Zusammenfassung

Die Investition in Wertpapiere ist wegen der nicht präzise vorhersagbaren Wertpapierkursentwicklung mit einem nicht vollständig vermeidbaren Risiko verbunden. Ein Ansatz um dieses Risiko kalkulierbar zu machen, besteht in der statistischen Auswertung vergangener Wertpapierkurszeitreihen und Berechnung eines, bezüglich der ermittelten statistischen Kennzahlen, optimalen Wertpapierportfolios. Diese Optimierung beinhaltet typischerweise die Maximierung des erwarteten Ertrages bei gleichzeitiger Minimierung des erwarteten Risikos unter Berücksichtigung von Restriktionen, welche den Marktgegebenheiten und den Wünschen eines Investors Rechnung tragen. Die vorliegende Diplomarbeit formuliert ein lineares Optimierungsproblem bezüglich der Umschichtung eines aus MDAX Aktien bestehenden Aktienportfolios, wobei Transaktionskosten in Höhe von einem Prozent einkalkuliert werden und keine Leerverkäufe möglich sind. Dabei wird die kurzfristig zu erwartende Rendite maximiert und das eingegangene Risiko in Form der mittleren, kurzfristig zu erwartenden Unterschreitung der erwarteten Rendite minimiert. Ferner werden die Anforderungen des Investors bezüglich der Erhaltung des Investitionsvolumens und der erwarteten mittel- und langfristigen Entwicklung der Aktienwerte berücksichtigt. Die Lösung dieses Optimierungsproblems führt auf eine Menge effizienter Portfolios, welche aus bis zu 5 Aktienwerten bestehen. Da der Investor grundsätzlich auch bereit ist seine Anforderungen an die erwartete mittel-, und langfristige Entwicklung der Aktienwerte zu reduzieren, falls es dadurch möglich ist die kurzfristig zu erwartende Rendite zu erhöhen und das kurzfristig zu erwartende Risiko zu vermindern, wird das Optimierungsproblem als fuzzy-lineares Optimierungsproblem formuliert. Die Lösung des fuzzy-linearen Optimierungsproblems führt auf eine Kompromisslösung, welche 4 Aktienwerte beinhaltet und verglichen mit dem Ausgangsportfolio bei annähernd gleichem erwartetem Risiko zu einer Erhöhung der erwarteten Rendite von über 30 % führt.

Inhaltsverzeichnis

1.  Einleitung  1

1.1.  Hintergrund  1

1.2.  Problemstellung  3

2.  Lineares Portfoliooptimierungsproblem mit mehrfacher Zielsetzung  4

2.1.  Formulierung der Zielfunktionen und Nebenbedingungen  4

2.2.  Überführung in ein Standardproblem der linearen Optimierung  6

2.3.  Ermittlung effizienter Portfolios  9

3.  Modellierung als fuzzy-lineares Portfoliooptimierungsproblem  15

3.1.  Effiziente Portfolios bei verminderten Anforderungen  15

3.2.  Modellierung der Nebenbedingungen  19

3.3.  Modellierung der Zielfunktionen  22

3.4.  Ermittlung eines optimalen Portfolios  24

3.5.  Diskussion der Ergebnisse  27

4.  Zusammenfassung und Ausblick  31

A.  Verwendete Statistische Kennzahlen  33

Literaturverzeichnis   40

iii

Abbildungsverzeichnis

2.1. Aktiengewichtung effizienter Portfolios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2. Risikoänderung-Renditeänderung-Kurve effizienter Portfolios . . . . . . . 13

3.1. Aktiengewichtung effizienter Portfolios bei verminderten Anforderungen . 18 3.2. Risikoänderung-Renditeänderung-Kurven effizienter Portfolios bei unverminderten und verminderten Anforderungen . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.3. Ausgangsportfolio, Risikoänderung-Renditeänderung-Kurven effizienter Portfolios bei unverminderten und verminderten Anforderungen sowie Kompromißlösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

iv

Tabellenverzeichnis

2.1. Optimales Aktienportfolio bei Renditemaximierung . . . . . . . . . . . . 9

2.2. Optimales Aktienportfolio bei Risikominimierung . . . . . . . . . . . . . 10

3.1. Optimales Aktienportfolio bei Renditemaximierung unter verminderten Anforderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.2. Optimales Aktienportfolio bei Risikominimierung unter verminderten An-forderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.3. Optimales Aktienportfolio bei fuzzy-linearer Optimierung . . . . . . . . 27

A.1. Horizont 100 [Tage] für MDAX Aktienwerte A-E . . . . . . . . . . . . . 33 A.2. Horizont 100 [Tage] für MDAX Aktienwerte F-H . . . . . . . . . . . . . 34 A.3. Horizont 100 [Tage] für MDAX Aktienwerte I-P . . . . . . . . . . . . . . 34 A.4. Horizont 100 [Tage] für MDAX Aktienwerte R-Z . . . . . . . . . . . . . 35 A.5. Horizont 500 [Tage] für MDAX Aktienwerte A-E . . . . . . . . . . . . . 35 A.6. Horizont 500 [Tage] für MDAX Aktienwerte F-H . . . . . . . . . . . . . 36 A.7. Horizont 500 [Tage] für MDAX Aktienwerte I-P . . . . . . . . . . . . . . 36 A.8. Horizont 500 [Tage] für MDAX Aktienwerte R-Z . . . . . . . . . . . . . 37 A.9. Horizont 1000 [Tage] für MDAX Aktienwerte A-E . . . . . . . . . . . . . 37 A.10.Horizont 1000 [Tage] für MDAX Aktienwerte F-H . . . . . . . . . . . . . 38 A.11.Horizont 1000 [Tage] für MDAX Aktienwerte I-P . . . . . . . . . . . . . 38 A.12.Horizont 1000 [Tage] für MDAX Aktienwerte R-Z . . . . . . . . . . . . . 39

v

Abkürzungsverzeichnis

AGI . . . . . . . . . . . . . . . . Aktiengewichtung im Index ER . . . . . . . . . . . . . . . . . erwartete Rendite MAD . . . . . . . . . . . . . . . erwartete absolute Abweichung

vi

Symbolverzeichnis

λ i . . . . . . . . . . . . . . . . . . Erwartete mittlere absolute Unterschreitung der erwarteten Rendite

µ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fuzzy Zugehörigkeitsfunktion ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Erwartete Rendite des Portfolios ν i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Erwartete Rendite des Wertpapiers i C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Renditenkovarianzmatrix n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anzahl der zur Auswahl stehenden Wertpapiere R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rendite des Portfolios R i . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rendite des Wertpapiers i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prozentuale Transaktionskosten V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Renditevarianz

x i . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gewichtung des Wertpapiers i im Portfolio x ⁺ i . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gewichtszunahme des Wertpapiers i i . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gewichtsabnahme des Wertpapiers i x −

i . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gewichtung des Wertpapiers i im Portfolio vor der Umschichtung x 0

vii

1. Einleitung

1.1. Hintergrund

Unter Portfoliooptimierung versteht man die Zusammenstellung Risiko behafteter Wertpapiere dergestalt, dass die erwartete Rendite maximal und das dabei eingegangene Risiko minimal wird. ¹ Da diese Zielsetzungen nicht zwingend kompatibel sind, besteht oftmals die Notwendigkeit ein Kompromißportfolio aus einer Menge effizienter, d.h. gegenüber den Zielsetzungen paretro-optimaler, Portfolios auszuwählen. Markowitz verwendet als Zielfunktionen die erwartete Rendite, ν, und die Renditevarianz, V . ² Mit x i als Gewichtung des Wertpapiers i kann somit bei Kenntnis der Renditenkovarianzmatrix, C, ein effizientes Portfolio nach Markowitz durch Lösen der Optimierungsaufgaben:

• Maximierung der Rendite gemäß Formel 1.1

n

ν = (1.1) ν i x i → max i=1

unter den Nebenbedingungen Ausschluss von Leerverkäufen, x i ≥ 0, Konstanz n der Investitionssumme, i=1 x i = 1, und Beschränkung der Renditevarianz, V = x T C x ≤ V b ; bzw.

• Minimierung der Renditevarianz gemäß Formel 1.2

V = x T C x → min (1.2)

unter den Nebenbedingungen Ausschluss von Leerverkäufen, x i ≥ 0, Konstanz der n n Investitionssumme, i=1 x i = 1, und Beschränkung der Rendite, ν = i=1 µ i x i ≥ ν c , gefunden werden.

¹ Vgl. Rödder u. a. (2008), S.273

² Vgl. Markowitz (1952)

1

Ein Nachteil dieser quadratischen Optimierungsaufgaben besteht darin, daß bei einer großen Anzahl von Wertpapieren ein hoher Rechenaufwand zur Ermittlung eines effizienten Portfolios in Kauf genommen werden muss. 3

Im Gegensatz dazu bieten die Standardlösungsmethoden der linearen Optimierung, welche sich mit der Optimierung linearer Zielfunktionen bei Beschränkung der Menge der zulässigen Zielfunktionsargumente durch lineare Gleichungen bzw. Ungleichungen beschäftigt, den Vorteil eines deutlich kleineren Rechenaufwands. Von Konno und Yamazaki wurde daher vorgeschlagen, anstatt der Renditevarianz die erwartete absolute n Abweichung (MAD) der Rendite, R, von ihrem erwarteten Mitelwert, E , zu j=1 R j verwenden. 4

Neben der Reduktion des Rechenaufwandes können dabei die wertvollen Eigenschaften („usefull properties“) des Markowitz Modells erhalten bleiben, wobei allerdings zu beachten ist, daß die Vernachlässigung der Kovarianzen zu höheren Schätzfehlern führen kann. 5 6

Um die Lösungsmenge eines linearen Optimierungsproblems besser auf die oftmals nur unscharf formulierten Restriktionen eines Investors anpassen zu können wird in der Portfoliooptimierung die fuzzy-lineare Opimierung verwendet. ⁷ In der fuzzy-linearen Opimierung können Zielfunktionen und Restriktionen weich formuliert werden, wobei für Zielfunktion und Restriktion Bereiche angegeben werden in denen sie zu einem gewissen Grad als erfüllt angesehen werden. ⁸ Der Erfüllungsgrad wird dabei mittels einer Zugehörigkeitsfunktion, µ, beschrieben, deren Wertebereich von 0 bis 1 geht, wobei 0 für vollständige Nichterfüllung und 1 für vollständige Erfüllung steht. Die weiche Formulierung kann somit dazu genutzt werden, dem Investor Optimierungsergebnisse zur Auswahl zu stellen, die nach der harten Formulierung ausscheiden würden. Dadurch können die Präferenzen des Entscheidungsträgers besser erfasst und erfüllt werden.

³ Vgl. Cumova (2004)

⁴ Vgl. Konno und Yamazaki (1991)

⁵ Vgl. Fang u. a. (2008), S. 63

⁶ Vgl. Simaan (1997)

⁷ Vgl. Inuiguchia und Ramík (2000)

⁸ Vgl. Rödder und Zimmermann (1977); Hauke (1998)

2

1.2. Problemstellung

Die der Arbeit zugrundeliegende Problemstellung bezieht sich auf die Modellierung einer fuzzy-linearen Optimierungsaufgabe und Ermittlung einer optimalen Portfolioumschichtung eines Aktienportfolios bestehend aus Aktien von im MDAX gelisteten Unternehmen. Dabei ist das zur Verfügung stehende Kapital bereits anteilig auf die Aktien verteilt und die Gewichtung der Aktien zueinander wird durch ihre Gewichtung im MDAX am ersten Handelstage des Jahres 2009 bestimmt (siehe auch Anhang A). Als Zielfunktion wird einerseits die erwartete Rendite gewählt, wobei bei der Umschichtung auf den Wert der hinzugekauften bzw. verkauften Aktien Transaktionskosten in Höhe von 1 % einkalkuliert werden sollen. Andererseits soll das Risiko des nicht Erreichens der erwarteten Rendite („downside risk“) ausgehend von Formel 1.3 minimiert werden.

Der Investor ist ferner an möglichst kurzfristig realisierbaren Gewinnen interessiert. Da der Investor sich jedoch nicht allein auf kurzfristige Trends verlassen möchte stellt er noch folgende Bedingungen an die mittel- und langfristige Entwicklung der Aktien:

• Eine erwartete mittelfristige Rendite von über 5 %, wenigstens aber über 3 % bei einer erwarteten mittelfristigen Unterschreitung der erwarteten Rendite von weniger als 10 %, mindestens aber weniger als 15 %; und

• Eine erwartete langfristige Rendite von über 8 %, wenigstens aber über 6 % bei einer erwarteten langfristigen Unterschreitung der erwarteten Rendite von weniger als 20 %, mindestens aber weniger als 25 %.

Zur Ermittlung der kurz-, mittel- und langfristig erwarteten Rendite bzw. des erwarteten Risikos sollen in Ermangelung einer besseren Alternative historische Aktienkurse, welche einen Zeitraum von 100, 500 bzw. 1000 Handelstagen vor dem Tag der Umschichtung beinhalten, verwendet werden. Des Weiteren möchte der Investor das investierte Kapital konstant halten.

Zur Lösung der Problemstellung wird in Kapitel 2 auf Basis der Anforderungen des Investors ein hartes lineares Optimierungsproblem mit mehrfacher Zielsetzung formuliert und gelöst. Dieses Optimierungsproblem wird in Kapitel 3 als unscharfes lineares Optimierungsproblem formuliert und in Abhängigkeit von den gewählten Zugehörigkeitsfunktionen gelöst. Kapitel 4 fasst die Ergebnisse der Arbeit zusammen und gibt einen Ausblick auf zukünftige Arbeiten.

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