Inhaltsverzeichnis

1.  Einleitung  1

2.  Grundlagen einer rationalen Optionsbewertung  2

2.1  Prinzip der Arbitragefreiheit  2

2.2  Die Annahmen des Modells  3

2.3  Wert einer Option in Abhängigkeit der Restlaufzeit  3

2.4  Präferenz- und verteilungsfreie Bewertung bei Kaufoptionen  5

2.4.1  Arbitragebeziehung - Kaufoption und Basiswert  5

2.4.1  Arbitragebeziehung - Kaufoption und andere Einflussgrößen  10

2.4.2  Optimale Ausübungspolitik  11

2.5  Präferenz- und verteilungsfreie Bewertung bei Verkaufsoptionen  12

2.5.1  Arbitragebeziehung - Verkaufsoption und Basiswert  12

2.5.2  Arbitragebeziehung - Verkaufsoption und andere Einflussgrößen  13

2.5.3  Optimale Ausübungspolitik  13

2.6  Put-Call-Parität  13

3.  Die Black-Scholes Formel  14

4.  Erweiterungen der Black-Scholes Formel  15

4.1  Berücksichtigung von Dividendenzahlungen  15

4.2  Bewertung einer „down and out“- Kaufoption  16

4.  Zusammenfassung  17

5.  Anhang  18

5.1  Softwarelösung MATLAB  18

6.  Literaturverzeichnis  22

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Symbolverzeichnis

‫ܤ‬

: Barriere bei einer „down and out“- Kaufoption (Kursschwelle). : Wert einer amerikanischen Kaufoption zum Zeitpunkt ‫.ݐ‬ ‫ܥ‬ ௧

III

1. Einleitung

Optionen, Swaps und Futures sind sogenannte derivative Instrumente, d.h. ihr Preis wird aus dem Preis eines zugrundeliegenden Basiswertes abgeleitet. In den vergangenen 35 Jahren stellen Derivate wohl die am stärksten gewachsenen Innovationen auf den globalen Finanzmärkten dar. Grund dafür ist, dass Derivate die Kassamärkte sinnvoll ergänzen und den Risikotransfer zwischen den Marktteilnehmern ermöglichen. Darüber hinaus trägt der Handel mit diesen Instrumenten zunehmend zur Preisfindung an den Finanzmärkten bei. Diesen grundsätzlich positiven Wirkungen steht gegenüber, dass ein zu leichtfertiger, spekulativer Umgang mit Derivaten zu erheblichen Verlusten und externen Effekten führen kann. Um sowohl die positiven als auch die negativen Wirkungen zu verstehen, ist ein grundlegendes Wissen der Funktionsweise solcher derivaten Instrumente nötig. Im Fokus dieser Seminararbeit stehen Optionen. Eine Option gibt das Recht, gegen Zahlung einer Optionsprämie einen bestimmten Basiswert zu einem bereits heute festgelegten Basispreis, zu einem zukünftigen Zeitpunkt (bei Fälligkeit) zu kaufen (Kaufoption), oder zu verkaufen (Verkaufsoption). Grund für den weltweit zunehmenden Handel mit Optionen ist die hohe Volatilität auf den verschiedenen Märkten (z.B. Aktien-, Devisen-, Rohstoffmärkte). Volatilität bedeutet Risiko und beinhaltet sowohl Chancen als auch Gefahren. Die Chancen bestehen darin, aus Kursschwankungen Gewinne zu erzielen, die Gefahren, Verluste zu erleiden. Optionen übertragen das Risiko an diejenigen, die bereit und in der Lage sind, dieses zu übernehmen. Sie ermöglichen ein kostengünstiges und effizientes Risikomanagement. Voraussetzung für den Handel mit Optionen ist, dass der Preis einer Option (die Optionsprämie) so festgelegt wird, dass sowohl der Optionskäufer, als auch der Optionsverkäufer in der Option ein faires Geschäft sehen. Die Optionsbewertungs- ¹ anzugeben.Für die Übernahme von theorie versucht diesen theoretisch „fairen“ Preis

Risiko wird von einem risikoaversen Marktteilnehmer eine Risikoprämie gefordert. Das Problem der Optionsbewertung war, dass je nach Risikoeinstellung der Marktteilnehmer diese Risikoprämie variierte. Daher war sie in der Optionsbewertung kaum zu erfassen. Fisher Black, Myron Scholes und Robert Merton gelang es Anfang der Siebziger Jahre eine Formel zur Optionsbewertung zu bestimmen die nicht mehr von den Risiko-

^ϭ Es wäre hier angebrachter von einem theoretisch „fairen“ Wert anstatt von einem Preis zu sprechen. Der

theoretisch „faire“ Wert einer Option ist das Ergebnis eines Bewertungsmodells. Dieser soll im folgenden

bestimmt werden. Er sollte nicht fälschlicherweise als der einzig, „wahre“ Wert verstanden werden. Er ist

vielmehr „fair“ im Sinne des jeweiligen Modells und dessen Annahmen. Der Preis einer Option ist das

Ergebnis einer marktmäßigen Bewertung und weicht in der Regel vom theoretisch „fairen“ Wert ab.

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präferenzen der Marktteilnehmer abhängig war. „Für eine neue Methode der Bewertung von derivaten Instrumenten“ bekamen Robert Merton und Myron Scholes im Jahr 1997 den Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften verliehen. Fischer Black war zu diesem Zeitpunkt bereits verstorben. Die Frage, wie mit Hilfe der Black-Scholes Formel eine Option theoretisch „fair“ bewertet wird, und welchen Beitrag der Nobelpreisträger Robert Merton zur Optionsbewertung geleistet hat ist Gegenstand dieser Seminararbeit. Grundlage ist seine Veröffentlichung aus dem Jahr 1973 „Theorie of Rational Option Pricing“. Es wird zunächst geklärt, was unter einer rationalen Optionsbewertung zu verstehen ist und welche Bedingungen dafür erfüllt sein müssen. Aus dieser sogenannten präferenz- und verteilungsfreien Bewertung können bereits grobe Abschätzungen für den Wert einer Option gemacht werden. Diese bildet den Rahmen einer rationalen Optionsbewertung und dient als Grundlage für die Herleitung der Black-Scholes Formel und deren Erweiterungen durch Robert Merton.

2. Grundlagen einer rationalen Optionsbewertung

2.1 Prinzip der Arbitragefreiheit

Ausgangspunkt einer rationalen Optionsbewertung ist ein vollkommener Kapitalmarkt. Unter Arbitrage versteht man die Erzielung von risikolosen Zahlungsüberschüssenohne Anfangsauszahlung - durch Nutzung von Preisunterschieden äquivalenter oder dominanter Positionen (Wertpapiere oder Portefeuilles) und deren simultanen Kauf und Verkauf. Der Zahlungsüberschuss kann sofort oder zu einem späteren Zeitpunkt anfallen. Arbitragegeschäfte bauen daher prinzipiell auf Dominanz oder Äquivalenz auf.

Voraussetzung für eine rationale Optionsbewertung ist, dass die Option so bewertet wird, dass sie weder dominant gegenüber einer anderen Option ist, noch von dieser ² Es darf daher keine Möglichkeit zur Arbitrage geben. Aus den Äquivadominiert wird.

lenz- und Dominanzüberlegungen lässt sich das Prinzip der Arbitragefreiheit ableiten:

² Vgl. Merton (1973), S. 143, Annahme 1.

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Das Prinzip der Arbitragefreiheit ist notwendige Voraussetzung für ein Marktgleichgewicht und Grundlage für eine rationale Optionsbewertung. Um die dauerhafte Existenz von Arbitragemöglichkeiten auszuschließen wird im folgenden Modell die schwache Präferenzannahme getroffen, dass die Marktteilnehmer ein größeres Vermögen stets einem geringeren Vermögen vorziehen. Dadurch nutzen diese jede Möglichkeit zur Arbitrage, wodurch sich immer wieder eine arbitragefreie Gleichgewichtssituation einstellt. In diesem Gleichgewicht soll es einen theoretisch „fairen“ Optionswert geben.

2.2 Die Annahmen des Modells

Für die präferenz- und verteilungsfreie Bewertung gelten folgende Annahmen: (A1) Die Marktteilnehmer besitzen homogene Erwartungen und handeln rational. Sie sind Nutzenmaximierer, was bei positivem Grenznutzen des Geldes dazu führt, dass ein größeres Vermögen stets einem geringeren Vermögen vorgezogen wird. (A2) Es herrscht Arbitragefreiheit. Sollten Möglichkeiten zur Arbitrage existiert haben, so wurden diese bereits von rational handelnden Marktteilnehmern genutzt, und zwar solange, bis sich ein Marktgleichgewicht einstellt.

(A3) Die Finanzmärkte sind friktionslos, d.h. es fallen keine Kosten beim Handeln an. Insbesondere keine Steuern, Transaktions- und Informationskosten. Es sind keine Sicherheitsleistungen zu erbringen.

(A4) Die gehandelten Finanzinstrumente sind ohne Einschränkung beliebig teilbar. Leerverkäufe sind uneingeschränkt möglich. Zum bekannten, konstanten, risikolosen Zinssatz werden Mittel in beliebiger Höhe angelegt oder aufgenommen.

2.3 Wert einer Option in Abhängigkeit der Restlaufzeit

Die Restlaufzeit einer Option ist gegeben durch ܶ െ ‫.ݐ‬ Hierbei ist ܶ der Zeitpunkt der Fälligkeit (Verfalltag) und ‫ݐ‬ ein Zeitpunkt während der Laufzeit der Option (Kalenderzeit). Der Zeitpunkt ‫ݐ‬ ൌ 0 entspricht dem heutigen Datum. Am Verfalltag, steht

der Optionskäufer vor der Entscheidung, ob er sein Recht ausübt oder verfallen lässt. Zu

diesem Zeitpunkt besteht keine Unsicherheit bezüglich dem Basiswertkurs ܵ ் mehr. Der

³ Vgl. Neus (2007), S. 328.

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Basiswert ܵ kann zum vereinbarte Basispreis ܺ gekauft bzw. verkauft werden.

‫ܥ‬ ் (ܲ ் ) ist der Wert einer amerikanischen Kaufoption (Verkaufsoption) und ܿ ் (‫݌‬ ் ) der Wert einer europäischen Kaufoption (Verkaufsoption) zum Zeitpunkt der Fälligkeit ܶ. Amerikanische Optionen können sowohl vor der Fälligkeit ‫ݐ‬ ൏ ܶ, als auch erst zum Zeitpunkt der Fälligkeit ‫ݐ‬ ൌ ܶ ausgeübt werden. Europäische Optionen können nur zum

Zeitpunkt der Fälligkeit ausgeübt werden. Da das Recht der vorzeitigen Ausübung einer amerikanischen Option am Verfalltag selbst keinen zusätzlichen Wert mehr hat, ent- ⁴ europäischenOption. Optionen sollten bei spricht ihr Wert einer ausstattungsgleichen

Fälligkeit ausgeübt werden, wenn sie sich „im Geld“ befinden und nicht ausgeübt, wenn sie sich „aus dem Geld“ befinden. Bei einer Option „am Geld“ herrscht Indifferenz.

Vor dem Verfalltag ist die Optionsbewertung komplexer. Es werden neben dem aktuellen Basiswertkurs und dem Basispreis zusätzliche wertbeeinflussende Faktoren, wie die Dauer der Restlaufzeit, die zukünftige Kursentwicklung und Volatilität des Basiswertes, die Zinsentwicklung oder mögliche Dividendenzahlungen relevant. Da die zukünftige Entwicklung dieser Faktoren in der Regel unsicher ist wird der Optionswert unter Einfluss dieser stochastischen Faktoren selbst zu einer stochastischen Größe. Der

Wert der Option zu irgendeinem Zeitpunkt ‫ݐ‬ , wenn ‫ݐ‬ der Verfalltag bzw. die sofortige Ausübung ist, wird als ݅݊݊݁‫ݎ݁ݎ‬ ܹ݁‫ݐݎ‬ bezeichnet. Es gilt für eine

݅݊݊݁‫ݎ݁ݎ‬ ܹ݁‫ݐݎ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ maxሾ0, ܵ ௧ െ ܺሿ, Kaufoption: (2)

Verkaufsoption: ݅݊݊݁‫ݎ݁ݎ‬ ܹ݁‫ݐݎ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ maxሾ0, ܺ െ ܵ ௧ ሿ. (3)

Bei positiver Restlaufzeit ܶ െ ‫ݐ‬ ൐ 0 besteht eine positive Wahrscheinlichkeit, dass sich die Option weiter ins Geld bewegt und ausgeübt wird. Als Maß für diese Wahrscheinlichkeit kann der Zeitwert angegeben werden. Er ist von diesen zusätzlichen wertbeeinflussenden Faktoren abhängig und wird mit abnehmender Restlaufzeit geringer. Der Optionswert ergibt sich vor dem Verfalltag aus dem inneren Wert plus dem Zeitwert.

⁴ Ausstattungsgleiche Optionen haben denselben Basiswert, Basispreis, und dieselbe Laufzeit.

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