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Lernausgangslage

Die Lerngruppe besteht aus 21 Schüler/innen der Klasse 3c, zusammengesetzt aus 12 Mädchen und 9 Jungen im Alter zwischen 8 und 10 Jahren.

Die meisten Schüler der Klasse zeigen ein großes Interesse an Mathematik, reagieren auf die Impulse sehr motiviert und nehmen die Lernangebote gerne an. Die Leistungsfähigkeit und das Arbeitstempo der Lerngruppe im Fach Mathematik weisen extreme Differenzen auf. Im vergangenen Jahr erforderte die Klassensituation viele Formen natürlicher Differenzierung, bei der die Kinder ihr Bearbeitungsniveau selbst wählen und dennoch alle gemeinsam an einem Thema arbeiten konnten.

S. wohnt im Erziehungsheim und hat Probleme mit seinen Eltern. Er wiederholte bereits das zweite Schuljahr. In seiner alten Klasse verweigerte er meistens die Mitarbeit im Unterricht. Anfangs wirkte er auch in seiner neuen Klasse sehr verschlossen und gehemmt. Durch wechselnde Sozialformen, offene Arbeitsweisen und Aufforderungen zur Kommunikation von Seiten der Kinder gewann er im Laufe der Zeit zunehmend an Sicherheit und Offenheit und beteiligt sich meist mit qualitativen Beiträgen am Unterrichtsgeschehen. Nur noch an manchen Tagen verfällt er in alte, verweigernde Verhaltensmuster und verschließt sich gegenüber den Kindern und der Lehrkraft. Dann arbeitet er lieber alleine.

A. und M. sind Schwestern. Aufgrund diverser Beeinträchtigungen und Behinderungen muss im Unterricht langsameres Tempo beider Mädchen berücksichtigt werden. A. fällt aufgrund ihrer visuellen Wahrnehmungsproblematik und visuomotorischen Beeinträchtigungen auf. In Mathematik ist sie rechenschwach. Es gelingt ihr aufgrund der Konzentrationsstörungen zuweilen nicht, die Arbeitsanweisungen der Lehrerin aufzunehmen und umzusetzen. M. ist ein sehbehindertes Mädchen, das besonderer sehbehindertenspezifischer Förderung bedarf. Bei der Organisation des Arbeitsplatzes verlieren beide Mädchen häufiger den Überblick. Sie brauchen intensive Unterstützung durch besondere differenzierende Maßnahmen und Integrationshelferin. Im Mathematikunterricht besteht die Aufgabe der Integrationshelferin in der nochmaligen Erklärung der Arbeitsaufträge, Zentrierung der Aufmerksamkeit, Bereitstellung diverser Hilfsmittel, Einweisung und Hilfestellung im Gebrauch von Arbeitsmitteln, Anleitung zum selbständigen Arbeiten und Ordnungsverhalten sowie Differenzierung bei der Hausaufgabenstellung.

Fachliche Lernvoraussetzungen

Im Mathematikunterricht der letzten zwei Jahre lernte die Lerngruppe bereits Aufgabenformate wie Zahlenmauern, Rechendreiecke und Zauberquadrate kennen. Sechs Kindern der Klasse, die im letzten Schuljahr den Rechenmeisterkurs für besonders begabte und hoch interessierte Schüler besuchten, sind bereits weitere substantielle Aufgabenstellungen wie Muster und Zahlenfolgen, Streichquadrate, Würfeltürme und komplexere Zauberfiguren aus der Unterhaltungsmathematik bekannt.

Beim Großteil der Klasse sind die substantiellen Aufgabenformate sehr beliebt. Mit spürbarer Begeisterung gehen die Schüler an die Aufgaben- und Problemstellungen heran. Vielen Kindern gelingt es, nach einiger Zeit des Suchens vorteilhafte Lösungsstrategien zu erarbeiten. Nur wenige verharren in der probierenden Strategie und müssen viele Rechenaufgaben bewältigen, um zu einer angemessenen Lösung zu gelangen. Damit auch sie viele Erfolgserlebnisse haben, dürfen sie meist auf Tipps der Lehrerin oder der Schüler zurückgreifen, was ihnen die Bewerkstelligung der Aufgaben erleichtert. Mit viel Stolz berichten die Schüler von gefundenen Tricks und Lösungsstrategien der ganzen Klasse.

Abgesehen von der Rechenmeisterkurs-Gruppe ist das Aufgabenformat dieser Einheit „Zauberdreieck“ der gesamten Lerngruppe neu.

Der Zahlenbereich bis 24 wurde mit der Lerngruppe bereits erarbeitet. Die meisten Kinder der Klasse sind in Umgang mit den Zahlen bis 24 versiert. Die Additions- und Ergänzungsaufgaben mit drei Zahlen sind den Kindern bekannt. Drei rechenschwache Mädchen der Klasse Anna, Maria und Marie haben die Abstraktion auf die Anzahl in der mathematischen Bedeutung auch in diesem Zahlenraum noch nicht vollständig erfasst. Sie identifizieren das Rechnen mit den Zählvorgängen, die sie meist durch Vorwärts- oder Rückwärtszählen bewältigen. Sie rechnen durch Abgehen der Zahlwortreihe, ohne sich auf die vorliegenden quantitativen Verhältnisse bzw. operationale Logik zu beziehen. Beim Kopfrechen ist bei ihnen kein Bezug zur dezimalen Stellenlogik erkennbar.

Methodische Lernvoraussetzungen

Das soziale Lernen fördernde Arbeitsformen wie Partner- und Gruppenarbeit gelten in der Klasse als durchgängige Unterrichtsprinzipien und werden regelmäßig durchgeführt. Das handlungsorientierte Arbeiten mit konkretem Material und auch der Einsatz von Lernspielen ist für die Kinder Alltag. Die Lerngruppe ist an das

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selbständige Erarbeiten neuer Lerninhalte gewöhnt. Zumeist wurden mit Hilfe ergiebiger, didaktischer Materialien an den Tischgruppen Erfahrungen gesammelt, neue Entdeckungen diskutiert und protokolliert. In anschließenden Reflexionsrunden wurden diese der gesamten Klasse vorgestellt, von anderen Gruppen ergänzt und reflektiert. Dabei konnten die Kinder immer wieder ihr hohes geistiges Potential zum Einsatz bringen, Entdeckungen formulieren und handelnd darstellen, auf viele Details eingehen, Kritik äußern und auf einem hohen Niveau das Thema selbständig erarbeiten.

Problemorientierten Aufgabenstellungen begegneten die Schüler hoch motiviert und konnten durch konzentriertes Arbeiten zu angemessenen Lösungen gelangen, diese präsentieren, erklären und teilweise begründen.

Sachanalyse

Zauberfiguren wie auch Zauberdreiecke sind mit magischen Quadraten (Zauberquadraten) verwandt und stellen Elemente der uralten Unterhaltungsmathematik dar. Als das wichtigste Ziel bei der Bearbeitung aller Zauberfiguren erweist sich das Entdecken und Erproben von Problemlösungsstrategien. ¹ 

Ein kleines Zauberdreieck setzt sich aus sechs Feldern zusammen, die dreieckig angeordnet sind. Zur Verfügung stehen die Zahlen 1 bis 10, die entsprechend den dekadischen Analogien auch vergrößert werden können. Die Problemstellung besteht darin, sechs aus zehn Zahlen so in den Feldern anzuordnen, dass alle Seitensummen gleich groß sind. ² Dabei steht jede Zahl nur einmal zur Verfügung. Insgesamt gibt es 10x9x8x7x6x5 = 151200 verschiedene Anordnungsmöglichkeiten.

Die Felder des Dreiecks können in innere (grüne) und äußere (gelbe) unterteilt werden. Entspricht die jeweilige Differenz zwischen den inneren Zahlen der jeweiligen Differenz zwischen den Eckzahlen, so kann daraus ein Zauberdreieck mit gleichen Seitensummen gebildet werden, wenn man beispielsweise im äußeren Dreieck die Zahlen in aufsteigender und im inneren in absteigender Reihenfolge platziert. Durch Drehung und Spiegelung entstehen fünf weitere Zauberdreiecke mit den gleichen Zahlen. (Beispiel: mittlere Zahlen: 2, 3, 4; Eckzahlen: 8, 9, 10. Die Differenz beträgt jeweils 1.)

Seitensummen sind alle gleich: x+y+2+x+1 = x+y+1+x+2 = x+1+y+x+2 = 2x+y+3

Ist die Zahlendifferenz unterschiedlich, entsteht kein Zauberdreieck. (mittlere Zahlen: 1, 3, 5; Eckzahlen: 6, 7, 8. Die Differenzen betragen jeweils 2 und 1.) Auch eine andere Anordnung der Zahlen durch die Drehung oder Spiegelung führt dabei nicht zur Lösung des Problems.

Seitensumme I:

Seitensumme II: Seitensumme III: Bei den Zahlen 1 bis 10 sind demnach die Differenzen mit dem Wert 1, 2, 3, 4 möglich. Den Grenzfall mit dem Unterschied 4 stellen die Zahlentripel 1, 5, 9 und 2, 6, 10 dar.

60 Anordnungsmöglichkeiten beinhalten die Problemlösung. Durch Spiegelung an der Dreieckshöhe entsteht eine neue Lösung. Durch Drehung der beiden erzeugt man jeweils zwei weitere Lösungen.

Ingesamt beinhalten 360 Anordnungsmöglichkeiten die Problemlösung, die anderen 150840 sind erfolglos. Ausgewählte Beispiele:

¹ vgl. Radatz, H., Rickmeyer, K., 1996, S. 16

² vgl. Metzner, W., 1991, S. 5

Um die kleinste Seitensumme = 9 zu erhalten, nimmt man die kleinsten Zahlen (1, 2, 3, 4, 5, 6). Bei der größten Seitensumme = 24 nimmt man entsprechend die größten Zahlen (5, 6, 7, 8, 9, 10). Alle anderen Seitensummen, die zur Problemlösung führen, bewegen sich im Intervall [9; 24], deren zahlenmäßige Verteilung in der unten stehenden Tabelle zusammengefasst wird:

Didaktische Überlegungen

Die Konzeption des aktiv-entdeckenden und sozialen Lernens gilt als fundamentales Leitprinzip des Mathematikunterrichts und soll die Auswahl der Unterrichtsinhalte bestimmen. Neben den inhaltlichen Lernzielen hat der Mathematikunterricht vor allem auch allgemeine Lernziele wie beispielsweise das selbständige Suchen von Lösungswegen, das flexible Einsetzen der Rechen- und Denkstrategien, das Darstellen, Formulieren und Begründen der Aussagen, das Ausbilden der Argumentations- und Kritikfähigkeit oder die Förderung der geistichen Beweglichkeit zu verfolgen. ³ Die aufgezählten Kompetenzen entwickeln sich nicht von selbst, sondern bedürfen der gezielten Förderung im Unterricht der Grundschule. Dazu sind für alle Schüler Aufgaben notwendig, „deren Lösung mit dem verfügbaren Wissen unmittelbar nicht möglich ist, die Verknüpfungen zwischen verschiedenen Wissensbestandteilen, die Konstruktion neuen Wissens, knobelndes Entdecken möglich machen“. ⁴ Für die Verfolgung des Grundprinzips und der allgemeinen wie inhaltlichen Lernziele stellt das substantielle Aufgabenformat „Zauberdreiecke“ das geeignete Mittel dar.

Die Stundenthematik und das Lernziel sind durch den Rahmenplan legitimiert und sind dort insbesondere unter den „Aufgaben und Zielen des Mathematikunterrichts“ sowie „fachdidaktischen Grundsätzen“ angeführt. ⁵ Laut Rahmenplan soll der Mathematikunterricht Freiräume für die Entwicklung mathematischen Denkens schaffen. Der Unterricht muss den Kindern Gelegenheit bieten, eigene Lösungswege zu beschreiten und diese mit der Klasse zu diskutieren. Das Thema Zauberdreieck ist im Rahmenplan nicht explizit aufgeführt, ist jedoch inhaltlich im Bereich „Addieren und Subtrahieren“ anzusiedeln. ⁶ Vordergründig sollen Additions-, Subtraktions- und Ergänzungsaufgaben im Zahlenraum bis 24 gerechnet werden.

Auf inhaltlicher Ebene erweist sich das Thema für die Schüler einer dritten Jahrgangsstufe als eine Wiederholungsübung. Üben ist der umfangreichste Bestandteil des Mathematikunterrichts, jede Einführungsstunde muss bekannte und damit zu übende Elemente enthalten, damit die Kinder das Neue mit dem Bekannten verknüpfen können. In besonderem Maße sind abwechslungsreiche, anwendungs- und strukturorientierte Übungsformen wichtig. Der Lerninhalt der heutigen Stunde ist so strukturiert, dass er zum neuen Lernen auffordert und gleichzeitig die Anwendung des Gelernten fordert. Neue Zauberdreiecke können

³ vgl. Scherer, P., 1997, S. 34

^{4 Grassmann, M., 2002, S. 4 5 Rahmenplan Grundschule, 1995, S. 144-146 6} Rahmenplan Grundschule, 1995, S. 152-153