Statistik III - Deskriptive Statistik

Statistik III – Deskriptive Statistik zuletzt geändert: 09.02.06

A Deskriptive Statistik

A.1 Zweidimensionale Häufigkeitsverteilung

absolute Häufigkeit:

Gegeben sind die Merkmale X mit den Ausprägungen x j (j=1,2,...,n) und Y mit den

Ausprägungen y k (k=1,2,...,q), die an den selben statistischen Einheiten erhoben werden. Die

Anzahl der Beobachtungswerte, bei denen die Ausprägungskombinationen (x j , y k ) auftritt

heißt absolute Häufigkeit = h(x j , y k )

relative Häufigkeit:

Der Anteil der absoluten Häufigkeit an der Gesamtzahl n der Beobachtungen heißt relative

Häufigkeit = f(x j , y k )

1 = ) ; ( ) ; ( y x h y x f k j k j n

zweidimensionale Häufigkeitsverteilung

Die Gesamtheit aller aufgetretenen Kombinationen von Merkmalsausprägungen und der

dazugehörigen absoluten und relativen >Häufigkeit heißt zweidimensionale

Häufigkeitsverteilung

Tabellarische Darstellung: in Häufigkeitstabelle

Bsp.:

Von 70 Studies wurden Mathe und Englischnoten erfasst! (Mathe; Englisch) (4; 3);(5;1)

Ordnen! lexikografische Ordnung

(1;2);(1;4)

(2;1);(2;2)... oder Häufigkeitstabelle

- 3 dimensionale Darstellung mit Säulen

- Streudiagramm

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Randverteilung:

Gegeben sei die 2 – dimensionale Häufigkeitsverteilung der Merkmale X und Y. Die

zugehörige 1 – dimensionale Verteilung des Merkmals X (bzw. Y), bei der das Auftreten des

Merkmals Y(bzw. X) unberücksichtigt bleibt, heißt Randverteilung von X (bzw. Y).

Bsp.:

Bedingte Verteilung:

Definition:

Gegeben sei die 2 – dimensionale Häufigkeitsverteilung der Merkmale X und Y. Die

Häufigkeitsverteilung des Merkmales X (bzw. Y) , die sich für eine gegebene Ausprägung y k

(bzw. x j ) ergibt, heißt bedingte Verteilung von X (bzw. Y) für gegebenes y k (bzw. x j ). Die

Häufigkeiten der bedingten Verteilungen bezeichnet man mit

h(x j /Y=y k ) oder kurz h(x j /y k ) und entsprechend f(x j /y k ).

am Bsp.:

*d.h. y 1 und y 3 können nicht mehr eintreten y 2 ist gegeben x 1 kann also nur 3 sein!

h(y 3 /x 1 )=4

Die absoluten bedingten Häufigkeiten können sofort aus der Tabelle abgelesen werden!

relative bedingte Häufigkeit:

f(x 1 /y 2 )= 3/5 =0,6

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f(y 3 /x 1 )=4/9=

bedingte relative Häufigkeiten:

) ; ( y x h

Abhängige Merkmale:

(Abhängigkeit und Unabhängigkeit muss geklärt werden!)

Abhängigkeit:

x 1 2 0,1 4 0,2 10 0,5 4 0,2 20 1

x 2 2 0,04 8 0,16 24 0,48 16 0,32 50 1

x 3 6 0,2 8 0,27 6 0,2 10 0,33 30 1

10 20 40 30 100

Wenn es für die Verteilung des Merkmales y nicht darauf ankommt wie groß x ist, dann

besteht Unabhängigkeit. Wenn x und y unabhängig wären, dann dürfte es für die Verteilung

von y nicht darauf ankommen was x ist. Die Verteilung von y müsste gleich sein. Das ist nicht

der Fall x und y sind abhängig von einander.

x 1 2 0,2 4 0,2 10 0,25 4 0,13 20

x 2 2 0,2 8 0,4 24 0,6 16 0,54 50

x 3 6 0,6 8 0,4 6 0,15 10 0,73 30

10 1 20 1 40 1 30 1 100

y unabhängig: relative Häufigkeit x ist für jede Ausprägung von y gleich dies ist hier nicht

der Fall x und sind abhängig von einander!

Bei einem Nachweis der Unabhängigkeiten ist es egal, ob man dies an Zeilen oder Spalten

zeigt.

Unabhängigkeit:

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Frage: Ist x abhängig von y?

Es kommt für y – Verteilung nicht darauf an, welche Ausprägungen x annimmt, da relative

Zeilenhäufigkeit entspricht immer dem x. (für jedes x ist y immer gleich)

x und y sind von einander unabhängig!

Eine relative bedingte Häufigkeit in einer Zelle = relative Randhäufigkeit

) ; ( y x f = k j ) / ( ) 1 ( y x f

k j =

( ) ( ) 2 ( x f x f

j

: (2) und (1) aus

×

( ) f(x y f oder j n

Beispiel: (Einzelne Häufigkeiten sind nicht gegeben!)

(10*12)/60=2

(10*30)/60=5

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A.2 Regressionsanalyse

Das Finden der best passendsten Gerade heißt Regression!

Regression von y auf x, nur dann, wenn x unabhängige und y abhängige Variable ist. Man versucht durch das Finden der Geraden eine Prognose für weiter rechts liegende x zu stellen:

Voraussetzungen:

1) Es handelt sich um eine 2 – dimensionale Verteilung (x, y)

2) X und Y haben ein bestimmtes Skalenniveau (metrisch skalierte Daten)

3) bereits entdeckter linearer Zusammenhang zwischen X und Y

A.2.1 Die Mathematik einer Geraden

- 2 Punkte bestimmen eine Gerade vollständig oder

- ein Schnittpunkt mit der y – Achse (A) und die Steigung der Gerade b (b = tan α )

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Frage: Wie kann ich aus der Menge der Punkte die Parameter a und b berechnen?

Welche Gerade ist die bestpassendste?

Es muss ein Kriterium entwickelt werden, welches diese beste Anpassung beschreibt!

A.2.2 Gauß 1777 – 1855 „Methode der kleinsten Quadrate“

- Bestimmung der Differenz der tatsächlichen Punkte zu der Geraden (auf diese Art-

und Weise würden unendlich viele Graden entstehen)

- man bildet von der Differenz die Quadrate

- die Summe der Quadrate soll minimal sein

- es entsteht auf diese Art- und Weise genau eine Gerade

Die oben im Chart rot markierten Linien stellen die Fehler der Regressionsgeraden dar

= Residuum = e

− =

e

e bezeichnet den Fehler, den man macht, wenn man mit der Regressionsgeraden arbeitet!

Methode der kleinsten Quadrate

Die Summe der Residualquadrate soll minimal sein!

n ! ∑

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