Wichtige Sätze der Analysis II

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VI 4. Bekanntes zur Kurvendiskussion

4.1 Satz Sei f ! R diibar. Dann ist f monoton steigend fallend , f 0 x 0 f 0 x 0 f ur alle x 2 I.

4.2.Satz Sei f ! R n + 1 ,mal diibar mit f ⁿ⁺¹ x = 0 f ur alle x 2 I. Dann ist f ein Polynom vom Maximalgrad n, d.h.

^P n j=0 d j x ^j . fx =

4.3 Def. Eine diibare Fkt. heit konvex konkav wenn f 0 monoton w achst f allt.

4.4 Def. Sei f ! R und c 2 I, dann heit fc

ur alle x 2 I streng f ur fc f x Maximum von f, falls fc fx f

ur alle x 2 I streng f ur fc f x Minimum von f, falls fc fx f

4.5 Satz Sei f : : a; b ! R stetig, dann besitzt f ein Maximum und ein Minimum.

ur c 2 a; b ein rel. Extremum, dann gilt f 0 c = 0 4.6 Satz Sei f ! R diibar und fc f

4.7 Def. Sei f : : a; b ! R diibar und c 2 a; b. fc heit Wendepunkt von f, falls f 0 c ein rel. Extremum von f 0 ist.

4.8 Satz Sei f : : a; b ! R n+1,mal diibar und sei f ⁿ⁺¹ stetig. Sei c 2 a; b mit f 0 c = f 00 c = f ⁿ c = 0 u n d f ⁿ⁺¹ c 6 = 0 .

f ⁿ⁺¹ c 0; n + 1 gerade fc rel. Minimum von f

f ⁿ⁺¹ c 0; n + 1 gerade fc rel. Maximum von f

f ⁿ⁺¹ c 6 = 0 ; n + 1 gerade fc W endepunkt von f

5.1 Satz de l'Hospital Seien f;g: a; b ! R diibar und sei g 0 x 6 = 0 f ur x 2 a; b auch a = ,1; b = 1. Sei lim x! = 0 oder

gleich 1 in einem 2 a; b. Gilt dann lim x! f ⁰ x

VII 1. Der Integralbegriff

Sei a; b 2 R mit a a b . Sei Ba; b die Menge aller beschr ankten Funktionen f : : a; b ! R. Sei z := x 0 ; x 1 ; : : :; x n mit a =

x 0 x 1 x 2 x n = b eine Zerlegung des Intervalls a; b. Wir nennen jzj := max k=1;:::n jx k , x k,1 j die Feinheit. Wir setzen

^P n ^P n k=1 m k x k , x k,1 bzw. sz : = k=1 m k x k , x k,1 m k := inf x2xk,1;xk fx und m k := sup x2xk,1;xk fx. Wir nennen sz : =

0 f ur x 2 Q 0; 11

1.2 Beispiel Sei f : : 0 ; 11 ! R deeniert durch fx : = . Dann gilt f ur jede Zerlegung sz = 0 und jede

1 f ur x sonst

Obersumme ist sz = 1 . F olglich ist f nicht R-integrierbar.

VII 2. Integrabilit atskriterien

2.1 Satz Sei a a b und f 2 Ba; b. f ist R-integrierbar , ^{V W} : sz , sz ".

""0 z a;b

2.2.Satz Sei f : : a; b ! R stetig a a b . Dann ist f auch R-integrierbar auf a; b.

2.3 Satz Ist f : : a; b ! R monoton wachsen oder fallend, so gilt f 2 Ra; b.

2.4 Satz Folgenkriterium Sei a b; f 2 Ba; b. Dann gilt f 2 Ra;b genau dann, wenn f ur jede Zerlegung z k k mit lim k!1 jz k j =

ur k ! 1 konvergieren, 0 und jede Folge zugeh origer Zwischenvektoren k k die resultierenden Riemannsummen S k ; z k f

^{R b} ubereinstimmen. In diesem Fall ist der eindeutige Grenzwert identisch mit und alle Grenzwerte a fxdx.

2.5 Satz Seien f;g2 Ra; b, dann gilt

^R b ^R b ^{R b}

f g

^{R b}

^{R b}

^{R b}

VII 3. Stammfunktion

3.1 Def. Sei I R ein Intervall und f : I ! R vorgegeben. F : I ! R mit F 0 x = fx f ur alle x 2 I heit Stammfunktion von f

auf I.

3.2 Satz Hauptsatz Sei ~ F : I ! R eine Stammfkt. von f auf I. Dann ex. c 2 R mit ~ ur alle x 2 I. Es folgt Fx + c = F x f

~ Fx , ~ Fa = Fx =

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3.3 Satz partielle Integration Sei I R;a2 I;f 2 C ¹ I; g2 CI und G eine Stammfkt. von g auf I. Dann gilt f ur x 2 I :

^R x ^R x a f 0 tGtdt a ftgtdt = = ftGt x a ,

3.4 Satz Substitutionsregel Seien I;J2 R Intervalle, d 2 J; f2 CJ; g2 C ¹ J mit gJ J und a := g 2 J. Dann gilt f ur

^R x ^R g ^R fgg 0 dd alle 2 J mit x := g 2 I : a ftdt = g ftdt =

^{R 1 R 1} Beispiel Rekursionsformel Herleitung der Rekursionsformel f ur

Rekursion liefert I n = 1 , x 2 ⁿ sinxj 1 0 ,

elle Integration ergibt I n = 2 n

2n + 4 nn , 1 I n,1 , 4nn , 1I n,2 .

rundintegrale

^Z x dx = x +1 ^Z x ,1 dx = l n jxj

VII 4. Uneigentliche R-Integrale

Unbeschr ankte Funktionen Sei a b; f : : a; b ! R vorgegeben. Zus atzlich gelte f 2 Rx; y f ur alle x; y 2 a; b. Dann heit f

^R b ^R y x ftdt 1 gilt. uneigentlich R-integrierbar auf fa; b genau dann, wenn a ftdt = lim x!a;y!b

Unbeschr anktes Integrationsgebiet Sei a b; f : : a; 1 ! R vorgegeben. Zus atzlich sei f 2 Ra; x f ur alle x x a . Dann heit

^R 1 ^{R x} f uneigentlich R-integrierbar auf a; 1 genau dann, wenn a ftdt 1 gilt. a ftdt := lim x!1

VIII 1. Der n-dimensionale euklidische Raum R ⁿ n 2 N

^p euklidische Norm von x 2 R ⁿ : jxj := x 2 1 + : : : + x ² n

^p euklidischer Abstand von x; y 2 R ⁿ : jx , yj := x 1 , y ^{1 2} + : : : + x n , y n 2

Homogenit at: jxj = jj j xj

Dreiecksungleichung: jx + yj j xj + jyj

Cauchy-Schwarz: jx yj j xj j yj

VIII 2. Folgen in R n

2.1 Def. Eine Folge a k k2N von Vektoren a k 2 R ⁿ heit konvergent gegen a 2 R ⁿ , falls f ur alle " " 0 ein k 0 2 N ex., da f ur alle

k 2 N; k k 0 gilt: ja k , aj ".

2.2 Korollar Eine Vektorfolge a k k2N konvergiert genau dann, wenn alle ihre n Komponentenfolgen konvergieren.

2.3 Satz Cauchy-Kriterium Eine Vektorfolge konvergiert , ^{V W V} : ja m , a n j "

^{""0 n02N mn2N} m;n0

2.4 Satz Bolzano-Weierstra Jede beschr ankte Vektorfolge in R ⁿ besitzt eine konvergente Teilfolge.

VIII 3. Stetige Funktionen von R ⁿ nach R m

3.1 Def. Eine Fkt. f : D ! R ⁿ mit D R ⁿ heit stetig in 2 D, falls f = lim x! fx gilt.

3.2 Satz Eine Fkt. f : D ! R ⁿ mit D R ⁿ ist stetig in 2 D, falls: ^{V W V} : jx , j jfx , fj "

""0 0 x2D

3.3 Satz Es seien f : D ! R ^m ; g: D ! R ^m ; h: D ! Rn f 0g stetig in a 2 D R. Dann sind auch die folgenden Funktionen stetig:

f + g; f , g; f g; f h und f.

3.4 Satz Eine Fkt. f : D ! R ^m ist genau dann stetig in 2 D R ⁿ , w enn es zu jeder Umgebung V = V f von f eine

Umgebung U = U D gibt mit fU V .

3.5 Satz Eine Fkt. f : D ! R ^m mit D R ⁿ ist genau dann stetig in D, w enn das Urbild jeder ooenen Teilmenge von R ^m ooen in D

ist.

VIII 4. Partielle Ableitungen

4.1 Def. Sei D R ⁿ ooen und f : D ! R. Die Fkt. f heit in x 2 D partiell diibar bzgl. der i,ten Koordinatenrichtung, falls

@xi x := lim ^{h!0 fx+hei,fx} @ i fx : = ^@f existiert.

h

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ur alle x 2 D existiert. Und heit stetig partiell

diibar, falls die Fkt. @ i f : D ! R in D stetig sind i = 1 ; : : : ; n . Man schreibt in diesem Fall f 2 C ¹ D.

Beispiel

p 2 x 2 1 + + x ² n , ^{1 2} 2x i = ^xi ur x 6 = 0 gilt hier @ i fx : = @ i x 2 1 + + x ² n = ¹ jxij .

Wir setzen rx : = jxj und betrachten die zusammengesetzte Fkt. frx, wobei f : R ⁺ ! R diibar vorgegeben ist. Dann

folgt: @ i frx = f 0 rx @ i rx = f 0 rx ^xi

rx :

4.3 Def. Sei D R ⁿ ooen und f : D ! Rpartiell diibar. Dann heit die Vektorfkt. grad fx : = rf := @ 1 fx; @ 2 fx; : : :; @ n fx

der Gradient v on f.

4.4 Def. Sei D R ⁿ ooen und F : D ! R ⁿ eine Vektorfkt. mit partiell diibaren Komponenten F j : D ! R. Dann heit die skalare

Fkt. div F : D ! R deeniert durch div F x : = r f := @ 1 F 1 x + @ 1 F 2 x + + @ n F n x die Divergenz von F .

4.5 Satz Schwarz Sei D R ⁿ ooen und f 2 C ² D. Dann gilt f ur alle x 2 D und i; j = 1 ; : : :; n : @ i @ j fx = @ j @ i fx.

4.7 Def. Sei D R ³ ooen und f : D ! R ³ eine stetig partiell diibare Vektorfkt. Dann heit die durch g := rot f := r f :=

@ 2 f 3 , @ 3 f 2 ; @ 3 f 1 , @ 1 f 3 ; @ 1 f 2 , @ 2 f 1 deenierte Vektorfkt. g : D ! R ³ die Rotation von f.

4.8 Def. Sei D R ⁿ ooen mit f : D ! R zweimal partiell diibar. Dann heit f := divgrad f = ^P n i=1 @ i @ i f und nennt : =

^P n i=1 @ i @ i den Laplace-Operator. Fkt. mit f = 0 heien harmonisch i n D.

VIII 5. Totale Differenzierbarkeit

5.1 Def. Sei D R ⁿ ooen und f : D ! R ^m vorgegeben. f heit in x 2 D total diibar, falls es eine lineare Abbildung A : R ⁿ ! R m

^{P n} gibt, so da in einer Umgebung Ux die Darstellung fx + = fx + A + ' bzw. f i x + = f i x + j=1 a ij j + ' i

gilt. dabei ist ' in einer Umgebung U0 von 0 deeniert mit Werten im R ⁿ und mit lim !0 '

5.2 Satz Sei D R ⁿ ooen und f als Fkt. D ! R ⁿ in x 2 D total diibar, dann gilt: f ist stetig in x und alle Komponenten f i : D ! R

von f sind in x partiell diibar und es gilt @ j f i x = a ij

5.3 Satz Sei D R ⁿ ooen und f : D ! R ⁿ partiell diibar. Alle partiellen Ableitungen @ i f seien stetig in x 2 D. dann ist f in x

total diibar d.h. stetig partiell diibar total diibar partiell diibar, total diibar stetig.

.4 Satz Kettenregel Es seien U R ⁿ ; V R ^m ooen, g : U ! R ^m ; f: V ! R ^k mit gU V . Auerdem sei g in x 2 U und f in

y := gx total diibar. Dann ist auch die Komposition f g : U ! R ^k in x total diibar und es gilt Df gx = DfgxDgx

im Sinne der Martixmultiplikation.

.5 Korollar Gegeben seien die Voraussetzungen von Satz 5.4 f ur k = 1. Dann ist die Fkt. h : f g : U ! R in x partiell diibar mit

@ i hx = rfgx @ i gx : = ^P m j=1 @ j fgx @ i g j x.

.6 Def. Sei D R ⁿ ooen, f : D ! R eine Fkt, x 2 D und e 2 R ⁿ mit jej = 1. Dann heit @ e fx : = d dt fx + tej t=0 =

5.7 Satz Sei D R ⁿ ooen, f : D ! R stetig partiell diibar. Dann gilt f ur jedes x 2 D und e 2 R ⁿ mit jej = 1 : @ e fx = rfx e

5.8 Satz Mittelwertsatz Sei D R ⁿ ooen, f : D ! Rstetig partiell diibar, sei x 2 D und 2 R ⁿ , so, da fx + t j 0 t 1g g D.

^{R 1} Dann gilt: fx + , fx = 0 Dfx + tdt

III 6. Taylorformel und lokale Extrema

.1 Satz Taylorformel Sei D R ⁿ ooen, x 2 D und 2 N ⁿ mit fx + t j 0 t 1g g D. Sei f : D ! R k + 1 ,mal stetig partiell

6.3 Def. Sei D 2 R ⁿ ooen und f : D ! R mit f 2 C ² D gegeben. Dann heit die symmetrische n n,Matrix Hess fx : =

@ i @ j fx i;j=1;::: ;n die Hesse-Matrix von f an der Stelle x.

.5 Satz Sei D 2 R ⁿ ooen und f : D ! R partiell diibar und x 2 D lokales Extremum von f. Dann gilt rfx = 0 .

.6 Def. Sei A 2 R ⁿⁿ eine symmetrische Matrix. Dann gilt:

ur alle 0 6 = 2 R n

ur alle 0 6 = 2 R n

A heit indeenit, falls es Vektoren ;gibt mit A 0; A 0

Ersetzt man bei den ersten beiden F allen " durch h " bzw. " durch h ", so heit A positiv bzw. negativ semideenit.

ur alle k = 1 ; : : :; nmit

^{2 3} a 11 : : : a 1k

A k := 6

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6.8 Satz Sei D 2 R ⁿ ooen, x 2 D;f : D ! R mit f 2 C ² D und es gelte rfx = 0. Dann gilt:

Ist Hess fx pos. deenit, so hat f ein isoliertes Minimum

F ur R ² gilt dies, wenn @ 2 1 fx @ 2 2 fx , @ 1 @ 2 fx ² 0 ist. 1 fx 0 und @ 2

Ist Hess fx neg. deenit, so hat f ein isoliertes Maximum

F ur R ² gilt dies, wenn @ 2 1 fx 0 und @ 2

positiv und negativ.

Ist Hess fx indeenit, so hat f kein lokales Extremum

F ur R ² gilt dies, wenn @ 2 2 fx , @ 1 @ 2 fx ² 0 ist, d.h. mindestens je ein Eigenwert positiv und einer negativ. 1 fx @ 2

VIII 7. Implizite Funktionen

7.3 Satz Hauptsatz Seien U 1 R ⁿ ; U 2 R ^m ooene Mengen, sei F : U 1 U 2 ! R ^m stetig diibar, a; b 2 U 1 U 2 mit Fa; b = 0

und D y Fa; b i n vertierbar. Dann gibt es ooene Umgebungen V 1 U 1 von a und V 2 U 2 von b und eine stetige Fkt. g : V 1 ! V 2

ur alle x 2 V 1 . Ist x; y 2 V 1 V 2 mit Fx; y = 0, so gilt y = gx.

D x F x; gx.

7.5 Satz Extrema unter N.B. Sei D R ⁿ ooen, f : D ! Rstetig diibar und M := fx 2 Djfx = 0 g. Sei a 2 M mit grad fa 6 = 0 .

Die stetig diibare Fkt. h : D ! R besitze in a ein lokales Maximum bzw. Minimum unter NB f = 0. Dann existiert ein sog.

Lagranger Multiplikator 2 R mit grad ha = gradfx.

ur i = 1 ; : : :; m verwendet man analog die Funktion F x; : = hx,fx : =

hx , ^P m i=1 i f i x.

Beispiel Bestimmte die lokalen Extrema von h : R ² ! R;h x = x 2 f ur x = x 1 ; x 2 u n ter N.B. fx : = x 2 2 , x 2 1 , 1 = 0. Es gilt:

Fx; = hx,Fx = 2 x 2 ,x 2 2 ,x 2 1 ,1. Die Forderung rFx; = 2 x 1 ; 2,2x 2 ; x 2 2 ,x 2 1 ,1 ^! = 0 liefert x 1 = 0 ; x 2 2 = 1 .

Also sind a = 0 ; 1 und b = 0 ; ,1 die m oglichen Kandidaten.

VIII 8. Kurven im R n

8.1 Def. Sei ? 6 = I R ein Intervall. Eine stetige Abb. f : I ! R ⁿ heit Kurve i m R ⁿ . f heit diibar, wenn alle ihre Komponenten

f k : I ! Rk = 1 ; : : :; n diibar sind.

Beispiel

Die Kurve ft : = a + r cost; r sint im R ² beschreibt f ur r r 0; a 2 R den Kreis mit Radius r um a.

F ur a 2 R ⁿ und 0 6 = 2 R ⁿ beschreibt ft : = a + t eine Gerade im R ⁿ durch a 2 R ⁿ in Richtung .

F ur r r 0 und 0 6 = c 2 R beschreibt die Kurve ft : = r cost; r sint; c t eine Schraubenlinie im R ³ .

ur t 2 I heit der Vektor f 0 t : = f 0 1 t; : : :; f 0 n t 2 R ⁿ Tangentialvektor von

f zum Parameterwert t. Gilt f 0 t 6 = 0, so heit der auf den Betrag 1 normierte Vektor f ⁰ t

Doppelpunkt Eine Kurve f : I ! R ⁿ mu nicht notwendig injektiv sein. Gilt ft 1 = ft 2 = : x f ur t 1 6 = t 2 , so heit x Doppelpunkt

von f. I n x besitzt f dann verschiedene Tangetialvektoren.

Beispiel Betrachte f : R ! R ² mit ft = t ² , 1; t ³ , t. Dann ist fR : = fx; y 2 R ² jy ² = x ² + x ³ g. Die Kurve hat einen

Doppelpunkt f ur t 1 = ,1; t 2 = 1 , d a f,1 = f 1 = 0 ; 0.

ur alle t 2 I gilt. Ein Parameterwert

T 2 I mit f 0 t = 0 heit singul ar.

p

x ³ g. W egen

f 0 t = 2 t; 3t ² ist t = 0 singul ar.

8.4 Def. eine Kurve f : : a; b ! R ⁿ heit rektiizierbar mit der L ange L, wenn: ^{V W} ti , L " f ur jede Unterteilung : n

^L ""0 0

a = t 0 : : : t n = b der Feinheit max i=1;::: ;n jt i , t i,1 j .

^R b a jf 0 tjdt 8.5 Satz Jede stetig diibare Kurve f : : a; b ! R ⁿ ist rektiizierbar mit der L ange L :=

Beispiel

Sei r r 0 und f : : 0 ; a ! R ² mit ft : = r cost; r sint. Wegen der Ableitung f 0 t = ,r sint; r cost gilt jf 0 tj =

^R a ^p 0 r d t = rtj ^a 0 = ra. ,r sint ² + r cost ² = r und damit L =

Die Zykloide f : R ! R ² ist deeniert durch ft : = t , sint; 1 , cost. Sie beschreibt die Bahn eines Punktes auf der

Peripherie eines Kreises der auf der x-Achse der x , y-Ebene abrollt. Man erh alt f ur L des Bogens f : : 0 ; 2 ! R ² : L = 8 .