)

Abbildung 11: Vergleichende Darstellung der tatsächlichen und PROGNOSTIZIERTEN WERTENTWICKLUNG

Abbildung 12: Berechnungsmatrix der Kennzahlen RMSE und MAPE

Tabellenverzeichnis

Tabelle 1: Indexwerte des EUROPACE EPX mean - Eigentumswohnungen

Formelverzeichnis

Formel 1: Differenzenfilter hinsichtlich der Mittelwertstationarität

Formel 2: Autokorrelationsfunktion ACF

Formel 3: Differenzenfilter hinsichtlich der Bereinigung von Saisonalitäten

Formel 4: Beschreibung eines autoregressiven Prozesses p-ter Ordnung

Formel 5: Beschreibung eines Moving Average-Prozess q-ter Ordnung

Formel 6: Beschreibung eines ARIMA-Prozesses (p,d,q)

Formel 7: Berechnung des approximativen Testwerts des Kolmogorov- Smirnov-Tests

Formel 8: Berechnung der Kennzahlen RMSE und MAPE

Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1. Abschnitt: Prognosen auf dem Wohnimmobilienmarkt

Aktuell können Immobilien aufgrund günstiger Rahmenbedingungen ein gestei­gertes Investitionsinteresse verzeichnen.¹ Während Privatanleger bei Wohnimmobilien Motive wie Altersvorsorge verfolgen,² zielen institutionelle Investoren auf eine opti­mierte Kapitalallokation ab.³ Speziell die Investitionsentscheidungen institutioneller Investoren werden auf Grundlage von Prognosen getroffen.⁴ Ein Modell stellt ARIMA dar, welches in dieser Seminararbeit untersucht und anhand eines ausgewählten Wohnimmobilienmarktes angewendet werden soll.

A. Bedeutung von Prognosen

Unter Prognosen können systematische Aussagen über zukünftige Entwicklun­gen verstanden werden.⁵ Fürjedes Wirtschaftssubjekt steht dabei die Nutzenmaximie­rung, z.B. bei Investitionen, im Vordergrund.⁶ Unter dem zahlungsbezogenen Investi­tionsbegriff wird dabei die Maximierung von Zahlungsströmen⁷ bzw. die Maximierung von Mietzahlungen und des Immobilienwertes verstanden.⁸ Um optima­le Entscheidungen zu treffen, werden Prognosen hinzugezogen. Diese werden auf Ba­sis historischer Daten und etablierter Theorien abgeleitet.⁹ Prognosen sindjedoch stets mit Unsicherheiten verbunden,¹⁰ insbesondere je langfristiger der Prognosehorizont ist,¹¹ und lassen sich erst ex-post bewerten.¹²

Für Investitionen in Immobilien ergibt sich aus deren speziellen Charakteristika ein besonderes Prognosebedürfnis. Aus der beispielhaften Auswahl an Eigenschaften in Abbildung 1 ist die Langfristigkeit z.B. bei der Kapitalbindung oder den Bau- und Entwicklungszeiten zu benennen. Diese Eigenschaft äußert sich in einer geringen An­gebotselastizität des Marktes. Dies impliziert, dass nur verzögert auf veränderte Nach­fragepräferenzen reagiert werden kann.¹³ Die Präferenzen können sich bspw. so än­dern, dass keine Nachfrage mehr für die gerade entstehende Immobilie besteht. Die Profitabilität des Investments kann daraufhin in Frage gestellt werden. Neben objekt­spezifischen Faktoren (z.B. Bauart) können auch exogene Faktoren (z.B. Gesetzesän­derungen) Einfluss nehmen.¹⁴ Neben der Unterstützung bei Investitionsentscheidungen nehmen Prognosen auch im Risikomanagement eine wichtige Rolle ein.¹⁵

B. Notwendigkeit der Abgrenzung von Wohnimmobilienmärkten

Immobilien sind aufgrund der in Abbildung 1 dargestellten Charakteristika als eine eigene Assetklasse (gegenüber bspw. Aktien) abzugrenzen.¹⁶ Gekennzeichnet durch Illiquidität und Intransparenz kann man den Markt als unvollkommen ansehen.¹⁷ Durch die Heterogenität ist die Homogenität innerhalb der Assetklasse Immobilien in Frage zu stellen. Um inkonsistente Prognosen auf Basis eines heterogenen Datenbe­stands zu vermeiden, soll im Folgenden die Abgrenzung und Abgrenzungsfähigkeit des Wohnimmobilienmarktes dargestellt werden.

An erster Stelle sind Wohn- und Nicht-Wohnimmobilien aufgrund ihrer Nutzungsart zu unterscheiden, wobei Abbildung 2 eine grafische Darstellung bietet. Während Wohnimmobilien zu Wohnzwecken genutzt werden,¹⁸ steht bei Nicht­Wohnimmobilien die gewerbliche Nutzung im Mittelpunkt. Die Differenzierung lässt sich auch in der unterschiedlichen rechtlichen Behandlung der Wohn- und Geschäfts­raummiete nachvollziehen.¹⁹ Eine weitere Unterteilung der Wohnimmobilien erscheint notwendig, da divergente Wertentwicklungen zwischen z.B. Eigentumswohnungen und Neubauhäusem auftreten.²⁰ Im Folgenden sollen ausschließlich Wohnimmobili­enmärkte betrachtet werden.

Eine Abgrenzung auf Länderebene ist des Weiteren erforderlich, da die Ver­gleichbarkeit der Wohnimmobilienmärkte aufgrund u.a. individuellen Regelungen der Bewertung²¹ und verschiedener Finanzierungsstrukturen eingeschränkt ist. Der deut­sche Immobilienmarkt weist bspw. eine geringere Volatilität als der britische aus.²² Neben Unterschieden in der Größe des Mietmarktes²³ ist dies auf divergente Zinsbin­dungen bei Finanzierungen zurückzuführen.²⁴ Durch die Kurzfristigkeit in Großbritan­nien kommt es dabei zu schnelleren Anpassungen an veränderte Marktgegebenheiten (z.B. Zinsen) und folglich zu höheren Volatilitäten.²⁵

Zusätzlich sollte auch bezüglich des Standortes abgegrenzt werden. Die UBS zeigt mittels einer Studie auf, dass divergente Wertentwicklungen von Wohnimmobi­lien in Metropolen und anderen Teilen der Länder vorliegen.²⁶ Ähnliches kann in Deutschland zwischen urbanen und ländlichen Gebieten beobachtet werden.²⁷

In Verbindung mit der in Abschnitt 3 durchgeführten empirischen Umsetzung sollten Daten von möglichst homogenen Wohnimmobilien erfasst und genutzt werden.

C. Datenerfassungsmöglichkeiten

Die Erfassung von Wohnimmobilienpreisen ist aufgrund von Intransparenzen er­schwert. Dennoch sollte stets die Objektivität und Repräsentativität beachtet werden. Im Folgenden werden Methoden und Quellen der Datenerhebung vorgestellt, welche in einer Preisindex-Berechnung genutzt werden können.

I. Erfassungsmethoden bei der Datenerhebung

Eine erste Methode ist die Durchschnittsmethode. Hierbei werden aus einem Immobilienbestand ausschließlich quantitative Größen entnommen und Durch­schnittswerte gebildet. Die Ausblendung qualitativer Merkmale führt jedoch zu Ein­schränkungen der Repräsentativität dieser Methode.

Eine weitere Möglichkeit stellt die Typische-Fall-Methode dar. Auch in dieser Methode werden Durchschnittswerte auf Basis quantitativer Größen gebildet. In Ab­grenzung zum ersten Vorgehen wird jedoch der Immobilienbestand hinsichtlich der Qualität normiert, sodass bspw. nur Eigentumswohnungen berücksichtigt werden.

Hedonische Indizes hingegen zerlegen Immobilien hinsichtlich ihrer Charakteris­tika und erfassen mittels Regressionsmodellen Einflussfaktoren (Werttreiber) sowie Wirkungszusammenhänge. Vorteilhaft ist die Nutzung aller beobachtbaren Informati­onen für eine Indexberechnung, unabhängig vom qualitativen Hintergrund. Nachteile ergeben sich in der Festlegung auf ein Regressionsmodell.

Das Wiederholungskaufverfahren erfasst Preisänderungen der gleichen Immobi­lien auf Basis von Transaktionsdaten.²⁸ Aufgrund geringer Transaktionshäufigkeiten (bspw. in Deutschland) ist die Anwendbarkeitjedoch eingeschränkt.²⁹

II. Datenquellen bei der Datenerhebung

Hinsichtlich Wohnimmobilienpreisen kann auf verschiedene Quellen zurückge­griffen werden. Als eine Möglichkeit werden Angebotsdaten genannt, welche u.a. im Internet oder in Zeitungen zu finden sind. Durch diese Quelle wird eine hohe qualitati­ve und quantitative Abdeckung der Marktbreite und -tiefe geschaffen. Vorteile ergeben sich aus der Nutzung als vorauslaufender Indikator für Transaktionspreise. Nachteilig wird wiederum die Ausblendung dieser gesehen.³⁰

Transaktionsdaten aus Finanzierungen können hingegen von Finanzdienstleis- tem gesammelt werden. Auch hier ist eine hohe Marktabdeckung zu erwarten. Ein­schränkungen können jedoch entstehen, wenn Finanzdienstleister aufgrund von Richt­linien nur bestimmtes Finanzierungsgeschäft durchführen dürfen. Dies sowie die Nicht-Erfassung nicht fremdfinanzierter Transaktionen schränkt die Repräsentativität der Quelle ein.

Transaktionsdaten von Gutachterausschüssen erfassen nahezu alle Transaktio­nen,³¹ wodurch eine hohe Repräsentativität erreicht wird. Dies lässt sich u.a. durch die Regelungen zur Beurkundung von Grundstückskaufverträgen begründen.³² Ein großer Kritikpunkt wird meist in der zeitverzögerten Veröffentlichung gesehen.³³

Auch bewertungsbasierte Quellen können genutzt werden. Institutionelle Anle­ger sind zur regelmäßigen Bewertung der Bestandsimmobilien verpflichtet,³⁴ wie z.B. Immobilienfonds.³⁵ Vorteile ergeben sich hier aus der hohen Informationstiefe, wäh­rend Nachteile in der geringen Menge an Bestandsimmobilien gesehen werden.³⁶ Da die Preise nicht aus einem Marktprozess resultieren,³⁷ handelt es sich nicht um Markt­preise, was wiederum Einschränkungen hervorruft.

Grundsätzlich ist die Wahl der Datenquelle sowie der Erfassungsmethode in en­ger Abhängigkeit zum gewählten Prognosemodell zu sehen.³⁸

2. Abschnitt: ARIMA zur Prognose von Wohnimmobilienpreisen

Zur Prognose von Wohnimmobilienpreisen kann auf verschiedene Verfahren zu­rückgegriffen werden. Eine grafische Übersicht stellt Abbildung 3 dar. Neben einfach qualitativen Methoden kann in multivariate Methoden sowie selbstlernende und para­metrisierende Simulationsmodelle unterschieden werden.

Einer vierten Form, der univariaten Methode, untersteht das ARIMA-Modell, welches in dieser Seminararbeit untersucht wird. Dieses gehört den quantitativen Mo­dellen an und ist eine Form der Zeitreihenanalyse.³⁹ Nach Erläuterung der Anforde­rungen an den Datenbestand soll die Funktionsweise des ARIMA-Modells dargestellt werden.

A. Prämissen des Zeitreihenmodells

Bei Zeitreihen wird ausschließlich die Variable Zeit als Verursacher zukünftiger Entwicklungen angesehen.⁴⁰ Diesem stochastischen Prozess können verschiedene Komponenten zugeordnet werden. Eine erste, die Trendkomponente, impliziert die langfristige Änderung des regelmäßigen Verlaufes einer Zeitreihe. Störterme hingegen beschreiben nicht erklärbare Einflüsse. Während zyklische Komponenten nicht zwangsläufig regelmäßige Schwankungen benennen (z.B. Konjunktur), beschäftigen sich saisonale Komponenten mit regelmäßigen Schwankungen (Jahreszeiten).⁴¹ Inner­halb des Zeitreihenanalysemodelles ARIMA werden Anforderungen an die Datenqua­lität und somit an die Komponenten gestellt, welche nun vorgestellt werden.

I. Grundannahmen an die Zeitreihe

Eine erste Annahme ist die Stationarität, worunter die Konstanz des Erwartungs-/ Mittelwertes = fi) und der Varianz (Var(Yi) = a 2) einer Zeitreihe im Zeitablauf verstanden wird.⁴² Trendbehaftete sowie durch ansteigende Varianz gekennzeichnete Zeitreihen sind somit nicht stationär.⁴³ Des Weiteren bedingt die Stationarität die Kovarianz der Reihe, welche von den zeitlichen Abständen (Timelags) und nicht den Werten selbst abhängen sollte.⁴⁴ Je nach Stärke lässt sich in schwach stationäre (mit­telwert- und kovarianzstationär) sowie streng stationäre Prozesse (zeitlich unabhängige gemeinsame Verteilungsfunktion) unterscheiden.⁴⁵

Bei Analyse instationärer Zeitreihen kann es zu Einschränkungen der Prognose­güte kommen. Multikollinearitäten können auftreten,⁴⁶ welche eine bestehende Korrelation zwischen den zu erklärenden Variabienbeziehungen ausdrücken.⁴⁷ Jedoch ist die Unabhängigkeit der Variablen essentiell.⁴⁸ Scheinkorrelationen und Auswahl­probleme können die Folge sein.⁴⁹ Eine Möglichkeit der Messung der Stationarität liefert der Unit-Root-Test von Dickey & Fuller ab.⁵⁰

Die Bedingung der Erwartungswert-/ Mittelwertstationarität wird durch trendbe­haftete Zeitreihen verletzt. Grundsätzlich kann jedoch eine instationäre in eine statio­näre Zeitreihe transformiert werden.^{51 52} Dies kann mittels des Differenzenfilters anhand benachbarter Werte ( Ft; Yt_1), erfolgen und lässt sich wie folgt beschreiben:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Formel 1: Differenzenfilter hinsichtlich der Mittelwertstationarität

Die Erfüllung der Mittelwertstationarität bei Wohnimmobilien erscheint zweifel­haft, da sich die originäre Zeitreihe meist durch einen steigenden Basistrend auszeich­net⁵³ und somit eine Modellierung vorgenommen werden muss.

Die Größen Kovarianz bzw. Korrelation beschreiben generell einen linearen Zusammenhang zwischen zwei Variablen. Eine spezielle Form, die Autokorrelations­funktion (ACF), beschreibt die Beziehungen von Werten der gleichen Zeitreihe in Ab­hängigkeit zum Timelag⁵⁴ und lässt sich wie folgt definieren:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Formel 2: Autokorrelationsfunktion ACF⁵⁵

Die Kovarianz der Zeitreihenwerte in Abhängigkeit zum Timelag k wird durch die Varianz dieser dividiert, wodurch eine Korrelationsbeziehung beschrieben wird. In Abgrenzung zum ACF kann die partielle Autokorrelationsfunktion (PACF) genannt werden. Diese stellt den zusätzlichen Beitrag eines berücksichtigten Regressors zur Erklärung der Varianz dar.⁵⁶

Eine weitere Forderung bildet die Saisonalität ab. Diese spiegelt vorhersagbare und sich wiederholende Phänomene innerhalb einer Zeitreihe wider,⁵⁷ welche meist durch Jahreszeiten hervorgerufen werden.⁵⁸ Die Bereinigung der Zeitreihe um diese Effekte erhöht die Prognosegüte. Saisonale Einflüsse werden hierbei durch die Vorsai­son Yt_s konstruiert⁵⁹ und durch Differenzierung mit demjeweiligen Wert Yt bereinigt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Formel 3: Differenzenfilter hinsichtlich der Bereinigung von Saisonalitäten⁶⁰

Somit bildet s die Periodizität der vorlaufenden Saison ab. Eine Kombination der Differenzierung hinsichtlich Stationarität und Saisonalität ist dabei möglich.⁶¹ Auch Immobilienmärkte können von saisonalen Einflüssen betroffen sein. Ein klassisches Beispiel stellen Hotels in Skigebieten dar.⁶² Hinsichtlich Wohnimmobilien lassen sich Leerstandsquoten von Studentenwohnheimen benennen.

II. Anforderungen an den Datenbestand

Zusätzlich müssen einige Anforderungen an den Datenbestand gestellt werden. Eine erste bildet die konvergente Abgrenzung der Sache und des Raumes ab. Grenz­verschiebungen oder Abrisse von Gebäuden führen zu Veränderungen im Datenbe­stand und sollten vermieden bzw. müssen berücksichtigt werden.

Der Bestand sollte zudem ausreichend groß und frei von Lücken sein. Im Zu­sammenhang mit ARIMA wird von mindestens 50 Datenpunkten gesprochen.⁶³ In einigen Immobilienmärkten ist dies nur schwer zu erreichen, weswegen bspw. auf volkswirtschaftliche Prognosen zurückgegriffen wird.⁶⁴ Diesjedoch erzeugt wiederum Fehlerquellen.⁶⁵ Mit zunehmender Datenmenge reduzieren sich zudem Korrelations­probleme im Datenbestand.⁶⁶

Inhaltliche sowie statistische Repräsentativität müssen kennzeichnend für die his­torischen Zeitreihenwerte sein. Dies beinhaltet die Zeitstabilitätshypothese,⁶⁷ dessen Erfüllung bestimmt, inwieweit die Vergangenheit exploriert werden kann.⁶⁸ Trendbrü­che verletzen die Hypothese,⁶⁹ da historische Werte an Repräsentativität verlieren und eine Approximation in die Zukunft nicht mehr möglich ist.

B. Funktionsweise des ARIMA-Modells

Das ARIMA („Autoregressive Integrated Moving Average“)⁷⁰ -Modell (p,d,q) ist den univariaten Zeitreihenanalysenmodellen zugeordnet⁷¹ und eine weiterentwickelte Form des ARMA-Modells. Die Hauptbestandteile lassen sich in einen Autoregressi­ven- (AR) und einen Moving Average-Prozess (MA) definieren. Im Folgenden soll auf Basis der Darstellung dieser Prozesse die Funktionalität des ARIMA-Modells vorge­stellt werden.

I. Autoregressiver Prozess p-ter Ordnung

Ein autoregressiver Prozess p-ter Ordnung AR^ besteht, wenn der Wert Y im Zeitpunkt t abhängig von seinen historischen Werten und einem weißen Rauschen ist.⁷² Somit werden auf Basis historischer endogener Variablen gegenwärtige bzw. zu­künftige endogene Variablen abgeleitet.⁷³ Der Prozess greift auf sich selbst zurück, wodurch die Verschiebung auf der Zeitreihe im Mittelpunkt steht.⁷⁴ Diese Vorgehens­weise wird unterstützt durch eine angenommene Persistenz, welche Zeitreihen oft zu­geschrieben wird.^{75 76} Die Zeitstabilitätshypothese muss somit erfüllt sein. Der Prozess lässt sich wie folgt beschreiben:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Formel 4: Beschreibung eines autoregressiven Prozesses p-ter Ordnung

Der Wert Yt wird durch die mit a gewichteten historischen Werte Yt_n und einem weißen Rauschen et bestimmt. Letzterem werden dabei die Ausprägungen E(et) = 0 und Var(et) = a 2 unterstellt.⁷⁷ Die Ordnung p gibt an, auf wie viele zeit- lieh verzögerte Variablen zur Beschreibung des aktuellen Wertes zurückgegriffen wird.⁷⁸ Der Umfang des Rückgriffs wird durch die Koeffizienten des ACF und PACF bestimmt. Ein autoregressiver Prozess p-ter Ordnung kann grundsätzlich in stationärer sowie instationärer Form auftreten. Dies ergibt sich aus dem Parameter a.⁷⁹

Mittels eines autoregressiven Prozesses wird stets ein statistischer Zusammen­hang beschrieben. Dabei konnte sich dieser Prozess durch gute Ergebnisse bei der Prognose von Wendepunkten auszeichnen.⁸⁰ Dies kann durch den Rückgriff auf die eigene Historie begründet werden. Die Repräsentativität sowie die ausreichende Größe des Bestandes ist somit essentiell. Unter bestimmten Bedingungen kann ein autore­gressiver Prozess auch als Moving Average-Prozess dargestellt werden.⁸¹

II. Moving Average-Prozess q-ter Ordnung

Ein Moving Average-Prozess q-ter Ordnung MA^ bestimmt eine Zufallsvariab­le Yt, welche sich aus „der gewichteten Summe gegenwärtiger und q Perioden vergan­gener Störprozesse“⁸² zusammensetzt. Daraus folgend bildet dieser Prozess Größen ab, welche auf endogene Größen einwirken.⁸³ Dieser Zusammenhang lässt sich wie folgt beschreiben:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Formel 5: Beschreibung eines Moving Average-Prozess q-ter Ordnung⁸⁴

Der Wert Yt ergibt sich aus einer Konstante et sowie der durch ßn gewichteten historischen Störgrößen et. Dabei bildet en wiederum weißes Rauschen ab. Der Mo­ving Average kann somit als Prozess unabhängiger Zufallsschocks beschrieben wer­den.⁸⁵ Durch die Annahme der Normalverteilung⁸⁶ sowie der Stationarität⁸⁷ der Größe en ist ein MA-Prozess stets stationär. Dieses Verfahren basiert jedoch auf der Annah­me, dass sich ein Wert der Störgröße auch von null unterscheiden kann. Dies kann ei­nerseits durch die Konstante et als auch durch einen Wert der historischen Störgrößen et_q bedingt sein.⁸⁸ Auch eine Simulation mittels der Monte-Carlo-Simulation ist möglich.⁸⁹ Die Ordnung q gibt des Weiteren an, auf wie viele Perioden der Zeitreihe und deren Abweichungen vom Mittelwert zurückgegriffen wird.⁹⁰ Auch dies lässt sich durch die Ausprägungen der Koeffizienten des ACF und PACF bestimmen.

Grundsätzlich kann die Prognosequalität von MA-Prozessen bei Erfüllung der Repräsentativität des Datenbestands im kurz- und mittelfristigen Bereich als gut ange­sehen werden. Ergänzend kann dem Prozess eine einfache Anwendung zugesprochen werden.⁹¹

III. Wirkungszusammenhänge im ARIMA-Modell

Das ARMA-Modell entwickelte sich aus der Idee, einen Moving Average- und einen autoregressiven Prozess zu verbinden. Der Ansatz basiert jedoch auf der An­nahme, dass die originäre Zeitreihe stationär ist. Da Zeitreihen oft durch Trends gekennzeichnet sind (bspw. Immobilienpreisentwicklungen),⁹² kann dies zu inkonsis­tenten Prognosen führen. Ausschlaggebend für die Erfüllung der Stationarität ist dabei der AR-Prozess. ARIMA hingegen berücksichtigt die Anforderung der Stationarität und integriert eine instationäre Zeitreihe. Der Unterschied liegt somit in der Integrität I, welche das Vorliegen der Stationarität kennzeichnet.⁹³ Ein ARIMA-Modell auf Ba­sis einer originär-stationären Zeitreihe ist somit ein ARMA-Modell.⁹⁴

Das ARIMA-Modell beschreibt „eine beobachtete Zeitreihe unter Verwendung ihrer verzögerten Werte (Autoregressiv, AR) und ihre gleitenden Durchschnitte (Mo­ving Average, MA)“.⁹⁵ Es kann wie folgt beschrieben werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Autoregressiver-Prozess p-ter Ordnung Moving Average-Prozess q-ter Ordnung

Formel 6: Beschreibung eines ARIMA-Prozesses (p,d,q)⁹⁶

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Während der erste Teil den autoregressiven Prozess darstellt, wird im zweiten Abschnitt ein schockwirkungsbasierter stochastischer Vorgang in das Modell imple­mentiert.⁹⁷ Im Zusammenhang mit der Bildung einer Prognose, soll der autoregressive Prozess aus der Analyse historischer Daten zukünftige Entwicklungen ableiten. Der Ansatz des Moving Average hingegen modelliert Schocks oder Trends der Historie und lässt diese auf die endogenen Variablen einwirken.⁹⁸ Diese einbezogenen Stan­dardabweichungen können bspw. Nachfrageschocks modellieren⁹⁹ und sollen auf zu­künftige Perioden übertragen werden.¹⁰⁰

Die Ausgestaltung des ARIMA-Modells wird mittels der Parameter p, d und q bestimmt. Während p (AR) bzw. q (MA) den Rückgriff auf vergangene Zeitreihenwer­te modellieren, wird der Parameter d durch die Häufigkeit der Anwendung des Diffe­renzenfilters bestimmt. Dabei kann die originäre Zeitreihe durch Summierung zurück­gewonnen werden.¹⁰¹ Die Funktionsweise des Modells lässt sich an folgenden zwei Beispielen darstellen. Sollten die Parameter (0(p), 1(d), 2(q)) bestimmt werden, so handelt es sich um einen einmal integrierten Moving Average-Prozess 2. Ordnung. Wird hingegen die Bestimmung der Parameter (3,0,0) angestrebt, so handelt es sich um einen klassischen autoregressiven Prozess 3. Ordnung.

Innerhalb der Prognose kommt es zu einer laufenden Weiterentwicklung und Verschiebung auf der Zeitreihe, wobei Parameter und Koeffizienten konstant bleiben. Aufgrund des Rückgriffs auf bereits prognostizierte Werte handelt es sich um ein rekursives Modell,¹⁰² wodurch Sonderverläufe wie Umkehrpunkte prognostizierbar werden.¹⁰³ Die Zeitreihe wird, wie auch in anderen univariaten Modellen, als stochas­tischer Prozess mit Wahrscheinlichkeiten und Regelmäßigkeiten angesehen.¹⁰⁴

[...]

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¹ Vgl. Kappel, Wohnimmobilien, 2016, S. 16.

² Vgl. Morgenstern, Altersvorsorge, 2013.

³ Vgl. Bruns/Meyer-Bullerdiek,Portfoliomanagement, 2013, S. 1.

⁴ Vgl. Eckstein, Statistik, 2016, S. 391.

⁵ Vgl. Koch/Gebhardt/Riedmüller, Marktforschung, 2016, S. 293.

⁶ Vgl. Wöhe/Döring, Betriebswirtschaftslehre, 2013, S. 49.

⁷ Vgl. Eichhom/Merk, Wirtschaftlichkeit, 2016, S. 220.

⁸ Vgl. Metzner, Immobilienökonomische Methoden, 2013, S. 10.

⁹ Vgl. Alisch/ Arentzen/ Winter, Prognose, 2004, S. 2419.

¹⁰ Vgl. Koch / Gebhardt / Riedmüller, Marktforschung, 2016, S. 293.

¹¹ Vgl. Diedrich/Dierkes, Untemehmensbewertung, 2015, S. 227.

¹² Vgl. Metzner, Immobilienökonomische Methoden, 2013, S. 589.

¹³ Vgl. Rottke, Immobilienmarkt, 2017, S. 121.

¹⁴ Vgl. Metzner, Immobilienökonomische Methoden, 2013, S. 579f..

¹⁵ Vgl. Peter, Risikomanagement, 2006, S. 14f..

¹⁶ Vgl. Rottke, Immobilienmarkt, 2017, S. 120.

¹⁷ Vgl. Brauer, Immobilienwirtschaft, 2013, S. 13.

¹⁸ Vgl. Keller, Wohnimmobilien, o.J..

¹⁹ Vgl. Stellmann, Mieten, 2006, S. 185.

²⁰ Vgl. Bessler/Maier/ Sauerbom, Wellenbewegungen, 2015, S. 157.

²¹ Vgl. Vomholz, Volkswirtschaftslehre, 2013, S. 229.

²² Vgl. Dreger/Kholodilin, Immobilienboom, 2013, S. 7.

²³ Vgl. Linhartu.a., Property Index, 2017, S. 8f..

²⁴ Vgl. Westig, Mortgage Markets, 2017, S. 16f..

²⁵ Vgl. Wohlhage, Immobilienmarktstrukturen, 2017, S. 12.

²⁶ Vgl. Holzhey / Skoczek / Woloshin, Bubble Index, 2017, S. 6.

²⁷ Vgl. Sauerbom/Bessler/Eckhoff, Umkehrtendenzen, 2014, S. 100.

²⁸ Vgl. Voigtländeru.a., Indizes, 2013, S. 66.

²⁹ Vgl. Naubereit, Immobilienbewertungsansätze, 2009, S. 171.

³⁰ Vgl. Metzner, Immobilienökonomische Methoden, 2013, S. 391.

³¹ Vgl. Voigtländeru.a., Indizes, 2013, S. 67.

³² Vgl. § 311b Abs. 1BGB.

³³ Vgl. Metzner, Immobilienökonomische Methoden, 2013, S. 392.

³⁴ Vgl. Voigtländeru.a., Indizes, 2013, S. 68.

³⁵ Vgl. o.V., Anlegerschutz, 2011, S. 1.

³⁶ Vgl. Metzner, Immobilienökonomische Methoden, 2013, S. 391.

³⁷ Vgl. Fuss, ARIMA, 2007, S. 23.

³⁸ Vgl. Rottke, Immobilienmarkt, 2017, S. 121.

³⁹ Vgl. Metzner, Immobilienökonomische Methoden, 2013, S. 631.

⁴⁰ Vgl. Hansmann, Prognoseverfahren, 2007, S. 1483.

⁴¹ Vgl. Schira, Methoden, 2016, S. 133.

⁴² Vgl. Eckstein, Statistik, 2016, S. 391.

⁴³ Vgl. Schlittgen, Zeitreihenanalyse, 2001, S. 14.

⁴⁴ Vgl. Buscher, Zeitreihenanalyse, 2002, S. 139.

⁴⁵ Vgl. Kirchgässner / Wolters, Zeitreihenanalyse, 2006, S. 13.

⁴⁶ Vgl. McGough / Tsolacos, ARIMA, 1995, S. 15.

⁴⁷ Vgl. o.V., Multikollinearität, 2014, S. 2227.

⁴⁸ Vgl. Metzner, Immobilienökonomische Methoden, 2013, S. 394.

⁴⁹ Vgl. Fuss, ARIMA, 2007, S. 25.

⁵⁰ Vgl. McGough / Tsolacos, ARIMA, 1995, S. 15.

⁵¹ Vgl. Metzner, Immobilienökonomische Methoden, 2013, S. 642.

⁵² Vgl. Schlittgen, Zeitreihenanalyse, 2001, S. 31.

⁵³ Vgl. Metzner, Immobilienökonomische Methoden, 2013, S. 656.

⁵⁴ Vgl. Buscher, Zeitreihenanalyse, 2002, S. 146.

⁵⁵ Vgl. Buscher, Zeitreihenanalyse, 2002, S. 147.

⁵⁶ Vgl. Buscher, Zeitreihenanalyse, 2002, S. 152.

⁵⁷ Vgl. o.V., Saisonale Zyklen, o.J..

⁵⁸ Vgl. Vomholz, Volkswirtschaftslehre, 2013, S. 39.

⁵⁶ Vgl. Schlittgen, Zeitreihenanalyse, 2001, S. 32.

⁶⁰ Vgl. Schlittgen, Zeitreihenanalyse, 2001, S. 34.

⁶¹ Vgl. Schlittgen, Zeitreihenanalyse, 2001, S. 34.

⁶² Vgl. Vomholz, Volkswirtschaftslehre, 2013, S. 39.

⁶³ Vgl. McGough / Tsolacos, ARIMA, 1995, S. 15.

⁶⁴ Vgl. Metzner, Immobilienökonomische Methoden, 2013, S. 660.

⁶⁵ Vgl. Metzner, Immobilienökonomische Methoden, 2013, S. 580.

⁶⁶ Vgl. McGough / Tsolacos, ARIMA, 1995, S. 15.

⁶⁷ Vgl. Pillkahn, Strategieentwicklung, 2008, S. 33.

⁶⁸ Vgl. Hansmann, Prognoseverfahren, 2007, S. 1482.

⁶⁹ Vgl. Metzner, Immobilienökonomische Methoden, 2013, S. 632.

⁷⁰ Box / Jenkins, Analysis, 1976, S. 85.

⁷¹ Vgl. Metzner, Immobilienökonomische Methoden, 2013, S. 655.

⁷² Vgl. Auer/Rottmann, AR(p)-Prozess, o.J..

⁷³ Hübler, Wirtschaftsforschung, 2005, S. 244.

⁷⁴ Vgl. Stier, Zeitreihenanalyse, 2001, S. 53.

⁷⁵ Vgl. Buscher, Zeitreihenanalyse, 2002, S. 155.

⁷⁶ Schlittgen, Zeitreihenanalyse, 2001, S. 45.

⁷⁷ Vgl. Schlittgen, Zeitreihenanalyse, 2001, S. 45.

⁷⁸ Vgl. Buscher, Zeitreihenanalyse, 2002, S. 161.

⁷⁹ Vgl. Buscher, Zeitreihenanalyse, 2002, S. 143.

⁸⁰ Vgl. Lachnit / Müller, Untemehmenscontrolling, 2012, S. 124.

⁸¹ Vgl. Buscher, Zeitreihenanalyse, 2002, S. 171.

⁸² Buscher, Zeitreihenanalyse, 2002, S. 144.

⁸³ Vgl. Hübler, Wirtschaftsforschung, 2005, S. 250.

⁸⁴ Schlittgen, Zeitreihenanalyse, 2001, S. 25.

⁸⁵ Vgl. Schlittgen, Zeitreihenanalyse, 2001, S. 58.

⁸⁶ Vgl. Buscher, Zeitreihenanalyse, 2002, S. 145.

⁸⁷ Vgl. Buscher, Zeitreihenanalyse, 2002, S. 144.

⁸⁸ Vgl. Buscher, Zeitreihenanalyse, 2002, S. 172.

⁸⁹ Vgl. Stock, Risikomanagement, 2009, S. 82.

⁹⁰ Vgl. o.V., SPSS, o.J„ S. 14.

⁹¹ Vgl. Metzner, Immobilienökonomische Methoden, 2013, S. 651.

⁹² Vgl. Stier, Zeitreihenanalyse, 2001, S. 56.

⁹³ Vgl. Eckstein, Statistik, 2016, S. 391.

⁹⁴ Vgl. Buscher, Zeitreihenanalyse, 2002, S. 143.

⁹⁵ Hom, ARIMA, o.J..

⁹⁶ Vgl. McGough / Tsolacos, ARIMA, 1995, S. 15.

⁹⁷ Vgl. Eckstein, Statistik, 2016, S. 391.

⁹⁸ Vgl. McGough / Tsolacos, ARIMA, 1995, S. 6.

⁹⁹ Vgl. Stock, Risikomanagement, 2009, S. 82.

¹⁰⁰ Vgl. Füss, ARIMA, 2007, S. 26.

¹⁰¹ Vgl. Schlittgen, Zeitreihenanalyse, 2001, S. 31.

¹⁰² “ Vgl. Poddig, Kursprognose, 1999, S. 392.

¹⁰³ Vgl. Füss, ARIMA, 2007, S. 37.

¹⁰⁴ Vgl. Moosmüller, Wirtschaftsforschung, 2004, S. 77.