Das Verfahren zur Flächeninhaltsbestimmung am Trapez in ausgewählten Schulbüchern – Ein Problemlöseprozess?

Inhaltsverzeichnis

1.  Einleitung  3

1.1  Relevanz des Themas  3

1.2  Aufbau der Arbeit  3

2.  Definition Problemlösen  4

3.  Eine Taxonomie möglicher Lernhilfen beim Problemlösen  4

4.  Geometrische Interpolationsprobleme  7

4.1  Merkmale geometrischer Interpolationsprobleme  7

4.2  Die Flächeninhaltsbestimmung des Trapezes als geometrisches  8

  Berechnungsproblem  8

4.3  Operatoren zur Berechnung des Flächeninhalts eines Trapezes  9

4.4  Strategien zur Lösung eines geometrischen Berechnungsproblems  10

5.  Schulbuchanalyse  11

5.1  Welt der Zahl 8. Schuljahr - Mathematisches Unterrichtswerk für  

  Hauptschulen  12

5.2  Mathematik heute 8 Realschule  14

5.3  Mathematik 8 Denken und Rechnen Hauptschule  16

5.4  Maßstab 8 Mathematik - Hauptschule  18

5.5  Gamma 8 Mathematik  19

6.  Resümee  22

7.  Literaturverzeichnis  24

8.  Anhang  26

8.1  Abbildungsverzeichnis  26

8.2  Schulbuchseiten  27

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1. Einleitung

1.1 Relevanz des Themas

Problemlösen wird generell als Möglichkeit zur tieferen Verinnerlichung und Verknüpfung mathematischer Inhalte betrachtet. So ist es auch Teil des Lehrplans in nordrhein-westfälischen Haupt- ¹ und Realschulen ² . Die Schüler sollen in mehreren Jahrgangsstufen mit steigendem Schwierigkeitsgrad verschiedene Kompetenzen erwerben, die sie zum Problemlösen benötigen. Ein Aspekt des Mathematikunterrichts ist Geometrie als Übungsfeld für Problemlösen ³ . In der Hoffnung ein größeres Ausmaß von Lernübertragung der erworbenen Regeln zu erzielen ⁴ , soll bei den Schülern die Freude am Problemlösen geweckt und ihre Fähigkeit zur Lösung geometrischer Probleme gefördert werden ⁵ . Es kann angenommen werden, dass die Flächeninhaltsbestimmung am Trapez als Themenbereich der Se-kundarstufe I Ansätze für problemlösendes Lernen aufweist.

1.2 Aufbau der Arbeit

Zu Beginn dieser Arbeit wird zunächst der Begriff des Problemlösens näher erläutert. Infolgedessen wird die Taxonomie der Lernhilfen nach Zech vorgestellt. Weiterhin wird die Flächeninhaltsbestimmung des Trapezes als Beispiel für die Klasse der geometrischen Berechnungsprobleme innerhalb der Interpolationsprobleme gekennzeichnet. In diesem Zusammenhang werden Merkmale von Interpolationsproblemen sowie zwei wichtige Lösungsstrategien für Berechnungsprobleme aufgeführt. Schließlich werden ausgewählte Schulbücher daraufhin untersucht, ob das Verfahren zur Flächeninhaltsbestimmung am Trapez mit ihnen problemorientiert behandelt werden kann. Dies geschieht unter Zuhilfenahme der Taxonomie nach Zech, der Merkmale geometrischer Interpolationsprobleme im Allgemeinen sowie der Merkmale geometrischer Berechnungsprobleme im Speziellen und anhand anwendbarer Lösungsmethoden.

¹ Vgl. http://www.standardsicherung.schulministerium.nrw.de/lehrplaene/kernlehrplaene-seki/hauptschule/mathematik/kompetenzen, 10.06.08.

² Vgl. http://www.standardsicherung.schulministerium.nrw.de/lehrplaene/kernlehrplaene-seki/hauptschule/mathematik/kompetenzen/, 10.06.08.

³ Vgl. Holland (2007), S. 22.

⁴ Vgl. Gagné (1980), S. 159.

⁵ Vgl. Holland (2007), S. 22.

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2. Definition Problemlösen

„Problemlösen lässt sich als ein Prozess auffassen, in dem der Lernende eine Kombination zuvor erlernter Regeln entdeckt, die geeignet ist, eine Lösung für eine neuartige Situation zu erreichen“ ⁶ . Diese Kombination zuvor erlernter Regeln kann unter Einhaltung geeigneter Problemlösestrategien, so genannten Heurismen, erfolgen. Wenn die Schüler eine bestimmte Kombination von Regeln finden, welche zur Lösung des Problems führt, dann haben sie nicht nur das Problem gelöst, sondern sie haben auch etwas Neues gelernt. ⁷ Das neu erlernte Element ist eine Regel „höherer Ordnung“, die Teil des individuellen Repertoires ⁸ wird und sich auf eine ganze Klasse von Problemen des gleichen Typus übertragen lässt ⁹ . Problemlösen stellt somit den letzten Schritt in einer Lernfolge dar, der viele Lernvorgänge notwendigerweise vorausgegangen sein müssen ¹⁰ . Die Ergebnisse der vorausgegangenen Lernvorgänge werden zu so genannten Operatoren in dem Problemlöseprozess. „Das Problem ist gelöst, wenn eine Operatorkette gefunden ist, die durch sukzessive Anwendung der einzelnen Operatoren vom Anfangszustand zur Problemlösung führt“ ¹¹ . Der Schwierigkeitsgrad eines Problems wird durch den Umfang der verfügbaren Operatoren sowie durch die Art der gegebenen Hilfestellungen ¹² bestimmt.

3. Eine Taxonomie möglicher Lernhilfen beim Problemlösen

Ein problemlösender Unterricht ist dadurch gekennzeichnet, dass die Schüler ihren Lösungsweg weitestgehend selbst gestalteten, somit Regeln höherer Ordnung ohne besondere Hilfe entdecken und höchstens minimale Hilfen empfangen, wenn sie auf dem bestrittenen Weg nicht mehr voranschreiten. ¹³ Nach dem Prinzip der minimalen Hilfe ¹⁴ , sollte die Lehrperson nur Hilfestellungen leisten, wenn es unbedingt erforderlich ist. Die Lehrperson muss einschätzen können in welchem Maße der Schüler Hilfe benötigt, um ihm dann eine dementsprechende

⁶ Gagné (1980), S. 152.

⁷ Vgl. Gagné (1980), S. 152.

⁸ Ebenda, S. 153.

⁹ Ebenda S. 160.

¹⁰ Ebenda.

¹¹ Holland (2007), S. 172.

¹² Vgl. hierzu Kapitel 3.

¹³ Vgl Zech (2002), S. 309.

¹⁴ Vgl. Aebli, (1968), S. 145 in Zech (2002), S. 309.

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Lernhilfe zu geben, die den Schüler in seinem Problemlösungsprozess weiterbringt. ¹⁵ Das Problem, dass sich nun der Lehrperson stellt, ist die Auswahl einer adäquaten Lernhilfe, die dem Schüler nicht allzu viel des Problemlösungsprozesses vorwegnimmt.

Zu diesem Zweck hat Zech eine dementsprechende „Taxonomie möglicher Lernhilfen beim Problemlösen“ ¹⁶ aufgestellt, die mögliche Lernhilfen in Kategorien wachsender Stärke unterteilt:

1. Motivationshilfen

2. Rückmeldungshilfen

3. Allgemein-strategische Hilfen

4. Inhaltsorientierte strategische Hilfen

5. Inhaltliche Hilfen

Jede Kategorie wiederum besteht aus Hilfen unterschiedlicher Stärke, da sich Hilfestellungen jeder Art sowohl direkt als auch indirekt ausdrücken lassen, wobei direkte Hilfen als stärker zu betrachten sind.

Im Folgenden sollen hier die einzelnen Kategorien nach Zech vorgestellt und um Beispiele ergänzt werden, die Hilfestellungen zur Flächeninhaltsbestimmung eines Trapezes darstellen könnten:

1. Die Kategorie Motivationshilfen beschreibt Hilfestellungen, die im eigentlichen Sinne keine Hilfen darstellen, sondern die Schüler an der Aufgabe halten und sie motivieren sollen.

Eine direkte Motivationshilfe liegt vor, wenn der Lehrer folgende Aussage macht:

„Du wirst die Aufgabe sicher lösen.“

Demgegenüber liegt eine indirekte Motivationshilfe vor, falls folgende Aussage vorgenommen wird: „Man braucht nicht viel Zeit zur Lösung.“

2. Rückmeldungshilfen geben den Schülern Auskunft darüber, ob sie bei ihren Lösungsbemühungen richtig oder falsch liegen. Die Schüler sollen hierdurch

¹⁵ Vgl. Zech (2002), S. 315.

¹⁶ Ebenda, S. 315 ff.

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zusätzlich motiviert werden und eine erste Information hinsichtlich der Aufgabe erhalten. Direkte Rückmeldungshilfe: „Da musst du noch mal nachrechnen.“ Indirekte Rückmeldungshilfe: „An einer Stelle hast du einen Fehler gemacht.“

3. Allgemein-strategische Hilfen sollen den Schüler auf allgemeine Problemlösungsmethoden aufmerksam machen. Die heuristischen Regeln Vorwärtsbzw. Rückwärtsarbeiten könnten solche allgemeine Problemlösungsmethoden darstellen. Somit geben die allgemein-strategischen Hilfen bereits allgemeine Tipps zum Problemlösungsprozess. Direkte allgemein-strategische Hilfe:

„Versuche, mit den gegebenen Größen Zwischengrößen zu berechnen!“ Indirekte allgemein-strategische Hilfe:

„Versuche, die gegebenen Größen in einen Zusammenhang zu bringen“

4. Inhaltsorientierte strategische Hilfen geben, wie die allgemein-strategischen Hilfen, ebenfalls Tipps zu Problemlösungsmethoden, darüber hinaus aber speziellere Hinweise, die auf den konkreten Inhalt der Aufgabe bezogen sind. Direkte inhaltsorientierte strategische Hilfe: „Lässt sich das Trapez zerlegen?“ Indirekte inhaltsorientierte strategische Hilfe: „Versuche die Aufgabe graphisch zu lösen.“

5. Inhaltliche Hilfen sind die stärksten Hilfen und reichen bis zur Vorgabe von Teillösungen. Sie können auf bekannte Begriffe und Regeln, deren Zusammenhänge und auf aufgabenspezifische Hilfsgrößen verweisen. Direkte inhaltliche Hilfe:

„Ergänze das Trapez durch ein kongruentes Trapez zu einem Parallelogramm.“ Indirekte inhaltliche Hilfen:

„Lässt sich die Figur zu einer Figur ergänzen, dessen Flächeninhaltsformel ihr schon kennt?“

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Da Problemlösen durch ein Höchstmaß an Selbstständigkeit der Schüleraktivitäten

gekennzeichnet ist ¹⁷ , lässt sich festhalten, dass starke Hilfestellungen ein entdeckendes Lernen verhindern und die dementsprechende Lernsequenz dann eher dem Regellernen bzw. dem darbietendem Lernen, als dem Problemlösen zuzuordnen ist. Es soll allerdings angemerkt werden, dass es für schwächere Klasse durchaus angemessen ist, ein Problem derart in Teilprobleme aufzugliedern, dass die Mehrzahl der

Schüler die Sequenz selbstständig lösen kann ¹⁸ . Diese Gliederung ist so durchzuführen, dass jeder Teilschritt dem Schüler eine produktive Leistung abverlangt, die zur Lösung des Problems führt. Deshalb müssen die Teilschritte von dem Schüler nach-zuvollziehen sein und verstanden werden. 19

Die Lehrperson sollte somit beim Planen einer Lernsequenz zum problemlösenden Lernen die möglichen Hilfestellungen in ihre Planung mit einbeziehen, so dass jeder Schüler in adäquater Weise in seinem Problemlöseprozess gefördert und gefordert werden kann.

4. Geometrische Interpolationsprobleme

4.1 Merkmale geometrischer Interpolationsprobleme

Falls die Schüler weder über eine Formel noch über ein anderes Verfahren zur Bestimmung des Flächeninhalts eines Trapezes verfügen, so kann diese unter folgenden

Bedingungen ²⁰ nach Holland ein Interpolationsproblem für den Schüler darstellen:

1. Das Problem besitzt einen genau definierten Startzustand, einen eindeutig beschriebenen Zielzustand und eine Menge von Operatoren, die zur Lösung des Problems geeignet sind.

2. Das Problem soll durch eine abfolgende Anwendung von Operatoren von dem vorgegebenen Startzustand in einen beschriebenen Zielzustand geführt werden.

3. Es gibt keinen genau definierten Lösungsweg.

4. Das Problem bietet mehrere Lösungswege.

¹⁷ Vgl. Gorski (1991), S. 32.

¹⁸ Vgl. Holland (2007), S. 145.

¹⁹ Ebenda.

²⁰ Vgl. Holland (2007), S. 172 f.

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5. Der Schüler kennt die unmittelbare Lösung des Problems nicht.

6. Der Schüler besitzt die geeigneten Operatoren zur Lösung des Problems.

Eine Aufgabenstellung ist also ein Interpolationsproblem für die Schüler, falls sie zwar über Kenntnisse und Fertigkeiten (Operatoren) zur Lösung des Problems verfügen, diese aber noch in der richtigen Reihenfolge anwenden müssen, um den Zielzu-stand zu erreichen.

4.2 Die Flächeninhaltsbestimmung des Trapezes als geometrisches Berechnungsproblem

Holland teilt die für die Sekundarstufe I relevanten Interpolationsprobleme in drei Klassen ein ²¹ :

1. Berechnungsprobleme

2. Beweisprobleme

3. Konstruktionsprobleme

Die für die Flächeninhaltsbestimmung des Trapezes relevanten Interpolationsprobleme sind entweder Beweis- oder Berechnungsprobleme.

Beweisprobleme zeichnen sich dadurch aus, dass zu einer allgemein geometrischen Aussage ein Beweis gefunden werden soll, der den Schülern nicht bekannt ist. ²² Allerdings wird beim Beweisen von Formeln für Flächen- und Rauminhalte das Beweisproblem generell zu einem Berechnungsproblem umformuliert ²³ , da diese Methode der Satz- und Beweisfindung für Formeln und solche Sätze geeignet ist, „in denen ein Zusammenhang zwischen Größen ausgesagt wird“ ²⁴ . Das Lösen eines Berechnungsproblems stellt zudem eine größere Motivation für den Schüler dar, denn beim Lösen eines Beweisproblems erhalten sie lediglich eine Information dahingehend, wie die Zielaussage aus den Vorraussetzungen gewonnen werden kann. ²⁵ Ein Berechnungsproblem liefert darüber hinaus einen bisher unbekannten Zahlenwert oder eine neue Formel. 26

²¹ Eine ausführliche Darstellung der Interpolationsprobleme findet sich bei Holland, G. (2007), Kap. 8.3 bis 8.7.

²² Vgl. Holland (2007), S. 196.

²³ Ebenda, S. 205.

²⁴ Ebenda, S. 161.

²⁵ Ebenda, S. 190.

²⁶ Ebenda.

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