Inhaltsverzeichnis

1.  Einleitung.  3

2.  Die Lehrerfunktionen  4

3.  Das schulinterne Forderkonzept im Fach Mathematik  4

4.  Fachdidaktische Überlegungen.  6

4.1  Das Problemlösen und die Bildungsstandards.  6

4.2  Einbettung des Problemlösens in den Kernlehrplan Mathematik.  7

4.3  Das mathematische Problem.  9

4.4  Theorien des Problemlösens  11

4.5  Problemlösen und Heuristiken.  13

5.  Methodische Überlegungen.  15

5.1  Methodische Gestaltung des Problemlösens.  15

5.1.1  Organisationsform.  15

5.1.2  Lernhilfen.  16

5.1.3  Auswahl der Aufgaben  17

5.1.4  Weitere methodische Gesichtspunkte  18

5.2  Zaubern mit Mathematik.  18

6.  Inhaltliche Überlegungen  20

6.1  Organisatorische Gestaltung des Konzeptes  20

6.2  Schulung heuristischer Strategien.  22

6.3  Zaubertricks als Basis für Problemstellungen.  23

6.4  Die Zaubertricks.  24

6.4.1  Zahlenkartentrick  24

6.4.2  Würfeltrick.  25

6.4.3  Zahlenstreifentrick  26

6.4.4  Magische Zauberkugel.  26

7.  Möglichkeiten und Grenzen der Ausgestaltung.  27

8.  Evaluation und Reflexion der eigenen Unterrichtspraxis.  29

8.1  Die Evaluation  29

8.2  Reflexion der Evaluation und der eigenen Unterrichtspraxis  30

9.  Fazit.  32

Literaturverzeichnis   34

Internetadressen.................................................................................................................   37

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1. Einleitung

„Die Neugier steht immer an erster Stelle eines Problems, das gelöst werden will“ ¹ . Dieses Zitat von Galileo Galilei vermittelt eine erste Vorstellung darüber, warum mathematische Zaubertricks wunderbar als Ausgangspunkt für das Problemlösen im Unterricht geeignet sind. Diese Arbeit wird jedoch zeigen, dass es mehr als verblüffender Tricks bedarf, um die Zauberei zweckgerichtet in der Schule einzusetzen. Abgesehen von methodischen Vorüberlegungen sind auch die Bildungsstandards, der Kernlehrplan und auch schulinterne Vorgaben, in diesem Fall das Forderkonzept, zu berücksichtigen. Diese Aspekte sollen in der Entwicklung eines Konzeptes beachtet werden, welches in die Curriculumsarbeit des schulinternen Forderkonzeptes für den 5. Jahrgang einfließen soll. Da in diesem Bereich bislang lediglich Aufgabensammlungen bestehen, die ohne konzeptionelle Überlegungen angelegt wurden, kann diese Arbeit ein Beitrag zur schulischen Entwicklungsarbeit im Bereich des Forderkonzeptes der Anne-Frank-Gesamtschule sein. Um die Ausgestaltung nicht nur zu entwickeln, sondern auch evaluieren zu können, fokussiert sich das Konzept auf die Entwicklung und Förderung von Problemlösekompetenzen. Nach den Vergleichsstudien wie TIMSS und PISA ist die Entwicklung dieser Kompetenz ein Qualitätsmerkmal des Mathematikunterrichts, das, ausgehend von den Bildungsstandards, im Kernlehrplan verankert ist. Mathematische Zaubertricks scheinen hierfür das ideale Handlungsfeld zu sein, da sie neben einer intrinsischen Motivation weitere Anknüpfungsmöglichkeiten versprechen. So wird diese Arbeit zeigen, dass sich aus der Kombination von „Problemlösen“ und „Zaubern“ ein umfassendes Konzept mit vielschichtigen Lernmöglichkeiten entwickeln lässt.

Die vorliegende Arbeit erläutert zunächst die relevanten Lehrerfunktionen (Kap. 2) und danach das schulinterne Forderkonzept der Anne-Frank-Gesamtschule (Kap. 3). Die Einbeziehung der Bildungsstandards und des Kernlehrplans unter dem Gesichtpunkt des Problemlösens findet in Kapitel 4 statt. Der näheren Untersuchung des mathematischen Problems folgt ein Abschnitt über die zentralen psychoanalytischen Theorien, welche die Wissenschaft für das Problemlösen bereitstellt. Die mit der

Informationsverarbeitungstheorie begründeten heuristischen Strategien bilden den Abschluss der didaktischen Vorüberlegungen. Das 5. Kapitel beinhaltet die methodischen Vorüberlegungen, die bei Ausgestaltung des Konzeptes zum Tragen kommen. Die Auseinandersetzung auf inhaltlicher Ebene, welche sich mit der organisatorischen Gestaltung, der heuristischen Schulung und der Umsetzung des Problemlösens am Beispiel

¹ Galileo Galilei (1564 - 1642) war ein italienischer Mathematiker, Physiker und Astronom, der

bahnbrechende Entdeckungen auf mehreren Gebieten der Naturwissenschaften machte (Zitat abgerufen unter:

http://www. bildungswirt.de/ 2009/04/22/1026).

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von mathematischen Zaubertricks beschäftigt, findet in Kapitel 6 statt. Anschließend erfolgt ein Rückblick auf die Möglichkeiten, aber auch die Grenzen der gewählten Ausgestaltung (Kap. 7). Den Abschluss dieser Arbeit bildet eine Evaluation, aus der Verbesserungsvorschläge entwickelt werden, die rückwirkend in die methodischen und didaktischen Überlegungen integriert werden (Kap. 8).

2. Die Lehrerfunktionen

Die vorliegende Arbeit stellt Bezüge zu unterschiedlichen Lehrerfunktionen her, die an dieser Stelle kurz vorgestellt werden ² .

Es handelt sich erstens um die Lehrerfunktion Unterrichten, die sich durch die Entscheidungen zur Unterrichtsplanung und -durchführung aus fachlicher, didaktischer und methodischer Sicht begründet. Neben dem Aufbau von Problemlösekompetenzen spielt die Umsetzung des schulinternen Forderkonzeptes eine besondere Rolle. Darauf aufbauend wird der Unterricht reflektiert und ausgewertet.

Zweitens ist die Lehrerfunktion Diagnostizieren und Fördern im Blickfeld dieser Arbeit, die insofern an die Funktion Unterrichten anknüpft, als dass mathematisch begabte Schüler ³ in Umfeld eines Forderkurses im Jahrgang 5 gezielt gefördert werden sollen. Die Lehrerfunktion Organisieren und Verwalten vollzieht sich drittens durch die systematische Mitgestaltung der Institution Schule, die vor allem durch die Eingliederung dieses Konzeptes in die Curriculumsarbeit des Forderkonzeptes zum Tragen kommt und somit die Qualität schulischer Arbeit verbessern soll.

3. Das schulinterne Forderkonzept im Fach Mathematik

Als Ausgangspunkt für die vorliegende Ausgestaltung dient u.a. das schulinterne Forderkonzept der Anne-Frank-Gesamtschule im Bereich Mathematik, welches in ein breit angelegtes Förderprogramm für die Unter- und Mittelstufe eingebettet ist. Im Detail unterteilt sich das Förderprogramm in die drei Bereiche „Anschluss finden“, „Grenzen suchen“ und „Abschluss finden“. Das Anliegen für die Unterstufe beruht ausschließlich auf den Bereichen „Anschluss finden“ und „Grenzen suchen“. Den Schülern soll auf der einen Seite eine Möglichkeit geboten werden ihre Defizite in den Fächern Deutsch, Englisch und/oder Mathematik durch separate Fachförderkurse zu beheben („Anschluss finden“), auf der anderen Seite sind für begabte Schüler in den benannten Fächern sog. Forderkurse

² Die Beleuchtung der relevanten Lehrerfunktionen orientieren sich an den Rahmenvorgaben für den

Vorbereitungsdienst in Studienseminar und Schule (http://www.schulministerium.nrw.de/BP/Schulrecht/

Lehrerausbildung/Rahmenvorgabe_OVP.pdf).

³ Die Verwendung der maskulinen Form der Schüler beinhaltet fortlaufend auch die feminine Form die

Schülerin. Gleiches gilt für andere maskuline Wortformen.

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eingerichtet („Grenzen suchen“). Beide Kursarten finden einmal die Woche jeweils einstündig statt und beschränken sich ausschließlich auf die Jahrgangstufen 5 und 6. Da sich die vorliegende Arbeit mit dem Forderkurs Mathematik auseinandersetzt, soll dieser Baustein im Folgenden näher betrachtet werden ⁴ . Das Kernziel wird bereits durch den Oberbegriff des Bausteins „Grenzen suchen“ hervorgehoben und besagt, dass neben der Schaffung von zusätzlichen Herausforderungen, den Leistungsspitzen in dem Fachgebiet ermöglicht werden soll, ihre Grenzen eigenständig zu erfahren. Als weitere Ziele werden die Stärkung von sozialen Kompetenzen und die Förderung von Selbstständigkeit und Verantwortungsbereitschaft ausgegeben ⁵ . Die inhaltlichen Vorgaben beschränken sich auf die Durchführung von Fachprojekten ⁶ , die über den Rahmen des normalen Fachunterrichts hinausgehen sollen ⁷ . Darüber hinaus empfehlen Fritzlar et al. zum einen den Spaß der Kinder am Umgang mit Zahlen zu erhalten und zu vergrößern, und zum anderen die Freude am Problem lösenden Denken zu fördern ⁸ . Die Auswahl der teilnehmenden Schüler, die sich neben der Beobachtung durch die zuständige Lehrkraft auf einen schulinternen Diagnosetest (Lernstandsbeschreibung Mathematik) ⁹ stützt, erfolgt durch den Fachlehrer ¹⁰ und die Klassenkonferenz. Aus jeder der fünf Klassen nehmen daraufhin drei mathematisch begabte Schüler an dem Forderkurs Mathematik teil, so dass die Kursgröße auf insgesamt 15 Personen festgesetzt ist. Die Schüler des Forderkurses sind daher keine „Hochbegabten“ im engeren Sinne, sondern vielmehr überdurchschnittlich mathematisch begabte und interessierte Kinder. In der Literatur wird diese Art des Förder- bzw. Forderkonzeptes für begabte Schüler „Enrichment“ genannt. Unter diesem Begriff wird ein vertieftes Lernen verstanden, welches das reguläre Unterrichtsangebot nicht ersetzen, sondern ergänzen soll ¹¹ . Ein beschleunigtes durchlaufen der Schullaufbahn wird beim Enrichment nicht vorgesehen, so dass die Schüler durchgängig in ihrem Klassenverband bleiben. Bei den Lerninhalten wird zwischen dem vertikalen Enrichment, welches die Themen des Lehrplans vertiefen soll,

⁴ vgl. Thees (2008), S. 1-4

⁵ In der Literatur werden die Lernziele von solchen „Plus-Kursen“ ebenfalls in der Stärkung von allgemeinen

Fähigkeiten wie geistige Flexibilität und Bereitschaft zur Teamarbeit gesehen (vgl. Holling, & Kanning

(1999). S. 72). Fritzlar et al. sehen in den Forderkursen sogar eine Möglichkeit zur Stärkung der

Persönlichkeitsentwicklung (Selbstbewusstsein, Anstrengungsbereitschaft, Ausdauer, Förderung der sozialen

Kompetenz).

⁶ Der Begriff „Projekt“ umschreibt in diesem Zusammenhang einen Themenkomplex, der über einen längeren

Zeitraum behandelt wird und ein Endprodukt aufweisen sollte.

⁷ Ein Arbeitsvorhaben für das Schuljahr 2008/2009 ist die Entwicklung eines Curriculums durch die

Fachkonferenz Mathematik.

⁸ Fritzlat et al. (2006), S. 8-9

⁹ Der Diagnosetest erfasst den mathematischen Stoff aus dem Primarbereich und soll in dieser Arbeit nicht

näher erläutert werden.

¹⁰ Durch die Formulierung „Lehrer“ ist in dieser Arbeit stets auch die weibliche Form „Lehrerinnen“

eingeschlossen.

¹¹ Holling & Kanning (1999). S. 71

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und dem horizontalen Enrichment, also eine Ergänzung des Unterrichtspensums, unterschieden ¹² . Das schulinterne Konzept der Anne-Frank-Gesamtschule im Bereich der Begabtenförderung gibt somit ein horizontales Enrichment als inhaltlichen Handlungsrahmen vor.

4. Fachdidaktische Überlegungen

4.1 Das Problemlösen und die Bildungsstandards

Die Bildungsstandards stützen sich auf ein Bündel von Kompetenzen bzw. Kompetenzerwartungen, die von den Schülern im Laufe ihrer Schulzeit erworben werden sollen. In den Bildungsstandards werden die Problemlösekompetenzen definiert als „die Gesamtheit aller Kenntnisse, Fähigkeiten und Bereitschaften, die ein Mensch benötigt, um in einer Vielfalt aktueller und künftiger Lebenssituationen neue Anforderungen zu bewältigen“ ¹³ . Obwohl diese Fähigkeiten weit über die mathematischen Fähigkeiten hinausgehen, ist das Fach Mathematik nach Ansicht der KMK „besonders gut geeignet, Schülern problemhaltige Situationen anzubieten und Problemlöseprozesse zu initiieren“ ¹⁴ . Das Fach Mathematik kann somit einen wichtigen Beitrag zur Bildung leisten, indem durch die Bearbeitung von Problemen mit mathematischen Mitteln allgemeine Problemlösefähigkeiten erworben werden ¹⁵ . Das Problemlösen ist daher eine Schlüsselqualifikation im Sinne einer Grundlage für ein lebenslanges Lernen, da die Schüler nicht nur mit uneindeutigen Informationen zurechtkommen müssen, sondern auch eigene Lösungsansätze und Strategien entwickeln sollen ¹⁶ . Schwierigkeiten bei der Übertragung von innermathematischen Problemlösekompetenzen auf außermathematische Strukturen, sind nach dem Ansatz des „situated learnings“ unausweichlich ¹⁷ . Der Transfer kann nur erfolgen, wenn die Problemlösestrategien „kontextgebunden gelernt und anschließend durch Dekontextualisierung abstrahiert werden“ ¹⁸ . Eine Anwendung der Problemlösefähigkeiten im Alltagsleben kann demnach nur erfolgen, falls diese in Form von abstrakten Wissensstrukturen vorliegen. In dieser

¹² Holling & Kanning (1999). S. 72

¹³ Landesinstitut für Schule / Qualitätsagentur (2006). S. 80

¹⁴ Landesinstitut für Schule / Qualitätsagentur (2006). S. 81

¹⁵ Vgl. Kultusministerkonferenz (2004), S. 6

¹⁶ Leuders weist daraufhin, dass „die Geschwindigkeit der technischen und gesellschaftlichen Veränderungen

mehr denn je eine hohe Flexibilität verlangt. Weder Lebens- noch Berufsbedingungen sind heute so

beständig, dass es ausreicht, […] mit einem Repertoire von Grundfähigkeiten ausgerüstet zu werden. Insofern

kann man die Schlüsselqualifikation als Kompetenz zu lebenslangem Lernen verstehen“ (Leuders (2009), S.

51). Die Problemlösefähigkeit wird hierbei oft als eine zentrale Schlüsselqualifikation genannt.

¹⁷ Ein Nachweis über den Transfer konnte „bisher nur dann nachgewiesen werden, wenn es sich um sehr

ähnliche Probleme im gleichen Kontext handelt (naher Transfer) oder wenn es um Probleme geht, die eine

gleiche Struktur aufweisen. Nach dem Ansatz des „situated learnings“ wird Wissen in einem Kontext (sozial

und inhaltlich) konstruiert und ist „somit situativ und kontextuell gebunden“.(Heinze (2007), S. 12).

¹⁸ Heinze (2007), S. 12

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Arbeit wird daher der Begriff Problemlösekompetenz nicht in der genannten Abstraktheit verwendet. Es sollen darunter die „kognitiven und auch motivationalen und volitionalen Fähigkeiten, Kenntnisse bzw. Bereitschaft eines Individuums verstanden“ werden, „die zur erfolgreichen Bewältigung von Problemstellungen erforderlich sind“ ¹⁹ . In den Bildungsstandards für den mittleren Schulabschluss werden zunächst allgemeine mathematische Kompetenzen angegeben, die sich in 6 Bereiche aufteilen. „Probleme mathematisch lösen“ ist hierbei eine Kompetenz, die neben der Auswahl und Anwendung von Heuristiken durch die Reflexion von Ergebnissen und Lösungswegen konkretisiert wird ²⁰ . Im Primarbereich soll eine Basis für die Erwerbung dieser Problemlösekompetenz gelegt werden, so dass sich diese Bildungsstandards durch eine abgeschwächte Form der genannten Erwartungen auszeichnen ²¹ .

Das unterschiedliche Niveau, das bei Problemlöseprozessen erreicht werden kann, wird in den Bildungsstandards durch drei Anforderungsbereiche charakterisiert ²² :

• Anforderungsbereich I: Lösen durch Identifikation und Auswahl einer naheliegenden Strategie.

• Anforderungsbereich II: Mehrschrittiges strategiegestütztes Vorgehen.

• Anforderungsbereich III: Konstruieren einer elaborierten Strategie, Reflexion über verschiedene Lösungswege.

Um diese Bildungsstandards zu erreichen, wird eine klare Akzentuierung im Unterricht auf die prozessbezogenen mathematischen Kompetenzen empfohlen. Nur so bietet sich für die bisher untergeordnete Problemlösekompetenz die Chance, dass diese eine stärkere Rolle im Mathematikunterricht bekommt ²³ . Dementsprechend soll sich die vorliegende Ausgestaltung auf die Förderung der Problemlösekompetenzen fokussieren, um somit einen zielgerichteten Beitrag zu den geforderten Bildungsstandards zu leisten.

4.2 Einbettung des Problemlösens in den Kernlehrplan Mathematik

Das Forderkonzept der Anne-Frank-Gesamtschule basiert auf den Ideen des horizontalen Enrichments, so dass zwar Ergänzungen der Lerninhalte erfolgen, die sich gleichwohl auf

¹⁹ Heinze (2007), S. 11

²⁰ Im Wortlaut werden die Erwartungen folgendermaßen ausgegeben: 1. „vorgegebene und selbst formulierte

Probleme bearbeiten“. 2. „Geeignete heuristische Hilfsmittel, Strategien und Prinzipien zum Problemlösen

auswählen und anwenden“. 3. „Die Plausibilität der Ergebnisse überprüfen sowie das Finden von

Lösungsideen und die Lösungswege reflektieren“ (Kultusministerkonferenz (2004), S. 8).

²¹ Die Kompetenzerwartungen für den Primarbereich lauten konkret: 1. „Mathematische Kenntnisse,

Fertigkeiten und Fähigkeiten bei der Bearbeitung von problemhaltigen Aufgaben anwenden“. 2.

„Lösungsstrategien entwickeln und nutzen (z.B. systematisches probieren). 3. Zusammenhänge erkennen,

nutzen und auf ähnliche Sachverhalte übertragen“ (Kultusministerkonferenz (2005), S. 7).

²² Vgl. Blum et al. (2006), S. 39

²³ Vgl. Deutscher Verein zur Förderung des mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht e.V.

(2004). S. 7

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