Statistik III - Wahrscheinlichkeitsrechnung zuletzt geändert: 09.02.06

B Wahrscheinlichkeitsrechnung und Einführung in die

Inferenzstatistik

B.1 Wahrscheinlichkeitsrechnung

Geschichte:

Begründer der Wahrscheinlichkeit: Blaise Pascal (1623-1661)

Pierre Fermat (1601-1665)

Es ging damals um ein Glücksspiel mit Karten und Münzen!

Der Freund von B. Pascal Chevalier de Méré (1607-1684) beschäftigte sich Hauptberuflich mit dem Würfelspiel:

Die Bank (de Méré) gewann, wenn ein Spieler bei vier Würfeln mit je 1 Würfel wenigstens eine Sechs warf. Auf Grundlage dieser Regeln wurde Herr de Méré sehr reich!

Herr de Méré änderte aus diesem Grund seine Regeln etwas ab, um noch mehr Geld zu verdienen. Die Bank gewann nun, wenn ein Spieler bi 24 Würfeln wenigstens eine doppelte Sechs würfelte! Herr de Méré verlor ab diesem Zeitpunkt fast sein ganzes Vermögen.

Warum? Lösung folgt im weiteren Verlauf des Skriptes!

B.1.1 Begriffe der Wahrscheinlichkeit

Zufallsexperiment:

Ist ein Vorgang

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Beispiel: Werfen eines Würfels!

Elementarereignis:

Jedes Zufallsexperiment besitzt eine Reihe möglicher elementarer Ergebnisse, von denen man sagen kann, dass sie die Eigenschaft haben , dass nur eines auftreten kann, aber eines immer auftreten muss.

Beispiel: Zufallsexperiment: Werfen eines Würfels (Es gibt sechs Elementarereignisse [1...6])

Ereignisraum:

Besitzt ein Zufallsexperiment n - mögliche Elementarereignisse (e 1 , ... ,e n ), dann bildet die Menge {e 1 , ... ,e n } den Ereignisraum E.

E = {e 1 , ... ,e n }

Ein Ereignisraum kann endlich oder unendlich sein!

Beispiel:

- Das Werfen eines Würfels

- Das einmalige Werfen einer Münze

- zweimaliges Werfen einer Münze

Ereignis:

Teilmenge von E

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Ereignis: gerade Zahl Ereignis = {2, 4, 6}

B.1.2 Mögliche Operationen mit Ereignissen

( um neue Ereignisse zu bilden!)

Vereinigung zweier Ereignisse

A:={1, 2}

= ∪ B A

VENN - Diagramm:

Durchschnitt von Ereignissen

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Zwei Ereignisse (

wenn

wenn

Beispiel:

Zufallsexperiment: 2 mal würfeln

E ={ (1, 1); (1, 2); (1, 3); (1, 4); (1, 5); (1, 6);

A: Beim ersten Wurf eine „6“

B: Beim zweiten Wurf eine „6“

∪

A B = {(1, 6); (2, 6); (3, 6); (4, 6); (5, 6); (6, 6); (6, 1); (6, 2); (6, 3); (6, 4); (6, 5)} 11 Elementarereignisse

∩ A B = {(6;6)}

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1 Elementarereignis

Wahrscheinlichkeit

Ist ein Maß zur Quantifizierung der Sicherheit bzw. Unsicherheit des Eintretens eines bestimmten Ereignisses im Rahmen eines Zufallsexperimentes.

1) klassischer Wahrscheinlichkeitsbegriff

P.S. Laplace (1749-1827)

Beispiel:

A: Gerade Zahl bei einem Wurf eines Würfels Zahl der günstigen Fälle: 3

Zahl aller gleich möglichen Fälle: 6 P(A) = 3/6 = 0,5 (50%)

W: Morgen ist gutes Wetter! E = } ; { W W P(W) = ½ = 0,5 = 50%

(Der klassische Wahrscheinlichkeitsbegriff funktioniert hier nicht, da im Winter eine höhere Regenwahrscheinlichkeit existiert als im Sommer.)

2) Statistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff (R.v.Mises)

Voraussetzung: Zufallsexperiment

Beispiel:

Münzwurf: n = 1.000.000

= Kopf P ) (

NOETHER (1971) hat Münzwürfe durchgeführt!

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3) KOLMOGOROFF

Axiomatischer Wahrscheinlichkeitsbegriff

Axiom: Ein keines Beweises bedürftiger Grundsatz (Bsp.: 1+1=2)

Nicht das Wesen der Wahrscheinlichkeit, sondern Festlegung mathematischer Eigenschaften.

1. Axiom:

2. Axiom: 3. Axiom:

Sind 2 Ereignisse A und B disjunkt, so gilt:

∪ P(A B) = P(A) + P(B)

Erweiterung auf mehr als 2 disjunkte Ereignisse:

Beispiel:

Zufallsexperiment: Wurf von zwei Würfeln Ereignis A: Augensumme beider Würfel gleich „vier“ P(A) = ?

E ={ (1, 1); (1, 2); (1, 3); (1, 4); (1, 5); (1, 6);

(2, 1); (2, 2); (2, 3); (2, 4); (2, 5); (2, 6); ... ... (6, 1); ... .... (6, 6)}

Voraussetzung:

Die Würfel sind fair!

36 gleichwahrscheinliche Elementarereignisse! P(Elementarereignis) = 1/36

A:= {(1, 3) (2, 2) ∪ (3, 1)} ∪

P(A) = P(1, 3) + P(2, 2) + P(3, 1) K[3] (Kolmogoroff 3)

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P(A) = 1/36 + 1/36 + 1/36 = 3/36 = 1/12

Komplementärereignis zu A:

P(A)

P(

Ein Spezialfall des Additionssatzes:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

∩ ⇒ A B = ∅ (A und B sind disjunkt!)

B.1.3 Allgemeiner Additionssatz

Herleitung:

Ergebnis:

= ∪ ) ( B A P

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Exkurs:

∩ ∪ ∩ = ) ( ) ( ) ( B A P B A B P

Umstellen:

∩ − = ∩ ) ( ) ( ) ( B A P B P B A P

Ende Exkurs!

∅ Kolmogoroff = Spezialfall dieses Satzes, da P(AB) bei disjunkten Ereignissen ist, somit 0:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - 0

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