Methoden zur Analyse ökonomischer Zeitreihen mit zeitlicher Volatilität (ARCH) und Kointegration - Robert F. Engle und Clive W.J. Granger

Inhaltsverzeichnis

  Abkürzungsverzeichnis  iii

  Abbildungsverzeichnis  iv

  Notationsverzeichnis  v

1  Einleitung  1

2  Klassische Modelle der Zeitreihenanalyse  3

2.1  Unterfamilien der klassischen linearen Modelle  4

2.2  Erweiterung auf nicht-stationäre Modelle  5

3  Der Ansatz der Kointegration  7

3.1  Probleme bei der Untersuchung von nicht  

  stationären Zeitreihen  7

3.2  Das Konzept der Kointegration  9

3.3  Methode zum Testen von Kointegration  11

3.3.1  Test auf eine Einheitswurzel  11

3.3.2  Test auf Kointegration  12

3.4  Das Fehlerkorrekturmodell  13

3.5  Weitere Entwicklungen auf dem Gebiet der Kointegration  15

3.5.1  Erweiterungen  15

3.5.2  Anwendungsbeispiele  17

4  Das ARCH-Modell  20

4.1  Eigenschaften von Finanzmarktdaten und Implikationen  

  schwankender Varianz  20

4.1.1  Bedeutung der Volatilität  21

4.1.2  Stochastische Abhängigkeit zwischen Renditen  22

4.2  Das ARCH(p) Modell  23

4.2.1  Definition des ARCH(1 ) Modells  23

4.2.2  Eigenschaften des ARCH(p) Modells  24

4.2.3  Test auf ARCH  26

4.3  Erweiterungen und Anwendungsmöglichkeiten des ARCH-Modells  27

4.3.1  Das GARCH(q,r) Modell  27

4.3.2  Das ARCH-M Modell  29

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INHALTSVERZEICHNIS ii

5 Schlussbetrachtung 30 Anhang vi

Abkürzungsverzeichnis

AR-Modell Autoregressives Modell ARCH-Modell Modell der autoregressiv bedingten Heteroskedastizität ARCH-M-Model Modell der im Erwartungswert autoregressiv bedingten Heteroskedastizität ARMA-Modell Autoregressives, gleitendes Durchschnittsmodell bspw. beispielsweise bzw. beziehungsweise CAPM Capital Asset Pricing Model DAX Deutscher Aktienindex d. h. das heißt

EGARCH-Modell Modell der exponentiellen, allgemeinen, autoregressiv bedingten Heteroskedastizität f. folgende ff. fortfolgende GARCH-Modell Modell der allgemeinen, autoregressiv bedingten Heteroskedastizität

IGARCH-Modell Modell der integrierten, allgemeinen autoregressiv bedingten Heteroskedastizität MA-Modell Gleitendes Durchschnittsmodell S. Seite USA Vereinigte Staaten von Amerika usw. und so weiter VaR Value at Risk vgl. vergleiche z. B. zum Beispiel

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Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1 Darstellung einer nicht-stationären, integrierten Zeitreihe und ihrer stationären Differenzen S. 6 Quelle: Selbsterstellte Grafik mit dem Statistikprogramm R.

Abbildung 2 Langfristiger Zusammenhang zwischen zwei kointegrierten Variablen. S. 10 Quelle: Selbsterstellte Grafik mit dem Statistikprogramm R.

Abbildung 3 Tägliche DAX-Renditen von Anfang 1985 bis Ende 1994. S. 20 Quelle: W. Krämer, 2000.

Abbildung 4 Beschreibung der Volatilität mit einem ARMA-und einem ARCH-Modell S. 21 Quelle: Selbsterstellte Grafik mit dem Statistikprogramm R.

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Notationsverzeichnis

t Zeitparameter x Darstellung eines Vektors X t , Y t Variable abhängig vom Zeitparameter t E(x) Erwartungswert von x V ar(x) Varianz von x ˆ x t Schätzer der Variablen x Die Zufallsvariable X hat die Verteilung D X D I(d) Integriert der Ordnung d α, β, γ, δ Parameter θ Parameter zur Darstellung von gleitenden Durchschnittsmodellen µ x Geschätzter Erwartungswert von x φ Parameter zur Darstellung von autoregressiven Modellen ψ Parameter zur Darstellung von linearen Zeitreihen

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Kapitel 1

Einleitung

In der empirischen Forschung kommt Zeitreihen eine zentrale Bedeutung zu. Diese entstehen dadurch, dass Daten zu bestimmten wirtschaftlichen Sachverhalten im Zeitablauf regelmäßig erhoben werden, wie etwa Aktienkurse, Wechselkurse oder die Entwicklung des Bruttoinlandsprodukt. Ziel der Zeitreihenanalyse ist es, ein geeignetes Modell für die Daten zu finden, mit dem die vorgefundenen Eigenschaften bestmöglich erklärt werden können. Hat man ein plausibles Modell gefunden, so können damit z. B. zukünftige Werte prognostiziert werden. Besonders im Bereich von Finanzmarktdaten ist dieses sehr attraktiv.

Ein anderes reizvolles Aufgabenfeld stellt die Untersuchung zweier oder mehrerer Zeitreihen dar. Es können Thesen über Beziehungen zwischen bestimmten ökonomischen Größen aufgestellt und durch die Modelle auf ihre Richtigkeit geprüft werden. So interessiert in der Makroökonomik etwa der Zusammenhang zwischen Einkommen und Konsum. Kann ein solcher Zusammenhang festgestellt werden, bietet sich die Möglichkeit beispielsweise mit Hilfe der Entwicklung des Einkommens die Entwicklung des Konsums zu prognostizieren.

Lange Zeit wurde dabei hauptsächlich auf das Instrumentarium der klassischen linearen Zeitreihenanalyse zurückgegriffen. Diese klassischen Modelle werden in Kapitel 2 vorgestellt.

Zwei Kerneigenschaften von Zeitreihen bereiteten der Wissenschaft jedoch lange Zeit Probleme: Nichtstationarität und schwankende Varianz.

Nichtstationarität bezeichnet einen Zustand, bei dem eine Zeitreihe einem langfristigen Trend folgt und kurzfristige Veränderungen das langfristige Niveau beeinflussen. Derartige Zeitreihen zeigen keine Tendenz zu ihrem Ursprungswert zurückzukehren, doch wurden auch auf diese die Modelle für stationären Zeitreihen in etwas modifizierter Form angewandt. Aus der Erkenntnis heraus, dass dies zu erheblichen Da-

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KAPITEL 1. EINLEITUNG 2

tenverlusten und unsinnigen Ergebnissen führt, entwickelte Granger in den 1980er Jahren das Konzept der Kointegration. Auf diese können Zeitreihen getestet werden, bei denen man einen langfristigen Gleichgewichtszusammenhang vermutet. Mit der Beschreibung von Nichtstationarität und dem Modell der Kointegration befasst sich Kapitel 3.

Das Phänomen schwankender Varianzen taucht insbesondere bei Finanzzeitreihen auf. Perioden mit hoher werden von Perioden mit niedriger Volatilität abgelöst. Doch gerade die Varianz stellt ein Maß zur Einschätzung des Risikos dar und ist somit sehr wichtig für Finanzakteure. Aus Ermangelung besserer Alternativen arbeiteten Wissenschaftler lange Zeit trotzdem mit den klassischen Modellen, die eine konstante Varianz abbilden. Mit Engles Einführung des ARCH-Modells und den daraus hervorgegangenen Erweiterungen hat sich das geändert. Der Darstellung dieser Zusammenhänge widmet sich Kapitel 4.

Die Arbeit der beiden Wissenschaftler hat [...] die Art, wie Ökonomen Zeitreihen analysieren, modellieren und vorhersagen, revolutioniert und einen Paradigmenwechsel in der Zeitreihenökonometrie bewirkt (35, S. 1). Eine Zusammenfassung der Ergeb- nisse dieser Arbeit gibt Kapitel 5 .

Kapitel 2

Klassische Modelle der

Zeitreihenanalyse

Zur Analyse von Zeitreihen ¹ wurden bestimmte Modellfamilien entwickelt, wie etwa die Familie der linearen, der nicht-linearen und der nicht-parametrischen Modelle (vgl. 11, S. 669). Die Familie der linearen Zeitreihen soll im Folgenden erläutert werden. Ein grundlegendes Theorem der Zeitreihenanalyse ist unter „Wold’s Zerlegung“ bekannt geworden (vgl. 33, S. 108 f.). Es sagt aus, dass jeder stationäre ² , stochastische Prozess als lineare Kombination von unkorrelierten Zufallsvariablen (a t ) dargestellt werden kann. Eine allgemeine lineare Zeitreihe X t hat folgende Form:

X t = ψ 0 a t + ψ 1 a t−1 + ψ 2 a t−2 + ... mit t = ... − 2, −1, 0, 1, 2, ... , (2.0.1)

wobei ψ i konstante Gewichte ³ mit i = 0, 1, 2, ... und a t ein „weißes Rauschen“ ⁴ , also unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert Null und Varianz σ ² darstellt.

Um ein bestimmtes Modell vollständig festzulegen, müssen die einzelnen Modellparameter bestimmt werden (vgl. 56, S. 192). Dieses setzt jedoch die Schätzung eines jeden ψ i voraus und erweist sich in der Praxis als kaum möglich (vgl. 47, S. 631). Mit einer endlichen Anzahl von Zufallswerten kann nicht auf unendlich viele Mo- ¹ Zeitreihenwerden dabei als Realisationen so genannter stochastischer Prozesse aufgefasst, aus diesem Grund können Befunde aus einer Stichprobe auf die unbekannte Grundgesamtheit übertragen werden (vgl. 31, Seite 55 f.).

² Hier die schwache Form von Stationarität gemeint, siehe im Anhang Abschnitt 1. ∞ −∞ ψ 2 ³ Die quadrierten Gewichte müssen summierbar sein: i < ∞ . Dieses ist die sogenannte Stationaritätsbedingung.

⁴ Deutsche Bezeichnung für „white noise“ (vgl. 40, S. 1083).

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KAPITEL 2. KLASSISCHE MODELLE DER ZEITREIHENANALYSE 4

dellparameter geschlossen werden.

Deshalb wurden Unterfamilien entwickelt, die erhebliche Vereinfachungen zulassen und somit praxistauglicher sind. Zwar führen diese zu gewissen Ungenauigkeiten, doch können die meisten Zeitreihen mit diesen Vereinfachungen sehr genau approximiert werden (vgl. 47, S. 632).

2.1 Unterfamilien der klassischen linearen Modelle

Gleitende Durchschnittsmodelle (MA(q)-Modelle) Die vereinfachte Annahme eines gleitenden Durchschnittmodells (MA(q), aus dem Englischen für: Moving Average) beruht darauf, lediglich eine endliche Anzahl (q + 1) der Modellparameter ψ i aus Gleichung (2.0.1) als von Null verschieden anzusehen (vgl. 48, S. 239). Somit hat z. B. ein MA(1)-Modell mit den Parametern θ 0,1 folgende, allgemeine Form ⁵ :

X t = a t − θ 1 a t−1 , mit t = ... − 2, −1, 0, 1, 2, ... . (2.1.1)

Das MA(q)-Modell hat einen Erwartungswert von Null und eine konstante Varianz ⁶ .

Autoregressive Modelle (AR(p)-Modelle) Eine andere Vereinfachung ist, zwar alle ψ i der Gleichung (2.0.1) als von Null verschieden anzusehen, diese jedoch mit einer einfachen Struktur zu versehen (vgl. 65, S. 29 f.). Zu diesem Zweck eignen sich autoregressive Modelle gut.

Das AR(1)-Modell mit dem Parameter φ sieht folgendermaßen aus:

X t = φ ⁰ a t + φ ¹ a t−1 + φ ² a t−2 + ... , mit t = ... − 2, −1, 0, 1, 2, ... . (2.1.2)

Der Zusammenhang kann auch in Summennotation dargestellt werden:

und durch Umformung folgt ⁷ :

X t = φ ¹ X t−1 + a t . (2.1.4)

⁵ Der Parameter θ 0 kann durch einfache Division immer auf 1 normiert werden.

⁶ Siehe dazu und zu weiteren Besonderheiten des MA(q)-Modells im Anhang Abschnitt 2 und 3.

⁷ Siehe im Anhang Abschnitt 4.