Inhalt

1.  Klassensituation/Sozialisationserscheinungen.  2

2.  Unterrichtete Stunden innerhalb der Stoffabschnitte „Rechnen mit Bruchzahlen“ und  

„Dezimalbrüche“  mit Einordnung in den Gesamtlehrgang.  3

3.  Sachanalyse  5

4.  Mathematikdidaktische Aussagen zum Stoffabschnitt.  9

5.  Planung des Stoffabschnittes.  12

6.  Themen der unterrichteten Stunden  12

6.1  Stundenentwurf 1  13

6.1.1  Klassensituation speziell  13

6.1.2  Einbettung der Stunde  13

6.1.3  Methodische Vorbesinnung.  14

6.1.4  Lernziele.  14

6.1.5  Verlaufsplanung  15

6.1.6  Geplantes Tafelbild  17

6.1.7  Auswertung/Nachbereitung.  18

6.2  Stundenentwurf 2  19

6.2.1  Klassensituation speziell  20

6.2.2  Einbettung der Stunde  20

6.2.3  Methodische Vorbesinnung.  20

6.2.4  Lernziele.  21

6.2.5  Verlaufsplanung  22

6.2.6  Geplantes Tafelbild  24

6.2.7  Auswertung/Nachbereitung.  25

7.  Hospitationsliste  26

7.1  Hospitationsprotokoll 1.  28

7.1.1  Verlaufsprotokoll  28

7.1.2  Auswertung  30

7.2  Hospitationsprotokoll 2.  31

7.2.1  Verlaufsprotokoll  32

7.2.2  Auswertung  33

8.  Darstellung eines durchgeführten Leistungstests.  35

9.  Gesamtauswertung.  36

10.  Literaturverzeichnis.  38

11.  Anhang  39

1

2

2. Unterrichtete Stunden innerhalb der Stoffabschnitte „Rechnen mit Bruch-zahlen“ und „Dezimalbrüche“ mit Einordnung in den Gesamtlehrgang

¹ Vgl. Beckmann 2001, S. 3.

² Vgl. RLP 2004, S. 22.

³ Vgl. Beckmann 2001, S. 4.

⁴ Vgl. RLP 2004, S. 22.

3

⁵ Vgl. Padberg 1995, S. 11-14.

4

3. Sachanalyse

Doch zunächst zur Motivation der Zahlbereichserweiterung ⁸ :

⋅ = mit , p q ∈ und | Die uneingeschränkte Lösbarkeit von Gleichungen der Form q x p q p ist der

Anlass für die Erweiterung des Zahlbereichs zum Zahlbereich ⁺ . Für die Lösung einer sol- = q ≠ . x p q : 0 chen Gleichung gilt mit

p q werden nun in einer Klasse zusammengefasst, welche durch folgende Diese Quotienten : Menge definiert wird: = ∈ ∈ ⋅ = ⋅ . p q x y x y p y q x [( , )] : {( , ) | , \{0} und }

⁶ Dies ist nach Padberg 1995, S. 10 die gängige Bezeichnung für positive rationale Zahlen. Der Begriff

schließt nun im Gegensatz zu Beckmann 2001 (s.o.) die Dezimalbrüche mit ein.

⁷ Nach Bronstein 2001, S. 1 ist die Null grundsätzlich in den Mengen , und enthalten. Weiterhin

⁺ als obig definierte echte Teilmenge von

soll auch im Verlauf dieser Arbeit die Null enthalten.

⁸ Da in der sechsten Klassenstufe noch nicht mit negativen rationalen Zahlen gearbeitet wird, ist in dieser

Sachanalyse nur die Behandlung der positiven rationalen Zahlen nötig.

5

× Die Zerlegung der Menge \{0} in Klassen beruht auf der Äquivalenzrelation: ⇔ ⋅ = ⋅ mit , , , a b c d ∈ und , b d ≠ . a b c d a d b c ( , ) ~ ( , ) 0

Beweise zu den Eigenschaften ⁹ der Reflexivität, Symmetrie und Transitivität:

Reflexivität

⇔ ⋅ = ⋅ a b a b a b b a ( , ) ~ ( , )

Symmetrie

Ÿ a b c d c d a b ( , ) ~ ( , ) ( , ) ~ ( , )

⇔ ⋅ = ⋅ a b c d a d b c ( , ) ~ ( , )

⇔ ⋅ = ⋅ ⇔ c b d a c d a b ( , ) ~ ( , )

Transitivität

a b c d c d e f ( , ) ~ ( , ) und ( , ) ~ ( , ), a b e f dann gilt ( , ) ~ ( , )

⇔ ⋅ = ⋅ a b c d a d b c ( , ) ~ ( , ) (1)

⇔ ⋅ = ⋅ c d e f c f d e und ( , ) ~ ( , ) (2)

→ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ a d c f b c d e cd (1) (2) |:

⇔ ⋅ = ⋅ ⇔ a f b e a b e f ( , ) ~ ( , )

Positive rationale Zahlen sind damit definiert als die Menge aller Äquivalenzklassen ⁺ = = ∈ ∈ p q x y x y [( , )] : {[ , ] | , \{0}} . Eine solche Äquivalenzklasse wird als (positive/r)

⁹ Vgl. Kummer 2003, S. 3.

6

In Anlehnung an das Stundenthema „Teilen von Brüchen durch eine natürliche Zahl“ ist es angemessen die Multiplikation rationaler Zahlen zu definieren, da nach Einbettung der natürlichen Zahlen in die Menge der Bruchzahlen der Zusammenhang zwischen der allgemeinen Divisionsregel : , für und , , \{0}

b d b c

und den einfachen Sonderfällen

Die Multiplikation „ “ von Bruchzahlen ist wie folgt definiert:

^⋅ : ^{+ + +} × → mit = . a c a c :

⋅ b d b d

⁺ bildet bezüglich der Multiplikation eine kommutative (bzw. abelsche) Grup-Die Menge \{0}

pe ¹¹ mit folgenden Eigenschaften:

Zu 2)

¹⁰ Vgl. Padberg 1995, S. 123.

¹¹ Vgl. Kramer 2003, S.17.

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