Inhaltsverzeichnis:

1.  LHOGHV6FKXOEXFKDEVFKQLWWV EHUÄEHGLQJWH:DKUVFKHLQOLFKNHLWHQ  

2.  9RUVWHOOXQJHLQHV  HLVSLHOV

3.  (QWZLFNOXQJGHV HJULIIVGHUÄEHGLQJWHQ:DKUVFKHLQOLFKNHLW  -4

4.  9HUWLHIXQJ HLVSLHO  4/5

5.  VersäumnisVH  5

2

1. =LHOGHV6FKXOEXFKDEVFKQLWWVEHUÄEHGLQJWH:DKUVFKHLQOLFKNHLWHQ ,QGHPYRUOLHJHQGHQ6FKXOEXFKDUWLNHOEHUÄEHGLQJWH:DKUVFKHLQOLFKNHLWHQ³JHKWes um die Verwertung von Teilinformationen bei stochastischen Vorgängen, d.h. inwieweit zusätzliche Informationen über einen stochastischen Vorgang die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses beeinflussen.

,QPHLQHP$XIVDW]VROOHVLP6SH]LHOOHQXPGLH(QWZLFNOXQJGHV%HJULIIVGHUÄEHGLQJWHQ :DKUVFKHLQOLFKNHLW³JHKHQ'LH)UDJHZLHZLUYRQHLQHUÄQDLYHQ³9RUVWHOOXQJGHV%HJULIIV]X einer mathematischen Formulierung gelangen, soll an gezielten Beispielen erörtert werden.

2. Vorstellung eines Beispiels

Nun wird anhand von 3 Beispielen versucht, einen Zugang zu diesem Thema zu erhalten. Ich werde, aufgrund von Platzmangel, nur das erste Beispiel im Folgenden kurz beschreiben.

Bsp. 1: Eine Urne wird mit 6 Kugeln gefüllt. Von diesen sind jeweils 2 rot, 2 schwarz und 2 blau. Zwei Personen A und B vereinbaren, dass B räumlich getrennt von A zufällig Kugeln ohne Zurücklegen zieht und A dann informiert, wenn das erste Mal eine blaue Kugel gezogen wurde. Sagen wir, B teilt A mit, dass im 3. Zug blau kam. Wie sollte man dann als Person A die Wahrscheinlichkeit dafür einschätzen, dass die ersten beiden gezogenen Kugeln rot waren?

3. (QWZLFNOXQJGHV%HJULIIVGHUÄEHGLQJWHQ:DKUVFKHLQOLFKNHLW³

Wie können wir nun aus dem obigen Beispiel Erkenntnisse über Wahrscheinlichkeiten der beschriebenen Ereignisse gewinnen? Zunächst muss man festhalten, dass es sich bei Beispielen bedingter Wahrscheinlichkeiten immer um stochastisch abgeschlossene Vorgänge handelt, d.h. die Ergebnisse stehen immer schon fest; wir wissen sie nur nicht und sollen anhand von Teilinformationen Wahrscheinlichkeiten dafür bestimmen, dass sie eingetreten sind.

Betrachten wir zunächst das obige Beispiel. Wie würden wir zunächst die Wahrscheinlichkeit ÄDSULRUL³ ¹ einschätzen? +LHUKlWWHQZLUIUGDV(UHLJQLV$ Ä'LHEHLGHQHUVWHQ.XJHOQVLQG

URW³GLHHUVWH3IDGUHJHOYHUZHQGHWQlPOLFK3$

Teilinformationen über einen stochastisch abgeschlossenen Vorgang gegeben. Diese

Informationen PVVHQZLULQHLQHPÄ/HUQSUR]HVV³YHUDUEHLWHQXPÄDSRVWHULRUL³ ² -Wahrscheinlichkeiten zu erhalten. 'XUFKGLHVHQÄ/HUQSUR]HVV³NDQQHVQXQVHLQGDVV bestimmte Ereignisse des stochastischen Experiments einer

ÄZDKUVFKHLQOLFKNHLWVWKHRUHWLVFKHQ1HXEHZHUWXQJ³bedürfen, d.h. durch Teilinformationen

¹ d.h. ohne Erfahrung bzw. Teilinformationen ~,ŒŒZ]˜ÁºŒcv]À^PvX

² d.h. durch Erfahrung gewonnen Erkenntnisse

können Ereignisse mehr oder weniger wahrscheinlich werden. Zum Beispiel wird das (UHLJQLV% Ä%HLPHUVWHQ=XJHUVFKHLQWHLQHEODXH.XJHO³im obigen Beispiel unmöglich ³ ,

ZlKUHQG%EHLPÄDSULRUL³-Wissensstand P(B)

Die Verarbeitung von Teilinformationen bei stochastischen Vorgängen geschieht in der 0DWKHPDWLNPLW+LOIHGHUÄEHGLQJWHQ:DKUVFKHLQOLFKNHLWHQ³(LQLJH9RUDXVVHW]XQJHQPVVHQ dafür getroffen werden. Wir betrachten ein wiederholt durchführbares Zufallsexperiment, das durch den endlichen W-5DXPŸ3EHVFKULHEHQLVWhEHUGHQ$XVJDQJGHV Zufallsexperiments sei nur bekannt, dass ein Ereignis gilt. HLQJHWUHWHQLVWDOVR

Diese Information heißt im Folgenden die Bedingung B. =LHOXQVHUHU%HPKXQJHQLVWHVDXIJUXQGXQYROOVWlQGLJHU,QIRUPDWLRQHQEHUHLQH Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses ÄXQWHUGHU%HGLQJXQJYRQ%³

zu erhalten, d.h. Wahrscheinlichkeiten für ein Ereignis A zu erhalten, mit dem Wissen, dass B eingetreten ist. Wir betrachten somit, wie oben schon angedeutet, abgeschlossene Vorgänge ⁴ .

Im Folgenden müssen wir uns noch auf sinnvolle Eigenschaften einer bedingten Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B, kurz l ⁵ , einigen. Zunächst sollte die erfüllt sein ⁶ . Weitere sinnvolle Eigenschaften sind: (1) Ungleichung l

an einem Bsp. verdeutlichen. Sagen wir, wir bekommen aus einem Nachbarraum die Information, dass die Augensumme zweier dort geworfener echter Würfel mindestens 11 EHWUlJWDOVR(UHLJQLV% Ä$XJHQVXPPH 11 beim Wurf zweier WüUIHO³1XQIUDJHQZLUXQV ZLHZDKUVFKHLQOLFKHLQ(UHLJQLV$ Ä(VIlOOWPLQGHVWHQVHLQH³XQWHU%HGLQJXQJ%LVWEs folgt A = und B = . Nun wissen wir, dass B

eingetreten ist. Da nun alle Elementarereignisse von B mindestens eine 6 enthalten, gilt auch und es ist klar, dass A auf jeden Fall eintritt, wenn B eingetreten ist; also l .

)UNDQQPDQGLH9RUDXVVHW]XQJHQJHULQJIJLJDElQGHUQ1HKPHQZLUQXQ$ Ä(VIlOOW PLQGHVWHQVHLQH³XQGEHKDOWHQ% ÄAugensumme EHLP:XUI]ZHLHU:UIHO³EHLVR erhalten wir A = und B = . Wenn nun B ⁷ und eingetreten ist, kann kein Elementarereignis aus A mehr eintreten. Hier gilt

³ Denn blau taucht ja erst beim 3. Zug auf!

⁴ bšZš(šU wir wissen es nur nicht genau! ⁵ Wird auch als P B (A) geschrieben!

⁶ Auch die bedingte Wahrscheinlichkeit sollte sinnvollerweise zwischen 0 und 100 % liegen. ⁷ Ereignisse A und B sind disjunkt