Hauptachsentransformation

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Hauptachsentransformation
2.1 Begriffserklärung und Allgemeines
2.1.1 Grundlagen der Matrizenrechnung
2.1.2 Quadrik
2.1.3 Normalform und Notwendigkeit der Hauptachsentransformation
2.2. Durchführung einer Hauptachsentransformation
2.2.1 Herleitung und Berechnung der einzelnen Schritte
2.2.2 Beispielrechnung
2.3 Praktische Anwendung der Hauptachsentransformation
2.4 Implementierung der Hauptachsentransformation in Java
2.4.1 Bestandteile des Programms und deren Funktionsweise
2.4.2 Beschreibung der wichtigsten Methoden

3 Schluss

4 Anhangsverzeichnis

5 Quellenverzeichnis
5.1 Bücherquellen
5.2 Internetquellen

1 Einleitung

Seit dem Anbruch des digitalen Zeitalters gewannen Videospiele immer mehr an Beliebtheit. Vor allem mit der Verbesserung der technischen Leistung der Computer sind realitätsnahe Spiele nichts ungewöhnliches mehr. Es ist ebenfalls keine Besonderheit, dass die Hauptfigur aus der Egoperspektive gesteuert wird, wie beispielsweise in dem sehr bekannten Spiel Counter-Strike: Global Offensive, in welchen sogar Weltmeisterschaften ausgetragen werden.

Das bedeutet für solche Videospiele, dass der Spieler selbst völlige Kontrolle über das Blickfeld hat und somit die Kamera selbst steuert. Den wenigsten Spielern ist allerdings das mathematische Grundprinzip bekannt, auf dem diese Kamerabewegung basiert und ohne dessen solche Spiele nicht möglich wären.

Das Grundprinzip ist die sogenannte Hauptachsentransformation, bei der kurz zusammengefasst das Koordinatensystem so dreht und bewegt wird, dass dabei ein neues Bezugssystem entsteht, indem der betrachtete Körper im Mittelpunkt steht. Analog dazu geschieht dies genauso mit der Kamerabewegung in Ego-Shootern, da nun der Blickwinkel wie ein Koordinatensystem angepasst wird, so dass der Spieler sich auf das Geschehen fokussieren kann, folglich werden in kurzen Zeitintervallen eine große Zahl an Hauptachsentransformationen durchgeführt.

Im Folgenden werden die Grundlagen erklärt, die zu einer Hauptachsentransformation benötigt werden und die Körper, um die es sich handelt, werden näher betrachtet. Außerdem werden die mathematische Bedeutung und der Nutzen dieser Koordinatentransformationen aufgezeigt. Der Kern dieser Arbeit wird es sein, die logischen Ansätze und die einzelnen Schritte zur Berechnung der Hauptachsentransformation im dreidimensionalen Raum zu erläutern. Anschließend wird eine praktische Anwendung außerhalb der Mathematik beschrieben. Schließlich wird eine mögliche Implementierung der Hauptachsentransformation in Java präsentiert.

2 Hauptachsentransformation

2.1 Begriffserklärung und Allgemeines

2.1.1 Grundlagen der Matrizenrechnung

Da die Hauptachsentransformation im Teilgebiet der linearen Algebra angeordnet ist, ist der Umgang mit Matrizen zwingend notwendig. Eine Matrix ist nichts anderes als ein Zahlenfeld mit einer festgelegten Anzahl an Einträgen.

Die Schreibweise ist folgendermaßen definiert:

Durch wird die Zeilenanzahl m und die Spaltenanzahl n angeben. Aus dieser Form lässt sich ablesen, dass die Matrix aus Vektoren besteht. Daher wird als ein Zeilenvektor und als Spaltenvektor bezeichnet. Matrizen mit lediglich einer Spalte werden als Vektoren bezeichnet, was bereits ein geläufiger Begriff aus der Geometrie sein sollte.¹

Aus diesem Zusammenhang ist die Rechenoperation der Addition vergleichbar wie bei den Vektoren. Allerdings muss als Bedingung erfüllt sein, dass die Zeilen- und Spaltenanzahl von den beiden zu addierenden Matrizen identisch sein müssen. Es werden die entsprechenden Elemente der Matrizen addiert und formen so einen neuen Eintrag:

Die Multiplikation mit einem Skalar, einer einfachen Zahl, erfolgt analog zu der Addition:

Sowohl die Multiplikation als auch die Addition sind kommutativ und assoziativ.²

Ganz anders ist es aber, wenn das Produkt zweier Matrizen gebildet wird. Zunächst muss die Spaltenzahl der einen Matrix mit der Zeilenzahl der zu multiplizierenden Matrix übereinstimmen. Beispielsweise entsteht der neue Eintrag in der ersten Zeile und Spalte des Matrixprodukts , indem das Element an der Stelle der ersten Zeile und Spalte von mit dem ersten Eintrag der ersten Spalte von multipliziert wird und mit dem Produkt des zweiten Elements derselben Zeile und dem zweiten Wert der gleichen Spalte addiert. Folglich ergibt sich . Dieser Vorgang wird dann noch für die nächsten Zeilen wiederholt. Zusammenfassend wird bei der Matrizenmultiplikation „Zeile mal Spalte“ multipliziert und schließlich addiert.³

Die Elemente des Matrixprodukts ist nichts anderes als das Skalarprodukt der Zeilenvektoren der Ersten mit den Spaltenvektoren der zweiten Matrix. Allgemein ist die Anzahl der Zeilen und Spalten des Produkts:

Da die für die Multiplikation vorausgesetzt wird, dass die Spaltenzahl von der Zeilenzahl von gleichen muss, folgt daraus, dass diese Rechenoperation nicht kommutativ ist im Vergleich zu den Vorherigen.⁴

Auch in der Matrizenrechnung ist das Spiegeln, auch Transposition genannt, möglich. Dies wird durch die Umkehrung der Spalten mit den Zeilen bewerkstelligt. Das bedeutet beispielsweise, dass die Elemente der ersten Zeile und nun zu den Einträgen der ersten Spalte werden. Die einzigen Elemente, die dabei nicht betroffen werden sind die der Hauptdiagonalen . Diese Operation wird folgendermaßen gekennzeichnet:

Das Bedeutet zum Beispiel, dass, falls ein Spaltenvektor transponiert wird, dieser zu einem Zeilenvektor wird.⁵

Besonders interessant sind quadratische Matrizen. Diese besitzen die Eigenschaft, dass die Zeilen- und Spaltenzahlen übereinstimmen. Außerdem haben quadratische Matrizen eine Determinante, die ein Skalar ist. Die Determinante wird öfters im Zusammenhang mit linearen Gleichungssystemen verwendet, um beispielsweise diese zu lösen oder, falls sie gleich Null sein sollte, feststellen zu können, dass das Gleichungssystem keine beziehungsweise unendlich viele Lösungen besitzt.

Die Determinante lässt sich von einer 3x3-Matrix folgendermaßen berechnen, die im ebenfalls für die Hauptachsentransformation eine Rolle spielen wird:⁶

Ein Sonderfall der quadratischen Matrix ist die symmetrische Matrix. Die Besonderheit hiervon ist, dass die alle Elemente entlang der Hauptdiagonalen gespiegelt werden. Rechnerisch kann dies überprüft werden, indem das Transponierte dieser Matrix mit sich selbst gleichgesetzt wird:

Zuletzt ist existiert noch die Diagonalmatrix, wiederum eine Unterordnung der symmetrischen Matrix. Gekennzeichnet ist diese, dass lediglich Nullen vorhanden sind, abgesehen von den Diagonaleinträgen. Daher ist diese Form die einfachste Matrix.⁷

2.1.2 Quadrik

Bevor die Hauptachsentransformation eingegangen wird, ist es notwendig einige Grundbegriffe zu erklären. Hierbei ist die Quadrik oder auch als Hyperfläche zweiter Ordnung bezeichnet von zentraler Bedeutung. Eine Quadrik ist die Lösungsmenge einer Gleichung folgender Form im :

Diese Gleichung existiert bereits in der Kugelgleichung vereinfacht, wobei die Variablen lediglich linear und quadratisch vorkommen und nicht gemischt, das heißt, es gibt keine Termglieder mit Produkten zwischen verschiedenen Unbekannten.

Da die obige Gleichung recht lang ist, lässt sich diese in die Matrixdarstellung umformen, welche ebenfalls in den späteren Rechnungen Vorteile aufweist⁸:

Zuerst wird der Term folgendermaßen angeordnet:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Durch weitere Umformungen entsteht folgende Matrixdarstellung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Richtigkeit dieser Formel kann überprüft werden, indem die Matrixdarstellung ausmultipliziert wird und wieder die anfängliche Gleichung ergibt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Matrix ist symmetrisch, dies hat zur Folge, dass alle Einträge entlang der Hauptdiagonale gespiegelt sind. Rechnerisch wird dies durch überprüft.⁹

Abb. 1: Beispiel für eine Quadrik (in dem Fall handelt es sich um einen Ellipsoiden)¹⁰

2.1.3 Normalform und Notwendigkeit der Hauptachsentransformation

Das Beispiel des Ellipsoids im vorherigen Kapitel ist lediglich eines von den 17 verschiedenen Arten der möglichen Quadriken. Um eine Hyperfläche 2.Ordnung klassifizieren zu können, wird die Gleichung in der sogenannten Normalform benötigt, da in dieser Form die Quadrik orthogonal zu den Koordinatenachsen gerichtet ist und zusätzlich der Mittelpunkt der geometrischen Form im Ursprung liegt. Außerdem ist die Normalform die einfachste Gleichung einer Quadrik und somit die gemischten Termglieder entfallen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 2: Alle Normalformen mit deren Gleichungen in der Übersicht¹¹

Dadurch, dass die Parameter a, b und c im Nenner stehen und quadriert werden, wird sowohl das benötigte Vorzeichen sowie das Ungleichsein mit der Null gewährleistet.

Anhand des Beispiels des Ellipsoiden wird ebenfalls die Wichtigkeit der Normalform deutlich:

Abb. 3: Ellipsoid der Gleichung:¹²

Auf Basis dieser Gleichung lassen sich die Halbachsen dieses Körpers bestimmen und somit ist es möglich die geometrischen Eigenschaften einer Quadrik herauszufinden.

Um die Länge der Halbachse in x-Richtung zu berechnen, wird zunächst der Schnittpunkt mit der x-Achse benötigt. Dieser wird durch das Einsetzen von 0 in y sowie z und anschließenden Auflösen nach x bestimmt. Zuletzt wird der Betrag der x-Koordinate verdoppelt. Auf diese Weise lassen sich auch die anderen Halbachsen bestimmen.

Ohne die Normalform wäre es nicht möglich die geometrischen Eigenschaften zu bestimmen oder überhaupt zu klassifizieren, um welchen Körper es sich handelt.

Abb. 4: Ellipsoid der Gleichung¹³:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Anhand der Quadrik der Abbildung 4 wird deutlich, dass der Körper nicht zwangsläufig im Zentrum des Koordinatensystems liegen muss. Außerdem ist zwar anhand der Zeichnung ein Ellipsoid erkennbar, allerdings wird dies allein aus der Gleichung nicht schlüssig. Daher ist eine Hauptachsentransformation vonnöten, um einen Hyperfläche zweiter Ordnung in die Normalform zu bringen. Dabei wird ein neues Koordinatensystem gesucht, indem das Bestehende so gedreht sowie verschoben wird, sodass die Quadrik im Ursprung liegt und dessen Symmetrieachsen parallel zu den Koordinatenachsen gerichtet ist.¹⁴

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der einzige Unterschied an den Gleichungen ist, dass die obige Quadrik im Vergleich zur Unteren anstelle von enthält. Dennoch handelt es sich bei der ersten Hyperfläche zweiter Ordnung um ein zweischaliges Hyperboloid und im letzteren um ein einschaliges Hyperboloid.

Allein aus der Quadrikgleichung hätte dies nicht geschlussfolgert werden können, da nicht einmal ein Vorzeichen geändert wurde, sondern nur der Betrag eines einzigen Parameters. Deswegen ist eine Hauptachsentransformation vonnöten, um überhaupt feststellen zu können, welche Form vorliegt.

[...]

¹ Vgl. Heinz Eltermann, Grundlagen der praktischen Matrizenrechnung, S. 9-11

² Vgl. Wolfgang Gröbner, Matrizenrechnung, S.20-21

³ Vgl. A. C. Aitken, Matrizen und Determinanten, S.16-17

⁴ Vgl. Wolfgang Gröbner, Matrizenrechnung, S.20-21

⁵ Vgl. Wolfgang Gröbner, Matrizenrechnung, S.23

⁶ Vgl A. C. Aitken, Matrizen und Determinanten, S.34, 37, 64

⁷ Vgl. Heinz Eltermann, Grundlagen der praktischen Matrizenrechnung, S.13

⁸ Vgl. Fritz Reinhardt/Heinrich Soeder (Hrsg.), Algebra und Geometrie, S.201

⁹ Vgl. Dr. Thorsten Wörmann, Vektoren und Matrizen, S.8, < http://www.math.uni-bonn.de/people/woermann/Matrizentypen.pdf>

¹⁰ Privatdozent Dr. rer. nat. habil. Werner Neundorf, Übersicht Normalformen (TU Ilmenau), S.7

¹¹ Kurt Meyberg/Peter Vachenauer (Hrsg.), Höhere Mathematik 1, S.344

¹² Mit Geogebra erzeugtes Bild

¹³ Mit Geogebra erzeugtes Bild

¹⁴ Vgl. Prof. Dr. rer. nat. Marcel Erné, Quadriken, Seite 1,