Mathematische Aspekte des deutschen Bundestagswahlsystems

„Das Heil der Demokratien, von welchem Typus und Rang sie immer

seien, hängt von einer geringfügigen technischen Einzelheit ab: vom

Wahlrecht.

Alles andere ist sekundär.“

(Jose Ortega y Gasset, spanischer Kulturphilosoph)

Inhaltsverzeichnis

  Einleitung Seite  1

1.  Grundlagen unserer Bundestgaswahl Seite  1

2.  Von d Hondt zu Hare-Niemeyer  

2.1.  Das d Hondtsche System Ursprünge und Entwicklungen Seite  3

2.2.  Grund zum Wechsel Seite  4

3.1.  Das Hare-Niemeyer Verfahren Seite  6

3.2.  Paradoxien  

3.2.1.  Population-Paradox Seite  7

3.2.2.  New-state Paradox Seite  8

3.2.3.  Alabama-Paradox Seite  8

4.  Bundestagswahl  2002

4.1.  Berechnung der Sitzverteilung im 15 deutschen Bundestag Seite  9

  Quellen und Literaturverzeichnis Seite  13

  Danksagung Seite  14

Einleitung Da der prozentuale Anteil einer Partei nicht zwingend ganzzahlig ist muss man ein Verfahren entwickeln um die Sitze in der Versammlung angemessen zu vergeben. Ich schreibe angemessen und nicht gerecht, da es praktisch und vor allem mathematisch kein gerechtes Wahlsystem gibt. Es gibt auch kein bestes System, da jeder Staat und jede Gesellschaft andere Bedürfnisse haben. Um in dieser Frage wenigstens eine Empfehlung aussprechen zu können muss man mathematische, politische und juristische Aspekte berücksichtigen. Im folgenden möchten wir uns auf Ersteres beschränken und versuchen zu zeigen welche mathematischen Einzelheiten, Vor- und Nachteile sowie Paradoxien das deutsche Bundestagswahlsystem aufweist. Der Einfluss des Wahlrechts und auch der Wahlmathematik ist wie Gasset schreibt zumindest nicht unerheblich für die Geschicke einer Gesellschaft, deshalb habe ich das Thema auch gewählt.

1. Die Grundlagen unserer Bundestagswahl

Unser Wahlsystem basiert auf folgenden Gesetzen:

1. Grundgesetz (GG) Artikel 38, 39

2. Bundeswahlgesetz (BWG)

3. Bundeswahlordnung (BWO)

4. Wahlstatistikgesetz (WStatG)

5. Wahlkreiseinteilung

1. Das GG nennt die fünf Grundsätze nach denen die Wahl stattzufinden hat:

ALLGEMEIN, UNMITTELBAR, FREI, GLEICH, GEHEIM Es legt das Wahlalter, auf Bundesebene auf 18 Jahre, die Legislaturperiode auf 4 Jahre und die Fristen der konstitutiven sowie der letzten Sitzung fest.

2. Das BWG besteht aus den Regelungen zum Wahlsystem, der Wahlorgane, dem

Wahlrecht & der Wählbarkeit, der Vorbereitung der Wahl, der Wahlhandlung, der Feststellung des Wahlergebnisses, der Nach- und Wiederwahlen, der Bedingungen zur Mitgliedschaft im Bundestag, der Wahlkosten und den Ordnungswidrigkeiten, sowie der Möglichkeiten der Anfechtung.

3. Die BWO regelt alle Einzelheiten, die das BWG vorschreibt, des weiteren legt sie

exakt fest wie der ordentliche Ablauf stattzufinden hat, von Briefwahl, Wahlen in Klöstern und Gefängnissen bis hin zur Position des Vorstandstisches im Wahlraum.

4. Das WStatG verpflichtet die Statistischen Landesämter unter „Wahrung des

Wahlgeheimnisses“ [1., S.231] repräsentative Wahlstatistiken zu erheben und das Bundesamt diese zu veröffentlichen.

5. Die Wahlkreiseinteilung legt Namen und Gebiete der 299 Wahlkreise fest.

Mandatsverteilung

Aus dem Grundsatz der Unmittelbarkeit leitet sich die direkte Wahl der Abgeordneten in den Wahlkreisen durch die Erstimme ab. Diese machen jedoch nur die Hälfte der im Bundestag vorgesehenen Mandate aus. Die restlichen Mandate werden nach den summierten Zweitstimmenergebnissen der Bundesländer mit Hilfe des Rechenverfahrens „Hare-Niemeyer“ (3.1.) in Mandate verrechnet, welche dann nach den Landeslisten der Parteien verteilt werden und so erst Personen zugeordnet werden. Unser System nennt sich deshalb „Personalisiertes Verhältniswahlrecht“. Einschränkungen Der Grundsatz der Gleichheit im GG ist grundlegend für die Mathematik des Wahlsystems, so muss die „Zählwertgleichheit der Stimme“ [2.] gewahrt sein. Allerdings wird dieser Grundsatz durch folgende Regelungen eingeschränkt:

• Die Fünf-Prozent-Hürde bedeutet dass Parteien, die weniger als 5% der gültig abgegebenen Zweitstimmen erhalten, nicht in den Bundestag einziehen dürfen. Wenn eine Partei jedoch drei Direktmandate hat, wird auf Grund dieses „Grundmandats“ ihr Zweistimmenergebnis ebenso nach Hare-Niemeyer (s.3.1.) in Sitze umgerechnet. Nur bei der Wahl zum ersten gesamtdeutschen Bundestag wurde, nach dem Urteil des Bundesverfassungsgerichts, zwei deutsche Wahlgebiete geschaffen, die alten und neuen Bundesländer, in den neuen galt die Klausel nicht, um den jungen ostdeutschen Parteien gegenüber den professionell-routinierten westdeutschen Parteien mehr Chancen einzuräumen.

• Die Einteilung der Wahlkreise, da diese nie alle dieselbe Zahl Wähler aufweisen können und so die Direktkandidaten nie alle dieselbe Zahl Wähler repräsentieren.

• Die Überhangmandate, welche zustande kommen wenn eine Partei in einem Bundesland mehr Direktmandate gewinnt als ihr nach Landesliste zustehen. Diese verfallen je Mandat nur durch Tod eines der Direktkandidaten, für den es dann nicht, wie sonst üblich einen Nachrücker gibt.

Diese Einschränkungen können bei Hare-Niemeyer zu Paradoxien führen. Durch die 5-Prozent-Hürde kann es zum New-State-Paradox (s.3.2.2), durch Überhangmandate zum Alabama-Paradox kommen (s. 3.2.3.).

2. Von d’Hondt zu Hare-Niemeyer

2.1. Das d’Hondtsche System, Ursprünge und Entwicklungen

Hierbei handelt es sich um ein Divisorverfahren. Bei einem Divisorverfahren werden die Stimmen einer Partei P a durch mehrere Divisoren geteilt, der entstandene Quotient wird dann nach den dem Rundungsverfahren des Systems gerundet, nach Anwendung dieser Quotientenrundung ergibt sich die Zahl der gesamt zu vergebenden Sitze. Divisorverfahren sind immer „konsistent“ [7.] und nach dem Unmmöglichkeitssatz von Balinski und Young („Ein Sitzzuteilungsverfahren kann nicht gleichzeitig die Quotenbedingung erfüllen und konsistent sein.“ [7.] - "There is no method that avoids the population paradox and always stays within the quota"[8., S. 79] ) nie quotenerfüllend.

Konsistenz liegt vor:

“Wenn man jeweils zwei (oder mehr) Parteien mit ihren Sitzen und Stimmen vergleicht, kann dies zu keiner Verschiebung der Sitzverteilung führen. (Paarweiser Vergleich) ... Bei fehlender Konsistenz können zusätzliche Stimmen für eine Partei C dazu führen, dass Partei A einen Sitz an Partei B verliert.“ [7.] Quotenverfahren (s.3.1.) weisen nach Balinski und Young diese fehlende Konsistenz immer auf, sie sind gleichzeitig immer quotenerfüllend, d.h.:

„Durch die Division durch eine Wahlzahl und das Auf- oder Abrunden der so erhaltenen Quote wird ein Idealrahmen definiert. Ein Verfahren, dass den Idealrahmen der Hare-Quote [Zahl der gültig abgegebenen Stimmen dividiert durch Anzahl der Mandate] erfüllt, erfüllt die Quotenbedingung.“ [8.] Das d’Hondtsche System hat in seinem Kern mehrere Väter, der erste und bekannteste war Thomas Jefferson, (1743-1826), dritter Präsident der USA (1801-1809) und Verfasser der bedeutenden amerikanischen Unabhängigkeitserklärung (1776) es wurde 1792 eingeführt, in den USA wurde die „Jefferson’s method“ jedoch schon 1852 abgeschafft (Gründe s. 2.2. und 3.1.).

Der Schweizer Physik-Professor und Mathematiker Eduard Hagenbach-Bischoff (1833- 1910) entwickelte ein Divisorverfahren, was jedoch auch starke Züge eines Quotenverfahrens aufweist, da der Divisor x durch ein typisches Element eines Quotenverfahren berechnet wird (s.3.1.):

Der belgische Jura-Professor Victor d’Hondt (1841-1901) entwickelte ein Divisor- Berechnungsverfahren für Verhältniswahlsysteme. Die gültig abgegebenen Stimmen für eine Partei werden durch 1,2,3, ... n dividiert und die Mandate der Reihenfolge der größten entstanden Höchstzahlen (Quotienten) nach vergeben, deshalb wird es auch „d’Hondtsches Höchstzahlverfahren“ genannt.

2.2. Grund zum Wechsel

1957 wurde das d’Hondtsche Verfahren für die Wahlen zum Deutschen Bundestag eingeführt, 1985 wurde es auf Drängen der FDP durch das Hare-Niemeyer- Verfahren(s.3.1.) abgelöst. Dies war eine politische Entscheidung, so sah es auch der Niedersächsische Staatsgerichtshof in seinem Urteil vom 20.09.1977, keine Verfassung sondern der Gesetzgeber habe das Wahlverfahren festzulegen. Die FDP, traditionell eher eine kleine Partei, gab an dass dieses Verfahren zu Gunsten größerer Parteien rechnen würde.

Bereits Anfang des 20.Jahrhunderts gab es ähnliche Vorwürfe. Folgende Rechnungen in Abb.2 verdeutlichen die Problematik:

Man sieht deutlich die Unterschiede zwischen den beiden Verfahren. Je kleiner die Partei und je weniger Mandate zu vergeben sind, desto mehr werden die großen Parteien bevorzugt. Oft wird behauptet, dass das d’Hondtsche System vor allem Regierungsparteien bevorzugt, sicherlich ermöglicht bzw. erhält es am ehesten eine große Koalition. Im direkten Vergleich zwischen d’Hondt und Hare-Niemeyer bevorzugt Hare-Niemeyer die kleinen Parteien, absolut betrachtet verhält es sich jedoch neutral. Betrachtet man jedoch die Abweichung zu den Werten die nach Anteilen berechnet wurden erkennt man das in diesem Beispiel d’Hondt sich diesen mehr annähert. Allerdings ergeben sich bei genauerer Betrachtung andere Ergebnisse:

„... weichen die mit Divisorverfahren gewonnen Mandatsverteilungen stärker von den genauen proportionalen Anteilen ab als die mit dem Rundungsverfahren errechneten.“ [4., S.121] In Abb.2 wird deutlich das es für jede Situation unterschiedlich genaue Verfahren gibt, von einem optimalen Verfahren kann man deshalb nicht sprechen.

3. Hare-Niemeyer

3.1. Das Hare-Niemeyer-Verfahren

Die amerikanischen Politiker Hamilton (1755-1804) und Vinton (1792-1862) lösten mit der Vinton's method of 1850, einem Quotenverfahren das Divisorverfahren Jeffersons method (s. 2.1.) ab.

Das von dem britischen Juristen Hare (1806-1891) entwickelte und von dem Mathematikprofessor Niemeyer (*1928 RWTH Aachen) verfeinerte Verfahren Hare- Niemeyer ist das offizielle Mandatverteilungsverfahren zu den Wahlen zum Deutschen Bundestag.

Sowohl die Vinton’s method als auch Hare-Niemeyer sind Quotenverfahren und lösten Divisorverfahren ab.

Das typische an einem Quotenverfahren ist das die Parteistimmen durch eine ermittelte Wahlzahl geteilt werden, die entstandene Quote wird abgerundet und dann direkt als Sitzzahl zugeteilt. Wahlzahlen werden unterschiedlich ermittelt, bei Hagenbach- Bischoff (s.2.1.) ist es die Mandatszahl+1 meistens ist die Wahlzahl die Hare-Quota, welche durch die Division der GültigenStimmen durch die Gesamtsitzzahl ermittelt wird.

Es gibt unterschiedliche Ermittlungsverfahren für die Ansprüche der Parteien bei der Restmandatsverteilung, man erkennt jedoch das bei allen Quotenverfahren die Restmandate in der Reihenfolge der Größe der Ansprüche verteilt wird. Bei Hare-Niemeyer entscheiden die größten Nachkommastellen der Parteiquoten Q über die Restmandatsverteilung. Rechtliche Grundlage der folgende Formel ist das BWG.

3.2. Paradoxien

3.2.1. Population-Paradox

Das Population-Paradox (Wählerzuwachsparadoxie) kann in jedem nicht-konsistenten Verfahren auftreten, somit also nicht bei Divisor jedoch bei Quotenverfahren, wie z.B. Hare-Niemeyer.

Man kann es nicht wie das New-State-Paradox oder das Alabama-Paradox verhindern, da es direkt aus der Grundeigenschaft der Quotenverfahren der in 3.1. beschriebenen fehlenden Konsistenz herrührt.

Wenn eine Partei Stimmen gewinnt oder verliert, jedoch ihre Sitzzahl behält, dann kann es bei einer anderen Partei zu Sitzverlusten bzw. Sitzgewinnen kommen. Folgendes Beispiel zeigt dass 1998 38.000 CDU-Stimmen weniger, bei unveränderte CDU-Mandatszahl, der PDS einen Sitz gekostet und der FDP einen Sitz gebracht hätte.

3.2.2. New-State-Paradox

Das New-State-Paradox, zu deutsch Parteienzuwachs-Paradox, tritt auf wenn eine kleine neue Partei hinzukommt und kein Mandat erhält, sich aber dennoch die Sitze der in der Versammlung vertretenen Parteien verändern.

In der Fachdiskussion gibt es unterschiedliche Ansichten ob dieses Paradox wirklich eines ist. Prof. Dr. Kopfermann (ehemals Universität Hannover) argumentiert: „Die

Quoten der Parteien ändern sich, so dass eine Änderung der Mandatverteilung plausibel ist. Dieses Phänomen ist kaum als Paradoxon anzusprechen. Ganz im Gegenteil. Es spricht für das Verfahren der größten Reste [Hare-Niemeyer].“ [4., S.115], Prof. Dr. Friedrich Pukelsheim (Universität Augsburg) erklärt dagegen: „Ich teile die Einschätzung des lieben Kollegen Kopfermann so nicht. Statt des engl. new state paradox spreche ich im Dt. lieber von der Parteizuwachs-Paradoxie, und sehe diese schon als ein echtes Defizit der Methode an.“ [14.] Es kommt zu diesem Paradox wenn die Parteinanzahl schwankt, dies wird in Deutschland u. a. durch die Fünf-Prozent-Klausel ermöglicht.

3.2.3. Alabama-Paradox

Durch den enormen Bevölkerungszuwachs, im 18 Jhd. kamen allein 29 neue Bundesstaaten hinzu, wurden auch die Wahlgesetze in den USA ständig überprüft und fachlich kritisiert. 1880 erkannte einer der Wahlbeamten, dass sein Staat, Alabama, bei einer Vergrößerung des Repräsentantenhauses von 299 auf 300 Sitze, einen Sitz verlieren würde, bei konstanter Stimmenzahl.

Die damals angewandte Vinton-Methode ist wie Hare-Niemeyer ein Verfahren der größten Reste, das Alabama-Paradox ist aber nicht für alle Quotenverfahren unumgänglich.

Ein Zuteilungsverfahren welches diese Paradox unterbindet ist hausmonoton, was bedeutet, dass eine erreichte Mandatszahl bei einer Verteilung m bei m+1 nicht sinken darf.

Das Problem ist jedoch beschränkbar: „Man kann zeigen, dass ein Staat oder eine Partei nach dem Verfahren der größten Reste höchstens einen Sitz verlieren kann wenn man das Haus um einen oder mehrere Sitz vergrößert.“ [4., S.115] Balinski und Young zeigten 1982 (9.) das auch mit dem Quotenverfahren hamilton’s method am Beispiel der Sitzverteilung für Maine (1900) das Alabama-Paradox auftreten kann und es sich somit nicht nur auf Verfahren der größten Reste beschränken lässt. Es kann zu diesem Problem kommen, sobald die Gesamtsitzzahl nicht konstant ist, in Deutschland ist somit z.B. die Überhangsmandatsregelung für solche Paradoxien verantwortlich. Bisher ist dieses Problem bei Bundestagswahlen zwar noch nicht vorgekommen, allerdings wäre dies durchaus möglich:

Der zusätzliche Sitz ist völlig korrekt der SPD bzw. FDP angerechnet worden.

Ein weiterer Sitz „wanderte“ jedoch von der PDS zu einer der beiden Partein ohne das

es eine Veränderung in den Stimmenverhältnissen der Partein gab.

4. Bundestagswahl 2002

4.1. Berechnung der Sitzverteilung im 15. deutschen Bundestag

Aufgrund der Fünf-Prozent-Hürde sind nur SPD, CDU, CSU, GRÜNE und die FDP an der Mandatsverteilung beteiligt, die PDS zieht mit zwei Direktmandaten ein und verfehlt somit knapp das Grundmandat (s.1).

Die SPD erringt 171 Direktmandate, die CDU 82, die CSU 43 und die Grünen eins.

Nun werden die Zweistimmen mit Hare-Niemeyer in Mandate umgerechnet. SPD: (18 488 668/47 996 480)*598=230,35 Direkt zugeteilt: 230 CDU: (14 167 561/47 996 480)*598=176,52 Direkt zugeteilt: 176 CSU: (4 315 080/47 996 480)*598=53,76 Direkt zugeteilt: 53

GRÜNE: (4 110 355/47 996 480)*598=51,21 Direkt zugeteilt: 51 FDP: (3 538 815/47 996 480)*598=44,09 Direkt zugeteilt: 44

Es müssen noch 44 Mandate per Restmandatsverteilung verteilt werden: SPD: 230 + 17 = 247 CDU: 176 + 13 = 189 CSU: 53 + 5 = 58 Grüne: 51 + 4 = 55 FDP: 44 + 3 = 47 PDS: 2 Gesamt: 598 Nun werden diese Ergebnisse auf die Landeslisten der Parteien wieder mit Hare- Niemeyer verteilt. Von der Sitzzahl der Partei wird die Zahl der Direktkandidaten abgezogen, die Differenz ist die Zahl der Bewerber die über die Landeslisten einziehen dürfen. Als Beispiel diene hier die Unterverteilung auf die Landeslisten der SPD:

Die SPD erringt in Hamburg und Thüringen jeweils ein und in Sachsen-Anhalt zwei

Überhangmandate, die CDU erhält ein Überhangmandat in Sachsen. Die Sitzzahl im

Bundestag wächst somit, nach BWG § 6, von 598 auf 603.

Es ergibt sich somit folgende Sitzverteilung:

Quellen- und Literaturverzeichnis

1. „Rechtgrundlagen für die Wahl zum 15. Deutschen Bundestag - Informationen

des Bundeswahlleiters“, Wiesbaden, Februar 2002

2. http://www.bundestag.de/info/wahlen/wahlverfahren/wahlen3.html

3. „Der Brockhaus: In einem Band“ 8., vollständig überarbeitete und aktualisierte

Auflage [red. Leitung: Wolfram Schwachulla]. Leipzig; Mannheim: Brockhaus,

1998

4. „Mathematische Aspekte der Wahlverfahren – Mandatsverteilung bei

Abstimmungen“, Klaus Kopferman, Mannheim; Wien; Zürich: BI- Wissenschaftlicher Verlag, 1991

5. http://www.statistik.bayern.de/lw98/a-z/h.html

6. http://www.wahlrecht.de

7. http://www.wahlrecht.de/verfahren/divisorverfahren.html

8. http://www.wahlrecht.de/verfahren/quotenverfahren.html

9. “Fair Representation, Meeting the Ideal of one man, one vote”,

Michael L. Balinski und H.Peyton Young, New Haven and London Yale University Press (zweite Auflage)

10. http://www.wahlrecht.de/verfahren/paradoxien/population.html

11. http://www.wahlrecht.de/verfahren/paradoxien/alabama.html

12. http://www.bundeswahlleiter.de/bundestagswahl2002/deutsch/ergebnis2002/bun

d_land/wahlkreis/kr99999.htm

13. http://www.bundeswahlleiter.de/bundestagswahl2002/deutsch/ergebnis2002/bun

d_land/btw2002/krulans_btw2002.htm

14. e-mail von Prof. Dr. Pukelsheim an den Autor, 28. April 2003

15. http://www.bundeswahlleiter.de/wahlen/bundestagswahl2002/deutsch/ergebnis2

002/ergebgrafik/grafik/sitzv_01.gif

16. http://www.bundeswahlleiter.de/bundestagswahl2002/deutsch/ergebnis2002/bun

d_land/btw2002/krulans_btw2002.htm

17. „Der SPIEGEL - Wahlsonderheft `02 – Rot-Grün Die zweite Chance“, Spiegel-

Verlag Rudolf Augstein GmbH & Co. KG, Hamburg, 24.09.2002

Danksagung

Ich bedanke mich bei meinem Vater Dipl. math. Gerhard Kramarz-von Kohout für die kritische Diskussion

Ich bedanke mich bei Prof. math. Dr. math. Friedrich Pukelsheim für die freundlichen Angaben zur Fachdiskussion

Ich bedanke mich bei Dr. Martin Fehndrich für die Hilfe bei der Quellensuche zu Balinski und Young