Gewinnung von Zufallszahlen mit vorgegebener Verteilung

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 1

2 Inverse Transformation 2

2.1 Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3 Fazit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Acceptance-Rejection-Methode 7

3.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

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1 Einleitung

Ausgangspunkt der Überlegungen sind vom Computer erzeugte Pseudozufallszahlen. Auf die mit der Erstellung von ZV verbundenen Probleme wird nicht weiter eingegangen, sondern wir gehen einfach davon aus, dass diese Zahlen unabhängig und gleichverteilt zwischen 0 und 1 sind. Ziel ist es, zu zeigen, wie diese Zufallszahlen so verändert werden können, dass sie anderen Verteilungen folgen. Dabei wird auf die Inverse Transformation und die Acceptance Rejection Methode eingegangen.

Die Gleichverteilung auf dem Intervall U[0, 1] ist eine Spezialform der allgemeinen Gleichverteilung mit der Dichtefunktion:

2 Inverse Transformation

Die Inverse Transformation ist die einfachste Methode, aus gleichverteilten Zufallszahlen Zufallszahlen anderer Verteilungen zu erhalten. Während bei der in Abschnitt 1 dargestellten Gleichverteilung jedes einzelne Ereignis zwischen 0 und 1 mit genau der gleichen Wahrscheinlichkeit eintritt, folgt die Eintrittswahrscheinlichkeit nach der inversen Transformation der zugrundegelegten Verteilungsfunktion. Intuitiv

kann der Vorgang bei diskreten Verteilungen folgendermaßen verstanden werden: u entspricht y und da u gleichverteilt ist, enspricht die Wahrscheinlichkeit von F ⁻¹ (y) = X genau der Senkrechten zwischen den jeweiligen Stufen der Verteilungsfunktion, also f (x). Womit das so gewonnene x der gewünschten Verteilung folgt.

Demzufolge gilt bei einer streng monoton wachsenden und stetigen Verteilung: X = F ⁻¹ (U) Gemäß der Definition der Verteilungsfunktion gilt: P(X ≤ x) = F(X) Substituieren wir X durch F ⁻¹ (U) so folgt: P F ⁻¹ (U) ≤ x = P (U ≤ F(X)) = F(X)

Formell ist die Bildung der Umkehrfunktion nur bei Surjektvität und Injektivität der umzukehrenden Funktion möglich. Unter einer surjektiven Funktion versteht man eine Funktion, bei der jedes Element der Zielmenge mindestens einem Element der Definitionsmenge zugeordnet ist. Die Surjektivität ist bei stetigen Verteilungsfunktionen grundsätzlich gegeben. Unter einer injektiven Funktion versteht man eine Funktion, bei der jedes Element der Zielmenge höchstens einem Element der Definitionsmenge zu-geordnet ist. Diese Eigenschaft ist bei diskreten Verteilungen grundsätzlich nicht gegeben, da in der Regel einem y-Wert mehrere x-Werte zugeordnet sind (siehe Veranschaulichung). Aber auch bei ste-

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tigen Verteilungen kann die Eigenschaft der Injektivität fehlen, wenn sie nicht streng monoton steigt. Deshalb ist folgende Definition bei der Bildung der Umkehrfunktion von Verteilungen zu beachten: F ⁻¹ (y) = min{x : F(y) ≥ y}, ∀ y ∈]0, 1] So dass F ⁻¹ (y)

1. nur für y-Werte zwischen 0 und 1 definiert ist

2. immer der kleinst mögliche, wählbare x-Wert ist.

Damit kann dann die Umkehrfunktion aller Verteilungsfunktionen gebildet werden, soweit die Berechnung möglich ist.

Veranschaulichung

In Abb. 3 ist F(x 1 −) = F(x 0 ) = y d.h. P(X ∈ (x 0 , x 1 )) = F(x 1 −) − F(x 0 ) = 0, F x (x 0 ) = F(x 1 −) Nach obiger Definition immer der kleinst mögliche Wert zu wählen, also hier x 0 .

2.1 Algorithmus

1. Gleichverteilte Zufallszahl erstellen U]0, 1]

2. X ← F ⁻¹ (U)

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