Inhaltsverzeichnis

1.  Zur geschichtlichen Entwicklung der Wahrscheinlich-  

keitsrechnung  - Ein kurzer Überblick, wichtige Namen,  

ein  Teilungsproblem und seine Lösung.  2

2.  Was bedeutet Wahrscheinlichkeit?  4

2.1  Zur lexikalischen Deutung.  4

2.2  Zur Definition der Wahrscheinlichkeit nach Laplace.  5

2.3  Zur statistischen Definition.  7

2.4  Zur axiomatischen Definition.  10

3.  Was bedeutet „objektive“ Wahrscheinlichkeit?  11

4.  Was bedeutet „subjektive“ Wahrscheinlichkeit?  11

5.  Betrachten von ausgewählten Aufgabenstellungen zu  

subjektiven  Wahrscheinlichkeiten.  12

5.1  Ziehen aus einer Urne.  13

5.2  Fußballspiel.  14

5.3  Mehrfacher Münzwurf.  15

5.4  Lotto „6 aus 49“  17

5.5  Das Ziegenproblem.  19

5.5.1  Empirischer Beweis.  21

5.5.2  Erster, argumentativer Beweis  21

5.5.3  Zweiter, argumentativer Beweis  23

5.5.4  Ein Ziegenproblem mit Fifty-fifty-Spielregel.  23

6.  Abschlussbetrachtung.  24

7.  Verwendete Literatur S  26

1. Zur geschichtlichen Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsrechnung -Ein kurzer Überblick, wichtige Namen, ein Teilungsproblem und seine Lösung

Schon der Urmensch in prähistorischer Zeit muss sich mit einfachen Formen des Zählens und ersten mathematischen Fragestellungen auseinandergesetzt haben. Wie viele Speere waren für die nächste Jagd anzufertigen, wie viele Tiere mussten erlegt werden? Die Klärung dieser und ähnlicher Fragen konnte lebenswichtig sein.

Von nachweislich hohem Niveau war im 3. Jahrtausend v. Chr. das mathematische Wissen der alten Ägypter, insbesondere in den Bereichen Arithmetik und Geometrie.

Im Vergleich dazu ist die Wahrscheinlichkeitsrechnung eine recht junge mathematische Disziplin. Ihre Wurzeln liegen im Frankreich des 16. Jahrhunderts. Dort waren Glücksspiele, vor allem Würfelspiele, sehr in Mode. Geronimo Cardano (1501-1576) veröffentlichte zum Thema Würfelspielprobleme ein Buch namens „Liber de ludo aleae“. 1

1654 tauschten sich Blaise Pascal (1623-1662) und Pierre de Fermat (1601-1665), die von vielen Historikern als Begründer der Wahrscheinlichkeitsrechnung gesehen werden, in einem Briefwechsel über Fragen zur mathematischen Behandlung von Glücksspielen aus. 2

Ausgangspunkt der Fragenstellungen waren so genannte Teilungsprobleme: Wie soll der Einsatz eines mehrsätzigen Glücksspieles gerecht aufgeteilt werden, wenn das Spiel vorzeitig abgebrochen wird?

Ein Beispiel: Zwei Spieler, A und B, würfeln um die Wette. In jeder Runde würfelt jeder Spieler einmal, der jeweils höhere Wurf bringt einen Punkt ein. Den Gewinneinsatz erhält, wer als erstes 5 Punkte erreicht. Als Spieler A 4 Punkte und Spieler B 3 Punkte hat, wird das Spiel vorzeitig abgebrochen. Wie soll nun der Einsatz (anteilig) gerecht aufgeteilt werden? 3

Berühmte Mathematiker vor Pascal meinten fälschlicherweise, Spieler A stün-

¹ vgl.Hinderer, S. 18

² vgl. Hauser, S. 15 / Randow, S. 19

³ vgl. Randow, S. 20

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den 2/3 zu, weil A in zwei von drei möglichen Fällen gewinnen kann: entweder beim Stand von 5 zu 3 für A, oder beim Stand von 5 zu für A. Spieler B hingegen hat nur eine einzige Chance auf den Gewinn, nämlich beim Spielstand von 5 zu 4 für B. Daher solle Spieler B 1/3 des Einsatzes bekommen. Richtig ist hingegen folgende Überlegung: Spieler B hat dann gewonnen, wenn er beim nächsten und zusätzlich beim darauf folgenden Wurf punktet. Die Chance dafür liegt gemäß der Multiplikationsregel bei 1/2 1/2, also bei 1/4. Daher ist es gerecht, wenn Spieler B 1/4 des Einsatzes bekommt. Für Spieler A verbleiben somit 3/4 des Gewinns. 4

Natürlich kann man auch von Spieler A ausgehend diese Aufteilung begründen: Gewinnt A beim nächsten Wurf, hätte A das gesamte Spiel gewonnen. Die Chance dafür liegt bei 1/2. A gewinnt aber auch dann, wenn B zunächst ausgleicht (Spielstand 4 zu 4) und A dann den nächsten Punkt macht. Für diesen Ausgang gilt die Wahrscheinlichkeit 1/2 1/2, also 1/4, und beide Wahrscheinlichkeiten addiert ergeben 3/4. Blaise Pascal erkannte die mathematisch korrekten Lösungswege für derartige Teilungsprobleme. 5

Auch der Holländer Christiaan Huygens, der von dem Briefwechsel zwischen Pascal und Fermat wusste, über seinen Inhalt aber wenig Konkretes in Erfahrung bringen konnte, fand unabhängig von Pascal eine Lösungsmethode für die Teilungsproblematik und veröffentlichte im Jahre 1657 sein Buch „De ratiociniis in ludo aleae“. ⁶ Der Autor HINDERER bezeichnet diese Veröffentlichung als das vielleicht erste Buch über Wahrscheinlichkeitsrechnung ⁷ , während

RICHTER im vom Niederländer Jakob Bernoulli (1654-1705, Das schwache Gesetz der großen Zahl) verfassten Werk „Ars conjectandi“ das erste Lehrbuch zur Wahrscheinlichkeitsrechnung sieht. 8

Ein weiteres, bedeutsames Werk zur Wahrscheinlichkeitsrechnung mit dem Titel „The doctrin of chances“ (1718) publizierte der Gelehrte Abraham de Moi- Sonderfalldes zentralen Grenzwertsatzes). ⁹ vre (1667-1754,

⁴ vgl. Randow, S. 20. Zur Multiplikationsregel bei (unabhängigen) Ereignissen siehe Richter, S. 28.

⁵ vgl. Hauser, S. 15 / Hinderer, S. 19. Zur Additionsregel siehe Richter, S. 51.

⁶ vgl. Hinderer, S. 19

⁷ vgl. ebd., S. 19

⁸ vgl. Richter, S. 13

⁹ vgl. Hinderer, S. 19

3

Pierre Simon de Laplace (1749-1827) brachte die Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsrechnung durch sein Lehrbuch „Théorie analytique des probabilités“ (1812) wesentlich voran. Man begann damit, Theorien und Ideen aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung auch auf Wirtschafts- und Sozialbereiche sowie auf Felder der Physik und der Biologie zu übertragen. 10

Noch in den ersten drei Jahrzehnten des 20. Jahrhunderts standen die meisten Mathematiker der Wahrscheinlichkeitsrechnung skeptisch gegenüber, es fehlte ein „mathematisch exaktes und genügend inhaltsreiches Begriffssystem“. ¹¹ Eine größere Anerkennung erfuhr die Wahrscheinlichkeitsrechnung schließlich durch die Axiome von Kolmogorow ¹² (siehe Gliederungspunkt 2.4).

2. Was bedeutet Wahrscheinlichkeit?

Obwohl uns der Begriff „Wahrscheinlichkeit“ allen geläufig scheint, ist es nicht unbedingt einfach, diesen Begriff aus dem Stegreif zu erklären, ohne dabei auf das abgeleitete Wort „wahrscheinlich“ zurückzugreifen.

2.1 Zur lexikalischen Deutung

Der Brockhaus umschreibt die Wahrscheinlichkeit als „ein Grad für das Maß der Möglichkeit noch unverwirklichter Ereignisse“. 13

Obwohl das Lexikon im Rahmen seiner Umschreibung der Wahrscheinlichkeit auf das Wort „Maß“ zurückgreift, werden Wahrscheinlichkeiten grundsätzlich ohne Maßeinheiten angegeben. Bezifferte Angaben zur Wahrscheinlichkeit sind also keine mathematischen Größen im eigentlichen Sinne. ¹⁴ Eine Münze

sei 10 Gramm schwer, habe einen Durchmesser von 2 Zentimetern, und reiche für den Kauf von 0,33 Litern Wasser aus, das innerhalb von 2 Minuten aufgetrunken wird. Aber die Wahrscheinlichkeit, dass diese Münze bei einem Wurf auf der Wappenseite liegen bleibt, beträgt 1/2 - ohne Maßeinheit! Als ei-

¹⁰ vgl.Hinderer, S. 19

¹¹ ebd., S. 20

¹² vgl. ebd., S. 20. „Kolmogorow“ wird auch in den Schreibungen Kolmogoroff oder Kolmogorov realisiert.

¹³ vgl. Brockhaus, S. 791

¹⁴ Eine Größe besteht aus einer Zahl in Verbindung mit einer Maßeinheit, z.B. „2 km“. Synonym wird auch der

Begriff „benannte Zahl“ verwendet.

4

ne Art Behelf für eine fehlende Maßeinheit könnte das Ausdrücken von Wahrscheinlichkeiten in Prozent verstanden werden. „Die Chance, bei einem Münzwurf Wappen zu erhalten, liegt bei 50%“. Sprachlich erscheint diese Formulierung möglicherweise exakter, mathematisch gesehen wurde aber die Wahrscheinlichkeit 1/2 lediglich mit dem Faktor 100 multipliziert und dieser neue Wert durch ein Prozentzeichen (Prozent = pro Hundert) markiert. Im Prinzip stellt die Angabe 50% also einen ungekürzten Bruch dar, nämlich 50/100.

2.2 Zur Definition der Wahrscheinlichkeit nach Laplace

Die klassische Definition, die „Urformel“ für Wahrscheinlichkeitsberechnung, ist die Darstellung nach Laplace: 15

P ... steht für die Wahrscheinlichkeit (probability). Häufig wird der Buchsta-be P alternativ als Minuskel geschrieben (p).

A ... ist das Ereignis, nach dem gefragt wird (z.B. Ereignis „Wappen“ bei

einem einmaligen Münzwurf).

P(A) ... ist die Wahrscheinlichkeit von A, also die Wahrscheinlichkeit, mit der A

eintritt (z.B. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit vom Ergebnis „Wap-pen“ bei einem einmaligen Münzwurf?).

N A ... ist die Anzahl der Ergebnisse mit der Ereignisqualität A (z.B. Wie viele

Möglichkeiten gibt es, bei einem einmaligen Münzwurf „Wappen“ zu er-halten? 1, nämlich falls die [einzige] Wappenseite oben liegt.).

N ... ist die Anzahl aller Ergebnisse, unter denen N A gesucht wir (z.B. Wie

viele verschiedene Ergebnisse in wievielfacher „Ausführung“ können

bei einem einmaligen Münzwurf überhaupt auftreten? 2, denn es

gibt genau eine Wappenseite und eine Zahlseite.). 16

Für die Wahrscheinlichkeit, bei einem einmaligen Münzwurf das Ergebnis „Wappen“ zu erhalten, führt nach Laplace zum Wert 1/2:

¹⁵ vgl. Richter, S. 14 f. / Randow, S. 15

¹⁶ vgl. Randow, S. 15. Seine Erläuterungen zur Laplace’schen Formel sind jedoch oben teilweise in einer abge-

wandelten Interpretation dargelegt.

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Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A, z.B. für das Auftreten von Wappen bei einem einmaligen Münzwurf, ergibt sich aus der Anzahl aller günstigen Ereignisse im Verhältnis zu allen möglichen Ereignissen. Was hier mit dem Großbuchstaben N bezeichnet ist, wird in der Literatur auch Ergebnismenge, sicheres Ereignis, Grundmenge ¹⁷ , Universum ¹⁸ oder Merkmalraum ¹⁹ genannt und durch ein „kleines“ n oder ein (Omega) ersetzt. 20

Das ausgeschlossene Ereignis (auch: unmögliches Ereignis), z.B. das Werfen der Zahl Sieben bei einem klassischen Würfel mit sechs Flächen, auf denen die Zahlen von eins bis sechs aufgedruckt sind, wird durch das Zeichen für die

leere Menge ( ) ausgedrückt.

So ist auch die Wahrscheinlichkeit, aus einer Urne mit zehn weißen und zehn schwarzen Kugeln bei der ersten Ziehung eine weiße Kugel zu erwischen, mit 1/2 anzugeben, da es zehnmal das günstige Ereignis gibt (zehn weiße Kugeln) und insgesamt aus einer Menge von zwanzig Kugeln gezogen wird. 10/20 ist gekürzt 1/2.

Ist ein Umkehrschluss möglich? Eine Urne enthalte z.B. 20 Kugeln, weiße und schwarze, und die Wahrscheinlichkeit, bei einem einmaligen Zug eine weiße Kugel zu erwischen, liege bei 1/2. Ließe sich dann sagen, die Urne müsse genau zehn weiße und zehn schwarze Kugel enthalten? Der Mathematiker H.-J. Bentz erläutert, dass dies nicht gesagt werden kann:

Man stelle sich vor, in die noch leere Urne werden 20 Kugeln mittels einer Zufallsmaschine gefüllt, wobei schwarze und weiße Kugeln mit gleich großer Wahrscheinlichkeit (jeweils 50%) in die Urne fallen. Die Wahrscheinlichkeit, aus dieser Urne (in die man nicht hinein sehen kann) eine weiße Kugel zu ziehen, läge dann bei 1/2, da man nur durch die Verteilungsweise der Zufallsmaschine eine Aussage über die wahrscheinliche Kugelzusammenstellung in der Urne zur Verfügung hat. Der Zufall lässt aber ebenso die Möglichkeit offen, dass die Urne mehr schwarze oder mehr weiße Kugeln enthält oder im Extremfall ausschließlich mit weißen oder ausschließlich mit schwarzen Kugeln

¹⁷ Richter, S. 11

¹⁸ Kriz, S. 13

¹⁹ Hinderer, S. 4

²⁰ vgl. Richter, S. 22

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