Inhaltsverzeichnis

1  Einleitung  3

2  Mathematische Grundlagen  3

2.1  Standard Wiener Prozess  3

2.1.1  Diskrete Ver anderung eines Partikels in einem kleinem Zeitintervall  3

2.1.2  Diskrete Ver anderung eines Partikels in einem großem Zeitintervall  4

2.1.3  Stetige Ver anderung eines Partikels  4

2.2  Itˆ o-Prozesse  5

2.2.1  Brownsche Bewegung mit Drift  5

2.2.2  Geometrische Brownsche Bewegung  6

2.2.3  Itˆ o Lemma  6

3  Die Annahmen im Black Schoeles Modell  8

4  Die Black-Schoeles Differentialgleichung  9

4.1  Ein Portfolio ohne Dividendenausch utung  9

4.1.1  Delta-Hedging  9

4.1.2  Keine Arbitrage M oglichkeit  10

4.2  Ein Portfolio mit Dividendenausch utung  11

5  L osung der Black-Schoeles Differentialgleichung  11

5.1  R uckf uhrung auf die W armeleitungsgleichung  12

5.2  L osung der W armeleitungsgleichung  13

5.3  Wert einer europ aischen Call Option  14

5.4  Put-Call Parit at  16

5.5  Wert einer europ aischen Put Option  16

6  Abschließende Bewertung  17

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1 Einleitung

Eine Option verbrieft das Recht, jedoch nicht die Pflicht, gegen Zahlung einer Optionspr¨ amie zu einem sp¨ ateren Zeitpunkt G¨ uter oder Wertpapiere zu kaufen (Call-Option) oder zu verkaufen (Put- Option), undzwar zu einem bereits heute festgelegten Preis [BRK]. Ein effizientes Management von Risiken setzt voraus, dass solche Finanzinstrumente richtig bewertet werden. Merton und Scholes entwickelten zusammen mit Fischer Black, der im August 1995 verstarb, eine Methode zur Bewertung von Optionen. Diese wurde zum ersten mal 1973, nach zweimaliger Ablehnung ver¨ offentlicht und trug zu einer Ver¨ anderung der finanzmarkttheoretischen Forschung bei. Das Problem bei der Optionsbewertung bestand darin, f¨ ur die Kursrisiken eine korrekte Pr¨ amie zu definieren. Eine solche Pr¨ amie wird wiederum von der Risikoeinstellung (risikofreudig, -avers oder -neutral) der einzelnen Marktteilnehmer bestimmt. Risikoeinstellungen ver¨ andern sich aber gegebenenfalls im Zeitablauf und sind deshalb nicht nur in der Realit¨ at kaum zu erfassen. Beim Black, Merton und Scholes Modell wird die explizite Forderung nach einer Risikopr¨ amie umgangen. Diese Innovation im Black Scholes Modells wurde schließlich mit der Verleihung des Nobelpreises f¨ ur Wirtschaftswissenschaften im Jahr 1997 gew¨ urdigt.

Die vorliegende Arbeit befasst sich mit einer direkten Herleitung der Black Scholes Preisformel zur Bewertung von Optionen europ¨ aischen Typs.

Zun¨ achst werden wir gewisse mathematische Begriffe definieren, die f¨ ur das Verst¨ andnis des Modells grundlegend sind. Anschließend betrachten wir die Annahmen, die in jedem wirtschaftlichen Modell unvermeidbar sind. Im dritten Abschnitt folgt die Herleitung der Black-Scholes Differentialgleichung, die den Ausgangspunkt f¨ ur die Black-Scholes Preisformel darstellt. Die L¨ osung der Differentialgleichung wird Bestandteil des letzten Abschnittes sein. Wir werden sowohl die L¨ osung f¨ ur eine europ¨ aische Call Option als auch f¨ ur eine Put Option des gleichen Typs erl¨ autern.

2 Mathematische Grundlagen

Der Englische Botaniker Brown (1773-1858) beobachtete mit dem Mikroskop Pollenk¨ orner, welche sich in einer w¨ assrigen L¨ osung (Suspension) befanden. Er entdeckte, dass die Pollenk¨ orner auch nach langer Beobachtungszeit in st¨ andiger regelloser Bewegung waren. Zun¨ achst dachte Brown, er beobachtete Lebewesen. Doch als er feinste Metallsp¨ ane in das Wasser gab, bewegte sich auch die sicher tote Materie ¨ ahnlich wie die Pollenk¨ orner.

In unserem Kontext k¨ onnen wir die Pollenk¨ orner als ein Aktie und die w¨ assrige L¨ osung als den Aktienmarkt darstellen. Es ist bemerkenswert, dass Louis Bachelier bereits 1900 seine Dissertation Th´ eorie de la speculation“ eine Theorie der Finanzm¨ arkte beruhend auf diese Gesetz¨ ahnlichkeit

”

aufgebaut hat.

Die Brownsche Bewegung ist auch als Wiener Prozess bekannt, da es Norbet Wiener 1923 als erster gelang, eine mathematische Formulierung f¨ ur die von Brown beobachtete Bewegung aufzustellen. Wir werden nun diesen Stochastischen Prozess n¨ aher betrachten.

2.1 Standard Wiener Prozess

2.1.1 Diskrete Ver¨ anderung eines Partikels in einem kleinem Zeitintervall

Sei ∆x die Ver¨ anderung eines Partikels in einem kleinem Intervall ∆t. Wir nehmen an das ∆x=∆w √ ∆t und ε ∼ N (0, 1). wobei ∆w=ε

Es ist also m¨ oglich den Erwartungswert und die Varianz von ∆x zu berechnen: √ √ √

E(∆x) = E(∆w) = E(ε

√ V ar(∆x) = V (∆w) = V ar(ε (2)

√

Aus (1),(2)⇒ ∆x ∼ N (0, ∆t)

2.1.2 Diskrete Ver¨ anderung eines Partikels in einem großem Zeitintervall

Die gerade entwickelte Relation bleibt f¨ ur ein großes Intervall T bestanden. Den T besteht aus n kleineren Intervallen der L¨ ange ∆t d.h T = n∆t.

In diesem Kontext ist es w¨ unschenswert ∆x = x T − x 0 zu setzen. Dann haben wir:

√

Wie im oberen Abschnitt k¨ onnen wir in diesem Fall den Erwartungswert und die Varianz von

x T − x 0 berechnen:

ε i ∆t) = i=1

E(x T − x 0 ) = E(

∆t · 0 = 0 n i=1 ε i n i=1 V ar(x t − x 0 ) = V ar( ∆t) = ∆t i=1 1 = n · ∆t = T Aus (3),(4)⇒ ∆x T − x 0 ∼ N (0,

(4) √

T ) ⇔ x T ∼ N (x 0 ,

√ T ) 2.1.3 Stetige Ver¨ anderung eines Partikels kleine Intervalle unterteilen l¨ asst. Mit anderen Worten betrachtet man ein stetiges Zeitintervall,

Wenn man ∆t → 0 streben l¨ asst, dann zieht man in Erw¨ agung, dass sich das Intervall T in extrem was uns dazu bringt ∆w = dw, ∆x = dx und ∆t = dt zu setzen. In diesem fall ist dx = dw ∼ N (0,

√ dt). Dies definiert einen Standard Wiener Prozess. Hier

folgt die exakte mathematische Formulierung:

Definition 2.1 Ein stochastischer Prozess (w t ) t∈[0,∞) auf einemW ahrscheinlichkeitsraum(Ω, A, P )

heißt Wiener-Prozess oder Standard Brownsche Bewegung, falls gilt:

1. w 0 = 0,

2. fur 0 ≤ s < t ist w t − w s normalverteilt mit Erwartungswert 0 und Varianz t − s, 3. fur 0 ≤ t 0 < t 1 < ... < t n sind die Zuw¨ achse w t i − w t i−1 i = 1, ..., n stochastisch unabhangig, 4. die Pfade t → w t sind stetig. Im laufe dieser Arbeit werden wir uns ausschließlich mit stetigen Prozesse befassen obwohl, Preis¨ anderungen auf den Finanzm¨ arkten st¨ uckweise Stetig sind d.h. dass, der Preis sich nicht permanent ¨ andert, sondern w¨ ahrend einer kurzen Zeit konstant bleibt. In der Tat haben wir in

der Realit¨ at Prozesse, welche st¨ uckweise stetig sind und auf diesen stetigen Zwischenst¨ ucken diskret(Treppenfunktionen) sind. Die Preis¨ anderungen sind derart h¨ aufig und die ¨ Anderungen im

Vergleich zum ganzen Preis derart klein, dass wir letztendlich ein Prozess in stetiger Zeit betrachten werden. Als weiterer Vorteil kommt noch dazu, dass wir in den Modellen stetiger Zeit explizitere Formeln erhalten als in den Modellen in diskreter Zeit. Betrachtet man nun einen stetigen Pfad eines Wiener Prozesses (Abbildung 1 ) so bemerkt man, dass dieser auch negative Werte annehmen kann. Da aber in unserem Kontext eine Aktie nur positive Werte annimmt, m¨ ussen wir eine Erweiterung dieses Prozess entwickeln, der diese Eigenschaft nicht

verletzt. Diese ¨

2.2 Itˆ o-Prozesse

Um reale Wirtschaftsgr¨ oßen zu modellieren, wird selten ein reiner Standard Wiener Prozess w t geeignet sein. So ist bei vielen Variablen ein st¨ andiger Aufw¨ artstrend zu beobachten, der in einem einfachen Wiener Prozess nicht modellierbar ist (Abbildung 1 ). Des Weiteren k¨ onnte man z.B. einen Prozess darstellen wollen, dessen Varianz sich mit der Zeit t bzw. der Gr¨ oße der Variablen selbst ver¨ andert. Diese M¨ oglichkeiten k¨ onnen mit dem so genannten Itˆ o-Prozess abgebildet werden. Die allgemeine mathematische Darstellung eines Itˆ o-Prozesses lautet folgendermaßen:

dx t = a(x t , t) · dt + b(x t , t) · dw t

Dabei sind a und b deterministische Funktionen von t und x t . Die Inkremente von x t (dx t ) setzen sich also aus zwei Teilen zusammen: aus einem deterministischen Glied, das dt und aus einem stochastischen Glied, in dem der Standard Wiener Prozess dw t als erratische Komponente eingeht. Auch hier k¨ onnen wir den Erwartungswert und Varianz von dx t berechnen: √ √

E(dx t ) = a(x t , t)·dt + b(x t , t) · E(dw t ) = a(x t ) · dt da E(dw t ) = E(ε t dt · E(ε t ) = 0 dt) =

√

V ar(dx t ) = b ² (x t , t) · V ar(dw t ) = b ² (x t , t) · V ar(ε t dt) = b ² (x t , t) · dt · V ar(ε) = b ² (x t , t) · dt

2.2.1 Brownsche Bewegung mit Drift

Die Brownsche Bewegung mit Drift ist eine einfache Erweiterung der Brownschen Bewegung:

dx t = µ · dt + σ · dw t

Dabei bezeichnet µ die Driftrate, also den erwarteten Zuwachs von x t in einer Zeiteinheit. Die wirklichen Inkremente sind jedoch um µ herum gestreut, da ja auch die stochastische Komponente auf der rechten Seite des Pluszeichens in das Inkrement mit eingeht. Dabei ist σ der Standartabweichungsparameter. Je grosser σ ist, desto st¨ arker ist die erratische Komponente im Vergleich zur Driftkomponente µ. Die Inkremente des Prozesses mit Standardabweichung µ um den Mittelwert σ sind folgendermaßen normalverteilt: √ dx t ∼ N (µ · dt, σ · dt)

Es ist nicht einfach, Anwendungen zur Brownschen Bewegung mit Drift in der Wirtschaftswelt zu finden, da konstant wachsende wirtschaftliche Gr¨ oßen wie ein Preis- oder Aktienindex fast immer in exponentieller und nicht in linearer Form zunehmen. Meistens ist f¨ ur die Modellierung derartiger Zeitreihen die geometrische Brownsche Bewegung besser geeignet.

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