Inhaltsverzeichnis

Symbolverzeichnis   v

Abbildungsverzeichnis   vii

Tabellenverzeichnis viii   

1  Einleitung  1

2  Grundlegende Definitionen und Sachverhalte  3

2.1  Begriffe aus der Optionstheorie  3

2.2  Wahrscheinlichkeitstheoretische Grundlagen  6

2.3  Das Finanzmarktmodell  10

2.4  Die Dynamik des Aktienkurses  15

3  Das Black-Scholes Modell zur Optionspreisberechnung  17

3.1  Herleitung der Black-Scholes Gleichung  17

3.2  Die Kennzahlen des Black-Scholes Modells  24

3.2.1  Delta  25

3.2.2  Gamma  26

3.2.3  Theta  27

3.2.4  Rho  28

3.2.5  Vega oder Kappa  29

4  Die Volatilität  31

4.1  Historische Volatilität  31

4.2  New Volatility  31

4.3  Implizite Volatilität  33

4.4  Stochastische Volatilität  34

4.5  Lokale Volatilität  35

5  Historische Volatilität und New Volatility als Kriterien der Portfolioauswahl  

mit  Hilfe des Black-Scholes Modells  39

5.1  Portfolio 1 (große Werte der historischen Volatilität)  39

5.2  Portfolio 2 (kleine Werte der historischen Volatilität)  41

5.3  Portfolio 3 (große New-Volatility Werte)  43

5.4  Portfolio 4 (kleine New-Volatility Werte)  44

6  Auswertung der Portfolios mit statistischem Test durch Betrachtung der tat-  

s  ächlichen Weiterentwicklung der Aktien nach 4 Monaten  49

7  Optionspreisberechnung durch Baummodelle  58

7.1  Die Geschichte der Baummodelle  58

7.2  Binomialbäume als Berechnungsgrundlage für Optionsscheine  58

7.3  Trinomialbäume  59

iii

7.4 Implizite Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

7.5 Implizite Binomialbäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 7.6 Konstruktion eines impliziten Trinomialbaumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

8 Optionspreisberechnung durch Monte-Carlo-Simulation und der Effekt der verschiedenen Volatilitätsmodelle 65

8.1 Grundidee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 8.2 Zufallszahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

8.2.1 Algorithmen zur Erzeugung gleichverteilter Zufallszahlen . . . . . . . . . 66 8.2.2 Erzeugung normalverteilter Zufallszahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 8.3 Monte-Carlo Simulation einer europäischen Call-Option . . . . . . . . . . . . . 76 8.4 Konvergenz bezüglich der numerischen Integration stochastischer Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 8.5 Das Heston-Modell in Monte-Carlo-Simulationen (stochastisches Volatilitätsmodell) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 8.5.1 Asiatische Option im Heston-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 8.5.2 Kalibrierung des Heston-Modells mit aktuellen Marktdaten für europäische Option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 8.6 Lokales Volatilitätsmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 8.7 Vergleich der Volatilitätsmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

9 Schlussbemerkung 95

iv

Symbolverzeichnis

t Zeitindex

T Laufzeit einer Option

B t Bondkurs zum Zeitpunkt t

S t Aktienkurs zum Zeipunkt t

K Ausübungspreis

π t Wert eines Portfolios zum Zeitpunkt t

C(S t , t) Wert der Call-Option zum Kurs S t und Zeitpunkt t

P (S t , t) Wert der Put-Option zum Kurs S t und Zeitpunkt t

V (S t , t) Wert der Option zum Kurs S t und Zeitpunkt t

W t Wiener-Prozess zum Zeitpunkt t

r Risikoloser kontinuierlicher Zinssatz, der für risikolose Anleihen gezahlt wird

r Risikoloser Zinssatz für eine Periode δt B( ⁿ ) Borel-sigma-Algebra

E[X] Erwartungswert der Zufallsvariablen X

Var[X] Varianz der Zufallsvariablen X N(μ, σ ² ) Normalverteilung mit Parametern μ und σ

U (a, b) Gleichverteilung auf dem Intervall [a, b]

Δ Änderung des Optionspreises je Aktienkursänderung

Γ Änderung des Deltas je Aktienkursänderung

Θ Änderung des Optionspreises je Restlaufzeitänderung

ρ Änderung des Optionspreises je Zinssatzänderung

κ Änderung des Optionspreises je Volatilitätsänderung

a(X t , t)dt Driftterm

b(X t , t)dW t Diffusionsterm

σ Volatilität des Basiswertes

σ hist Historische Volatilität

σ new New Volatility

σ impl Implizite Volatilität

μ Erwarteter Ertrag einer Investition in den Basiswert

c i Anzahl des gekauften Derivates i

δ Dividendenrate

p i Übergangswahrscheinlichkeit für eine Up-Bewegung ausgehend vom Knoten i

q i Übergangswahrscheinlichkeit für eine Down-Bewegung ausgehend vom Knoten i

v

λ j Arrow-Debreu-Preis für Knoten j

absoluter Fehler zum Zeitpunkt T

approx approximierter absoluter Fehlers

Z t standardnormalverteilte Zufallsvariable zum Zeitpunkt t O Landau-Symbol

vi

Abbildungsverzeichnis

1 Wert eines Derivats am Verfallstag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 Optionspreisänderung der Daimler-Call-Option . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 Delta der Daimler-Call-Option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4 Gamma der Daimler-Call-Option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5 Theta der Daimler-Call-Option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 6 Rho der Daimler-Call-Option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 7 Vega der Daimler-Call-Option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 8 Lokale Volatilitäten - Volatility Smile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 9 Zweiseitiger Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 10 C-R-R-Trinomialbaum für Daimler mit historischer Volatilität . . . . . . . . . . 61 11 J-R-Trinomialbaum für Daimler mit historischer Volatilität . . . . . . . . . . . 62 12 Gleichwahrscheinlichkeits-Trinomialbaum für Daimler mit historischer Volatilität 62 13 Lineare Kongruenzmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

14 Lineare Kongruenzmethode 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

15 367 Zufallszahlen durch Fibonacci-Generator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 16 367 Zufallszahlen durch den lagged-Fibonacci-Generator . . . . . . . . . . . . . 71 17 Zufallszahlen durch Box-Muller-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 18 Zufallszahlen durch den Polar-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 19 Beispiel von 10 simulierten Pfade der Daimler-Aktie durch Monte-Carlo-Methode 77 20 Konvergenz des Optionspreises der Monte-Carlo-Simulation anhand der Daimler-Option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 21 Starke Konvergenz 0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

22 Stochastische Volatilität im Heston Modell mit Euler . . . . . . . . . . . . . . . 84 23 Stochastische Volatilität im Heston-Modell mit Milstein . . . . . . . . . . . . . 85 24 Stoch. Volatilität mit verändertem rho - Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 25 Stoch. Volatilität mit verändertem rho - Milstein . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 26 Volatilität der Daimler-Aktie im Heston-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 27 Optionspreisebene in der Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

28 Regression der Volatilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 29 Monte-Carlo-Simulation mit regressierter Volatiltät . . . . . . . . . . . . . . . . 92 30 Most-likely Pfade der Aktienkursentwicklung der verschiedenen Volatilitätsmodelle mit Hilfe der Monte-Carlo Simulationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

vii

Tabellenverzeichnis

1 Die 5 höchsten historischen Volatilitäten des letzten Jahres . . . . . . . . . . . 39 2 Ausübungspreise der dazugehörigen Call-Option . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3 Optionswerte für Portfolio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4 New Volatility-Werte für Portfolio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5 Optionspreise mit New Volatility und Vergleich zum historischen Modell . . . . 41 6 Die niedrigsten 5 historischen Volatilitäten des letzten Jahres mit dazugehöirgem Ausübungspreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 7 Optionspreise durch Black-Scholes Formel für Portfolio 2 . . . . . . . . . . . . . 42 8 New Volatility Werte der Aktien aus Portfolio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 9 Optionspreise durch New Volatility und Vergleich zum historischen Modell 2 . . 42 10 Die höchsten 5 New Volatility Werte und der zu den Basiswert berechnete Ausübungspreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 11 Optionspreise mit New Volatility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 12 Historische Volatilitäten der letzten 4 Jahre für Aktien des Portfolios 3 . . . . . 43 13 Optionspreis unter Verwendung der historischen Volatilität von 4 Jahren . . . . 44 14 Vergleich der Optionspreise der beiden Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 15 Die niedrigsten 5 Werte der New Volatility und dazugehörigem Ausübungspreis der Optionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 16 Call-Optionspreise mit New Volatility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 17 Die 5 Werte der historischen Volatilität der letzten 4 Jahre für Portfolio 4 . . . 45 18 Optionspreise der Aktien aus Porfolio 4 mit historischen Volatilität von 4 Jahren 45 19 Relative Änderungen bei Portfolio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 20 Entwicklung der Portfolios 1.Teil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 21 Entwicklung der Portfolios 2.Teil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 22 z-Wert Vergleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 23 Optionspreise der europäischen Daimler-Call-Option durch Monte-Carlo-Simulation mit historischer 1-Jahres Volatilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 24 Optionswerte durch unterschiedliche Anzahl an Simulationen der Monte-Carlo-Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 25 Optionswerte durch verschiedene Anzahl der Schritte im Binomialbaum . . . . 82 26 Werte des historischen Volatilitätsmodells für Daimler-Option . . . . . . . . . . 93 27 Aktienkurse der Euro-Stoxx-Aktien am 17.09.2009 und 17.03.2010 . . . . . . . . 109 28 Aktienkurse der Euro-Stoxx-Aktien am 17.09.2010 und 17.01.2011 . . . . . . . . 110 29 Historische Volatilitäten der Euro-Stoxx Daten für 1 Woche, 1 Monat . . . . . . 111 30 Historische Volatilitäten der Euro-Stoxx Daten für 3 Monate, 1 Jahr . . . . . . 112 31 Historische Volatilitäten der Euro-Stoxx Daten für 3 Jahre, 4 Jahre . . . . . . . 113 32 Die New Volatility berechnet aus den Aktienkursänderungen der letzten 4 Jahre 114 33 Optionspreise der Daimler-Aktie am 11.02.2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

viii

1 Einleitung

In unserer Arbeit stellen wir numerische Methoden zur Berechnung von Optionspreisen vor. Wir erachten dies gerade in Anbetracht der aktuellen Finanzkrise (Subprimekrise seit 2007), die unter anderem aufgrund des short-sellings von Optionsscheinen hervorgerufen wurde, als ein äußerst wichtiges Teilgebiet der angewandten Mathematik. Um dem Leser den Einstieg in die Problematik der mathematischen Modellierung des Finanzmarkts zu erleichtern, werden wir in Kapitel 2 auf die grundlegenden Definitionen und Sachverhalte, die im Bezug zu dieser Arbeit stehen, eingehen. Darin werden wir zunächst die Begrifflichkeiten der Optionstheorie (Kapitel 2.1) erläutern, darauf folgend werden wir den wahrscheinlichkeitstheoretischen Hintergrund (Kapitel 2.2) dieser Arbeit behandeln, im Anschluss daran defnieren wir die Annahmen zur Modellierung des Finanzmarktes (Kapitel 2.3) und schließlich zeigen wir auf, welche Dynamik für einen Aktienverlauf (Kapitel 2.4) angenommen wird. In den frühen 1970er Jahren gelang Fisher Black und Myron Scholes die Herleitung einer Differentialgleichung für den Preis einer Option auf einen Aktienkurs ohne Dividendenzahlung. In Kapitel 3.1 werden wir diese stochastische Differentialgleichung(en) herleiten und im folgenden Abschnitt 3.2 werden wir auf die Parameter dieser Gleichung(en) eingehen. Alle Parameter der Black-Scholes-Gleichung sind am Markt beobachtbar bis auf die darin verwendete Volatiltät. Sie ist eine äußerst wichtige Größe, der wir den Hauptteil dieser Arbeit widmen werden. In Kapitel 4 werden wir die verschiedenen Ansätze, die Volatilität zu schätzen vorstellen. Zunächst widmen wir uns dem Ansatz die Volatilität aus historischen Daten zu berechnen, wir stellen dabei zwei Ansätze vor: Einerseits das Prinzip der historischen Volatilität in Kapitel 4.1 und andererseits einen ziemlich aktuellen Ansatz (2009) für die sogenannte New Volatility in Kapitel 4.2. Basierend auf den aktuellen Optionspreisen und mit Hilfe der Black-Scholes-Gleichung zeigen wir die Berechnung der impliziten Volatilität in Kapitel 4.3. Damit modellieren wir später den sogenannten Volatility Smile der lokalen Volatilitäten in Kapitel 4.5. In dem Kapitel 4.4 stellen wir eine weitere sehr populäre Modellierung der Volatilität vor, die Modellierung der sogenannten stochastischen Volatilität, in der die Volatilität selbst als stochastischer Prozess angenommen wird. Da wir in dieser Arbeit das Hauptaugenmerk auf die Realitätsnähe dieser Modelle gelegt haben, werden wir im folgenden auf tatsächliche Aktienkursentwicklungen und Optionspreise auf Aktien des Euro-Stoxx50 eingehen um sie anschließend darauf zu testen, ob sie die Realität gut wiedergeben. In Kapitel 5 analysieren wir die historischen Daten und berechnen in Kapitel 5 die verschiedenen daraus resultierenden historischen Volatilitäten und New Volatilities. Wir erstellen in diesem Abschnitt vier Portfolios aus Aktien des EuroStoxx50 abhängig von den höchsten und niedrigsten berechneten Werte der beiden betrachteten Berechnungsmodellen für den 17.09.2010. Darüberhinaus werden wir Optionsscheine mit einer Laufzeit von einem Jahr auf diese Aktienkurse verkaufen. In Kapitel 6 werten wir die Portfolioentwicklungen durch einen statistischen Test aus. Wir gestalten diesen Test so, dass wir die tatsächliche Entwicklung 4 Monate später, also am 17.01.2011, in Bezug zu den vorher berechneten Volatilitätswerten setzen. Damit können wir zeigen ob diese Werte auch tatsächlich mit der Realität übereinstimmen. In Kapitel 7 stellen wir eine weitere Berechnungsmethode für Optionspreise vor, die sogenannten Baummodelle. Sie basiert auf dem stochastischen Modell, aus dem die Black-Scholes Gleichung hergeleitet wird. Zunächst werden wir in Kapitel 7.1 auf die Entstehungsgeschichte der verschie-

1

denen Baummodelle eingehen, anschließend stellen wir die bekanntesten Baummodelle vor: den Binomialbaum in Kapitel 7.2 und den Trinomialbaum in Kapitel 7.3. Als Beispiel geben wir Trinomialbäume für die historische 1-Jahres Volatiltät einer Option auf die Daimler-Aktie, die wir zwecks guter Anschaulichkeit ausgewählt haben, an. In Kapitel 7.4 erläutern wir die implizite Theorie der Volatilitäten, um in den Kapiteln 7.5 und 7.6 implizite Binomial- bzw. Trinomialbäume vorzustellen. Im 8. Kapitel berechnen wir Optionspreise (wieder basierend auf einem stochastischen Modell) durch die numerische Monte-Carlo-Simulation mit Hilfe von MATLAB berechnen. Das Kapitel 8.1 wird die Grundidee für die Monte-Carlo-Simulation darlegen. Da bei der Monte-Carlo-Simulation die zukünftigen Aktienverläufe durch Zufallszahlen geschätzt werden, führen wir in Kapitel 8.2 die Berechnung von Zufallszahlen ein, hierzu werden wir aus gleichverteilten Zufallszahlen durch verschiedene Methoden normalverteilte Zufallszahlen erzeugen, da der stochastische Anteil der Black-Scholes-Gleichung mit normalverteilten Zufallszahlen simuliert wird. Anschließend führen wir die Monte-Carlo-Simulation in Kapitel 8.3 für eine europäische Call-Option der Daimler-Aktie durch. Um Aussagen bezüglich der Konvergenz der numerischen Integration stochastischer Differentialgleichungen tätigen zu können, werden wir dieses Problem in Kapitel 8.4 behandeln. Das Heston-Modell, das populärste Modell mit stochastischer Volatilität, werden wir in Kapitel 8.5 der Monte-Carlo-Simulation unterziehen. Dabei betrachten wir sowohl eine asiatische Option, bei der wir auf die Parameter des Heston-Modells eingehen werden, als auch eine europäische Option auf die Daimler-Aktie, bei der wir das Kalibrierungsproblem im Heston-Modell vorstellen werden. In Kapitel 8.6 werden wir eine Monte-Carlo-Simulation mit den lokalen Volatilitätswerten durchführen. Dabei werden wir das Prinzip der Regression verwenden. Im letzten Abschnitt, dem Kapitel 8.7, werden wir die Ergebnisse der verschiedenen Volatilitätsmodelle anhand der most-likely Pfade, berechnet durch die Monte-Carlo-Simulation, miteinander vergleichen.

2

2 Grundlegende Definitionen und Sachverhalte

In diesem Abschnitt werden wir uns damit beschäftigen, die in dieser Arbeit behandelten Sachverhalte einzuführen. Wir unterteilen diesen Abschnitt in vier Teile. Zunächst legen wir dar, was eine Option ist, welche verschiedenen Optionsscheine es überhaupt gibt und wir definieren Begriffe aus dem Alltag eines Optionsscheinhändlers. Anschließend behandeln wir wahrschein-lichkeitstheoretische Grundlagen, damit die im Fortlauf der Arbeit auftretenden Rechnungen verständlich werden. Im dritten Teil stellen wir die Eigenschaften eines Finanzmarktes dar und welche mathematischen Gleichungen daraus folgen. Der letzte Teil dieses Abschnitts zeigt welche Annahmen wir an den Aktienkurs stellen um damit Aussagen darüber treffen zu können. Die verwendete Literatur für diesen Abschnitt ist aus [12].

2.1 Begriffe aus der Optionstheorie

In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit grundlegenden Definitionen und Sachverhalten im Umgang mit Optionsscheinen. Alle weiteren Definitionen werden erst dort definiert, wo sie zum ersten Mal benötigt werden. Verwendete Definitionen die nicht aus [12] stammen, wurden von [4] (abgeändert) übernommen.

Definition 2.1.1 (Option)

Durch eine Option besitzt man das Recht, zu einem festen Zeitpunkt oder bis zu einem festen Zeitpunkt, einen vorher festgelegten Basiswert zum vorher festgelegten Basispreis zu kaufen oder zu verkaufen. Dieser feste Zeitpunkt heißt Laufzeitende T der Option. Der Basiswert sollte jederzeit handelbar sein und der Kurs sollte sich nach den Gesetzen von Angebot und Nachfrage bilden. Als Basiswerte kommen Aktien, Anleihen, Rohstoffe sowie auch zusammengesetzte Finanzprodukte wie z.B. ein Index in Betracht.

Definition 2.1.2 (Bezugsverhältnis)

Das Bezugsverhältnis gibt an, wie viele Optionen nötig sind, um einen Basiswert zum Basispreis zu beziehen, bzw. einen Basiswert zum Basispreis zu verkaufen. Aus Vereinfachungsgründen werden wir meistens ein Bezugsverhältnis von 1:1 annehmen. Da in der Praxis oft 10 Optionen benötigt werden, um einen Basiswert zum Basispreis zu beziehen werden wir bei Verwendung tatsächlicher Marktdaten das Bezugsverhältnis 10:1 verwenden.

Definition 2.1.3 (Call-Option)

Eine Call-Option berechtigt den Inhaber, zu einem bestimmten Zeitpunkt oder einmal in einem bestimmten Zeitintervall, einen vorher bestimmten Basiswert zu einem vorher festgelegten Basispreis zu kaufen. Man nennt einen Call-Optionspreis in the money, wenn der Marktpreis des Basiswertes höher ist als der Ausübungspreis, analog out of the money wenn der Marktpreis niedriger ist als der Ausübungspreis.

3

Definition 2.1.4 (Put-Option)

Eine Put-Option berechtigt den Inhaber, zu einem bestimmten Zeitpunkt oder einmal in einem bestimmten Zeitintervall, einen vorher bestimmten Basiswert zu einem vorher festgelegten Basispreis zu verkaufen.

Beispiele für Call- und Put-Optionen sind Optionsscheine auf Aktien, Währungen und Indizes. Man nennt einen Put-Optionspreis in the money, wenn der Marktpreis des Basiswertes niedriger ist als der Ausübungspreis, analog out of the money, wenn der Marktpreis höher ist als der Ausübungspreis.

Definition 2.1.5 (Europäische Option, Bermuda Option, Amerikanische Option) Eine europäische Option gestattet die Ausübung nur zum Laufzeitende, eine Bermuda Option gestattet die Ausübung zu mehreren, vorher bestimmten Zeitpunkten bis zum Laufzeitende. Eine amerikanische Option kann zu jedem Zeitpunkt bis zum Laufzeitende ausgeübt werden.

Definition 2.1.6 (Payoff-Funktion für europäische Optionen)

Für eine europäische Option zum Verfallstag T und dem Ausübungspreis K erhalten wir folgende Auszahlungsfunktion (payoff ):

bei einem Call: max(S T − K, 0) = (S T − K) +

bei einem Put: max(K − S T , 0) = (K − S T ) +

Wir veranschaulichen dies durch folgende Grafik:

Definition 2.1.7 (Asiatische Option mit Payoff-Beispiel)

Bei einer asiatischen Option hängt die Auszahlung von einem Durchschnittswert des Basiswerts ab. Beispielsweise handelt es sich bei einem European average rate call um die Auszahlungsfunktion: T

für den Fall dass der Durchschnittswert des Basiswertes größer als der vorher bestimmte Ausübungspreis K ist, gibt es eine Auszahlung. Derartige Optionen schützen den Verkäufer der

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Option vor Kursmanipulationen des Basiswerts kurz vor dem Verfallstag, da Manipulationen herausgemittelt werden durch die Durchschnittsbildung.

Bemerkung 2.1.8 (arithmetisches Mittel)

Aufgrund der Tatsache, dass die Grundlage der Berechnung einer asiatischen Option meistens aus diskreten Aktienkursdaten besteht, werden wir später das arithmetische Mittel dafür verwenden:

wobei S i die diskreten Aktien(tagesschluß)kurse im betrachteten Intervall 0 ≤ i ≤ n bezeichnen.

Definition 2.1.9 (Leerverkäufe (engl. short selling))

Wir definieren (Aktien-)Leerverkäufe als den Verkauf von Aktien, die man noch nicht besitzt, aber später liefert. Unter naked short-selling versteht man (Aktien-)Leerverkäufe ohne über die Liquidität zu verfügen die Aktien zu kaufen.

Definition 2.1.10 (Portfolio)

Unter einem Portfolio verstehen wir eine Ansammlung von Finanzgütern, die wir beliebig und unverzüglich kaufen und verkaufen können.

Definition 2.1.11 (Dividende)

Als Dividendenzahlung bezeichnen wir die Ausschüttung eines Gewinnanteils einer Aktiengesellschaft an den Inhaber der dazugehörigen Aktie in Form von Geldeinheiten. Die Höhe der Dividendenzahlung wird im Allgemeinen auf der Hauptversammlung der Aktiengesellschaft festgelegt.

Definition 2.1.12 (Bond)

Als einen Bond B t definieren wir eine risikofreie Anlage, bei der wir einen Geldbetrag B 0 einzahlen, um nach einem festgelegten Zeitraum T unseren Betrag mitsamt den vorher vereinbarten Zinsen (bei Zinssatz r) zu erhalten. Wir erhalten somit zum Zeitpunkt T den Betrag B T mit:

B T = B 0 (1 + rT )

Im kontinuierlichen Fall lautet die Gleichung:

dB t = rB t dt (2.1)

Definition 2.1.13 (risikoloses Portfolio)

Ein Portfolio Y t ist risikolos, wenn es keinen zufälligen Schwankungen unterliegt. In einem perfekten Finanzmarkt (Definition 2.3.1) kann es somit nur so viel erwirtschaften wie eine risikolose Anlage in dem betrachteten Zeitabschnitt abwirft. Daher gilt für die Änderung eines risikolosen Portfolios:

2.2 Wahrscheinlichkeitstheoretische Grundlagen

Damit wir später Aussagen über stochastische Zufallsvariablen im Bereich der Finanzmathematik tätigen können, werden wir nun dafür benötigte Annahmen vorstellen.

Definition 2.2.1 (Wahrscheinlichkeitsraum, σ -Algebra)

Sei Ω ein Raum und F eine Familie von Unterräumen in Ω. F wird σ -Algebra genannt, wenn:

Das Tupel (Ω, F ) heißt Maßraum. Eine Funktion P : F → [0, ∞) wird Wahrscheinlichkeitsmaß genannt, wenn:

1.P (∅) = 0, P (Ω) = 1.

2. für paarweise disjunkten F 1 , F 2 , F 3 , ... ∈ F gilt:

Das Tripel (Ω, F , P ) heißt Wahrscheinlichkeitsraum.

Definition 2.2.2 (Unabhängigkeit, bedingte Wahrscheinlichkeit) Seien (Ω, F , P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und A, B ∈ F

1. A und B werden unabhängige Ereignisse genannt, wenn:

P (A ∩ B) = P (A)P (B).

2. Für P (B) > 0 definieren wir als bedingte Wahrscheinlichkeit von A: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ereignis A eintreten wird, wenn bereits das Ereignis B eingetreten ist (nach Satz von Bayes):

Definition 2.2.3 (Borel σ -Algebra, Lebesguemaß)

Sei n ∈ N und a i < b i (i = 1, ..., n). Mit B( ⁿ ) beschreiben wir die kleinste σ-Algebra mit der Eigenschaft:

B( ⁿ ) wird als Borel σ- Algebra bezeichnet. Das Maß λ wird auf B( ⁿ ) definiert durch:

und wird Lebesguemaß auf B( ⁿ ) genannt.

Definition 2.2.4 (Messbarkeit, Zufallsvariable)

Seien (Ω, F ) und (S, S) zwei messbare Räume.

1. Eine Funktion T : Ω → S wird (F , S) − messbar gennant, falls für die Umkehrabbildung T ⁻¹ (A) := [ω ∈ Ω|T (ω) ∈ A] gilt:

T ⁻¹ (A) ∈ F für alle A ∈ S.

2. Eine messbare Funktion X : (Ω, F ) → (S, S) wird Zufallsvariable genannt. Eine Zufallsvariable X : (Ω, F → (S, S)) heißt n-dimensionale reellwertige Zufallsvariable falls S = ⁿ und S = B( ⁿ ).

Definition 2.2.5 (Integral, Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung, Kovarianz)

Seien (Ω, F , P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X eine Zufallsvariable.

(1) Wir definieren das Integral über X (im Falle der Existenz) als:

(2) Wir definieren den Erwartungswert E(X) und die Varianz V ar(X) als:

falls die entsprechenden Integrale existieren.

V ar(X) Als Standardabweichung definieren wir: σ :=

(3) Die Kovarianz zweier Zufallsvariablen X und Y definieren wir als:

Cov(X, Y ) := E[(X − E(X))(Y − E(Y ))] = E(XY ) − E(X)E(Y ),

falls E(X), E(XY ) und E(Y ) existieren

Für unabhängige Zufallsvariablen X und Y gilt: E(XY ) = E(X)E(Y ) und insbesondere gilt somit Cov(X, Y ) = 0. Der Umkehrschluß dass bei Cov(X, Y ) = 0 die Zufallsvariablen X und Y unabhängig sind, gilt jedoch nicht immer. (4) Additivität der Varianzen bei Unabhängigkeit von X und Y:

V ar(X + Y ) = E(X ² ) + 2E(XY ) + E(Y ² ) − (E(X) + E(Y )) ² = V ar(X) + V ar(Y )

7

Definition 2.2.6 (Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeitsdichte) Sei X : Ω → → eine Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F , P ). (1) Wir definieren die Verteilungsfunktion F von X als:

F (x) = P (X ≤ x) = P (ω ∈ Ω : X(ω] ≤ x).

(2) Weiterhin nennen wir eine Funktion f : → → (falls diese existiert) mit der Eigenschaft: x

Wahrscheinlichkeitsdichte von X und für den Fall dass F stetig ist, folgt dF (x)

dx = f (x)

Definition 2.2.7 (Erwartungswert, Varianz ausgedrückt durch Integrale) Falls die entsprechenden Integrale existieren, seien der Erwartungswert und die Varianz einer Zufallsvariablen X : Ω → →, die eine Dichtefunktion f besitzt, gegeben als:

Definition 2.2.8 ((Standard-)Normalverteilung)

Für Ω = , μ ∈ ∈, und σ > 0 heißt eine Zufallsvariable X mit der Dichtefunktion

normalverteilt, in Zeichen: N (μ, σ ² )-verteilt.

Der Erwartungswert einer normalverteilten Zufallsvariable beträgt E(X) = μ, ihre Varianz beträgt V ar(X) = σ ² . Der Begriff Standardnormalverteilung wird für eine Zufallsvariable ver-

wendet, die N (0, 1)-verteilt ist. Die Verteilungsfunktion einer standardnormalverteilten Zufalls- x variablen ist somit:

Ihre dazugehörige Verteilungsdichte ist:

Das 95%-Konfidenzintervall der Standardnormalverteilung bezeichnet ein Intervall, in dem sich 95% aller standardnormalverteilter Zufallsvariablen befinden. Wir berechnen die beiden Grenzen u und o des Intervalls durch:

Wir wissen, dass die Normalverteilung symmetrisch um den Nullpunkt ist, daher lässt sich die Gleichung o.B.d.A. für die obere Grenze umformen zu:

P (X > X o ) < (1 − 0.95)/2 = 0.025

Wir erhalten durch Einsetzen in die Standardnormalverteilung den Wert X o = 1.96 und dementsprechend X u = −1.96. Allgemein gilt für die Normalverteilung mit Erwarungswert μ und Varianz σ:

Falls unsere Daten normalverteilt sind mit den Parametern μ = 0 und / oder σ ² = 0, können

wir mit einer Nullpunktverschiebung auf der x-Achse x − μ

zur Standardnormalverteilung übergehen. Dies folgt aus der Symmetrieeigenschaft der Normalverteilung zu μ.

Definition 2.2.9 (Lognormalverteilung)

Eine Zufallsvariable X, deren Logarithmus normalverteilt ist, (ln X normalverteilt) heißt lo-gnormalverteilt, in Zeichen Λ(μ, σ ² )-verteilt. Die dazugehörige Dichtefunktion ist somit:

1

f (x) =

Der Erwartungswert sowie die Varianz einer lognormalverteilten Zufallsvariable lauten:

E(X) = e μ+σ ^{2 /2} , V ar(X) = e 2μ+σ ² (e σ ² − 1)

Definition 2.2.10 (Gleichverteilung)

Wir bezeichnen eine Zufallsvariable X als gleichverteilt auf dem Intervall [a, b], wenn sie folgende Dichtefunktion besitzt für alle x ∈ [a, b]:

1

f (x) =

b − a

Dabei wird die Schreibweise: X ∼ U [a, b] verwendet, falls X gleichverteilt auf [a,b] ist.

Satz 2.2.11 (Transformationssatz)

Sei F A 0 eine bijektive stetig differenzierbare Abbildung, deren Umkehrabbildung auch stetig differenzierbar ist und g fast überall stetig. Dann sind ∂A unwesentlich, g ◦ F fast überall stetig auf A und

Der Beweis hierzu verwendet mehrere Male, dass eine bijektive stetig differenzierbare Abbildung

9

mit einer stetig differenzierbaren Umkehrabbildung Nullmengen auf Nullmengen abbildet. (siehe [18])

2.3 Das Finanzmarktmodell

Wir betrachten nun die Annahmen, durch die ein Finanzmarkt modelliert werden kann. Zunächst führen wir den Begriff der Arbitrage ein.

Unter Arbitrage verstehen wir einen (augenblicklichen) risikolosen Gewinn. Wir gehen davon aus, dass auf dem Finanzmarkt keine Arbitrage-Möglichkeit existiert und dass alle Investoren denselben Informationsstand besitzen. Würde Arbitrage möglich sein, würde jeder Investor versuchen diesen risikolosen Gewinn augenblicklich mitzunehmen. Durch diese Versuche würden sich die Preise der involvierten Finanzinstrumente augenblicklich so ändern, dass die Arbitragemöglichkeit verschwinden würde.

Aus der Forderung der Arbitragefreiheit an einen Finanzmarkt, ergibt sich die Definition eines perfekten Finanzmarktes:

Definition 2.3.1 (perfekter Finanzmarkt) Ein perfekter Finanzmarkt besitzt die folgenden Eigenschaften:

1. Es sind keine Arbitrage-Möglichkeiten vorhanden 2. Es liegen keine Transaktionskosten vor

3. Der risikofreie Zinssatz für Geldanlagen und Kredite ist derselbe und beträgt r > 0 bei kontinuierlicher Verzinsung

4. Der Markt ist liquide und Handel ist zu jeder Zeit möglich 5. Es existieren keine Einschränkungen beim Short-selling

In dieser Arbeit werden wir nicht näher auf die Verwendung von Dividendenzahlungen auf Basiskurse eingehen.

Definition 2.3.2 (kontinuierliche Verzinsung)

Zum Zeitpunkt t = 0 legen wir den Betrag K 0 an. Der Betrag wird für die Zeit Δ t mit dem Zinssatz r verzinst und mit den Zinsen wieder neu angelegt. Somit erhalten wir nach T = nΔt den Betrag

K n = K 0 (1 + rΔt) ⁿ = K 0 (1 + rT /n) n

Im Grenzwert n → ∞ erhalten wir die kontinuierliche Verzinsung

Definition 2.3.3 (Diskontierung)

Mit Definition 2.3.2 erhalten wir umgehend, dass wir den Betrag K exp ^−rT anlegen müssen, um zum Zeitpunkt T den Betrag K zurückzuerhalten. Wir bezeichnen daher e ^−rT als Diskontie-rungsfaktor. Die Transformation des zukünftigen Betrages K (im Zeitpunkt T) in den heutigen Wert K exp ^−rT (im Zeitpunkt 0) bezeichnen wir als Diskontierung.

Wir unterstellen nun einen perfekten Finanzmarkt, zur Veranschaulichung eines perfekten Finanzmarkes betrachten wir zunächst das folgende Portfolio:

Wir kaufen einen Basiswert S und einen europäischen Put P mit Ausübungspreis K mit Verfallstag T und verkaufen einen europäischen Call C mit Ausübungspreis K und demselben Verfallstag T. Unser Portfolio, bestehend aus diesen Anlagen, hat somit den Wert:

π = S + P − C.

Der Wert unseres Porfolios zum Zeitpunkt T beträgt:

π t = S T + (K − S T ) ⁺ − (S T − K) ⁺ = K

Insgesamt erhalten wir als Wert des Portfolios zum Zeitpunkt 0 < t < T :

Proposition 2.3.4 π t = K exp(−r(T − t))

Beweis:

Um dies zu beweisen nehmen wir zunächst an: es gelte π t < K exp(−r(T − t)).

In diesem Fall würden wir das Portfolio kaufen, den Betrag K exp(−r(T − t)) ausleihen und würden den Betrag K exp(−r(T − t)) − π t > 0 beiseite legen. Auf diese Weise würde das Portfolio den Betrag K zum Zeitpunkt T erhalten, diesen Betrag würden wir der Bank für den Kredit zurückzahlen und wir hätten zur Zeit t einen risikofreien Gewinn K exp(−r(T − t)) − π t > 0 erhalten. Dies wäre ein Widerspruch zur Arbitragefreiheit.

Analog gilt für π t > K exp(−r(T − t), dass der Verkäufer eines solchen Portfolios, arbitragefreien Gewinn erzielen kann, dadurch dass er den Verkaufsbetrag risikolos anlegt mit Zinssatz r und hätte somit zum Zeitpunkt T:

K + (πt − Ke ^{−r(T −t)} e ^rT − K = (πt − Ke ^{−r(T −t)} e ^rT > 0 nach Annahme

Wir bezeichnen diesen Sachverhalt als die Put-Call-Parität:

q.e.d.

Wir haben es uns nun ermöglicht, Aussagen über die oberen und unteren Schranken der Preisbestimmung von europäischen und amerikanischen Optionen zu treffen.

Proposition 2.3.5 (Schranken für europäische Optionen) Für europäische Optionen gelten zur Zeit 0 ≤ t ≤ T folgende Schranken:

Beweis:

Klar ersichtlich ist, dass C t ≥ 0 gelten muss, da ansonsten ein „Kauf“ einer solchen Option einen sofortigen Gewinn abwirft. Außerdem gelte C t ≤ S t , da uns in einem anderen Fall der Verkauf eines Calls und der Kauf eines Basiswerts Arbitrage ermöglichen würde.

Wir behaupten: C t ≥ S t − K exp(−r(T − t)) für alle Zeiten t.

Wir beweisen die Behauptung durch einen indirekten Beweis. Wir nehmen also an, dass ein t ∈ T existiert, so dass C t < S t − K exp(−r(T − t)). Das Portfolio mit folgender Gestalt würde uns dann Arbitrage erlauben:

Wir verkaufen den Basiswert S, kaufen den Call C und legen K exp(−r(T − t)) an.

Der Wert dieses Portfolios zur Zeit T wäre somit: im 1. Fall S T ≤ K:

K − S T ≥ 0

im 2. Fall S T > K:

0

Dieses Portfolio würde uns somit nie einen Verlust bescheren, könnte jedoch risikolos Gewinn abwerfen, daher Widerspruch zur Arbitragefreiheitsannahme. Somit wurde C t ≥ S t − K exp(−r(T − t)) für alle Zeiten t indirekt bewiesen.

(2)da wir einen positiven Aktienkurs S unterstellen ist die Beziehung (K exp(−r(T −t))−S t ) ⁺ ≤ K exp(−r(T − t) klar ersichtlich, der Rest des Beweises verläuft analog zu (1).

Nachdem wir nun die Schranken für die europäischen Optionen festgelegt haben, können wir

12

wiederum mit der Arbitragefreiheit des Marktes die Schranken für amerikanische Optionen festsetzen. Die Proposition 2.3.5 (1) gilt auch für amerikanische Call-Optionen, da ansonsten zu jedem Zeitpunkt 0 < t < T Aribtrage möglich wäre.

q.e.d.

Proposition 2.3.6 (Schranken für amerikanische Optionen)

Für amerikanische Optionen C A , P A gelten zur Zeit 0 ≤ t ≤ T folgende Schranken: (1) C A (S t , t) = C E (S t , t)

(2) K exp(−r(T − t)) ≤ S t + P A (S t , t) − C A (S t , t) ≤ K (3) (K exp(−r(T − t)) − S t ) ⁺ ≤ P A (S t , t) ≤ K

wobei C E den Wert einer europäischen Call-Option und P E den Wert einer europäischen Put-Option bedeute.

Beweis:

(1) Für den Fall, dass wir eine amerikanische Call-Option zum Zeitpunkt t < T ausüben, erhalten wir S t − K zurück. Natürlich gilt S t > K, da ansonsten die Ausübung unserer Call-Option keinen Sinn machen würde. Mit 2.3.5 (1) gilt aber für den Wert der Option:

C A (S t , t) ≥ (S t − K exp(−r(T − t))) ⁺ = S t − K exp(−r(T − t)) > S t − K

Somit würden wir den Verkauf der Option für besser erachten als ihre Ausübung. Folglich ist eine Ausübung nicht optimal. Außerdem erhalten wir bei einer Ausübung zum Zeitpunkt T genau den Wert einer europäischen Option. Somit ist (1) bewiesen.

(2) Aufgrund der Tatsache, dass wir bei amerikanischen Put-Optionen mehrere Ausübungszeitpunkte wählen können, gilt P A ≥ P E für alle 0 ≤ t ≤ T . Aus der Put-Call-Parität und (1) folgt umgehend:

C A − P A ≤ C E − P E = S t − K exp(−r(T − t))

für 0 ≤ t ≤ T . Somit erhalten wir die untere Schranke in (2). Für die obere Schranke benutzen wir die Annahmen an den Finanzmarkt. Wir nehmen dazu an, dass ein 0 ≤ t ≤ T existiere mit S t − K > C A (S t , t) − P A (S t , t). Sei nun T ^∗ ≤ T der Ausübungszeitpunkt der amerikanischen

Put-Option, dann würde wir folgendes Portfolio wählen:

Wir verkaufen den Put P A (t), kaufen den Call −C A (t), verkaufen den Basiwert S t und legen K mit konstantem Zinssatz r ≥ 0 an. Als Wert dieses Portfolios zur Zeit t erhalten wir:

−P A (t) + C A (t) − S t + K < 0

Jedoch erhalten wir als Portfoliowert zum Ausübungszeitpunkt T* mit ≥ 0 als Wert des amerikanischen Calls zum Zeitpunkt T ^∗ :

im 1. Fall: S T ^∗ ≤ K

und somit: K exp(r(T ^∗ − t)) − K + ≥ 0

im 2. Fall: S T ^∗ > K

0 + S T ^∗ − K + − S T ^∗ + K exp(r(T ^∗ − t)

Insgeamt gilt: K exp(r(T ^∗ − t)) − K + ≥ 0

Somit hätten wir mit unserem Portfolio die Möglichkeit zur Arbitrage, dies steht im Widerspruch zur Arbitragefreiheit! Somit gilt (2).

(3) Wir können (2) äquivalent umformen zu:

K exp(−r(T − t)) − S t + C A ≤ P A ≤ K − S t + C A

Mit 2.3.5 (1) gilt einerseits:

andererseits gilt:

P A ≤ K − S t + C A = K − S t + C E ≤ K − S t + S t = K

Somit haben wir (3) bewiesen.

q.e.d.

Definition 2.3.6 (Daimler-Optionsschein)

Wir betrachten in dieser Arbeit eine europäische Call-Option auf die Daimler-Aktie mit folgenden Eigenschaften:

- Aktienkurs zum Zeitpunkt t = 0: S 0 = 44.48, dies ist der Aktienschlusskurs am 17.09.2010

- Ausübungspreis: K = 45

- konstanter 1-Jahres-Zinssatz: r = 0.014, angebotener Zinssatz der Mercedes-Benz-Bank am 17.09.2010

- Laufzeit: T = 1 in Jahren

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2.4 Die Dynamik des Aktienkurses

Bisher haben wir mathematische Grundlagen kennengelernt und Annahmen an den Finanzmarkt, um Optionsscheine modellieren zu können. Unser Hauptaugenmerk liegt jedoch darin, Aussagen über zukünftige Entwicklungen am Finanzmarkt zu machen. Deshalb werden wir versuchen, aus den derzeitigen Preisen am Finanzmarkt Aussagen über die Zukunft zu tätigen. Wie wir in 2.1 dargestellt haben, ist der Aktienkurs zum Zeitpunkt T bei europäischen Optionen sehr wichtig, da nur er darüber entscheidet wieviel Geld ausgezahlt wird. Das Prinzip der stochastischen Prozesse in stetiger Zeit erlaubt uns eine mathematische Modellierung der Entwicklung des Aktienkurs S t bis zum Zeitpunkt t = T . Dem betrachteten Modell liegen folgende Annahmen über den Verlauf der Aktienkurskurve zu Grunde:

Der Aktienkurs zur Zeit t S t sei die Summe aus dem anfänglichen Aktienkurs S 0 , einer Prämie a · t und einer zufälligen Entwicklung die wir zunächst „Zufall“ nennen. In einer Gleichung ausgedrückt ergibt dies: S t = S 0 + a · t + Zufall

Wir erkennen, dass bei genügend großem negativem Zufall, der Aktienkurs negativ werden kann. Dies kann vermieden werden, indem, motiviert durch Betrachtung eines Bonds B t mit einem risikofreien Zinssatz r ≥ 0 über einem kontinuierlichem Zeitraum

B t = B 0 e ^rt bzw. ln B t = ln B 0 + r · t,

die Modellierung dahin variiert wird, dass für den Aktienkursverlauf folgende Entwicklung angenommen wird: ln S t = ln S 0 + b · t + Zufall.

Wie schon erwähnt, gehen wir davon aus, dass der „Zufall“ ein stochastischer Prozess sei.

Definition 2.4.1 (stochastischer Prozess)

Als (stetigen) stochastischen Prozess X t , t ∈ [0, ∞), bezeichnen wir eine Familie von Zufallsvariablen X : Ω × [0, ∞) → →, wobei t → X(ω, t) stetig sei für alle ω ∈ Ω. Unsere Notation dafür, dass X t eine Zufallsvariable ist, lautet: X t = X(t) = X(·, t)

Wir unterstellen desweiteren, dass es sich bei dem „Zufall“ um einen Spezialfall des stochastischen Prozesses handle, der sogenannten Brownschen Bewegung. Hierbei wird eine Folge Z k

√

unabhängiger Zufallsvariablen, die mit Wahrscheinlichkeit 1 scheinlichkeit

¹ Aussagen treffen:

√ √

Der Erwartungswert E[Z k ] beträgt: E[Z k ] = 0.5( Δt) + 0, 5(− Δt) = 0,

Die Varianz V ar[Z K ] beträgt: Var[Z k ] = E[(Z k − E(Z k )) ² ] = E[Z ² k ] = 0.5(Δt) + 0, 5(Δt) = Δt

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n

(n)

Für X = k=1 Z k mit nΔt = t ergeben sich nach (2.2.5 (4)) folgende Werte:

^{t (n) (n) (n)} t ) ² ] = nE[Z 2

1 ] = nV ar[Z 1 ] = nΔt = t. t ] = 0, V ar[X t ] = E[(X E[X

⁽ⁿ⁾ Für n → ∞ konvergiert X gegen einen Grenzwert, den wir als Brownsche Bewegung oder

t

Wiener-Prozess W t bezeichnen. Für diesen speziellen stochastischen Prozess gilt:

Definition 2.4.2 (Wiener-Prozess)

Einen stochastischen Prozess W t bezeichnen wir als Wiener-Prozess, wenn er folgende drei Eigenschaften besitzt:

(1) W 0 = 0 (P-)fast sicher ⇔ P (ω ∈ Ω : W 0 (ω) = 0) = 1

(2) für alle 0 ≤ s ≤ t gilt: W t − W s ist N (0, t − s)-verteilt

(3) für alle 0 ≤ r ≤ u ≤ s ≤ t gilt: W t − W s und W u − W r sind unabhängig

Damit der „Zufall“ die Eigenschaften eines Wiener-Prozesses besitzt, darf er keine Tendenz aufweisen, d.h. E(„Zufall“)= 0 und außerdem muss er von der Zeit t abhängig sein. Eine Möglichkeit dies zu modellieren, ist die Annahme, dass der „Zufall“ N (0, σ ² t)-verteilt sei. Wir setzen daher Var(σW t ) = σ ² t und erhalten somit die Gleichung:

ln S t = ln S 0 + bt + σW t

Wir gehen davon aus, dass die Konstante b durch b = μ − 1 2 σ ² definiert ist, um folgende

Gleichung zu erhalten:

Insgesamt ergeben unsere Annahmen an die Aktienkursentwicklung:

Da S t lognormalverteilt ist, nennen wir sie geometrische Brownsche Bewegung.

Lemma 2.4.3 (Erwartungswert und Varianz einer geometrischen Brownschen Bewegung)

Sei S t eine geometrische Brownsche Bewegung, dann gilt:

Beweis:

folgt aus Bemerkung zu Definition 2.2.9

16