Fallbeschleunigung

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Man kann die Beschleunigung einfach mit dem Weg-Zeit-Gesetz bestimmen:

(3)

Noch nicht betrachtet haben wir den Trägheitsmoment J der Rolle. Den Trägheitsmoment berechnet

man nach dem Prinzip der Rotation starrer Körper:

α ⋅ = J M

(4)

( M - Drehmoment der Rolle; J - Trägheitsmoment der Rolle; α - Winkelbeschleunigung)

Allgemein gilt:

(5)

Für das Trägheitsmoment der Rolle (Scheibe) gilt:

(6)

effektiv ⋅ = a m F

Setzt man jetzt die Kraft F aus (5) unter Beachtung von (6) mit unter Einführung

m einer neuen Masse effektiv (effektive Masse der Rolle) gleich, so erhält man:

(7)

Daraus folgt dann:

(8)

Das bedeutet, daß die Hälfte der Rollen-Masse beschleunigt wird. Die Rollenreibung wird durch die

F berücksichtigt. Daraus ergibt sich gegenüber (1) folgende

konstante Reibungskraft R

Bewegungsgleichung:

(9)

Da die Reibungskraft eine unbekannte Größe ist, müssen zwei Messungen mit unterschiedlichen

1 ; m m

durchgeführt werden. Die unterschiedlichen Massen werden zu Zusatzmassen 2

1 ; a a führen Es gilt: unterschiedliche Beschleunigungen 2

(10)

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Durch das Gleichsetzten der Reibungskraft aus beiden Versuchen kann diese Unbekannte eliminiert

und gleichzeitig die Fallbeschleunigung g errechnet werden:

(11)

2.2 freier Fall einer Stahlkugel

Beim freien Fall der Kugel muß schon nach einer Fallstrecke von 2 m der Luftwiderstandberücksichtigt

werden. Darauf bezugnehmend kann man eine Bewegungsgleichung bestimmen und damit die

Fallbeschleunigung bestimmen.

Demzufolge ist der Reibungswiderstand der fallenden Kugel dem Quadrat der Geschwindigkeit

proportional und kann mit

(12)

c W Widerstandsbeiwert, A Querschnittsfläche, ρ L Dichte der Luft, υ Geschwindigkeit der Kugel)

(

angesetzt werden. Für die Kugel ist

(13)

Schreibt man die Bewegungsgleichung

(14)

so folgt

ρ

(15)

= ρ ⋅ K V m K (

Nach der Bewegungsgleichung

Weg s zu ermitteln. Die dann leichte Integration ergibt das Weg-Zeit-Gesetz

(16)

es sei

daraus folgt:

es folgt:

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32 (17) K

3. Meßwerte

3.1 Atwoodsche Fallmaschine

m und 2 m durchgeführt :

Wir haben 10 Versuche mit den jeweiligen Massen 1

2 ± 02 , 0 00 ,

Der zurückzulegende Weg s beträgt m. Die Rolle besitzt eine Masse

± =
m R

28 , 73 ( = ⋅ M , 735 ( 2

t und 2 t werden durch das jeweilige arithmetische Mittel der Die durchschnittlichen Fallzeiten 1 m m

gemessenen Zeiten ermittelt:

Somit ergibt sich für 1

a bzw.

1 m Durchschnittswerten ermittelt man jetzt nach Gleichung (3) die gemittelte Beschleunigung

a .

2 m

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Jetzt hat man alle Variablen, um nach Gleichung (11) den Wert der Fallbeschleunigung g

auszurechnen:

Wenn man möchte kann man auch noch die Reibungskraft nach Gleichung (10) errechnen:

= = = N F F F 0234 , 0 R R R 2 1

3.2 freier Fall einer Stahlkugel

Man bestimmt zuerst die Masse der Kugel mit

Kugel ist 5mm, der anderen 6mm. Die Dichte K

m und 2 m durchgeführt :

Wir haben 10 Versuche mit den jeweiligen Massen 1

Wie im Versuch zuvor bestimmen wir die durchschnittliche Fallzeit mit Hilfe des arithmetischen Mittels.

Somit ergibt sich für 1

a bzw.

1 m Durchschnittswerten ermittelt man jetzt nach Gleichung (3) die gemittelte Beschleunigung

a .

2 m

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2 ± 02 , 0 00 ,

Der zurückgelegte Fallweg s beträgt m. Es ist notwendig die Dichte der Luft zu

bestimmen. Dazu benötigt man den spezifischen Wert des Luftdrucks p und der Temperatur T im

Versuchsraum. Man setzt diese Werte in eine Verhältnismäßigkeit zu dem Luftdruck unter

Normbedingungen:

( ) ( )

Die Luftdichte L

Jetzt hat man wieder alle Variablen, um nach Gleichung (17) die Fallbeschleunigung zu ermitteln.

4. Fehlerrechnung:

Die gemessenen Werte unterliegen einer gewissen Messunsicherheit. Sie schwanken zufällig unter

der Voraussetzung, daß die Meßgröße beliebig oft unter bekannten Wiederholungsbedingungen

ermittelt werden kann. Man rechnet daher den Wert der empirischen Standardabweichung des

Mittelwertes für die Zeit aus:

Es ergibt sich für die Messungen mit der Atwoodschen Fallmaschine eine Messtoleranz von:

± = ± = s t m ) 0142 , 0 52517 , 6 ( s t m ) 0098 , 0 2984 , 3 ( 1 2

Für den freien Fall der Stahlkugel ergibt sich eine Messtoleranz von:

± = ± = s t m ) 0081 , 0 6452 , 0 ( s t m ) 0012 , 0 641 , 0 ( 1 2

Nach der Fehlerfortpflanzung von Gauß kann man nun die empirische Standardabweichung der

Fallbeschleunigung g bestimmen. Man leitet Gleichung (17) einmal nach der Zeit t ab und multipliziert

das mit der Standardabweichung:

δ g ⋅ = δ ² ) ( S S

x t

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Für die kleinere Kugel beim freien Fall ergibt sich:

Für die größere Kugel ist die Fallbeschleunigung:

Auf den ersten Blick mag der Toleranzbereich bei der kleinen Kugel zu groß erscheinen, aber bei

genauerer Betrachtung sieht man, das es durchaus im Bereich des möglichen liegt.

Die Messtoleranz der Zeit ist mehr als das 7-fache größer als bei der schwereren Kugel. Ich nehme

an, daß der Elektromagnet, der als Halterung für die Kugeln dient, eine wichtige Rolle spielt. Das

elektromagnetische Feld das ihn umgibt wirkt sich offensichtlich negativ auf die Messergebnisse aus,

indem es, besonders die kleinere Kugel, beim freien Fall bremst, d.h. der Gewichtskraft entgegen

wirkt. Teilweise blieb beim Versuch die Stahlkugel an der Halterung „kleben“, obwohl der

Elektromagnet ausgeschaltet wurde.

5. Auswertung:

Wenn man den Wert aus dem Versuch der Atwoodschen Fallmaschine mit denen der Stahlkugel im

freien Fall vergleicht, kann man schon erkennen, daß die ermittelten Werte dem Tabellenwert

m g = 81 , 9

² s recht nah sind. Die Abweichungen ergeben sich aus den fehlerhaften Messungen (siehe

Fehlerrechnung). Die Meßwerte unterliegen den zu erwartenden zufälligen Schwankungen.

Wobei die Versuche mit den jeweils kleineren Massen größeren Schwankungen unterliegen.

Bei der Fallmaschine beispielsweise gibt es bei 1

m nur

bei 2

Luftwiderstand und elektromagnetische Kräfte durch Magnetisierung der fallenden Massen am

Versuchsaufbau hier einen größeren Einfluß auf das Messergebnis haben als bei den jeweils

schwereren Massen. Diese systematischen Fehler kann man nur sehr schwer vermeiden.

Das wäre auch eine Erklärung für die Abweichung der errechneten Fallbeschleunigung g von dem

Tabellenwert.

∆ des Seils bei der Atwoodschen Fallmaschine ist, wenn auch minimal Eine Längenausdehnung l

klein, rechnerisch nicht berücksichtigt worden.

Beim freien Fall sind bei der größeren Stahlkugel 1,5 mm von der Längenmeßskala abzuziehen, weil

sie nicht ganz in die Fassung des Versuchsaufbaus gepasst hat. Rechnerisch wurde dies jedoch nicht

s von % 075 , 0 ) nahezu gegen Null berücksichtigt, da die 1,5 mm im Verhältnis zur Gesamtstrecke (

gehen.

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