Die Einheitengruppe des Restklassenrings Z/nZ

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1. Gruppen, Ringe

1.1 Definition: Algebraische Struktur

Eine algebraische Struktur ist eine Menge M φ ≠ zusammen mit einer Familie ω = (ω i | i ∈ I )

von Operationen ω i auf M. Dabei ist I eine Index-Menge, wobei ω jedem Index eine Operation zuordnet. Schreibweise: (M, ω )

1.2 Definition: Halbgruppe

Eine Halbgruppe (G, (⋅ ⋅)) ist eine algebraische Struktur vom Typ (2), d. h. ° ist eine 2-stellige

Operation mit folgender Eigenschaft.

⋅ ⋅ : G × G → G, (a, b) a a ⋅ ⋅ b genügt dem Assoziativgesetz, d. h. (a ⋅ ⋅ b) ⋅ ⋅ c = a ⋅ ⋅ (b ⋅ ⋅ c) gilt für alle a, b ∈ G

1.3 Definition: Gruppe

Eine Gruppe (G, (⋅ ⋅, 1 , ^-1 )) ist eine algebraische Struktur vom Typ (2, 0, 1), d. h. (⋅ ⋅, 1 , ^-1 )

sind 2-, 0-, bzw. 1-stellige Operationen die den folgenden Regeln genügen.

a) ⋅ ⋅ : G × G → G, (a, b) a a ⋅ ⋅ b genügt dem Assoziativgesetz, d. h. (a ⋅ ⋅ b) ⋅ ⋅ c = a ⋅ ⋅ (b ⋅ ⋅ c).

b) 1 : {φ} → G , φ a 1 mit a ⋅ ⋅ 1 = 1 ⋅ ⋅ a = a für alle a ∈ G [Einselement - Regel].

c) ^-1 : G → G, a a a ^-1 mit a ⋅ ⋅ a ^-1 = 1 = a ^-1 ⋅ ⋅ a für alle a ∈ G [Inversen-Regel].

d) Falls ⋅ ⋅ auch dem Kommutativgesetz genügt, d. h. falls a ⋅ ⋅ b = b ⋅ ⋅ a für alle a, b ∈ G gilt, heißt (G, (⋅ ⋅, 1 , ^-1 )) eine kommutative bzw. abelsche Gruppe.

1.4 Definition: Ring

Ein Ring (R, (+, 0 , -, ⋅ ⋅)) ist eine algebraische Struktur vom Typ (2, 0, 1, 2), so dass

(R, ( +, 0 )) eine kommutative Gruppe ist,

(R , (⋅ ⋅)) eine Halbgruppe ist und die Distributivgesetze a ⋅ ⋅ (b + c) = a ⋅ ⋅ b + a ⋅ ⋅ c, (a + b) ⋅ ⋅ c = (a ⋅ ⋅ c) + (b ⋅ ⋅ c) für alle a, b, c gelten.

1.4.1 Definition: Ring-m-1

Ein Ring-m-1 (R, (+, 0 , -, ⋅ ⋅ , 1 )) ist eine algebraische Struktur vom Typ (2, 0, 1, 2, 0), wobei