Hierarchische Credibility-Theorie

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3.2) Credibility-Schätzer

3.2.1) Der einstufige Fall (s=1) :

Der einstufige Fall wurde bereits in der Vorlesung behandelt (siehe „Kremer:

Versicherungsmathematik, Hamburg 1998“ , Seite 57-65). Er sei dennoch an dieser Stelle kurz

wiederholt.

Für den einstufigen Fall werden die Annahmen (3) und (4) nicht benötigt. Das Problem besteht also

θ = ) ( b b nun darin, zu schätzen, wobei angenommen sei, daß die Parameter (2.6) - (2.8) bekannt

i i 1 1

sind. Um die Notation zu wahren, werden einfach alle Indizes weggelassen und man betrachtet die

Gleichung

E(x ^{n x 1} | θ) = Y ^{n x q} b ^{q x 1} (θ) (3.3)

mit den Parametern

β ^{q x 1} = E[b(θ)] Λ ^{q x q} = Var[b(θ)] Φ ^{n x n} = E[Var(x | θ)] , , (3.4)

Man erhält folgenden Satz:

Die sogenannte Credibility-Matrix ist dabei definiert gemäß:

Z = ΛM

Für den Fall, daß für die Anzahl der Beobachtungen gilt n ≥ q und Y vollen Rang q hat, so läßt sich

b in der Form eines gewichteten Mittels darstellen:

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Anmerkung 1: Die Formel (3.35a) ist also eine Folgerung aus (3.34a) und (3.39).

3.3) Das LB-Risiko

b läßt sich darstellen gemäß: Das LB-Risiko bei der Schätzung von

I r

tr ∆ = ρ ) ( W (3.41)

I I r r

(siehe R.Norberg „Empirical Bayes Credibility“ in Scand. Actuarial Journal 1980, S.181)

∆ die LB-Risikomatrix symbolisiert, gegeben durch

wobei tr die Spur bedeutet und

I r

′ ′ ⁻ − = ∆ ¹ ) , ( )] ( )[ , ( ) ( b x Cov x Var x b Cov b Var (3.42)

I I I I I I I 1 1 r r r r r