Inhaltsverzeichnis

1  Einleitung  1

2  Optionsarten  2

2.1  Europ aische Optionen  3

2.2  Put-Call-Parit at  4

2.2.1  Einfluss von Dividendenzahlungen  4

2.3  Amerikanische Optionen  5

2.3.1  Amerikanischer Call  5

2.3.2  Amerikanischer Put  6

2.4  Sonstige Optionen  6

2.5  Einflussfaktoren des Optionspreises  7

3  Black-Scholes-Modell  7

3.1  Statistische Grundlagen  8

3.1.1  Markov-Eigenschaft  8

3.1.2  Wiener-Prozess  8

3.2  It os Lemma  9

3.2.1  It o-Prozess  10

3.3  Herleitung der Black-Scholes-Gleichung  11

3.3.1  Implizite Volatilit at  12

3.3.2  Dividendenzahlungen  12

3.3.3  Explizite Formeln  13

3.4  Absicherungsgesch afte  14

3.4.1  Delta  14

3.4.2  Theta  14

3.4.3  Gamma  15

3.4.4  Vega  15

3.4.5  Rho  15

3.5  Kritik des Modells  15

4  Jump-Diffusion-Modelle  16

4.1  Jump-Diffusion-Modell nach Merton  16

4.2  Jump-Diffusion-Modell nach Kou  17

5  Varianz-Gamma-Modell  18

6  Finite Differenzen  20

6.1  Von der Black-Scholes-PDGL zur Diffusionsgleichung  21

6.1.1  Approximation der Differenzquotienten erster Ordnung  22

6.1.2  Approximation der Differenzquotienten zweiter Ordnung  23

6.2  Explizite Methode  24

I

6.3  Implizite Methode  24

6.4  Crank-Nicolson-Schema  26

6.5  Festlegung der Bedingungen f ur europ aische Optionen  27

7  Implementation  28

7.1  Excel/VBA  29

7.2  Matlab  29

8  Fazit  30

A  Anhang: Diagramme  I

B  Anhang: Beweis der Lognormalverteilung der Basiswertpreise  II

C  Anhang: Codes  IV

II

Abbildungsverzeichnis

Dichtefunktion der (0,1)-Normalverteilung f¨ ur x = −5 . . . 5 . . . . . . . . . . . . 1 11 2 Die Einteilung der Preis-Zeit-Ebene in ein Raster, grundlegendes Prinzip der FDM 21 3 Explizites Schema: Vorgehen im FDM-Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4 Implizites Schema: Vorgehen im FDM-Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5 Crank-Nicolson-Schema: Vorgehen im FDM-Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . 27 6 Auszahlungsfunktion einer Call-Option mit K = 30 . . . . . . . . . . . . . . . . I 7 Auszahlungsfunktion einer Put-Option mit K = 30 . . . . . . . . . . . . . . . . I 8 Sensitivit¨ atsdiagramm: Gamma wird durch die Fl¨ ache dargestellt, Delta durch die Farbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I 9 Sensitivit¨ atsdiagramm: Theta wird durch die Fl¨ ache dargestellt, Gamma durch die Farbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II

10 Sensitivit¨ atsdiagramm: Delta wird durch die Fl¨ ache dargestellt, Theta durch die Farbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II

11 Dichtefunktion der (0,1)-Lognormalverteilung f¨ ur x = 0 . . . 5 . . . . . . . . . . . III

S¨ amtliche Abbildungen dieser Arbeit sind selbst erstellt, sofern nicht anders vermerkt.

Tabellenverzeichnis

1 Einflussfaktoren auf den Optionspreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 Konvergenz der durch Crank-Nicolson approximierten Optionswerte in MAT-LAB an die analytisch errechneten Werte aus dem Black-Scholes-Modell . . . . 29

Codeverzeichnis

1 Excel-Code f¨ ur Tridiagonal-Matrizen-Solver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV 2 Excel-Code f¨ ur amer. Put (Implizit) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 3 MATLAB-Code f¨ ur Put-Option (Crank-Nicolson-Verfahren) . . . . . . . . . . . V

III

1 Einleitung

Die Bewertung von Optionen ist aufgrund ihrer Relevanz f¨ ur die Kapitalm¨ arkte seit Anfang des letzten Jahrhunderts Gegenstand empirischer Kapitalmarktforschung gewesen. ¨ Uber erste

Formeln von Bachelier [1], [10] hin zu dem seit Anfang der 1970er Jahre popul¨ aren Modell von Black, Merton und Scholes [2] ist aber die grundlegende Problematik weitgehend ¨ ahnlich geblieben: Der zufallsverteilte Wachstumsprozess des Underlyings muss entsprechend abgebildet und berechnet werden, um valide Optionspreise angeben zu k¨ onnen. Dabei ergeben sich bei analytischen L¨ osungen Probleme durch die Stetigkeit der Zeit und Randwertproblematiken. Auch die faire Preissetzung von Optionen ist f¨ ur einen effizienten Kapitalmarkt ¨ außerst wichtig. Diese Proseminar-Arbeit stellt die wichtigsten Optionsarten kurz vor, geht genauer auf das Black-Scholes-Modell, das Jump-Diffusion-Modell nach Merton und Kou und das Varianz Gamma-Modell ein und stellt die Methode der finiten Differenzen vor, um die Black-Scholes-Differentialgleichung numerisch zu l¨ osen.

Hier ergeben sich aus den mathematischen Eigenschaften des Black-Scholes-Modells verschiedene M¨ oglichkeiten, die Approximation der partiellen Differentialgleichung (PDGL) vorzunehmen. Neben der Option, die urspr¨ ungliche PDGL direkt durch Differenzgleichungen zu l¨ osen, werden wir auch noch die Umwandlung der PDGL in eine reine Diffusionsgleichung vornehmen, was das Potential, aber auch weitere Problematiken sowohl des Modells als auch der Methoden aufzeigt.

1

2 Optionsarten

Optionen sind an Finanzm¨ arkten handelbare Rechte, deren Wert von dem Wert des Basiswerts abh¨ angt. Diese Derivate lassen sich vom jeweiligen Optionshalter aus¨ uben und werden ublicherweise vom vertraglichen Gegenpart in bar ausgeglichen. Da die Option nur ein Recht, ¨

nicht aber die Verpflichtung zur Lieferung enth¨ alt, wird sie rationalerweise nur ausge¨ ubt, wenn ihr Wert gr¨ oßer 0 ist (Die Option ist dann ‘im Geld’). Optionen unterscheiden sich durch den Basiswert, von dem ihr Wert abgeleitet wird, dem Expirationszeitpunkt, nach dem sie wertlos verfallen, der Auszahlungsfunktion, die angibt, wie sich der Wert der Option zum Aus¨ ubungszeitpunkt entwickelt, sogenannte Calls oder Puts. Ein Call gibt dem K¨ aufer das Recht, den Basiswert zum vorher festgelegten strike price (K) zum Zeitpunkt T zu kaufen, w¨ ahrend ein Put das Recht beinhaltet, den Basiswert zum Strike zu verkaufen. Weiterhin kann man in der jeweiligen Optionsart eine Long- oder Short-Position haben, also eine Kaufposition oder eine Verkaufsposition. Die wichtigsten Optionen sind die ‘klassischen’ europ¨ aischen (auch als vanillas bezeichnet) und amerikanischen Optionen, die durch eine institutionalisierte Handelsplattform wie z.B. den B¨ orsen Eurex, CBOT, Nymex hochliquide und -fungibel sind. Abseits dieser Großkontrakte hat sich aber z.B. an der B¨ orse Stuttgart (Euwax) oder der Frankfurter B¨ orse (scoach) ein reger Handel mit derivativen Produkten zwischen Emittenten und Privatanlegern gebildet. F¨ ur den Emittenten ergeben sich hierbei durch die einseitig vorteilhafte Strukturierung derivativer Produkte interessante Gewinnm¨ oglichkeiten auf dem Sekund¨ armarkt. Daf¨ ur ist es aber unerl¨ asslich, auf dem Prim¨ armarkt faire Preise erzielen zu k¨ onnen.

Ein weiteres Unterscheidungsmerkmal ist der Zeitpunkt, zu dem eine Aus¨ ubung m¨ oglich ist. Bei europ¨ aischen Optionen besteht diese M¨ oglichkeit nur zum Ende der Laufzeit, amerikanische Optionen k¨ onnen zu beliebigen Zeitpunkten ausge¨ ubt werden.

Folgend gelten bestimmte Annahmen:

1. Es gibt keine Transaktionskosten

2. Auf Netto-Profite aus Handelsgesch¨ aften wird der gleiche Steuersatz erhoben

3. Kreditvergabe und -nahme sind zum risikofreien nominalen Zinssatz r m¨ oglich, der f¨ ur alle Laufzeiten identisch ist

4. Alle M¨ arkte sind arbitrage-frei, es sind also keine risikofreien Gewinne m¨ oglich

5. kontinuierliche Verzinsung mit nominalem Zinssatz r, so dass f¨ ur den Betrag y gilt: y(T ) = y(t) ∗ e r(T −t)

6. Assets sind beliebig fein teilbar

7. Handel findet kontinuierlich statt

8. Leerverk¨ aufe sind m¨ oglich

2

Je nach Konstellation werden wir diese Annahmen entsch¨ arfen beziehungsweise die Ergebnisse dahingehend kommentieren. Wir verwenden folgende Notation:

• S 0 : Momentaner Preis des Underlyings

• K: Strike der Option

• T : Laufzeit der Option

• S T : Underlying-Preis im Verfallszeitpunkt

• r: kontinuierlich verzinster Zinssatz mit r > 0

• V ^A C : Wert eines amerikanischen Calls

• V ^A P : Wert eines amerikanischen Puts

• V ^E C : Wert eines europ¨ aischen Calls

• V ^E P : Wert eines europ¨ aischen Puts

• D: Gegenwartswert der Dividendenauszahlungen

Die Ober- und Untergrenzen f¨ ur den Optionspreis ergeben sich aus Arbitrage-Gr¨ unden mit: Obergrenzen

Untergrenzen (f¨ ur dividendenlose Basiswerte)

2.1 Europ¨ aische Optionen

Formal ergibt sich folgendes Auszahlungsschema f¨ ur eine Call-Option (Long):

V ^E C (S T , T ) = max{S T − K, 0}

und entsprechend f¨ ur eine Put-Option (Long):

V ^E P (S T , T ) = max{K − S T , 0}

F¨ ur eine grafische Darstellung der Payoff-Funktionen und den m¨ oglichen Optionspositionen siehe Abbildungen 6a, 6b, 7a und 7b im Anhang.

3

2.2 Put-Call-Parit¨ at

Eine wichtige Beziehung zwischen dem Preis eines europ¨ aischen Calls und Puts ergibt sich aus der Put-Call-Parit¨ at.

Zur Herleitung vergleichen wir zwei Portfolios A und B. Dividenden werden nicht ausbezahlt. Portfolio A beinhaltet eine Long-Position in einem europ. Call und eine Cash-Position im Wert von Ke ^−rT . Diese w¨ achst in T zu K. F¨ ur S T > K wird die Option ausge¨ ubt, das Portfolio ist S T wert. F¨ ur S T < K verf¨ allt die Option wertlos, das Portfolio ist K wert. Portfolio B setzt sich aus einer Long-Position in einem europ. Put mit Strike K T und einer Einheit des Basiswerts zusammen. F¨ ur S T < K wird der Put ausge¨ ubt, das Portfolio hat den Wert K. F¨ ur S T > K verf¨ allt der Put wertlos, das Portfolio nimmt den Wert S T an. Beide Portfolios haben also dieselbe Auszahlungsfunktion

max{S T , K}.

Da vor Zeitpunkt T keine Aus¨ ubung erfolgen kann, m¨ ussen beide Portfolios auch in t denselben Wert haben. Es ergibt sich:

V ^E C + Ke ^−rT = V ^E P + S 0

Mit Hilfe dieser Bedingung kann man entsprechend ¨ uberpr¨ ufen, ob die sp¨ ater berechneten

Optionspreise konsistent mit den Annahmen sind oder verworfen werden m¨ ussen.

2.2.1 Einfluss von Dividendenzahlungen

Im Unterschied zu Optionen auf dividendenlose Underlyings wie den DAX muss bei der Bewertung von Optionen auf Aktien typischerweise eine Dividendenzahlung w¨ ahrend der Optionslaufzeit ber¨ ucksichtigt werden. Dadurch, dass ein Großteil der Optionen eine Laufzeit kleiner als ein Jahr haben und Dividende oftmals nur einmal pro Jahr ausgezahlt wird, kann diese hinreichend genau bestimmt werden. In Analogie zu (2.1) ergibt sich:

V ^E C ≥ S 0 − D − Ke ^−rT (2.3)

sowie aus (2.2):

V ^E P ≥ D + Ke ^−rT − S 0

Als Put-Call-Parit¨ at ergibt sich:

2.3 Amerikanische Optionen

Amerikanische Optionen k¨ onnen vom Optionshalter zu einem beliebigen Zeitpunkt vor dem Verfallszeitpunkt ausge¨ ubt werden. Der Optionsverk¨ aufer hat also die Pflicht, auf die Aus¨ ubung einzugehen. Eine grundlegende Beziehung zwischen den Preise von amerikanischen und europ¨ aischen Optionen leitet sich aus der ¨ Uberlegung ab, dass der Optionshalter auch die M¨ oglichkeit

hat, nicht vor dem Verfallszeitpunkt auszu¨ uben. Folglich muss die amerikanische Option mindestens den Wert der ¨ aquivalenten europ¨ aischen Option haben:

V A ≥ V E . (2.5)

Wegen der vorzeitigen Aus¨ ubungsm¨ oglichkeit sind analytische L¨ osungen auch nur f¨ ur spezielle Typen von amerikanischen Optionen zu finden, so z.B. eine Option, die w¨ ahrend ihrer Laufzeit nur eine oder keine Dividendenzahlung aus dem Underlying erh¨ alt [4], oder bei Optionen, die eine endlose Laufzeit haben.

Zu jedem Zeitpunkt vor Verfall muss der Halter der amerikanischen Option entscheiden, ob es lohnenswert ist, diese auszu¨ uben. Der innere Wert w¨ urde sich dann aus der Auszahlungsfunktion f ergeben (Hier f¨ ur einen Put):

V ^A P = f (S t , t) = (K − S t ) max{K − S t , 0}

F¨ ur den Fall, dass f (S t , t) > V A (S t , t) w¨ urde der Halter der Option diese sofort einl¨ osen wollen. Dies wiederum w¨ urde bedeuten, dass eine Arbitrage-M¨ oglichkeit gegeben w¨ are. Ausgehend von einem Arbitrage-freien Markt ergeben sich vielmehr folgende Bedingungen: F¨ ur den Fall, dass f (S t , t) = V A (S t , t) ist zumindest die M¨ oglichkeit gegeben, die Option auszu¨ uben. F¨ ur den Fall, dass f (S t , t) < V A (S t , t) w¨ urde der K¨ aufer die Option halten wollen. Es folgt also

V A (S t , t) ≥ f (S t , t). (2.6)

H¨ alt der K¨ aufer die Option, hat die Option einen Zeitwert. Der Gesamtwert setzt sich dann aus dem inneren Wert und dem Zeitwert zusammen [5].

Weiterhin kann der Preis der Option am Ende der Laufzeit T nicht h¨ oher sein als der Payoff, da sich sonst f¨ ur den Optionsverk¨ aufer Arbitragem¨ oglichkeiten ergeben w¨ urden:

V A (S T , T ) = f (S T , T )

2.3.1 Amerikanischer Call

Unter der Annahme eines streng positiven risikofreien Zinssatzes r, identischer Strikes und Expiries sowie einem Basiswert ohne Dividendenaussch¨ uttung ergibt sich f¨ ur eine europ¨ aische

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