1. Ziel des Versuchs:
1.1 Aus den Erhaltungssätzen für Impuls und Energie sind für den schiefen elastischen Stoß zweier unterschiedlicher Massen die theoretischen Vorhersagen für die Koordinaten der Auftreffpunkte mathematisch herzuleiten und experimentell zu beweisen.
1.2 Entsprechende Experimente mit unterschiedlichen Ablenkwinkeln der Stoßpartner sind durchzuführen.
2. Grundlagen:
Eine Stahlkugel (Index 1) rollt eine Fallrinne hinab und stößt auf eine zweite, durch einen schwenkbaren Magneten festgehaltene, Stahlkugel (Index 2). Beide Kugeln fallen dann auf ein mit Kohlepapier belegtes Registrierpapier, wo dann die Auftreffpunkte gekennzeichnet werden. Die Massen der beiden Stahlkugeln m und m sind voneinander verschieden.
Beim schiefen elastischen Stoß, oder auch dezentralen elastischen Stoß, wird die Annahme gemacht, daß der gestoßene Körper sich in Ruhe befindet ( p2 =0) sind die mechanischen Energien vor und nach dem Stoß gleich.
Es gelten sowohl der Energieerhaltungssatz
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
als auch der Impulserhaltungssatz
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
In beiden Gleichungen beschreiben die gestrichenen Symbole die entsprechenden Größen nach dem Stoß.
Durch entsprechende Umformungen lassen sich aus den Gleichungen (1) und (2) die einzelnen Koordinaten durch zwei Kreisgleichungen (6) und (7) darstellen, die die Auffallpunkte der Kugeln nach dem Zusammenstoß vorgeben (Herleitung der Formeln für die Auftreffpunkte beigefügt).
Das Koordinatensystem wird so gelegt, daß die x-Achse unseres Laborsystems in Richtung des Anfangsimpulses [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] zeigt. Der Stoßpunkt der beiden Kugeln ist der Koordinatenursprung. Die Fallzeit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] beider Kugel ist aufgrund der Überlagerung der Bewegungsarten gleich. Beide Kugeln haben dann nach gleichförmiger Bewegung in horizontaler x- bzw. y-Richtung die
Wege [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] zurückgelegt. Mit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ergeben sich die Gleichungen:
(8)[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] für Kugel 1
(9)[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
Bei genauerer mathematischer Betrachtung ergibt sich, daß die Auftreffpunkte der beiden Kugeln jeweils konzentrische Kreise bilden. Beide Kreise haben den Mittelpunkt [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Demzufolge besitzen beide Kreise folgende Radien:
(10) [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
Man kann nun die beiden Radien in ein Verhältnis zueinander stellen:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Das bedeutet, das sich das Radienverhältnis der Kreise auch im Massenverhältnis wiederfindet. Der stoßenden und schwereren Kugel 1 ist der kleinere Radius zuzuordnen. Dementsprechend ist der größere Radius durch die gestoßene Kugel 2 bestimmt.
3. Durchführung:
Vor Versuchsbeginn müssen die Masse und der Durchmesser der beiden Stahlkugeln bestimmt werden. Die Massen bestimmen wir durch eine Waage, die Durchmesser mit Hilfe eines Messschiebers. Der Versuch sollte so aufgebaut sein, daß die größere und schwerere Kugel die stoßende Kugel ist. Die kleinere Kugel hängt an einem Elektromagneten, dessen Höhe und seitliche Verschiebung so eingestellt werden müssen, das die Mittelpunkte beider Kugeln in einer Ebene liegen. Wir justieren also zunächst die Aufhängung. Dafür nutzen wir ein kleines nivellierbares Fernrohr.
Die stoßende Kugel befindet sich an der geneigten Fallrinne, ebenfalls festgehalten durch einen Elektromagneten.
Wir wählen die Einstellungen zunächst so, daß die schwerere Kugel gerade noch so an der anderen vorbeigeht, sodaß kein Stoß ausgeführt wird. Danach drehen wir die Justierschraube für die Längsrichtung immer so, daß die Stoßwinkel immer kleiner werden - bis es zu einem zentralen Stoß kommt. Danach werden die Winkel wieder größer, bis es auf der anderen Seite zu keinem Stoß mehr kommt.
Auf dem Kohlepapier sind nun zwei konzentrische Kreise zu sehen.
Versuchsaufbau:
4. Messwerte:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Massen der beiden Kugeln betragen [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Die gemessenen Durchmesser betragen [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
5. Auswertung
Nach den von uns eingegebenen Messwerten in den Computer, errechnete dieser ein Massenverhältnis [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].
Für den inneren Kreis ermittelte er einen Radius von r Ki Kreis [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] für den äußeren
Das durch Wiegen bestimmte Massenverhältnis [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
Wenn das Massenverhältnis mit den gewogenen Massen 100 % entspricht, so liegt der Fehler bei 1,46 % und ist tolerierbar.
Um mit Hilfe der hergeleiteten Formeln die Kreisradien berechnen zu können, muß man zunächst noch die Geschwindigkeit von Kugel 1 vor dem Stoß und die Fallzeiten der Kugeln berechnen. Für die Geschwindigkeitsberechnung wird der Ansatz gewählt, daß sich die potentielle Energie der Kugel im Startpunkt vollständig in kinetische Energie (kurz vor dem Stoß) umwandelt. Wir gehen davon aus, daß keine kinetische Energie in Rotationsenergie der Kugeln übergeht.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Fallzeit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] berechnet man nach dem Gesetz der gleichmäßig beschleunigten Bewegung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Daraus ergibt sich eine Fallzeit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
Der gemeinsame Mittelpunkt beider Kreise liegt bei:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Der Abstand des Mittelpunktes der beiden Kreise vom Koordinatenursprung ist 259 mm. Somit ergibt sich für den Radius des Innenkreises:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Zum Vergleich der vom Computer ermittelte Wert:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Zum Vergleich der vom Computer ermittelte Wert:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Verglichen mit den Werten, die uns das Computerprogramm ausgerechnet hat, muss man feststellen, daß unsere Werte nicht unerheblich von den tatsächlichen abweichen.
6. Fehlerbetrachtung
Man kann einen deutlichen Unterschied zwischen den experimentell nachgewiesenen und den theoretisch ermittelten Werten feststellen. Die theoretischen Werte sind größer als die aus dem Experiment. Die beiden Kugeln führen keinen exakten elastischen Stoß aus. Die Beträge der Geschwindigkeit der Kugeln nach dem Stoß sind also kleiner als erwartet. Demzufolge muß ein Teil der Energie in andere Energieformen umgewandelt worden sein.
Beispielsweise erfährt Kugel 1 beim Herunterrollen der Rampe eine Reibungskraft (Wärmeenergie) und ein Teil der Gesamtenergie geht auch in Rotationsenergie (Trägheitsmoment der Kugel) über. Desweiteren kann davon ausgegangen werden, das sich die Mittelpunkte der beiden Kugeln im Versuchsaufbau nicht exakt in einer Ebene befinden.
Das bedeutet, daß es sehrwohl eine Geschwindigkeitskomponente in y-Richtung gibt, dies aber theoretisch ausgeschlossen wurde.
Das heiß die Koordinaten ergeben keinen wirklichen Kreis mehr, sondern eine Ellipse. Diese Fehler wurde durch das Computerprogramm korrigiert.
Außerdem muss berücksichtigt werden, daß beim „Ablösen“ von Kugel 2 vom Elektromagneten, das Magnetfeld den Impuls der Kugel verlangsamt.
Bei der theoretischen Herleitung wurden beide Kugeln als Punktmassen betrachtet. Praktisch ist dies aber nicht der Fall, da durch die gemessenen Radien der Stoßpunkt vor dem infinitesimal klein angenommenen Mittelpunkt (Massenpunkt) der Kugeln liegt. Auch dieser Fehler wurde durch das Computerprogramm korrigiert.
Häufig gestellte Fragen
1. Was ist das Ziel des Versuchs?
Ziel des Versuchs ist es, aus den Erhaltungssätzen für Impuls und Energie für den schiefen elastischen Stoß zweier unterschiedlicher Massen die theoretischen Vorhersagen für die Koordinaten der Auftreffpunkte mathematisch herzuleiten und experimentell zu beweisen. Entsprechende Experimente mit unterschiedlichen Ablenkwinkeln der Stoßpartner sollen durchgeführt werden.
2. Welche Grundlagen liegen dem Versuch zugrunde?
Eine Stahlkugel (Index 1) rollt eine Fallrinne hinab und stößt auf eine zweite, durch einen schwenkbaren Magneten festgehaltene, Stahlkugel (Index 2). Beide Kugeln fallen auf ein Registrierpapier, wo die Auftreffpunkte markiert werden. Die Massen der Kugeln sind unterschiedlich. Beim schiefen elastischen Stoß wird angenommen, dass der gestoßene Körper sich in Ruhe befindet. Es gelten der Energieerhaltungssatz und der Impulserhaltungssatz, aus denen sich Kreisgleichungen zur Darstellung der Auftreffpunkte herleiten lassen.
3. Wie wird der Versuch durchgeführt?
Zunächst werden Masse und Durchmesser der Stahlkugeln bestimmt. Der Versuchsaufbau wird so gewählt, dass die größere und schwerere Kugel die stoßende Kugel ist. Die Aufhängung der zweiten Kugel am Elektromagneten wird justiert, sodass die Mittelpunkte beider Kugeln in einer Ebene liegen. Die stoßende Kugel wird an der geneigten Fallrinne positioniert. Durch Verändern der Einstellungen werden verschiedene Stoßwinkel realisiert, von keinem Stoß über einen zentralen Stoß bis hin zu keinem Stoß auf der anderen Seite. Die Auftreffpunkte werden auf Kohlepapier festgehalten.
4. Was sind die Messwerte?
Die Massen der beiden Kugeln werden gemessen und die Durchmesser bestimmt. Die genauen Messwerte sind im Text durch [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] gekennzeichnet, was bedeutet, dass sie in der Originalquelle enthalten sind.
5. Wie erfolgt die Auswertung?
Die Messwerte werden in einen Computer eingegeben, der das Massenverhältnis und die Radien der Kreise berechnet. Das experimentell bestimmte Massenverhältnis wird mit dem gewogenen Massenverhältnis verglichen. Zusätzlich werden die Geschwindigkeit der Kugel 1 vor dem Stoß und die Fallzeiten der Kugeln berechnet, um die Kreisradien mit Hilfe der hergeleiteten Formeln zu berechnen. Die Ergebnisse werden mit den vom Computer ermittelten Werten verglichen.
6. Welche Fehler können auftreten?
Es gibt Abweichungen zwischen den experimentell nachgewiesenen und den theoretisch ermittelten Werten. Die theoretischen Werte sind größer als die experimentellen. Die Kugeln führen keinen exakt elastischen Stoß aus, wodurch ein Teil der Energie in andere Energieformen umgewandelt wird, wie Reibung, Rotationsenergie oder durch die Nicht-Ebenheit der Mittelpunkte der Kugeln. Außerdem kann das Magnetfeld den Impuls der zweiten Kugel beeinflussen. Die theoretische Betrachtung der Kugeln als Punktmassen ist eine Vereinfachung. Systematische Fehler treten auch beim Ablesen der Messwerte und Bestimmen der Höhen auf.
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- Stefan Habicht (Author), 2000, Schiefer Stoß, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/99947
