Zusammenfassung

Autoregressive bedingt heteroskedastische Modelle (G)ARCH bilden eine Modell-

klasse, mit der stochastische Prozesse beschrieben werden k¨ onnen, deren Volatilit¨ at

nicht konstant bleibt, sondern sich im Zeitverlauf ver¨ andert. Die vorliegende Arbeit

befasst sich mit dem Modelltyp GARCH(1,1), der in der Praxis oft zur Beschreibung

von Finanzzeitreihen eingesetzt wird (vgl. Bera und Higgins [2]).

Zuerst werden Kriterien f¨ ur die Stationarit¨ at und f¨ ur die Existenz und Endlichkeit

von Momenten eines GARCH(1,1)-Prozesses erl¨ autert. Danach werden einige in der

Literatur vorgeschlagene Erweiterungen des Standardmodells vorgestellt und hin-

sichtlich der Existenz der station¨ aren L¨ osungen und Momente untersucht. Anschlie-

ßend wird im Rahmen der Change-Point-Analyse ein sequentieller Test zum Erken-nen von Parameter¨ anderungen eines station¨ aren GARCH(1,1)-Prozesses detailliert

beschrieben. Dazu wird das asymptotische Verhalten der entsprechenden Teststati-

stik untersucht und die Grenzverteilung der zugeh¨ origen Stoppzeit bestimmt.

Inhaltsverzeichnis

1  Einleitung  3

2  GARCH(1,1) - Modell  5

2.1  Struktur  5

2.2  Momente  7

3  Erweiterte GARCH(1,1) - Modelle  14

3.1  Struktur  14

3.2  Momente  20

4  GARCH(1,1) - Modell: Sequentielle Change-Point-Analyse  29

4.1  Motivation  29

4.2  Parametersch atzung f ur GARCH(1,1) - Modell  30

4.2.1  Darstellungen f ur GARCH(1,1) - Modell  30

4.2.2  Die Quasi-Maximum-Likelihood-Sch atzung  34

4.2.3  Einige Hilfsresultate  40

4.3  Test  48

4.3.1  Teststatistik unter H 0  50

4.3.2  Teststatistik unter H A  51

4.3.3  Beweis von Proposition 4.1  52

4.3.4  Beweis von Satz 4.5  59

4.3.5  Beweis von Satz 4.6  74

Literaturverzeichnis   77

1 EINLEITUNG 3

1 Einleitung

Bei finanz¨ okonometrischen Zeitreihen wie Renditen von Aktien- oder Wechselkur-

sen ist h¨ aufig beobachtet worden, dass die Renditen selbst zwar unkorreliert sind,

ihre quadrierten Werte weisen dagegen seriell eine hohe positive Korrelation auf.

Diese Besonderheit h¨ angt damit zusammen, dass die Volatilit¨ at, d.h. die bedingte

Streuung dieser Zeitreihen nicht konstant ist, sondern im Zeitablauf schwankt. Man

bezeichnet diese Eigenschaft als bedingte Heteroskedastizit¨ at der Zeitreihe. Als Kon-sequenz bilden sich Volatilit¨ atscluster: Phasen hoher Volatilit¨ at wechseln sich ab mit

Phasen geringer Volatilit¨ at.

Zur Modellierung von Kapitalmarktdaten wird die Klasse der autoregressiven be-

dingt heteroskedastischen Prozesse (ARCH ¹ - Prozesse) eingesetzt. In diesem sto-

chastischen Modell wird die bedingte Varianz als lineare Funktion von vergange-nen quadrierten Werten der Zeitreihe dargestellt. Dadurch k¨ onnen die beschriebe-nen Charakteristika von Renditen gut abbilden werden. Eine weite Anwendung in

der Finanz¨ okonometrie findet insbesondere das verallgemeinerte ARCH - Modell

(GARCH ² - Modell). Hier h¨ angt die bedingte Varianz nicht nur von den vergan-

genen quadrierten Realisationen der Reihe, sondern zus¨ atzlich von den bedingten

Varianzen der Vorperioden ab. Das klassische GARCH-Modell dient außerdem als

Grundlage f¨ ur eine Reihe von modifizierten Modellen, die unter anderem die empi-

risch beobachtete Asymmetrie der Volatilit¨ at bez¨ uglich des Vorzeichens vergangener

Schocks nachbilden k¨ onnen. Eine ¨ Ubersicht ¨ uber die erweiterten Modelle findet sich

z.B. in Engle und Ng [18].

Eines der wichtigsten Ziele der Modellierung von (¨ okonomischen) Zeitreihen ist die

Prognose der zuk¨ unftigen Entwicklung. Man sch¨ atzt das Modell aus einer Stichprobe

der Zeitreihendaten und versucht, damit die zuk¨ unftigen Werte vorherzusagen. Die

Prognose kann aber nur dann zuverl¨ assig sein, wenn die Parameter des zugrunde

liegenden datenerzeugenden Prozesses ¨ uber die Zeit stabil bleiben. Ansonsten muss

das Modell angepasst werden. Das Vorliegen von solchen Strukturbr¨ uchen kann mit

Methoden der Change-Point-Analyse getestet werden.

Die vorliegende Arbeit besch¨ aftigt sich mit dem in der Praxis weit verbreiteten

GARCH(1,1)-Modell von Bollerslev [9]. Eigenschaften wie Stationarit¨ at und Exi-

stenz von Momenten sollen untersucht werden. Der Schwerpunkt der Betrachtung

liegt jedoch auf der Untersuchung des Prozesses nach Strukturbr¨ uchen, genauer nach

Parameter¨ anderungen im Rahmen der sequentiellen Change-Point-Analyse. Der ur-

spr¨ unglich f¨ ur allgemeine GARCH(p, q)-Prozesse entwickelte sequentielle Test von

Berkes u.a. [6] soll f¨ ur das GARCH(1,1)-Modell spezifiziert und detailliert erl¨ autert

werden.

Die Arbeit ist wie folgt aufgebaut. In Kapitel 2 werden Bedingungen f¨ ur die Sta-

tionarit¨ at sowie f¨ ur die Existenz und Endlichkeit von Momenten der station¨ aren

¹ autoregressive conditional heteroscedasticity

² generalized ARCH

1 EINLEITUNG 4

Verteilung des GARCH(1,1)-Prozesses vorgestellt. Kapitel 3 behandelt einige Er-

weiterungen dieses Modells. Es werden einheitliche Kriterien f¨ ur die Existenz der

station¨ aren Verteilungen und Momente hergeleitet. Kapitel 4 besch¨ aftigt sich mit

der Change-Point-Analyse. Es folgt zuerst eine kurze Einf¨ uhrung in die Methode der

sequentiellen Change-Point-Analyse, danach wird die Quasi-Maximum-Likelihood-Methode der Parametersch¨ atzung eines station¨ aren GARCH(1,1)-Prozesses be-

schrieben. Schließlich wird der sequentielle Test von Berkes u.a. [6] f¨ ur das Auf-

decken von Struktur¨ anderungen beim GARCH(1,1)-Prozess ausf¨ uhrlich dargelegt.

Dabei wird das asymptotische Verhalten der entsprechenden Teststatistik unter-sucht und die Grenzverteilung der zugeh¨ origen Stoppzeit unter der Nullhypothese

bestimmt.

2 GARCH(1,1) - MODELL 5

2 GARCH(1,1) - Modell

2.1 Struktur

Definition 2.1. Ein stochastischer Prozess (y t ) t∈ Z heisst verallgemeinerter au-

toregressiver bedingt heteroskedastischer Prozess der Ordnungen 1 und 1,

kurz GARCH(1,1)-Prozess, wenn er f¨ ur t ∈ Z folgenden Gleichungen gen¨ ugt

mit

(ε t ) t∈ Z i.i.d. (2.3)

wobei ω > 0, β ≥ 0 und α ≥ 0.

Das allgemeine GARCH(p, q)-Modell entsteht, wenn man die Gleichung (2.2) um

die verz¨ ogerten Werte σ ² t−2 , . . . , σ ² t−q und y ² t−2 , . . . , y ² t−p erweitert (Bollerslev [9]). Das

GARCH-Modell enth¨ alt das ARCH-Modell als Spezialfall, wenn man β = 0 setzt,

= ARCH(1). Wenn α = β = 0, dann ist {y t } t∈ Z einfach ein d.h. GARCH(0, 1)

White-Noise-Prozess.

Eine der wichtigsten Eigenschaften einer Zeitreihe - vor allem in Bezug auf die Pro-

gnosen - ist die Stationarit¨ at. Wir nennen im Folgenden einen Prozess {X n } n∈Z stark

station¨ ar, wenn ∀n, m ∈ Z die Verteilung von (X n , X n+1 , . . . , X n+m ) unabh¨ angig

von n ist. {X n } wird schwach station¨ ar genannt, wenn ∀n, m ∈ Z gilt: E(X ² n ) < ∞,

E(X n ) ist konstant, und Cov(X n , X n+m ) ist nur von m abh¨ angig. Die schwache Sta-

tionarit¨ at - im Gegensatz zur starken - erfordert die Existenz von mindestens zweiten

Momenten, was in der Praxis eine Einschr¨ ankung bedeuten kann. Denn es wurde

empirisch beobachtet, dass einige Zeitreihen (z.B. Wechselkurse) nicht quadratinte-grierbar, aber wohl stark station¨ ar sind. Wir untersuchen daher zun¨ achst nur die

starke Stationarit¨ at von {y t } t∈Z , im Folgenden kurz Stationarit¨ at genannt.

Als Erstes wird angenommen, dass

γ := E log(β + αε 2 0 )

existiert. Dabei wird nicht verlangt, dass γ endlich ist, nur dass die Erwartungswerte

vom positiven und negativen Teil von log(β + αε 2 0 ) nicht beide unendlich sind. Man

betrachte nun die rekursive Gleichung (2.2). F¨ ur jedes m ∈ IN und t ∈ Z gilt

2 GARCH(1,1) - MODELL 6

wobei angenommen wird, dass das Modell unendlich weit in der Vergangenheit star-tet. Nach der Anwendung des Logarithmus auf die Produkte erhalten wir

Die Folge {log(β + αε ² i )} i∈Z ist nat¨ urlich i.i.d. wegen (2.3). Das starke Gesetz der

großen Zahl f¨ ur i.i.d. Zufallsvariablen liefert

Daher gilt fast sicher

Angewandt auf (2.4) ergibt dies

Wir nehmen dabei an, dass das Produkt ¨ uber eine leere Indexmenge gleich 1 ist.

Sei nun F t = σ(ε k | k ≤ t−1). Bei γ < 0 ist σ 2 1≤i≤k (β+αε 2 t = sup m∈IN ω t−i )

0≤k≤m

als Supremum von abz¨ ahlbar vielen messbaren Summen messbar bez¨ uglich F t−1 . Da

die Folge {ε ² t } t∈Z nach Voraussetzung unabh¨ angig und identisch verteilt ist, ist sie

nach dem Lemma 3.5.8 von Stout [29] station¨ ar und ergodisch. Aus Theorem 3.5.8.

von Stout [29] folgt dann die Stationarit¨ at und Ergodizit¨ at von {σ ² t } t∈Z und somit

auch von {y t } t∈Z . Ferner gilt f¨ ur jedes t ∈ Z die stochastische Unabh¨ angigkeit von

σ ² t und ε t .

Schließlich kann man die notwendige und hinreichende Bedingung f¨ ur die Stationa-

rit¨ at eines GARCH(1, 1) - Prozesses formulieren (vgl. Nelson [26]).

1. Ist E[log(β + αε ² t )] ≥ 0, so gilt σ ² t = ∞ f.s. f¨ ur alle t ∈ Z. Satz 2.1.

2. Ist E[log(β + αε ² t )] < 0, so besitzt das Modell (2.1)-(2.3) eine eindeutige sta-

tion¨ are und ergodische L¨ osung

Beweis: Zu (1): Siehe oben.

2 GARCH(1,1) - MODELL 7

σ ² Zu (2): Es bleibt zu zeigen, dass die L¨ osung (2.5) eindeutig ist. Sei dazu t eine

weitere station¨ are und ergodische L¨ osung von (2.2). Durch Rekursion erhalten wir

f¨ ur k ∈ Z

Da σ ² t und

Wegen

und damit

σ ² σ 2 t − P > δ = 0

t

f¨ ur jedes beliebige δ > 0. Also ist σ ² σ ² t = t f.s.

Aus der Bedingung E[log(β + αε ² t )] < 0 folgt unmittelbar, dass

β < 1, (2.6)

denn log β < E[log(β + αε ² t )] < 0. Somit ist (2.6) eine notwendige Bedingung f¨ ur die

Existenz einer station¨ aren L¨ osung von (2.2).

2.2 Momente

Da σ t und ε t stochastisch unabh¨ angig sind, gilt E|y t | ^p = E|σ t | ^p E|ε t | ^p f¨ ur p > 0. F¨ ur

die Existenz der p-ten Momente von y t muss also vorausgesetzt werden, dass auch

ε t entsprechende Momente besitzt: E|ε t | ^p < ∞, p > 0. Nun werden Bedingungen f¨ ur

die Existenz der Momente von σ t hergeleitet.

Nelson [26] gab obere und untere Absch¨ atzungen f¨ ur die Momente von σ ² t an.

Satz 2.2. Sei E[log(β + αε ² t )] < 0 und ζ := E[(β + αε ² t ) ^p ]. Wenn 0 < p ≤ 1, dann

gilt:

Wenn 1 ≤ p, dann gelten die umgekehrten Ungleichungen in (2.7).

Beweis: Wegen E[log(β + αε ² t )] < 0 hat σ ² t nach Satz 2.1 die Darstellung (2.5). F¨ ur

p ≤ 1 gilt dann

∞

E[σ ^2p t ] = ω ^p E

2 GARCH(1,1) - MODELL 8

F¨ ur die linke Gleichung in (2.7) benutzen wir Minkowski-Ungleichung und die Un-

abh¨ angigkeit von (ε t ) t∈Z .

F¨ ur p ≥ 1 gelten die umgekehrten Ungleichungen wegen 1/p ≤ 1.

Aus diesem Satz folgen unmittelbar die notwendige und hinreichende Bedingungen

f¨ ur die Endlichkeit der Momente.

Korollar 2.1. Sei p > 0 und E[log(β + αε ² t )] < 0. Dann gilt f¨ ur alle t ∈ Z:

E[σ ^2p E(β + αε ² t ) ^p < 1. t ] < ∞ ⇐⇒

Beweis: Sei 0 < p ≤ 1. Wenn ζ = E(β + αε 2

Summe in (2.7), so dass E[σ 2p

und damit E[σ ^2p t ] = ∞. F¨ ur p ≥ 1 gelten entsprechende Aussagen.

Der folgende Satz, der auf Nelson [26] zur¨ uckgeht, liefert ein Kriterium f¨ ur die Exi-

stenz der Momente von der Ordnung r + δ, δ > 0, r ∈ Z.

Satz 2.3. Sei E log(β + αε ² t ) < 0.

1. Wenn E| ε t | ^2q < ∞ f¨ ur ein q > 0, dann gibt es ein p , 0 < p < q, so dass

E(β + αε ² t ) ^p < 1.

2. Wenn zus¨ atzlich E(β + αε 2

dass E(β + αε ² t ) ^r+δ < 1.

Beweis: Als erstes wird mit der Minkowski-Ungleichung gezeigt, dass f¨ ur jedes t ∈ Z

gilt:

E(β + αε ² t ) ^q < ∞ ⇐⇒ E|ε t | ^2q < ∞.

2 GARCH(1,1) - MODELL 9

Sei 0 < q ≤ 1. Dann ist

E(β + αε ² t ) ^q ≤ β ^q + α ^q E|ε t | ^2q < ∞, falls E|ε t | ^2q < ∞,

und

E|ε t | ^2q ≤

F¨ ur q ≥ 1 gilt:

(E(β + αε ² t ) ^q ) ^1/q ≤ β + α(E|ε t | ^2q ) ^1/q < ∞, falls E|ε t | ^2q < ∞,

und

(E|ε t | ^2q ) ^1/q ≤

Nach Theorem 194 und der Verallgemeinerung im Abschnitt 6.17 in Hardy u.a.[21]

folgt: Wenn (E(β + αε ² t ) ^p ) ^1/p eine stetige t ) ^q ) ^1/q < ∞, dann ist p → (E(β + αε 2

Funktion f¨ ur 0 < p < q. Teil 2 folgt nun unmittelbar.

Wegen E(β + αε ² t ) ^q < ∞ gilt weiter nach Theoremen 187 in Hardy u.a. [21]: Bei

q → 0 ist

(E(β + αε ² t ) ^q ) ^1/q ↓ exp(E log(β + αε ² t )) < 1.

Somit existiert ein 0 < r < q mit E(β + αε ² ) ^r < 1, und Teil 1 ist bewiesen.

Bemerkung 2.1. Satz 2.3 und Korollar 2.1 besagen insbesondere, dass f¨ ur eine

station¨ are GARCH(1, 1)-Folge {σ ² t } t∈Z folgendes gilt: Wenn

Eε 2q 0 < ∞ f¨ ur ein q > 0,

dann ist

Eσ 2p 0 < ∞ und Ey 2p 0 < ∞

f¨ ur ein 0 < p < q. Es gilt sogar mehr: Laut Teil 2) des obigen Satzes existiert ein

δ > 0 mit

^{2(p+δ) 2(p+δ)} < ∞ und Ey < ∞. Eσ

0 0

Wir nehmen nun an, dass

E[ε t ] = 0 und E[ε ² t ] = 1, (2.8)

und betrachten bedingte und unbedingte Momente von y t . F¨ ur die Vorgeschichte des

Prozesses F t−1 := σ(y k | k ≤ t − 1) ist dann

E[y t |F t−1 ] = E[σ t ε t |F t−1 ]

2 GARCH(1,1) - MODELL 10

Damit ist auch E[y t ] = E[E(y t |F t−1 )] = 0, der GARCH(1,1)-Prozess ist also im

Mittel konstant. Die bedingte Varianz zum Zeitpunkt t, gegeben die Vergangenheit,

ist

t = 1, dann ist σ ² (Wenn Eε t = 0 und Eε ² t das bedingte zweite Moment von y t .

Wenn man zul¨ asst, dass das zweite Moment von ε t unendlich ist oder nicht existiert,

dann ist σ t einfach ein bedingter Skalenparameter f¨ ur y t .) Es wird deutlich, das die

bedingte Varianz von GARCH-Prozessen zeitabh¨ angig ist. Mit anderen Worten, es

liegt eine bedingte Heteroskedastizit¨ at vor. Der Koeffizient α steuert die Wirkung

der Innovationen ε t (Schocks) und β beinhaltet den Einfluss der vergangenen Vola-

tilit¨ at. Der GARCH-Effekt besteht nun darin, dass wenn der absolute Wert von y t−1

groß ausf¨ allt, weil ε t−1 oder σ t−1 groß sind, dann f¨ uhrt das zur Vergr¨ oßerung der

bedingten Varianz in der n¨ achsten Periode. Das macht das Auftreten eines großen

absoluten Wertes y t wahrscheinlicher, u.s.w. Auf der anderen Seite, wenn y t−1 na-

he zu 0 ist, dann wird die bedingte Varianz entsprechend kleiner, was wiederum

in einem kleineren Wert y t in der n¨ achsten Periode resultiert. Auf diese Weise bil-den sich Volatilit¨ atscluster: Phasen hoher Volatilit¨ at wechseln mit Phasen geringer

Volatilit¨ at.

Um die unbedingte Varianz zu bestimmen, nehmen wir wie im Korollar 2.1 an, dass

E(β + αε 2 0 ) = β + α < 1. Dann ist

d.h. der GARCH(1,1)-Prozess ist homoskedastisch. Die Kovarianzfunktion ist

Cov(y t , y t−j ) = E(y t y t−j ) = E[E(y t y t−j |F t−1 )] = E[y t−j E(y t |F t−1 )] = 0

f¨ ur j ≥ 1, also sind y t unkorreliert. Das zweite Moment ist unendlich, wenn β + α =

1. Somit l¨ asst sich die notwendige und hinreichende Bedingung f¨ ur die schwache

Stationarit¨ at f¨ ur {y t } t∈Z unter der Annahme (2.8) formulieren als (vgl. Bollerslev

[9], Theorem 1)

β + α < 1. (2.9)

2 GARCH(1,1) - MODELL 11

Wie man sieht, ist die Bedingung f¨ ur starke Stationarit¨ at E[log(β +αε ² )] < 0 schw¨ a-

cher als die Bedingung f¨ ur schwache Stationarit¨ at. Diese Besonderheit ist wichtig f¨ ur

die Untersuchung von Prozessen, die keine Varianz besitzen, aber immer noch sta-tion¨ ar sein k¨ onnen, z. B. sog. integrierte GARCH, oder IGARCH - Prozesse (Nelson

[26]), f¨ ur die β + α = 1 gilt.

Obwohl y t unkorreliert sind, sind sie keineswegs unabh¨ angig, denn die qudrierten

Werte y ² t sind sehr wohl korreliert. Um das zu sehen, kann eine neue Zufallsvariable

η t = y ² t − σ ² t = σ ² t (ε ² t − 1) definiert werden (vgl. Bollerslev [9]). Es gilt

E[η t |F t−1 ] = E[y ² t − σ ² t |F t−1 ] = E[y ² t |F t−1 ] − σ ² t = 0,

und somit E[η t ] = 0. Außerdem sind {η t } unkorreliert, denn f¨ ur j ≥ 1 ist

Cov(η t , η t−j ) = E(η t η t−j ) = E[E(η t η t−j |F t−1 )] = E[η t−j E(η t |F t−1 )] = 0.

Durch Substitution von σ ² t durch y ² t − η t erh¨ alt man

y ² t = ω + (β + α)y ² t−1 + η t − βη t−1 .

Dann l¨ asst sich die Autokovarianzfunktion γ(k) = Cov(y ² t , y ² t−k ) berechnen zu

Eine l¨ angere Rechnung ergibt f¨ ur die Autokorrelationsfunktion ρ(k) = Corr(y ² t , y ² t−k ) =

γ(k)/γ(0):

Wegen (2.9) hat ein station¨ arer GARCH(1,1)-Prozess eine asymptotisch gegen Null

gehende Korrelationsfunktion.

Schließlich betrachten wir noch die bedingte und unbedingte W¨ olbung κ eines

GARCH(1,1)-Prozesses.

2 GARCH(1,1) - MODELL 12

d.h. die bedingte W¨ olbung ist gerade die W¨ olbung der Verteilung der Innovation.

Die unbedingte W¨ olbung ergibt sich somit aus der bedingten durch Multiplikation

mit dem Faktor E(σ ⁴ t )/(Eσ ² t ) ² . Nach der Jensen-Ungleichung gilt aber

so dass die unbedingte W¨ olbung des Prozesses h¨ oher ist als die bedingte.

Bemerkung 2.2. Unter der Normalverteilungsannahme ε t ∼ N (0, 1) gab Bollerslev

([9], Theorem 2) eine notwendige und hinreichende Bedingung sowie eine explizite

Formel f¨ ur die 2m-ten Momente an: Genau dann, wenn

wobei

kann das 2m-te Moment durch die rekursive Gleichung

m−1

E[y ^2m t ] = a m

ausgedr¨ uckt werden. Aus der Existenz der 2m-Momente folgt aus Symmetriegr¨ un-

den, dass E[y ^2m−1 ] = 0.

t

Wenn also 3α ² + 2αβ + β ² < 1, dann ist

und der Kurtosiskoeffizient errechnet sich zu

Da nach der obigen Rechnung κ(y t ) ≥ κ(y t |F t−1 ) = κ(ε t ) = 3, ist die unbedingte

Verteilung des GARCH(1,1)-Prozesses leptokurtisch, d.h. die W¨ olbung im Zentrum

der Verteilung von y t ist st¨ arker und die Flanken sind dicker als bei Normalverteilung,

was h¨ aufig bei Finanzmarktdaten zu beobachten ist.

2 GARCH(1,1) - MODELL 13

Bemerkung 2.3. Zur Modellierung von Finanzzeitreihen werden f¨ ur den Innovati-

onsprozess neben der Normalverteilung auch andere Verteilungsannahmen gemacht,

die unter anderem die Modellierung von Prozessen erm¨ oglichen, die eine noch deut-

lichere leptokurtische Verteilung aufweisen und damit extreme Realisationen besser

erkl¨ aren. So untersucht Nelson [27] die verallgemeinerte Fehlerverteilung GED, die

t-Verteilung wird von Bollerslev [10] angewendet.

3 ERWEITERTE GARCH(1,1) - MODELLE 14

3 Erweiterte GARCH(1,1) - Modelle

3.1 Struktur

Ein wesentlicher Nachteil des Standard-GARCH-Modells (2.1)-(2.3) ist, dass es einen

symmetrischen Effekt von positiven und negativen Schocks auf die Volatilit¨ at unter-

stellt. Das folgt daraus, dass die verz¨ ogerten Innovationen in (2.2) nur in quadrati-

scher Form eingehen, sie haben also nur einen Gr¨ oßeneffekt, aber keinen Vorzeichen-

effekt. Schlechte und gute Nachrichten (ausgedr¨ uckt durch negative und positive Vor-

zeichen) haben in diesem Modell die gleiche Auswirkung. Man hat jedoch empirisch

beobachtet, dass die Volatilit¨ at z.B. bei Aktienrenditen nach negativen Nachrichten

st¨ arker steigt als nach positiven. Dieser sogenannte Leverage Effekt (vgl. Black [8])

wird durch das GARCH(1,1)-Modell nicht abgebildet. Daher sind in der Literatur

viele Erweiterungen des Standardmodells vorgeschlagen worden, die den Leverage

Effekt explizit ber¨ ucksichtigen. Im Folgenden werden einige von diesen erweiterten

Modellen sowie Modelle vorgestellt, die andere als in (2.2) funktionale Abh¨ angigkeit

der Volatilit¨ aten zugelassen.

Modell 1 : NGARCH

Das ” nonlinear asymmetric GARCH” - Modell, eingef¨ uhrt von Engle und Ng [18],

wird definiert durch

σ ² t = ω + βσ ² t−1 + α(ε t−1 + c) ² σ 2

t−1

mit ω > 0, β ≥ 0 und α ≥ 0. Der Parameter c reguliert den asymmetrischen Effekt.

Falls c > 0, dann erzeugt ein positiver Schock mehr Volatilit¨ at als ein negativer

Schock.

Modell 2 : VGARCH

Die von Engle und Ng [18] vorgeschlagene Version des obigen Modells wird definiert

durch

σ ² t = ω + βσ ² t−1 + α(ε t−1 + c) 2

mit ω > 0, β ≥ 0 und α ≥ 0. Der Parameter c erfasst die Asymmetrie. Falls c > 0,

dann sind positive Schocks von den h¨ oheren Varianzen gefolgt, als negative Schocks

der gleichen Gr¨ oße.

Modell 3 : MGARCH

Das ” multiplikative GARCH” - Modell, eingef¨ uhrt von Geweke [19], wird definiert

durch

log(σ ² t ) = ω + β log(σ ² t−1 ) + α log(ε ² t−1 ).

Hier k¨ onnen die Parameter auch negativ sein, denn durch die Anwendung der Ex-ponentialfunktion bleibt σ ² t = exp(log(σ ² t )) positiv. Dieses Modell beschreibt eine

multiplikative Abh¨ angigkeit der bedingten Volatilit¨ at von den verz¨ ogerten Innova-tionen.

Modell 4 : EGARCH

Auch beim ” exponential GARCH” - Modell (Nelson [27]) betrachtet man die loga-

3 ERWEITERTE GARCH(1,1) - MODELLE 15

rithmierten Volatilit¨ aten

log(σ ² t ) = ω + β log(σ ² t−1 ) + α(ε t−1 + γ|ε t−1 |)

mit γ = 0. log(σ ² t ) kann auch negativ werden, daher sind keine Restriktionen an die

Parameter n¨ otig. In diesem Modell wird der asymmetrische Vorzeicheneffekt durch

γ und der Gr¨ oßeneffekt durch α gesteuert, daher ist α typischerweise positiv und

γ negativ. Wenn −1 < γ < 0, dann erh¨ ohen positive Innovationen die Volatilit¨ at

weniger als negative. Bei γ < −1 reduzieren positive ε t die Volatilit¨ at, wobei negative

ε t die umgekehrte Wirkung haben.

Modell 5 : TGARCH

Die Idee des ” threshold GARCH” - Modells (Zakoian [32]) ist, den Tr¨ ager der Vertei-

lung der Innovationen (bei Null) in disjunkte Intervalle zu unterteilen, um auf diese

Weise den Einfluss positiver und negativer Innovationen auf die bedingte Standard-

abweichung unterscheiden zu k¨ onnen:

σ t = ω + βσ t−1 + (α 1 |ε t−1 | + α 2 |ε t−1 |I(ε t−1 < 0))σ t−1

mit der Indikatorfunktion I(·) und ω > 0, β ≥ 0, α 1 > 0 und α 1 + α 2 ≥ 0. Sobald die

Innovation den Schwellenwert Null ¨ uberschreitet, erfolgt ein pl¨ otzlicher Steigungs-wechsel der Volatilit¨ atsfunktion.

Modell 6 : GJR-GARCH

Das Modell von Glosten, Jagannathan und Runke [20] ist eine Modifikation des

TGARCH-Modells, bei der statt der bedingten Standardabweichung die bedingte

Varianz betrachtet wird:

σ ² t = ω + βσ ² t−1 + (α 1 ε ² t−1 + α 2 ε ² t−1 I(ε t−1 < 0))σ 2

t−1

mit ω > 0, β ≥ 0, α 1 > 0 und α 1 + α 2 ≥ 0.

Modell 7 : TSGARCH

Die von Taylor [30] und Schwert [28] stammende Version des GARCH(1,1)-Modells

wird definiert durch

σ t = ω + βσ t−1 + α|ε t−1 |σ t−1

mit ω > 0, β ≥ 0, α ≥ 0. Im Gegensatz zum Standardmodell gehen hier absolute

statt quadrierter Gr¨ oßen in die Gleichung ein.

Nun wird versucht, eine gemeinsame Form f¨ ur die vorgestellten Modelle zu fin-

den, um einheitliche Kriterien f¨ ur die Existenz station¨ arer L¨ osungen und Momente

herzuleiten. In der Literatur trifft man verschiedene Ans¨ atze zur Behandlung von

erweiterten Modellen. He und Ter¨ asvirta [22] betrachten Prozesse von der Form

y t = h t ε t , h δ t = g(ε t−1 ) + c(ε t−1 )h δ t−1 f¨ ur δ = 1 oder 2 und P {h t > 0} = 1 und leiten

notwendige und hinreichende Bedingungen f¨ ur die Existenz von ganzzahligen Mo-

menten her. Ling und McAlleer [24] erweitern diesen Ansatz, indem sie die Stationa-

rit¨ at auch f¨ ur die F¨ alle mit allgemeinem δ > 0 zeigen. Allerdings beschr¨ anken sie sich