Statistik III - Theoretische Wahrscheinlichkeitsverteilung

Statistik III – Theoretische Wahrscheinlichkeitsverteilung zuletzt geändert: 09.02.06

B Wahrscheinlichkeitsrechnung und Einführung in die

Inferenzstatistik

B.1 Wahrscheinlichkeitsrechnung

B.2 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilung

B.3 Theoretische Wahrscheinlichkeitsverteilung

B.3.1 Binomialverteilung

Einführungsbeispiel:

In einem Studentenwohnheim gibt es 10 Stockwerke und einen Fahrstuhl.

Student A betritt mit 4 anderen Studenten den Fahrstuhl. A will in den 9. Stock. Er überlegt

sich: ‚Wie viele von den 4 Mitfahrern steigen in der selben Etage aus wie ich?’

Lösung:

x (Zufallsvariable): Anzahl der in derselben Etage aussteigenden Mitfahrer!

x kann die Realisationen 0, 1, 2, 3, 4 haben!

A i : Person i steigt in derselben (9.) Etage aus

1

= = =

p A P i 1 , 0 ) (

10

gesucht: Wahrscheinlichkeit der Zufallsvariable x.

∩ 2 ∩ A 3 ∩ A 4 )

P(x = 4) = P( A 1 A

Fakt: Das Aussteigen erfolgt unabhängig voneinander!

P(x = 4) = P(A 1 ) * P(A 2 ) * P(A 3 ) * P(A 4 )

P(x = 4) = p * p * p * p = p 4

P(x = 4) = 0,1 4 = 0,0001

= =

P x P

( ) 0 (

= =

P x P

( ) 0 (

− = =

x P

1 ( ) 0 (

= = − = =

4 4

p x P

6561 , 0 9 , 0 ) 1 ( ) 0 (

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P(x = 1)

∩ ∩ ∩ =

( P

+

( P

+

( P

∩ ∩ ∩ +

) ( A A A A P

4 3 2 1

− − + − − − =

1 ( ) 1 ( * ) 1 ( * ) 1 ( * p p p p

P(x = 1 ) = 4*p*(1-p) 3 = 0,2916

× × = =

1 ( ² 6 ) 2 ( p x P

= − × × = =

0036 , 0 ) 1 ( ³ 4 ) 3 ( p p x P

Addiert man alle 5 Ergebnisse, so erhält man „1“.

f(x)

0 1 2 3 4

Beispiel – ASW (Außersinnliche Wahrnehmung):

2 Räume, in jedem ein Stuhl!

Eine Verbindung besteht nur über „Wellen“ zwischen den Räumen

Ob der Empfänger übersinnliche Kräfte hat bzw. ob er sich eignet, wird mit Karten ermittelt,

auf welchen verschiedene Symbole abgebildet sind!

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Die Karten werden gemischt und die oberste dem Sender gegeben. Nachdem er sich die Karte

angesehen hat, muss der Empfänger das Symbol auf der Karte erraten!

Frage: Zufallsvariable x: richtig geratene Karten

Realisationen: X = x

P(X = 0) = 0,4096

X = 0

P(X = 1) = 0,4096

X = 1

P(X = 2) = 0,1536

X = 2

P(X = 3) = 0,0256

X = 3

P(X = 4) = 0,0016

X = 4

Definition eines Ereignisses:

R n : Die gezeigte Karte im n – ten Versuch richtig geraten!

P(x=0):

∩ ∩ ∩ = =

P x P

( ) 0 (

= =

P x P

( ) 0 (

= =

x P

8 , 0 ) 0 (

d.h. das Medium bekommt nichts mit!

P(x = 1):

∩ ∩ ∩ =

P

(

+

P

(

+

P

(

∩ ∩ ∩ +

R R R R P

) (

4 3 2 1

= = = =

3

x P

2 , 0 8 , 0 * 8 , 0 * 8 , 0 * 2 , 0 ) 1 (

P(x = 2):

∩ ∩ ∩ =

(

P

+

(

P

+

(

P

+

(

P

+

(

P

∩ ∩ ∩ +

) (

R R R R P

4 3 2 1

= = =

1536 , 0 6 * ² 8 , 0 * ² 2 , 0 ) 2 (

x P

P(x = 3) = 4 * 0,2³ * 0,8 = 0,0256

P(x = 4) = 0,2 4 = 0,0016

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f(x)

∑

× =

) ( ) ( x f x x E

∑

− × =

2

) ( ) ( ² ) ( x E x f x x VAR

=

) ( x STD

∑

+ + + + = × =

0016 , 0 * 4 0256 , 0 * 3 1536 , 0 * 2 4096 , 0 * 1 4096 , 0 * 0 ) ( ) ( x f x x E

+ + =

0768 , 0 3072 , 0 4096 , 0 ) ( x E

=

8 , 0 ) ( x E

Es wird erwartet, dass 0,8 Karten erraten werden!

− + + =

x VAR

(

=

64 , 0 ) (

x VAR

= =

) (

x STD

Standartbeispiel – Paradigma:

Urnenmodel (m.Z.) (Es werden nur 2 Arten von Kugeln verwendet!)

n – Versuche

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei n – Versuchen x schwarze Kugeln zu ziehen?

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Dieses Beispiel wird nun auf das Beispiel der ASW übertragen!

Fahrstuhlbeispiel:

Jacob Bernoulli (1654 – 1705)

Bernoulli – Experiment

Binomial – Verteilung

Kriterien:

1. Für jeden Versuch gibt es nur zwei mögliche Ausgänge (Ergebnisse) A und A

2. Die Erfolgswahrscheinlichkeiten

für A

für A

bleiben für alle Durchgänge des Experimentes konstant!

3. Die Wiederholung aller Durchgänge sind unabhängig voneinander!

B.3.1.1 Ableitung der Formel für die Binomialverteilung

Ausgang: Bernoulli Experiment

Ergebnis des B.E.

4 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4 4 2 1

− Durchgänge n

Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass A x – mal auftritt und demzufolge A (n-x)

mal!

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− − − − =

1 ( * ) 1 ( * * * * ) 1 ( *

p p p p p p

−

− × =

x n x

) 1 (

p p

Das ist nur eine Möglichkeit keine Wiederholung und keine Berücksichtigung der

Anordnung!

n – Anzahl der Versuche

p – Erfolgswahrscheinlichkeit

x – unabhängige Variable (von 0 bis n)

Exkurs:

⎞ ⎛

n

! n

⎟ ⎟ ⎜ ⎜

=

( )

− ×

⎠ ⎝

x

! ! x n x

⎞ ⎛

4

12 ! 4

⎟ ⎟ ⎜ ⎜

= = =

6

( )

− ×

⎠ ⎝

2

2 ! 2 4 ! 2

ASW – Beispiel:

Anwendung der Theorie auf die ASW!

n = 4 p = 0,2

⎞

⎛

n

( )

−

⎟ ⎟

⎜ ⎜

− × ×

=

x n

x

p p x f

1 ) (

⎠

⎝

x

⎞

⎛

4

( )

−

⎟ ⎟

⎜ ⎜

= = − × ×

=

0 4

0

f

4096 , 0 4096 , 0 * 1 * 1 2 , 0 1 2 , 0 ) 0 (

⎠

⎝

0

⎞

⎛

4

( )

−

⎟ ⎟

⎜ ⎜

= = − × ×

=

1 4

1

f

4096 , 0 ... * 2 , 0 * 4 2 , 0 1 2 , 0 ) 1 (

⎠

⎝

1

⎞

⎛

4

( )

−

⎟ ⎟

⎜ ⎜

= = − × ×

=

2 4

2

f

1536 , 0 ... 2 , 0 1 2 , 0 ) 2 (

⎠

⎝

2

⎞

⎛

4

( )

−

⎟ ⎟

⎜ ⎜

= = − × ×

=

3 4

3

0256 , 0 ... 2 , 0 1 2 , 0 f

) 3 (

⎠

⎝

3

⎞

⎛

4

( )

−

⎟ ⎟

⎜ ⎜

= = − × ×

=

4 4

4

0016 , 0 ... 2 , 0 1 2 , 0 ) 4 ( f

⎠

⎝

4

de Méré – Beispiel:

p = 1/6 n = 4 4 Ziehungen; x = 0 Die „6“ soll keinmal fallen!

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⎛

⎞

⎛

4

⎜ ⎜

⎟ ⎟

×

⎜

⎝

⎝ ⎠

⎝ ⎠

⎠

⎝

⎠

0

1 – 0,482 = 0,5177 de Méré gewinnt!

E(x) = 4 * 0,2 = 0,8

VAR(x) = 0,8 (1- 0,2) = 0,64

Beispiel:

Ein Test besteht aus 4 Aufgaben. Jede Aufgabe enthalte 5 Antworten, von denen jeweils

genau eine richtig sei.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, rein zufällig:

a) sämtliche 4 Aufgaben richtig zu haben

b) 3 Aufgaben richtig zu haben

c) 2 Aufgaben richtig zu haben

d) 1 Aufgabe richtig zu haben

e) keine Aufgabe richtig zu haben

f) zu bestehen, d.h. 2 und mehr richtige Aufgaben.

= f(2) + f(3) + f(4) = 0,1808

⎞ ⎛

4

⎟ ⎟ ⎜ ⎜

= = × × =

0 4

0016 , 0 ... 8 , 0 2 , 0 ) 4 (

f

⎠ ⎝

4

⎞ ⎛

4

⎟ ⎟ ⎜ ⎜

= = × × =

1 3

0256 , 0 ... 8 , 0 2 , 0 ) 3 (

f

⎠ ⎝

3

⎞ ⎛

4

⎟ ⎟ ⎜ ⎜

= = × × =

2 2

1536 , 0 ... 8 , 0 2 , 0 ) 2 (

f

⎠ ⎝

2

⎞ ⎛

4

⎟ ⎟ ⎜ ⎜

= = × × =

3 1

4096 , 0 ... 8 , 0 2 , 0 ) 1 (

f

⎠ ⎝

1

⎞ ⎛

4

⎟ ⎟ ⎜ ⎜

= = × × =

4 0

4096 , 0 ... 8 , 0 2 , 0 ) 0 (

f

⎠ ⎝

0

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Beispiel:

Sendung von 4 Birnen!

Stichprobe n = 2 m.Z.

Frage: Wahrscheinlichkeit genau eine defekte Birne in der Stichprobe zu finden!

(Es liegt ein Bernoulliexperiment vor! Siehe Bedingungen dafür!)

Binomialverteilung: m.Z.

(n = 2; p = 0,5 da dieses Experiment m.Z. ist die Wahrscheinlichkeit immer 0,5)

⎞

⎛

2

⎟ ⎟

⎜ ⎜

× ×

=

1 1

5 , 0 5 , 0 ) 1 (

f

⎠

⎝

1

! 2

= × × =

1 1

5 , 0 5 , 0 5 , 0 ) 1 (

f

− ×

)! 1 2 ( ! 1

Modifikation des obigen Birnenbeispieles:

Das Experiment wird von m.Z. zu o.Z. abgeändert!

keine Binomialverteilung!

o.Z.

Möglichkeiten:

2 1 2

+ +

= + + × + P

. 1

) / ( ) ( P

− +

= + − × + P

. 2

) / ( ) ( P

+ −

= − + × − P

. 3

) / ( ) ( P

− −

= − − × − P

. 4

) / ( ) ( P

12 3 4

Bei m.Z. ist die Wahrscheinlichkeit eine kaputte Birne zu bekommen größer als bei o.Z.!

Hypergeometrische Verteilung

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