Statistik III - Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilung zuletzt geändert: 09.02.06

B Wahrscheinlichkeitsrechnung und Einführung in die

Inferenzstatistik

B.1 Wahrscheinlichkeitsrechnung

B.2 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilung

Zufallsvariable = Zufallsveränderliche

Zufallsexperiment

- Werfen eines Würfels

Qualitative Größe, da das Ereignis bereits eine Zahl ist!

- Münzwurf

- Ziehen einer Skatkarte

Bei qualitativen Größen wird eine Zahl einem Einzelereignis zugewiesen!

B.2.1 Zufallsvariable

Eine Variable X, die jedes mögliche Ereignis e ∈ E eines Zufallsexperimentes einer Zahl

X(e) zuordnet, wird als Zufallsvariable bezeichnet.

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Durch die Zufallsvariable werden folgende Ereignisse festgelegt:

{ } { } =

X } { } { < ∧ ∈ = < x X(e) E e : e x X

D X = E W X = R

Diskrete ZV ( Zufallsvariablen): abzählbar viele Werte

stetige ZV überabzählbar viele Werte

B.2.2 Diskrete Zufallsvariablen

Wahrscheinlichkeitsfunktion:

Die Funktion f(x), die jede Realisation x der Zufallsvariablen X der Wahrscheinlichkeit

P(X = x) zuordnet, heißt Wahrscheinlichkeitsfunktion der Zufallsvariablen X:

f(x) = P(X = x)

Sind x 1 , x 2 , ...,x i ... die Realisationsmöglichkeiten der diskreten Zufallsvariablen X, so wird

die Wahrscheinlichkeitsfunktion in der Form

f(x i ) = P( X = x i ) = p i

Beispiel:

Münze (K, Z)

drei Münzwürfe

Zufallsvariable X

Anzahl von Kopf ist gesucht

E = { KKK, 3

KKZ, 2

KZK, 2

ZKK, 2

KZZ, 1

ZKZ, 1

ZZK, 1

ZZZ} 0

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∑ p i = 1 [ P(E) = 1]

p i ≥ 0

2/3

Wahrscheinlichkeit, dass die ZV x einen Wert in einem Intervall [a, b] annimmt:

P(a X b) = ∑ f(x

≤ ≤ i )

B.2.2.1 Verteilungsfunktion

X sei eine ZV. Dann heißt die Funktion F(x), die jedem x die Wahrscheinlichkeit P(X ≤ x)

zuordnet.

≤ F(x) = P(X x) die Verteilungsfunktion von X.

Beispiel:

≤ Verteilungsfunktion F(x) = P(X x)

(3 Münzen werfen)

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